DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S

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1 DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S 1 SUITES Propriété : Si q > 1 lors lim + q = + D1 - Démostrtio u progrmme (eigible BAC) : Prérequis : Pour tout etier turel, o : ( ) pr récurrece) O suppose que q > 1, lors o peut poser q = + 1 vec > ( 1 ) 1 Or lim ( 1 ) q = (iéglité de Beroulli qui se démotre + =+ cr > Doc pr le théorème de compriso lim q = + + Théorème de compriso : Soit (u ) et (v ) deu suites défiies sur N Si, à prtir d'u certi rg, u v et lim u + = + lors lim v + = + D2 - Démostrtio u progrmme (eigible BAC) : Soit u ombre réel - lim u + = +, doc l'itervlle ;+ cotiet tous les termes de l suite à prtir d'u certi rg que l'o ote 1 O doc pour tout 1, < u - A prtir d'u certi rg, que l'o ote 2, o u v - Aisi pour tout m( 1 ; 2 ), o < u v O e déduit que l'itervlle ;+ cotiet tous les termes de l suite (v ) à prtir du rg m( 1 ; 2 ) Et doc lim v + = + Propriété : Soit (u ) ue suite croisste défiie sur N Si lim u + = L lors l suite (u ) est mjorée pr L D3 - Démostrtio u progrmme (o eigible BAC) : Démotros pr l bsurde e suppost le cotrire, soit : «Il eiste u etier p, tel que u p > L» - L'itervlle ouvert L 1;u p cotiet L Or, pr hypothèse, lim + u = L Doc l'itervlle L 1;u p cotiet tous les termes de l suite (u ) à prtir d'u certi rg (1) - Comme (u ) est croisste : u u p pour > p Doc si > p, lors u L 1;u p (2) (1) et (2) sot cotrdictoires, o e déduit qu'il 'eiste ps p ϵ N, tel que u p > L Et doc l suite (u ) est mjorée pr L Yv Mok Acdémie de Strsbourg wwwmths- et- tiquesfr

2 Propriétés : - Si ue suite croisste est o mjorée lors elle ted vers + - Si ue suite décroisste est o miorée lors elle ted vers 2 D4 - Démostrtio u progrmme (o eigible BAC) : Soit u réel Comme (u ) 'est ps mjorée, il eiste u etier p tel que u p > L suite (u ) est croisste doc pour tout > p, o u u p Doc pour tout > p, o u > Et doc à prtir d'u certi rg p, tous les termes de l suite pprtieet à l'itervlle ;+ O e déduit que lim u + = + FONCTIONS Théorème : Il eiste ue uique foctio f dérivble sur R telle que f ' = f et f () = 1 D5 - Démostrtio de l uicité u progrmme (eigible BAC) : - Démotros que f e s'ule ps sur R Soit l foctio h défiie sur R pr h() = f () f ( ) Pour tout réel, o : h'() = f '() f ( ) + f () f '( ) = f '() f ( ) f () f '( ) = f () f ( ) f () f ( ) = L foctio h est doc costte Comme h() = f () f () = 1, o pour tout réel : f () f ( ) = 1 L foctio f e peut doc ps s'uler - Supposos qu'il eiste ue foctio g telle que g ' = g et g() = 1 Comme f e s'ule ps, o pose k() = g() f () g '() f () g() f '() g() f () g() f () k '() = = ( f ()) 2 f () k est doc ue foctio costte Or k() = g() f () = 1 = 1 doc pour tout : k() = 1 1 Et doc f () = g() L'uicité de f est doc vérifiée 2 = Propriétés : lim e = et lim e = + + D6 - Démostrtios u progrmme (eigible BAC) : - Soit l foctio g défiie pr g() = e Yv Mok Acdémie de Strsbourg wwwmths- et- tiquesfr

