Nous définissons une suite numérique de la manière suivante : «A chaque étape n, on associe, u

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1 Vdoie Termiale S Chapitre Sites mériqes et comportemet asymptotiqe Nos défiissos e site mériqe de la maière siate : «A chaqe étape, o associe, le ombre de carrés écessaires à la fabricatio de l escalier» Détermier les ombres,,, 4, 5 Qe pesez-os de l affirmatio? Axiome de récrrece Si e propriété est raie a premier rag et si il est proé qe lorsq elle est raie a rag p elle est raie assi a rag siat p, alors elle est tojors raie, qelqe soit le rag iitialisatio hérédité coclsio La propriété est-elle raie por le premier rag de la site? Spposos q'elle soit raie a rag p, est-elle raie a rag siat p+? Si l'iitialisatio et l'hérédité sot érifiées alors la propriété est tjs raie Raisoemet par récrrece Démotros par récrrece qe la relatio Iitialisatio La propriété est-elle raie por? est raie por tot Hérédité Spposos qe la propriété p p p soit raie, est-elle est raie a rag p? Coclsio Coclre à l aide de l axiome de récrrece Actiités Page

2 Vdoie Termiale S Chapitre Sites mériqes et comportemet asymptotiqe C'est a mathématicie italie Giseppe Peao (858 ; 9) qe l'o attribe le pricipe d raisoemet par récrrece Le om a été doé par Heri Poicaré (854 ; 9) Pricipe d raisoemet par récrrece O cosidère e file illimitée de domios placés côte à côte La règle et qe lorsq' domio tombe, il fasse tomber le domio siat et ceci à 'importe qel iea de la file Alors, si le premier domio tombe, o est assré qe tos les domios de la file tombet ex assi Terme gééral d e site O cosidère la site défiie por tot etier atrel par et Démotrer par récrrece qe : Somme des carrés por tot etier O pose aec la somme des carrés des etiers coséctifs Démotrer par récrrece qe por tot etier o a Somme des cbes 6 O pose aec la somme des cbes des etiers coséctifs Démotrer par récrrece qe por tot etier o a 4 Mootoie d e site défiie par récrrece O cosidère la site défiie por tot etier atrel par et Démotrer par récrrece qe la site est croissate L iégalité de Berolli Soit ombre réel a strictemet positif Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel, o a : a a Attetio l'iitialisatio est idispesable! Démotros par exemple qe la propriété «est diisible par» est héréditaire Spposos q'il existe etier k tel qe k est diisible par k+ = k x = p x =6p Doc k+ est diisible par L'hérédité est érifiée et portat la propriété 'est jamais raie car o iitialisée! Actiités Page

3 Vdoie Termiale S Chapitre Sites mériqes et comportemet asymptotiqe Exercice d applicatio Soit la site défiie por tot etier atrel par : Calcler, et O exprimera chac de ces termes sos la forme irrédctible Démotrer, par récrrece, qe por tot etier atrel o a Exercice d applicatio O cosidère la site défiie por tot etier atrel par Calcler, et O exprimera chac de ces termes sos la forme irrédctible Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel o a Représetatio graphiqe d e site O a tracé das repère la représetatio 4x graphiqe de f x et la droite 4 x d éqatio y x O cosidère la site défiie par : et la site axiliaire défiie par : Représeter graphiqemet sr l axe des abscisses les premiers termes, et Démotrer qe est arithmétiqe Exprimer le terme gééral e foctio de E dédire l expressio d terme gééral e foctio de Détermier lim Actiités Page

4 Vdoie Termiale S Chapitre Sites mériqes et comportemet asymptotiqe Dex sites défiies par récrrece O cosidère les sites et défiies par : Premiers termes et représetatio graphiqe 4 4 et 4 4 Calcler, et d e part et, et d atre part Das repère costrire sr l axe des abscisses les poits A, A, A d abscisses respecties,, et les poits B, B, B d abscisses respecties,, Dex sites axiliaires O cosidère la site axiliaire défiie por tot etier atrel par s Motrer par récrrece sr qe s qelqe soit O cosidère la site axiliaire défiie por tot etier atrel par d Démotrer qe la site d est géométriqe et e dédire l expressio de d e foctio de Expressio d terme gééral Détermier l expressio de e foctio de, pis l expressio de e foctio de Motrer qe les dex sites Lci d artista Torio et «Ua seqeza di meri, logicamete combiata dal matematico Leoardo Fiboacci, crea a lga stricia di lci rosse che di ote brilla slla cpola della Mole Atoiellaa U istallazioe cocettale brillatissima» Ue corbe et e droite coerget ers e limite iqe O cosidère la foctio f défiie par f x sr l iteralle ; O a tracé das x repère orthoormé la corbe C représetatie de la foctio f aisi qe la droite D d éqatio y x Résodre algébriqemet l éqatio x O porra se rameer à e x éqatio d secod degré E dédire la aler exacte de l abscisse d poit d itersectio de la corbe C et de la droite D Das la site de l étde o otera cette aler Actiités Page 4

