Le modèle de Black Scholes

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1 Le modèle de Black Scholes Philippe Briand, Mars 3 1. Présenaion du modèle Les mahémaiciens on depuis longemps essayé de résoudre les quesions soulevées par le monde de la finance. Une des caracérisiques de ces quesions il suffi de penser à la bourse pour s en convaincre es qu elles fon apparaîre des dynamiques d apparence désordonnées e c es pourquoi les modèles probabilises semblen relaivemen bien adapés à cee siuaion. En 191, la hèse de Louis Bachelier, héorie de la spéculaion, porai déjà sur ce hème. Depuis de nombreux probabilises se son penchés sur ces quesions rafinan sans cesse les modèles uilisés. Je vous renvoie par exemple à [DJP98, LL97, Kar97, KS98, MR97]. Mais c es sans nul doue grace aux ravaux de Black, Meron e Scholes que ces quesions son devenues si populaires en parie à cause de la simplicié des réponses qu ils on apporées. En 1973, Black e Scholes on proposé une formule, qui pore aujourd hui leurs noms, pour le prix d une opion européenne d acha. Cee formule es rès uilisée en praique à el poin que la volailié implicie qu elle défini es devenue une vériable unié de mesure. Le modèle mahémaique qui décri le marché financier es à la fois simple e efficace. Finissons cee coure inroducion en menionnan que Meron e Scholes (Black éai décédé on obenu le prix Nobel d économie pour leurs ravaux en finance. De quoi s agi-il? Le modèle de Black Scholes es, à l origine, un modèle à deux acifs : l un risqué, l aure pas. ypiquemen, l acif risqué es une acion (l acion sous-jacene à l opion andis que l acif non risqué s apparene à une obligaion. À l insan, le prix de l obligaion es R e le prix de l acion es S. L évoluion de l obligaion es relaivemen simple puisque l on suppose que dr = r R d, soi R = R er rsds, où r représene le aux d inérê insananné. Nous supposerons oujours que R = 1. Le prix de l acion, {S, es régi par l équaion différenielle sochasique (EDS en abrégé ds = S (µ d + σ dw, S > donné, où µ es un paramère réel, e σ ; le paramère σ s appelle la volailié. Bien évidemmen {W es un mouvemen Brownien sandard e nous noons {F sa filraion naurelle augmenée. En ce qui concerne les hypohèses, nous supposerons dans la suie que les processus r, µ e σ son progressivemen mesurables e que, pour ou >, P p.s., { r + µ + σ d < +. En oure, nous supposons égalemen le processus σ borné. On obien facilemen à l aide de la formule d Iô, { S = S exp σ s dw s 1 { σs ds exp µ s ds. 1

2 Dans le modèle de Black Scholes originel, les paramères r, µ e σ son des consanes. On a dans ce cas R = e r σ σw, S = S e e µ. Considérons un agen qui invesi dans ce marché. Désignons par φ e ψ les nombres respecifs d obligaions e d acions déenues par l agen à l insan. La valeur du porefeuille de ce invesisseur es V = φ R + ψ S. On suppose que le processus (φ, ψ es progressivemen mesurable. Le fai que (φ, ψ soi adapé signifie que l agen, pour déerminer la sraégie qu il va adoper, n anicipe pas sur le fuur : il ne dispose que de l informaion jusqu à l insan qui es véhiculée par F ; cela proscri en pariculier les délis d iniiés. Signalons d aure par que dans ce modèle φ e ψ son des réels ; lorsqu ils son négaifs, l agen conrace une dee libéllée dans l acif correspondan. Un el couple de processus s appelle une sraégie de financemen. En fai, nous ne considèrerons que des sraégies auo-financées c es à dire pour lesquelles nous avons : dv = φ dr + ψ ds. La significaion de l auo-financemen es la suivane : à l insan =, l agen invesi la somme V dans le marché puis au cours du emps, il fai évoluer la répariion des ires dans