Exercices Corrigés Matrices 1 2 A = 2 1

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1 Exercices Corrigés Matrices Exercice Considérons les matrices à coefficients réels : A =, B = 4 C =, D = 0, E = Si elles ont un sens, calculer les matrices AB, BA, CD, DC, AE, CE Exercice extrait partiel novembre 0 On considère les matrices à coefficients réels : 4 3 A = B = C = Calculer, s ils ont un sens, les produits AB, BA, AC, CA, B Exercice 3 On considère les matrices à coefficients réels : A = B = C = Calculer s ils ont un sens les produits AB, BA, AC, CA, BC, CB, B En déduire, sans plus de calcul, que A et C sont inversibles et préciser leurs inverses Exercice 4 Soit A la matrice de M R et B la matrice de M,3 R définies par : A = 4 3, B = Si elles ont un sens, calculer les matrices AB, BA, A, B et A + Id Exercice 5 Soit A, B, C les matrices : 0 A = M 4,3 R, B = 3 M 3, R, C = M, R Déterminer les produits définis à de ces trois matrices Exercice 6 T i,j λ étant la matrice élémentaire qui correspond à ajouter à la ligne i le produit par λ de la ligne j, préciser la matrice T, de M,R, puis la matrice T, T,

2 Exercice 7 Préciser les matrices élémentaires de M 3,3 R : D, T 3, 3, T, Calculer la matrice A = T 3, 3D T, 3 Donner A sous forme de produit de matrices élémentaires Puis, calculer A Exercice 8 Appliquer avec précision aux matrices M et N suivantes l algorithme du cours qui détermine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : 3 3 M, R et N = M 4 6, R Exercice 9 extrait partiel novembre 0 En utilisant l algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et préciser son inverse : A = 3 4 Puis, donner une expression de A et de A comme produit de matrices élémentaires Exercice 0 Appliquer avec précision l algorithme du cours pour inverser la matrice : 3 M, R Donner une expression de M, puis de M comme produit de matrices élémentaires Exercice Appliquer avec précision l algorithme du cours pour inverser la matrice : 3 M, R Préciser une expression de M, puis de M comme produit de matrices élémentaires Exercice Soit A et B deux matrices carrées de même ordre, on suppose que la matrice AB est inversible d inverse la matrice C Montrer alors que B est inversible et préciser A Exercice 3 extrait partiel novembre 0 Soit X et Y deux matrices carrées non nulles de même taille à coefficients réels, montrer que si XY = 0, les matrices X et Y ne sont pas inversibles Exercice 4 Soit 4 5 Montrer en appliquant les algorithmes du cours que M est inversible Préciser la matrice M ainsi que la décomposition de M comme produit de matrices élementaires

3 En déduire une décomposition de M comme produit de matrices élémentaires 3 Montrer que nous avons aussi T,3 T,3 T 3, T, T, 4 En déduire une deuxième expression de M comme produit de matrices élémentaires 5 Calculer detm et retrouver la valeur de M en utilisant la formule d inversion donnée dans le cours Exercice 5 extrait partiel novembre 009 Appliquer avec précision l algorithme du cours pour déterminer l inverse M de la matrice : M 3,3 R Quelle est la valeur de M? Donner une expression de M, puis de M comme produit de matrices élémentaires 3 Déduire de la question une matrice X de M 3,3 Rtelle que : X 0 0 Exercice 6 Appliquer avec précision l algorithme du cours pour déterminer l inverse M de la matrice : 3 M 3,3 R 0 3 Donner une expression de M, puis de M comme produit de matrices élémentaires 3 Vérifier le calcul en effectuant les calculs des matrices MM et M M Exercice 7 Soit M la matrice de M 3 R définie par : 3 4 Calculer le déterminant de M, sa comatrice et l inverse de M Déterminer l inverse de M sous forme de produit de matrices élémentaires Ecrire M comme produit de matrices élémentaires 3 Résoudre à l aide de l inverse de M le système suivant où m est un réel fixé : m x x 3 = m x + 3x + 4x 3 = + x + x 3 = m 3