5 Vdoie Termiale S Chapitre Sites mériqes et comportemet asymptotiqe Ue site de ombres etiers O cosidère la site défiie por par Détermier les doze premiers termes de la site Ue site de qotiets O cosidère la site w défiie par w Calcler les oze premiers termes Démotrer qe w w Représetatio graphiqe Représeter les premiers termes de la site w pis cojectrer graphiqemet so comportemet asymptotiqe Détermier e aler approchée d ombre Limite ifiie d e site La site défiie par a por limite E effet, les termes de la site deieet assi grads qe l'o sohaite à partir d' certai rag Si o pred réel a qelcoqe, l'iteralle a; cotiet tos les termes de la site à partir d' certai rag O dit qe la site dierge ers Défiitio et otatio La site ( ) admet por limite si tot iteralle a;, a réel, cotiet tos les termes de la site à partir d' certai rag et o ote : lim Limite fiie d e site La site par a por limite E effet, les termes de la site se resserret ator de la aler à partir d' certai rag Si o pred iteralle oert qelcoqe coteat la aler, tos les termes de la site appartieet à cet iteralle à partir d' certai rag O dit qe la site coerge ers Actiités Page 5

6 Vdoie Termiale S Chapitre Sites mériqes et comportemet asymptotiqe Défiitio et otatio : La site ( ) admet por limite L si tot iteralle oert coteat L cotiet tos les termes de la site à partir d' certai rag et o ote : lim L Ue telle site est dite coergete Ue site qi 'est pas coergete est dite diergete Comportemet asymptotiqe d e site 5 4,5 4,5,5,5, Site,,8,6,4, Site,5, ,5,6,4, -, ,4 -,6 - -,5 Site -,8 - -, Site 4,,8,6,4, Site Site 6 Por chaqe site, détermier à qelle expressio d terme gééral elle correspod : w x y z Por chaqe site, détermier si «la site dierge» o si «la site coerge» Por chaqe site, détermier qelle limite o pet li attriber 4 Por chaqe site, choisir l e o l atre de ces affirmatios : «la site est croissate», «la site est décroissate», «la site est i croissate, i décroissate elle est alterée» Actiités Page 6

7 Vdoie Termiale S Chapitre Sites mériqes et comportemet asymptotiqe Problématiqe Coaissat le comportemet asymptotiqe de dex sites et, certaies qestios atrelles se poset : qel est le comportemet asymptotiqe de la somme des dex sites? D prodit des dex sites? D qotiet des dex sites? Les théorèmes sr les limites (à appredre) apportet, das certais cas, e répose D atres cas, appelés cas d idétermiatio (à coaître) écessitet e étde pls fie La somme lim L L L lim L' lim L + L' FI* Détermier la limite des sites défiies par,, et Le prodit lim L L > L < L > L < o lim L' lim L L' FI* Détermier la limite des sites défiies par a, b, c, d Le qotiet lim L L lim L' o L > o aec L < o aec L > o aec L < o aec L' > L' < L' > L' < o o lim L L' FI FI Détermier la limite des sites défiies par a b,, c, d, e Actiités Page 7

8 Vdoie Termiale S Chapitre Sites mériqes et comportemet asymptotiqe Leer e idétermiatio O cosidère la site défiie par O cosidère la site défiie par Rappeler lim et lim Cojectrer lim Rappeler lim et lim Cojectrer lim E dédire porqoi il existe pas de théorème doat le résltat d calcl ( ) ( ) Motrer qe Motrer qe Par applicatio des règles sr le prodit des limites, calcler lim Par applicatio des règles sr le prodit des limites, calcler lim Exercice d applicatio directe Détermier la limite de la site défiie par w Leer e atre idétermiatio O cosidère la site défiie par O cosidère la site défiie par Rappeler lim Rappeler lim Cojectrer à l aide d tabler lim Rappeler lim Rappeler lim Cojectrer à l aide d tabler lim E dédire porqoi il existe pas de théorème doat le résltat d calcl ( ) ( ) Motrer qe Par applicatio des règles sr le prodit et qotiet des limites, calcler lim Motrer qe Par applicatio des règles sr le prodit et qotiet des limites, calcler lim Exercices d applicatio directe Cojectrer à l aide d tabler pis détermier Détermier lim Détermier lim Préciser otre raisoemet lim 5 4, lim 5 7 Préciser otre raisoemet Actiités Page 8