son porefeuille. Il n y a ni appor de fonds ni rerai d argen pour consommaion. L équaion d auo-financemen nécessie une peie hypohèse echnique. En résumé pour nore modèle Définiion. Une sraégie auo-financée es un couple de processus (φ, ψ progressivemen mesurables vérifian P p.s. { r φ + σ ψ d < + e el que le processus V = φ R + ψ S saisfai dv = φ dr + ψ ds,. On uilise la noaion suivane : si {X es un processus adapé, on noe X a ( la valeur de X acualisée soi X a ( = X /R. On noe a le coefficien d acualisaion à l insan soi a = 1/R. La formule d inégraion par paries donne dv a ( = r V a ( d + a dv, ds a ( = r S a ( d + a ds = r a S d + a ds. On a alors, comme V = ψ S + φ R, ψ ds a ( = r a (V φ R d + a ψ ds = r V a ( d + a (φ dr + ψ ds. On en dédui immédiaemen le Lemme. Soi (φ, ψ une sraégie. (φ, ψ es auofinancée si e seulemen si dv a ( = ψ ds a (. Ce pei lemme possède une conséquence imporane : une sraégie auofinancée es enièremen caracérisée par la valeur iniiale du porefeuille V e le processus ψ. En effe, une sraégie es auofinancée si e seulemen si V a ( = V a ( + ψ u ds a (u = V + ψ u ds a (u. (af

3 On obien alors φ via la relaion φ = V a ( ψ S a ( = V + ψ u ds a (u ψ S a (. En veru de ce lemme, une sraégie auofinancée sera désignée par le couple (x, ψ, x représenan la valeur iniiale du porefeuille associée via la relaion (af. Si besoin, nous noerons la valeur du porefeuille corespondan à la sraégie auofinancée (x, ψ mais la plupar du emps la référence à (x, ψ sera omise. V x,ψ Définiion. Une sraégie auofinancée, (x, ψ, es die admissible si pour ou, V x,ψ. Elle es die minorée, s il exise une consane c elle que, V a ( c. Pour une sraégie admissible la valeur du porefeuille doi oujours êre posiive : aucune dee, même emporaire, n es olérée. Dans le second, les dees son olérées dans une ceraine mesure mais ne doiven pas dépasser un cerain seuil.. Opporunié d arbirage Une opporunié d arbirage ou plus simplemen un arbirage es un moyen de gagner de l argen sans prendre aucun risque en pariculier sans mise iniiale. Cela se radui par le définiion suivane lorsqu on suppose que l invesisseur inervien duran la période [, ]. Définiion. Une opporunié d arbirage es une sraégie minorée elle que V =, P(V = 1, P(V > >. La première condiion signifie que l on par de rien, la seconde que l on es sûr de ne pas perdre d argen e la roisième qu avec une probabilié sricemen posiive on fai un réel profi. On imagine sans peine que les gens qui enen de réguler le marché cherchen à ou prix à proscrire les opporuniés d arbirage. En effe, si de elles opporuniés son admises le marché ne arde pas à «exploser». Une hypohèse communémen faie es donc celle d absence d opporunié d arrbirage désigné par (AOA dans la suie. Dans le modèle de Black-Scholes, nous avons ds a ( = S a ( { (µ r d + σ dw. Inroduisons le processus ψ = sgn (µ r 1 σ=. La sraégie auofinancée associée à (, ψ vérifie V a ( = ψ u ds a (u = µ u r u 1 σu=du. Sous (AOA, c es à dire en l absence d opporunié d abirage, on doi avoir µ u r u 1 σu= = m P p.p. car sinon la sraégie précédene es clairemen un arbirage e donc il exise un processus θ progressivemen mesurable el que on peu prendre par exemple puisque si σ = alors µ r =. σ θ = µ r ; θ = µ r 1 σ σ La quesion qui se pose alors es : cee condiion es-elle suffisane? 3