3 3 Pour positif, g '() = e 1 e 1 = cr l foctio epoetielle est croisste Doc l foctio g est croisste sur ;+ O dresse isi le tbleu de vritios : + g '() + g() 1 Comme g() = 1, o pour tout, g() 1 Et doc g() = e, soit e D'près le théorème de compriso des limites, o e déduit que lim e = + cr lim = lim e = lim e X = lim X + X + e = X Théorème : Soit f ue foctio cotiue et positive sur u itervlle [ ; b] L foctio F défiie sur [ ; b] pr F() = f (t) dt est dérivble sur [ ; b] et s dérivée est l foctio f D7 - Démostrtio ds le cs où f est strictemet croisste (o eigible BAC) : - O cosidère deu réels et +h de l'itervlle [ ; b] vec h > F( + h) F() O veut démotrer que lim = f () h h F( + h) F() = f ()d f () d = f () d +h O représeté ci-cotre, l courbe de l foctio f (e vert) Cette différece est égle à l'ire de l surfce colorée e rouge Elle est comprise etre les ires des rectgles ABFE et ABHG = h f () et = h f ( + h) Or, Aire ABFE Aire ABHG Comme f est croisste sur [ ; b], o : h f () < F( + h) F() < h f ( + h) +h F( + h) F() Puisque h >, o : f () < < f ( + h) h Comme f est cotiue sur [ ; b], lim f ( + h) = f () h F( + h) F() D'près le théorème des gedrmes, lim = f () h h - Ds le cs où h <, l démostrtio est logue (les ecdremets sot iversés) O e déduit que F '() = f () Yv Mok Acdémie de Strsbourg wwwmths- et- tiquesfr

4 Propriété : Toute foctio cotiue sur u itervlle dmet des primitives sur cet itervlle 4 D8 - Démostrtio ds le cs d ue foctio dmettt u miimum (o eigible BAC) : Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle [ ; b] dmettt m comme miimum - Si m : L foctio f est cotiue et positive sur [ ; b] Alors l foctio F() = f (t)dt est dérivble sur [ ; b] et s dérivée est l foctio f Comme F ' = f, o e déduit que f dmet bie ue primitive sur [ ; b] - Si m < : O pose g() = f () m L foctio g est cotiue et positive sur [ ; b] Alors l foctio G() = g(t)dt est dérivble sur [ ; b] et s dérivée est l foctio g Soit l foctio F défiie pr F() = G() + m lors F '() = G'() + m = g() + m = f () F est doc ue primitive de f sur [ ; b] GÉOMÉTRIE Théorème du toit : P 1 et P 2 sot deu pls sécts Si ue droite d 1 de P 1 est prllèle à ue droite d 2 de P 2 lors l droite d'itersectio Δ de P 1 et P 2 est prllèle à d 1 et d 2 D9 - Démostrtio u progrmme (o eigible BAC) : Les droites d 1 et d 2 sot prllèles et distictes doc elles sot coplires O ppelle P le pl qui cotiet d 1 et d 2 O lors : P 1 P = d 1 et P 2 P = d 2 Démotros pr l bsurde que Δ est prllèle à d 1 O suppose doc le cotrire, soit : «Δ est ps prllèle à d 1» O ppelle lors A le poit d itersectio de Δ et d 1 - A Δ doc A P 2 - A d 1 doc A P Doc A P 2 P = d 2 Or, A d 1 doc A d 1 d 2 Ce qui est impossible cr d 1 et d 2 sot strictemet prllèles O rrive isi à ue cotrdictio, o e déduit que l hypothèse fiée u déprt «Δ est ps prllèle à d 1» est fusse! O coclut que Δ est prllèle à d 1 et e coséquece à d 2 Yv Mok Acdémie de Strsbourg wwwmths- et- tiquesfr

