FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES

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1 Maths FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES I. LA FONCTION LOGARITHME DECIMAL (log) a) Découverte de la fonction Nous allons utiliser la touche log de la calculatrice. Par exemple : log 3 = (Arrondir au millième) Voici une valeur approchée du logarithme décimal de 3. Effectuer les calculs suivants à la calculatrice log x pour les valeurs suivantes de x :-21,5; -2;-1; 0 ; 0,5 ; 1 ; 2,6 ; 10 ; Pour quelles valeurs de x le nombre log x n est pas défini? Compléter le tableau suivant (Arrondir au dixième): x log x Que remarque-t-on? - La fonction logarithme décimal, notée log, est définie sur l intervalle ] 0 ; + [. On a log 10 = 1, d où l appellation de logarithme décimal ou encore de logarithme de base Pour tout n entier, on a log 10 n = n. b) Courbe représentative Etude de la fonction Voici la courbe représentative de la fonction log. A partir de l observation du graphique, nous allons : - Indiquer son sens de variation Déterminer le signe de log x 1 Maths Fonctions logarithmes et exponentielles Cours (6 pages)

2 - Résumer ces informations dans un tableau de variation x log x Remarque : Il est nécessaire de placer une double barre sous le 0 dans le tableau de variation pour indiquer que log x n est pas défini pour x=0. c) Propriétés opératoires Application : Compléter le tableau suivant (Arrondir les résultats au millième). x log x log (2x) log (2x) log x Que remarque-t-on? Plus généralement, pour les nombres réels a et b strictement positifs, on a log (a b) = log a + log b. Quels que soient les réels strictement positifs a et b, on a : - Propriété fondamentale : =+ - Conséquences : = = Pour n rationnel, = = Exemple : Donner les valeurs de log de log 10 sans utiliser la calculatrice. log = log 10=. d) Equation log x = a Pour tout a réel, l équation log x = a admet une solution unique. La solution de cette équation est x = 10 a. 2 Maths Fonctions logarithmes et exponentielles Cours (6 pages)

3 Exemple : Résoudre les équations suivantes (si nécessaire, arrondir au centième) log x = 1,25 log x = 3 log x = -2 Remarque : Sur la calculatrice, pour calculer 10 a, on utilise la touche 10 x ou les touches seconde log ou shift log. II. LA FONCTION LOGARITHMPE NEPERIEN (ln) La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur l intervalle ] 0 ; + [. Sur la calculatrice, la touche ln permet d obtenir une valeur en général approchée de ln x. Par exemple : ln 4 =.(arrondir au millième) a) Courbe représentative Compléter le tableau de valeur : x 0 0,2 0, ln x Dresser le tableau de variation de la fonction ln x : x ln x 2 1,5 ln x Placer les points de coordonnées (x ; ln x) dans le repère ci-contre et tracer la courbe : 1 0,5 0-0, x -1-1,5 3 Maths Fonctions logarithmes et exponentielles Cours (6 pages) -2

4 b) Propriétés Pour tout x de l intervalle ] 0 ; + [, ln x = ln (10) log x. Les fonctions logarithme décimal et logarithme népérien sont proportionnelles. La fonction logarithme népérien a donc des propriétés opératoires analogues à celles de la fonction logarithme décimal : Quels que soient les réels strictement positifs a et b, on a : - Propriété fondamentale : =+ - Conséquences : = = Pour r rationnel, = = c) Le nombre e On constate sur le graphique, et on admettra que l équation d inconnue x, ln x = 1 admet une solution unique. Cette solution est notée e ; 2, On a donc ln e = 1. La fonction logarithme népérien est aussi appelée logarithme de base e. Applications : Calculer les valeurs de ln e ;ln ;ln sans utiliser la calculatrice. ln e =. ln =. ln =. d) Equation ln x = a Pour tout a réel, l équation ln x = a admet une solution unique. La solution de cette équation est x = e a. Exemple : Résoudre les équations suivantes (arrondir au centième) ln x = 3 ln x = 0,5 Remarque : Sur la calculatrice, pour calculer e a, on utilise les touches seconde ln. 4 Maths Fonctions logarithmes et exponentielles Cours (6 pages)

5 III. LA FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e La fonction définie pour tout x réel par est appelée fonction exponentielle népérienne ou de base e. On la note encore exp. Valeurs particulières : =1 ; = ; 2, On a l équivalence suivante : = é à =ln exp x y ln a) Courbe représentative Etude de la fonction Compléter le tableau de valeur (arrondir au dixième): x -2-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 e x Dresser le tableau de variation de la fonction : x e x e x 6 5 Placer les points de coordonnées (x ;e x ) dans le repère cicontre et tracer la courbe : x Bilan : 5 Maths Fonctions logarithmes et exponentielles Cours (6 pages)

6 b) Propriétés opératoires Quels que soient les réels a et b : = = = = IV. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES DE BASE a Soit a un nombre réel strictement positif. La fonction définie pour tout x réel par, est appelée fonction exponentielle de base a. Exemples : Les fonctions 10 ; ; 0,5 sont des fonctions exponentielles de bases respectives : 10 ; e ; 0,5. Si a=1, pour tout x réel, on a 1 1 ; nous supposerons dans la suite que a 1. a) Courbes représentatives Etude de fonction On distingue 2 cas : b) Propriétés opératoires a est un réel strictement positif. On admettra les propriétés suivantes. Quels que soient les réels x et y : 6 Maths Fonctions logarithmes et exponentielles Cours (6 pages)