4 Pour les modèles financiers «discres», il y a un résula rès imporan qui di que l absence d opporunié d arbirage es équivalene à l exisence d une probabilié risque neure. Rappelons qu une probabilié risque neure es une mesure de probabilié P équivalene à P sur la ribu F e elle que {S a (, es une P maringale. Ce résula es-il encore vrai pour les «modèles coninus»? Comme nous allons le voir, l exisence d une proba risque neure enraîne oujours l absence d opporunié d arbirage mais la réciproque es fausse. Il fau renforcer l hypohèse d absence d opporunié d arbirage pour pavenir à consruire une probabilié risque neure. Je vous renvoie aux ravaux de F. Delbaen e W. Schachermayer [DS94, DS98]. Conenons-nous de prouver la première implicaion e d essayer de percevoir la difficulé de la seconde. Supposons donc l exisence d une probabilié risque neure P. Si on considère une sraégie minorée ψ elle que V =. On a V a ( = ψ u ds a (u ; sous P, S a es une maringale e donc V a es une maringale locale comme inégrale sochasique par rappor à une maringale. De plus, V a ( rese minorée par une consane. Or une maringale locale minorée es une surmaringale (c es une conséquence du lemme de Faou voir l annexe. Par suie, nous avons E [ V a ( ] E [ V a ( ] = V =. Pour un arbirage, on a V a ( P (ou P c es pareil p.s. e donc E [ V a ( ] = puis V a ( = P e P p.s. Ceci conredi le fai que P(V > >. Il n y a donc pas d arbirage. Remarque. Noons que l argumen repose de façon essenielle sur la minoraion. Dans le modèle de Black Scholes le plus simple, c es à dire lorsque les coefficiens son consan, si on s auorise oues les sraégies auofinancées, il exise des opporuniés d arbirage. Cela repose sur un résula de R. M. Dudley [Dud77] qui perme de consruire un processus {h adapé el que h r dw r = 1, e < h r dr < +, P p.s. On se place alors dans le cas r = µ =, S = R = σ = 1, soi R = 1 e ds = S dw i.e. S = exp{w /. On défini V = h r dw r e ψ = h /S. (, ψ es une opporunié d arbirage. En effe, V = e V = h r dw r = 1. Bien évidemmen cee sraégie n es pas minorée. Essayons de percevoir la difficulé de l implicaion réciproque. Soi P une mesure de probabilié équivalene à P sur F e donc sur F pour ou [, ]. Si on noe D la densié de P par rappor à P sur F, D es une P maringale sricemen posiive. Il exise donc un processus {h [, ] progressivemen mesurable el que h s ds < +, { D = exp h s dw s 1 h s ds. Je vous renvoie à l annexe pour les déails. D après le héorème de Girsanov, le processus B = W h s ds es un mouvemen Brownien sous P. D aure par, nous avons ds a ( = S a ( { (µ r d + σ dw = S a ( { (µ r + σ h d + σ db. Si donc P es une probabilié risque neure, S a es une P maringale, e l unicié de la décomposiion des processus d Iô, donne µ r + σ h. 4

5 C es précisémen ce que fourni l absence d opporunié d arbirage : un processus θ el que σ θ = µ r. Mais en suposan que σ >, on a nécessairemen θ = h = (µ r /σ e l absence d opporunié d arbirage ne donne pas d informaion sur ce dernier processus. Or nore hypohèse de dépar, P es une probabilié équivalene à P, donne D maringale ce qui es équivalen à [ { E exp h s dw s 1 ] h s ds = 1, puisqu une surmaringale d espérance consane es une maringale. Dans le modèle de Black-Scholes, nous venons de voir qu il exise une probabilié risque neure si e seulemen si il exise un processus progressivemen mesurable θ el que µ r = σ θ, θ s ds < +, [ { E exp θ s dw s 1 ] θs ds = 1. Dans ce cas, si P, es la mesure de densié par rappor à P sur F définie par le processus θ, { ds a ( = S a (σ db, i.e. S a ( = S exp σ s db s 1 σs ds, où B = W + θ s ds es un mouvemen Brownien sous P. En pariculier, dans le modèle de Black Scholes à coefficiens consans, il exise une unique probabilié risque neure P de densié par rappor à P sur F, noan θ la consane (µ r/σ, ( exp θw θ. 3. Compléude du marché Commençons par l exemple le plus connu d opion européenne, celui d une opion européenne d acha ou «call européen». Il s agi d un ire qui