5 Théorème : Ue droite est orthogole à toute droite d'u pl si et seulemet si elle est orthogole à deu droites séctes de ce pl 5 D1 - Démostrtio u progrmme (eigible BAC) : - Si ue droite est orthogole à toute droite d'u pl P lors elle est e prticulier orthogole à deu droites séctes de P - Démotros l réciproque : Soit ue droite d de vecteur directeur! orthogole à deu droites ( d 1 ) et ( d 2 ) de P séctes et de vecteurs directeurs respectifs u! et v! Alors u! et v! sot o coliéires et orthogou u vecteur!!" Soit ue droite quelcoque ( Δ ) de P de vecteur directeur w Démotros que ( Δ ) est orthogole à ( d)!" w peut se décomposer e foctio de u! et v! qui costituet ue bse de P (cr o coliéires) Il eiste doc deu réels et y tels que w!" = u " + yv " Doc w!" " = u " + yv " " = u " " + yv " " =, cr! est orthogol vec u! et v! Doc! est orthogol u vecteur w!" Et doc d est orthogole à ( Δ ) Théorème : L'espce est mui d'u repère orthoormé ( O;i!,! j, k! ) U pl P de vecteur orml! b c + by + cz + d =, vec d! o ul dmet ue équtio crtésiee de l forme Réciproquemet, si, b et c sot o tous uls, l'esemble des poits M y z + by + cz + d =, vec d!, est u pl D11 - Démostrtio u progrmme (eigible BAC) : - Soit u poit A M y z A y A z A de P P! AM!!!" et! sot orthogou! AM!!!" " = + b( y y A ) + c( z z A ) = A + by + cz A by A cz A = + by + cz + d = vec d = A by A cz A Yv Mok Acdémie de Strsbourg wwwmths- et- tiquesfr tels que

6 6 - Réciproquemet, supposos pr eemple que (, b et c sot o tous uls) O ote E l'esemble des poits M y vérifit l'équtio + by + cz + d = z Alors le poit A d ;; vérifie l'équtio + by + cz + d = Et doc A E Soit u vecteur! b Pour tout poit M y, o : c z! " AM!!! " d = + + b ( y ) + c( z ) = + by + cz + d = E est doc l'esemble des poits M y z tels que! AM!!!" " = Doc l'esemble E est le pl psst pr A et de vecteur orml! PROBABILITÉS Propriété : Si A et B sot idépedts lors A et B sot idépedts D12 - Démostrtio u progrmme (eigible BAC) : P( A B) = P(B A) = P(B) P B ( A) cr A et B sot idépedts = P(B) 1 P B ( A) = P(B) 1 P( A) = P(B) P( A) Doc A et B sot idépedts Propriété : Soit X ue vrible létoire qui suit ue loi epoetielle de prmètre λ Alors : E( X ) = 1 λ D13 - Démostrtio u progrmme (eigible BAC) : f désige l desité de l loi epoetielle de prmètre λ L foctio g :t! t f (t) est cotiue sur tout itervlle ;, vec >, doc elle dmet des primitives sur cet itervlle Comme, pour tout réel t positif, o : (te λt )' = e λt λte λt soit : tλe λt = e λt (te λt )' Aisi : Yv Mok Acdémie de Strsbourg wwwmths- et- tiquesfr

7 7 g(t)dt = tλe λt dt = e λt dt (te λt )'dt Doc E( X ) = lim + = e λt λ te λt 1 = λ e λ λ 1 g(t)dt = lim + λ e λ λ e λ = 1 λ e λ Propriété : Soit X ue vrible létoire qui suit ue loi epoetielle de prmètre λ Alors, pour tous réels t et h positifs, o : P X t ( X t + h) = P( X h) D14 - Démostrtio u progrmme (o eigible BAC) : P X t ( X t + h) = P ({ X t + h } { X t} ) = P ( X t + h ) = 1 P X < t + h P( X t) P( X t) 1 P( X < t) Doc : P X t ( X t + h) = λ t+h 1 1 e 1 1 e λt = e λ t+h e λt = e λh = 1 ( 1 e ) λh = 1 P( X < h) = P( X h) STATISTIQUES Popriété : X est ue vrible létoire qui suit l loi ormle cetrée réduite N(;1) = 1 α Pour tout α ;1, il eiste u uique réel positif u α tel que P u α X u α D15 - Démostrtio u progrmme (eigible BAC) : Pr symétrie de l courbe de l foctio desité f, o : t P( t X t) = 2P( X t) = 2 f () d = 2F(t) où F est l primitive de f qui s'ule e L foctio F est cotiue et strictemet croisste sur ;+, il e est de même pour l foctio 2F L'ire totle sous l courbe est égle à 1, doc pr symétrie, o : lim f () d = 1 2 Doc lim 2F(t) = 1 t + t + Yv Mok Acdémie de Strsbourg wwwmths- et- tiquesfr t