9 Vdoie Termiale S Chapitre Sites mériqes et comportemet asymptotiqe Théorème de comparaiso Si les sites ( ) et ( ) érifiet les coditios : à partir d' certai rag,, et lim, Alors lim O pet dire qe la site ( ) posse la site ( ) ers à partir d' certai rag Ici Démostratio d théorème de comparaiso Proposer e démostratio d théorème Proposer e ariate d théorème de comparaiso Théorème des gedarmes Si les trois sites ( ), ( ) et (w ) érifiet les coditios siates : à partir d' certai rag w, et lim lim w L, Alors lim L O pet dire qe les dex sites ( ) et (w ) (les gedarmes) se resserret ator de la site (w ) por la «codire» ers la même limite Ici Démostratio d théorème des gedarmes Proposer e démostratio d théorème Exercices d applicatio directe Etdier la coergece de la site défiie par Etdier la coergece de la site défiie par si Exercices d applicatio directe Etdier la coergece de la site défiie par 4 Etdier la coergece de la site défiie par si si por si Actiités Page 9

10 Vdoie Termiale S Chapitre Sites mériqes et comportemet asymptotiqe Rappels sr les sites géométriqes O cosidère les sites défiies par q où q est ombre réel qelcoqe Le bt est de récapitler das le tablea siat le comportemet d tel type de site e foctio des alers de q La première lige sera remplie aec les alers «; ; ; et» La secode lige sera remplie aec les alers «; ; pas e limite mais dex :» La troisième lige sera remplie aec les qalificatifs «coergete ; diergete» La qatrième lige sera remplie aec les qalificatifs «croissate ; décroissate ; alterée» q lim q Comportemet asymptotiqe Ses de ariatio Démostratio Démotrer qe tote site géométriqe de raiso strictemet spériere à dierge ers Exercices d applicatio directe Détermier la limite de chace des sites proposées :,9 x w y s z t Vocablaire La site est majorée par M si et selemet si La site est miorée par m si et selemet si Le site est borée si elle est à la fois majorée et miorée Exemples M por tot m por tot si w z por Exercices d applicatio directe Démotrer qe la site défii par et est majorée par Démotrer qe la site défiie par 4 et est borée par et Actiités Page

11 Vdoie Termiale S Chapitre Sites mériqes et comportemet asymptotiqe Vocablaire La site La site est croissate si et selemet si por tot est décroissate si et selemet si por tot La site est mootoe si elle est exclsiemet croissate o décroissate Rappel importat Por étdier la mootoie d e site, o pet étdier le sige de la qatité Por étdier la mootoie d e site, o pet parfois comparer le qotiet à Coergece des sites mootoes Si ( ) est e site croissate et si lim L alors la site ( ) est majorée par L Démostratio Proposer e démostratio par l absrde de cette propriété Proposer e ariate aaloge Théorèmes de coergece mootoe Si e site est croissate et majorée, alors elle est coergete Si e site est décroissate et miorée, alors elle est coergete Démostratio Ces dex théorèmes sot admis Exercice d applicatio directe Démotrer qe la site défii par et coerge Préciser sa limite Exercice d applicatio directe Démotrer qe la site défiie par 4 et coerge Préciser sa limite Exercice d applicatio directe 9 Démotrer qe la site défiie par w w w Préciser sa limite et w 4 coerge Actiités Page

12 Vdoie Termiale S Chapitre Sites mériqes et comportemet asymptotiqe Corollaires des théorèmes de coergece mootoe Si e site croissate est o majorée alors elle ted ers Si e site décroissate est o miorée alors elle ted ers Démostratio Proposer e démostratio de ces dex corollaires Le tabler a serice de l étde d e site U éditer et faire paraître oea magazie Ce magazie sera retable por li si le ombre d aboés reste spérier o égal à persoes Il réalise e étde de marché qi réèle qe le ombre d aboés serait de 8 la première aée, qe le tax de réaboemet serait de 8% et qe chaqe aée il y arait 6 oeax aboés O ote a le ombre d aboés de l aée O pose a 8 Représeter graphiqemet à l aide d tabler le comportemet de ce ombre d aboés a fr et à mesre qe les aées s écolet Le magazie semble-t-il péree das le temps? L algorithmiqe a serice de l étde d e site O cosidère l algorithme proposé ci-cotre Qel est l itérêt de cet algorithme? Programmer cet algorithme sr logiciel o calclatrice et tester le programme aec différetes alers de m de pls e pls proche de la aler Qe remarqe-t-o? Complétez la cojectre siate : «semble être le pls des de la site a» Aalyse mathématiqe de la site O défiit le site axiliaire b de la faço siate : b a por tot etier positif Démotrer qe la site b est géométriqe, préciser les élémets caractéristiqes de cette site et détermier l expressio de so terme gééral E dédire l expressio d terme gééral de la site a Démotrer qe la site a est strictemet décroissate et q elle est miorée par 4 La site a pet-elle atteidre la aler Jstifier otre affirmatio Porqoi le tabler affiche-t-il por atat à partir d certai rag? Ici Actiités Page