donne le droi mais non l obligaion à son déeneur d acheer à une dae fixée par avance une acion S à un prix K fixé par avance. s appelle la maurié e K le prix d exercice. À la dae, ou bien S K ou bien S < K. Dans le premier cas, le déeneur de l opion exerce son droi : il achèe une acion au prix K ; il peu revendre insananémen cee acion au prix S réalisan ainsi un bénéfice de S K à la dae. Dans le second cas, le déeneur de l opion n exercera pas son droi : il ne vas pas acheer au prix K une acion qu il peu acheer moins cher sur le marché. Il ne fai aucun bénéfice. Finalemen, le gain que procure la déenion d un call européen es ξ = (S K +. On parle souven de «payoff». oue opion européenne sera représené par le gain que procure à maurié sa déenion. Définiion. On appelle opion européenne de maurié oue variable aléaoire posiive e F mesurable. Nous supposons à présen qu il exise une probabilié risque neure, P e nous ravaillons à maurié fixée >. Nous inroduisons deux noions imporanes. Définiion. Une opion européenne es régulière on devrai dire P régulière si la variable aléaoire ξ a := a ξ es P inégrable i.e. E [ξ a ] < +. 5

6 Une opion régulière es simulable ou duplicable s il exise une sraégie auofinancée (x, ψ elle que V = ξ, V a es une P maringale. Le marché es comple (plus précisémen P comple si oue opion régulière es simulable. Noons ou d abord qu une opion régulière es simulable si e seulemen si il exise une sraégie minorée elle V = E [ ξ a], V = ξ. En effe, si ξ es simulable alors il exise une sraégie auofinancée elle que V a es une P maringale e V a ( = ξ a, donc V a ( = E ( V a ( F = E ( ξ a F. En pariculier, puisque ξ, il en es de même de V a ( e V a ( = E [ξ a ]. Réciproquemen, si (x, ψ es une sraégie minorée, V a es sous P une maringale locale minorée donc une surmaringale. On a donc pour ou [, ], E [ V a ( ] E [ V a ( ] E [ V a ( ]. Si V a ( = V = E [ξ a ] e V a ( = ξ a alors pour ou [, ], E [V a (] = E [ξ a ] e V a es alors une P maringale, une surmaringale d espérance consane éan une maringale. Comme dans les modèles discres, nous avons le résula général suivan : s il exise une probabilié risque neure P, le marché es P comple si e seulemen si P es l unique probabilié risque neure. Je vous renvoie à l aricle de J. Harrison e R. Pliska [HP83]. Dans le modèle de Black Scholes, nous obenons le résula suivan : héorème. On se place dans le modèle de Black Scholes e on suppose l exisence d une probabilié risque neure. Le marché es comple si e seulemen si σ > m P p.p. Démonsraion. Nous supposons l exisence d une probabilié risque neure P. Noons D la densié de P par rappor à P sur F ; D es une P maringale e il exise donc un processus θ progressivemen mesurable el que σ θ = µ r, θ s ds < + e ( D = exp θ s dw s 1 θs ds. Le processus B = W + θ s ds es sous P un mouvemen brownien e ds a ( = S a (σ db. Supposons dans un premier emps le marché comple. Considédons la variable aléaoire F mesurable ξ = R (1 + 1 σ= db, soi ξ a = σ= db. ξ a es clairemen inégrable par rappor à P e E [ ξ a] = 1. Par hypohèse, ξ + e ξ son simulables. Il exise donc deux processus progressivemen mesurable ψ + e ψ els que M ± := E [ ξ a±] + ψ ± u ds a (u P maringale vérifian M ± = ξa±. 6