8 O dresse le tbleu de vritios : Si α ;1 lors 1 α ;1 8 D'près le théorème des vleurs itermédiires, il eiste u mois u réel u α de ;+ tel que 2F(t) = 1 α Comme 2F est strictemet croisste, o e déduit que u α est uique Propriété : Soit α ;1 et X ue vrible létoire qui suit ue loi biomile B( ; p) L probbilité que l fréquece F pree ses vleurs ds l'itervlle I = p u α ; p + u α se rpproche de 1 α qud l tille de l'échtillo = 1 α deviet grde O ote : lim P F + I I est ppelé itervlle de fluctutio symptotique de l fréquece F u seuil 1 α D16 - Démostrtio u progrmme (eigible BAC) : X suit l loi biomile B ; p doc l suite de vribles létoires Z = X E( X ) σ( X ) ormle cetrée réduite N ( ;1) et d'près le théorème de Moivre-Lplce, o : lim P( Z + b) = Or Z = X E( X ) σ ( X ) b 1 2 d, pout tous réels et b vec < b (1) 2π e 2 = X p = Doc Z b est équivlet à Soit : Soit ecore : p + F p b Doc d près (1) : lim + F p + b P p + X p = p( 1 p) F p b F p F p + b = b 1 2π e 2 2 d Comme, pour tout réel α ;1, il eiste u uique réel positif u α tel que P u α X u α où X suit ue loi ormle cetrée réduite N ( ;1), o : suit ue loi = 1 α Yv Mok Acdémie de Strsbourg wwwmths- et- tiquesfr

9 9 u α 1 2 d = 1 α u α 2π e 2 E pret = u α et b = u α, o : lim + P p u α F p + u α = 1 α Propriété : X est ue vrible létoire qui suit ue loi biomile B( ; p) F = X est l fréquece ssociée à X Pour suffismmet grd, p pprtiet à l'itervlle J = F 1 ; F + 1 vec ue probbilité supérieure ou égle à,95 D17 - Démostrtio u progrmme (o eigible BAC) : X suit l loi biomile B ; p ted vers l loi ormle cetrée réduite N ;1 doc l suite de vribles létoires Z = X E( X ) σ ( X ) (théorème de Moivre-Lplce) = P( 2 X 2) = L où X suit ue loi ormle cetrée réduite,9544 (clcultrice), doc L >,954 Aisi, lim + P 2 Z 2 Et P 2 X 2 doc lim O pose = P 2 Z 2 = L >,954 = X p Tout itervlle ouvert cotet L cotiet tous les termes de l suite pour suffismmet grd Aisi, pour suffismmet grd, o : >,95 >,95 Or : Doc P 2 Z 2 P 2 Z 2 = P 2 = P 2 = P 2 X p p( 1 p) 2 ( X p 2 p( 1 p) ) p( 1 p) X p 2 p( 1 p) = P p 2 = P p 2 p( 1 p) X p + 2 F p + 2 Yv Mok Acdémie de Strsbourg wwwmths- et- tiquesfr

10 1 Démotros que 2 p ( 1 p ) 1 Ce reviet à démotrer que p ( 1 p ) 1 2 ou ecore que : p( 1 p) 1 4 L foctio p! p( 1 p) défiie sur [ ; 1] est u triôme qui possède u mimum e p = 1 2 Ce mimum est égl à 1 4 O e déduit que : P p 2 p ( 1 p ) F p + 2 Aisi : p( 1 p) 1 4 p( 1 p) et doc 2 1 P p 1 F p + 1 et doc filemet pour suffismmet grd, P p 1 F p + 1,95 Or : P p 1 F p + 1 = P 1 F p 1 = P 1 p F 1 = P F 1 p F + 1 Doc : P F 1 p F + 1,95 Merci à Ndie M pour s relecture ttetive Hors du cdre de l clsse, ucue reproductio, même prtielle, utres que celles prévues à l'rticle L du code de l propriété itellectuelle, e peut être fite de ce site ss l'utoristio epresse de l'uteur wwwmths- et- tiquesfr/idephp/metios- legles Yv Mok Acdémie de Strsbourg wwwmths- et- tiquesfr