7 Posons ψ = ψ + ψ e M = M + M. M es une P maringale e par suie il en es de même de X := M 1 1 σ s= db s qui, par consrucion, vérifie X = ξ a ξ a =. Donc, pour ou, X = E [ξ a ] + ψ u S a (uσ u db u 1 1 σu= db u = ( ψu S a (uσ u 1 σu= dbu =. Il vien alors ψ u S a (uσ u = 1 σu= m P p.p. e donc σ u soi σ u > m P p.p. Réciproquemen, si σ > m P p.p. Considérons ξ une opion régulière M la P maringale M = E ( ξ a F. Comme DM es une P maringale, nous obenons via le héorème de représenaion des maringales browniennes voir l annexe pour les déails, la représenaion [, ], M = M + H s db s, pour un cerain processus H progressivemen mesurable. Le rese es un jeu d écriure : posons ψ = H / ( σ S a ( ce qui a bien un sens puisque σ > (S a es une exponenielle pour obenir M = M + ψ u σ u S a (u db u = E [ ξ a] + ψ u ds a (u. La sraégie auofinancée (E [ξ a ], ψ simule l opion ξ puisque par consrucion V a = M es une P maringale elle que V a ( = M = ξ a soi V = ξ. 4. La problémaique des opions Venons-en à présen aux quesions que soulèven les opions. Prenons le poin de vue du vendeur de l opion. À l insan =, il vend le conra don le gain pour l acheeur es la variable aléaoire ξ e reçoi en échange une ceraine somme d argen que l on appelle la prime disons x euros. Le premier problème du vendeur es de ne pas perdre d argen : en effe, à l insan, la maurié, il sai qu il devra verser au déeneur de l opion la somme (aléaoire ξ(ω. Pour se couvrir conre ce risque, le vendeur va invesir la prime x dans le marché e suivre (ou essayer de rouver une sraégie auofinancée e minorée ψ de sore que V x,ψ ξ P p.s. C es le premier aspec du problème. D aure par, on imagine sans peine que nore agen n es pas le seul à proposer ce produi e donc il souhaie êre le plus compéiif possible c es à dire vendre l opion le moins cher possible. Finalemen, le prix de l opion ξ apparaî comme { P (ξ = inf x, (x, ψ sraégie minorée.q. V x,ψ ξ P p.s.. Il es rès facile de monrer que P (ξ E [ξ a ]. En effe, si (x, ψ es une sraégie minorée elle que V ξ, V a es une surmaringale e x = E [ V a ( ] E [ V a ( ] E [ ξ a]. En fai, lorsque le marché es comple on obien un résula plus précis puisque héorème. Si le marché es comple, P (ξ = E [ξ a ], l infimum éan aein pour une sraégie (x, ψ elle que V x,ψ = ξ. En effe, puisque le marché es comple, il exise une sraégie (x, ψ simulan ξ e elle que V a soi une P maringale. Par suie, e (x, ψ convien. x = V a ( = E [ V a ( ] = E [ ξ a], 7

8 Remarque. On parle souven de prix équiable ou «fair price» pour P (ξ. La raison en es la suivane. L acheeur de l opion paye la prime x e invesi dans le marché en espéran lui aussi ne pas perdre d argen en suivan une bonne sarégie ψ. Il souhaie donc que le bénéfice de l opion couvre ses dees évenuelles au emps soi ξ +V x,ψ. D un poin de vue praique, les acheeurs veulen savoir jusqu à quel seuil ils pourron ne pas perdre d argen au oal soi { sup x, ( x, ψ auofinancée.q. ξ + V x,ψ P p.s. e V a P surmaringale. Noons P (ξ cee dernière quanié. On monre ou d abord que P (ξ E [ξ a ]. En effe, puisque ξ = V,, P (ξ e si (x, ψ es une sraégie auofinancée répondan aux crières on a, V a ( ξ a e donc via la propriéé de surmaringale E [ ξ a] E [ V a ( ] E [ V a ( ] = x. Dans le cas d un marché comple, il exise une sraégie (x, ψ qui simule l opion e x = E [ξ a ] ; la sraégie ( x, ψ réalise le supremum e par suie P (ξ = E [ξ a ] = P (ξ. Le poin de vue de l acheeur rejoin celui du vendeur, d où l expression «prix équiable». Formule de Black Scholes. Impossible d inroduire le modèle de Black Scholes sans donner la célèbre formule du même nom qui donne le prix du call européen dans le cas le plus simple, celui des coefficiens consans. Si on considère une opion européenne d acha de prix d exercice K e de maurié, on a ξ = (S K +. D après ce qui précède, le prix d une elle opion, disons C, es C = E [ e r (S K +] [ = E ( S a ( e r K ] +. Or, nous avons vu que, S a ( = S exp ( σb σ / ( (d = S exp σ G σ / où G es une gaussienne cenrée réduie. Noan α = σ, on obien donc C = 1 ( + α αx S e e r K e x S α dx = αx e e x e r K dx π π π si I = R { α αx x R, S e e r K = [ d, + [ avec I I e x dx, Il vien alors d ± = r + ln ( S K ± α α = r + ln ( S K ± σ σ. C = S e π x d (x α dx e r K e π x d x dx = S π e y y d α e r K dy e π x d x dx, e comme d + α = d +, on obien finalemen C = S Φ(d + e r KΦ(d, où Φ désigne la foncion de répariion de loi normale cenrée réduie. 8

9 L approche EDSr. Nous venons de voir que le prix d une opion européenne, ξ, es donné par «simulaion» : plus précisémen, on cherche une sraégie auofinancée de valeur finale V = ξ e on a P (ξ = V. Or pour une sraégie auofinancée, nous avons dv = φ dr + ψ ds, qui devien dans le modèle de Black Scholes à coefficiens consans ce qui donne, puisque φ R = V ψ S, dv = rφ R d + ψ S (µ d + σ dw, dv = rv d + (µ rψ S d + σψ S dw. Déerminer le prix d une opion européenne revien donc naurellemen à résoudre une EDSr : en effe, pour simuler l opion ξ, on cherche un couple de processus (V, ψ el que l évoluion de V es régie par l EDS précédene e V = ξ ; on souhaie donc que (V, ψ soi soluion de ( V = ξ rvu + (µ rψ u S u du σψ u S u dw u. Pour «coller» au formalisme EDSr, il suffi de changer d inconnue en posan Z = σψ S (S es connu l équaion précédene se réécri, si l on noe θ = (µ r/σ, ( V = ξ rvs + θz s ds Z s dw s. On obien ici une EDSr linéaire que l on peu résoudre «expliciemen» rerouvan ainsi la formule V = P (ξ = E [ e r ξ ]. Supposons mainenan que «le régulaeur du marché» veuille évier rop de spéculaion sur l acion sous-jacene. Il peu soi inerdire formellemen cee ransacion soi, de façon plus subile, pénaliser les invesisseurs qui se livren à cee praique. Dans le second cas, lorsqu un invesisseur fai des dees libélées dans le sous-jacen, il doi payer une pénalié (insanannée proporionnelle au monan de cee dee soi ψ S. Dans ce dernier cas, dupliquer une opion européenne revien à résoudre l EDSr, dv = ( rv + θz γz d + Z dw, V = ξ, où γ es une consane posiive. Cee EDSr n es plus linéaire mais les hypohèses du héorème de Pardoux e Peng son saisfaies dès que ξ es de carré inégrable. Un aure exemple d EDSr non-linéaire inervenan en finance es le suivan : dv = ( rv + θz d + Z dw (R r(v Z /σ d, V = ξ. On es amené à résoudre cee dernière équaion pour dupliquer une opion européenne lorsque le aux d emprun R es supérieur au aux r auquel es rémunéré l argen. Il n es dans ce cas pas raisonnable d empruner de l argen à un aux R e d invesir au même momen sur le placemen sûr don le aux es r. Signalons que dans ous les exemples précédens, les sraégies son admissibles i.e. V. Cela résule rès facilemen du héorème de comparaison pour les EDSr. 9

10 Annexe. Complémens de calcul sochasique Commençons par menionner un résula élémenaire : une maringale locale minorée es une surmaringale. Soi donc X une maringale locale miorée c es à dire pour laquelle il exise une consane c elle que P p.s. X c. Quie à rajouer la consane c à X nous supposons que X es posiive. Soi (τ n N une suie localisane pour X. On a, si s, pour ou n N, comme X τn es une maringale, E ( X τn F s = Xs τn, e le lemme de Faou donne, puisque τ n +, E ( X F s lim inf n + E ( X τn F s = lim inf n + X s τ n = X s, ce qui monre que X es une surmaringale. Rappelons mainenan deux héorèmes fondamenaux du calcul sochasique : le héorèmes de représenaion des maringales browniennes e le héorème de Girsanov. Soien W un mouvemen brownien d dimensionnel défini sur un espace de probabilié comple e > ; on noe {F la filraion augmenée de W. héorème (Représenaion des maringales browniennes. Soi {X [, ] une maringale locale par rappor à la filraion {F [, ]. Alors il exise un unique processus progressivemen mesurable {H [, ] el que P p.s. H apparien à L (, e P p.s. X = X + H s dw s,. En pariculier, dans la filraion brownienne, oues les maringales locales son coninues. héorème (Girsanov, Cameron Marin. Soi {h [, ] un processus progressivemen mesurable el que P p.s. h apparien à L (,. Noons, pour [, ], { D = exp h s dw s 1 h s ds. Si E[D ] = 1 alors {D [, ] es une maringale e le processus B = W h s dw s es une F maringale sous la probabilié P de densié D sur F. Une condiion suffisane pour que E[D ] = 1 es donnée par la condiion suivane, due à Novikov : [ { 1 ] E exp h s ds < +. Changemen de probabiliés. Soi (Ω, F, P un espace de probabilié comple e {F une filraion vérifian les condiion habiuelles. Soi P une mesure de probabilié sur (Ω, F elle que pour ou la resricion de P à F es absolumen coninue par rappor à la resricion de P, de densié D. D es rivialemen une P maringale puisque, pour s, si A F s, E[1 A D ] = P (A = E[1 A D s ]. 1

11 De plus, X es une P maringale si e seulemem si DX es une P maringale. En effe, si s e A F s, E[D X 1 A ] = E [X 1 A ] e E [X s 1 A ] = E[D s X s 1 A ]. En pariculier, si ξ es une variable aléaoire, F mesurable e P inégrable, puisque, pour ou, D E (ξ F = E (D ξ F, D E (ξ F = E ( D E (ξ F F = E (D ξ F. Plaçons-nous mainenan dans un cadre un peu pariculier : on suppose que la filraion es la filraion augmenée d un mouvemen Brownien W (sous P e que P es équivalene à P sur F. D es alors une maringale sricemen posiive que l on peu représener sous la forme { D = exp h s dw s 1 h s ds, ( avec h progressivemen mesurable, à rajecoires dans L (,. En effe, comme D es une P maringale brownienne, on a D = 1 + u s dw s, pour une processus u progressivemen mesurable à rajecoires L. La formule d Iô donne, il suffi de poser h = u /D. d ln D = 1 u dw 1 D D u d ; Pour finir, signalons que oue P maringale X se représene sous la forme X = X + β s db s, où β es progresssivemen mesurable à rajecoires L e B = W h s ds. Remarquons ou d abord que le résula n es pas ou à fai rivial puisque X es ceres une F W mais sous P W n es pas un mouvemen Brownien. ouefois, DX es une P maringale e sous P, W es un mouvemen Brownien. On applique le héorème de réprésenaion des maringales browniennes pour obenir D X = X + u s dw s. Or on a, via la représenaion (, dd = D h dw e par suie dd 1 = D 1 ( h dw + h d. On écri X = D 1 dx = D 1 D X e la formule d inégraion par paries donne u dw +D X D 1 ( h dw + h d D 1 u h d = ( D 1 u X h ( dw h d, soi encore noan β = D 1 u X h, dx = β db. 11

12 Références [DJP98] R.-A. Dana and M. Jeanblanc-Picqué, Marchés financiers en emps coninus ; valorisaion e équilibre, nd ed., Economica, Paris, [DS94] [DS98] F. Delbaen and W. Schachermayer, A general version of he fundamenal heorem of asse pricing, Mah. Ann. 3 (1994, no. 3, , he fundamenal heorem of asse pricing for unbounded sochasic processes, Mah. Ann. 31 (1998, no., [Dud77] R. M. Dudley, Wiener funcionals as Iô inegrals, Ann. Probabiliy 5 (1977, no. 1, [HP83] J. M. Harrison and S. R. Pliska, A sochasic calculus model of coninuous rading : complee markes, Sochasic Process. Appl. 15 (1983, no. 3, [Kar97] I. Karazas, Lecures on he mahemaics of finance, CRM Monogr. Ser., vol. 8, American Mahemaical Sociey, Providence, RI, [KS98] I. Karazas and S. E. Shreve, Mehods of mahemaical finance, Appl. Mah., vol. 39, Springer-Verlag, New York, [LL97] [MR97] D. Lamberon and B. Lapeyre, Inroducion au calcul sochasique appliqué à la finance, second ed., Ellipses Édiion Markeing, Paris, M. Musiela and M. Rukowski, Maringale mehods in financial modelling, Appl. Mah., vol. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York,