4 Correction de l exercice : Le lecteur vérifiera que : AB = , BA = 6 CD =, DC = 3 0, AE = 3 3 Le produit CE n a pas de sens car la taille des colonnes à savoir de E est différent de la taille des lignes à savoir 3 de C Correction de l exercice : On trouve : 0 AB = 0 AC = CA = 3 3 Les deux autres produits B et BA n ont pas de sens Correction de l exercice 3 : AB = 0 0 BA n a pas de sens car la taille des lignes de B n est pas égale à celle des colonnes de A 0 AC = = Id 0 0 CA = = Id CB = BC n a pas de sens car la taille des lignes de de B n est pas égale à celle des colonnes de C B n a pas de sens car la taille des lignes de de B n est pas égale à celle des colonnes de B Nous avons : AC = CA = Id, nous en déduisons : A C = CA = Id Il en résulte que la matrice A est inversible, d inverse : A = C = 3 4

5 De même : AC = C A = Id Il en résulte que la matrice C est inversible, d inverse : C = A = 3 Correction de l exercice 4 : La matrice BA n a pas de sens La matrice B n a pas de sens A + Id = Correction de l exercice 5 : AB = AB = A = AA = 4 3, BA = BC = , C = Les matrices AC, CB, A et B ne sont pas définis = 3 3, CA = , Correction de l exercice 6 : T, = T, I = T, = De même, en utilisant les propriétés des actions à gauche par les matrices élémentaires, on obtient : T, T, = T, = Correction de l exercice 7 : 5

6 3 D = D I 3 = D T 3, 3 = T 3, 3I 3 = T 3, 3 T, = T, I 3 = T, 0 0 = = 0 = A = T 3, 3D T, = T 3, 3D A = T 3, 3 A =

7 A = T 3, 3D T, = T, D T 3, 3 = T, D /T 3, 3 = T, D /T 3, 3 = T, D / = T, = 0 / / Correction de l exercice 8 : a Les deux lignes de M sont d ordre Donc, M est ordonnée M = T, 3 B = T, I = B M La matrice M est triangulaire on dit aussi échelonnée La premiére phase de l algorithme est terminée Les éléments de la diagonale de M étant non nuls, on peut conclure que M est inversible 3 M = D M = B = D B = B M M 3 = D M = M 4 = T, 3 M 3 = On obtient donc : 3 Soit encore en remontant les calculs : B 3 = D B 0 = = I B 4 = T, 3 3 B 3 = M = B 4 = 3 M = T, 3 D D T, 7 B 3 M 3 B 4 M 4 = I

8 b Les deux lignes de N sont d ordre Donc, N est ordonnée N = T, N = B = T, I = B N = N La matrice N est triangulaire on dit aussi échelonnée La premiére phase de l algorithme est terminée Une ligne de N est constituée de 0 La matrice N n est donc pas inversible Correction de l exercice 9 : On a : T, 3A = 0 D /T, 3A = T, D /T, 3A = = I Ainsi, A est inversible et Soit On a vu : Il en résulte : Soit : A = T, D /T, 3 = T, D /T, 3 A = T, D / 3 A = T, 3/ / A = 3/ / A = T, D /T, 3 A = A = T, D /T, 3 A = T, 3 D / T, = T, 3D T, Correction de l exercice 0 : Les deux lignes de M sont d ordre Donc, M est ordonnée M = T, 0 B = T, I = B M 8

9 La matrice M est triangulaire on dit aussi échelonnée La premiére phase de l algorithme est terminée Les éléments de la diagonale de M étant non nuls, on peut conclure que M est inversible M = D M = B = D B = 3 M 3 = T, M = = I B 3 = T, B = On obtient donc : Soit en remontant les calculs : M = B 3 = 3 M = T, D T, B M B 3 M 3 On sait que l inverse de T i,j λ est T i,j λ et que pour a 0, l inverse de D i a est D i /a On rappelle que si A, B et C sont trois matrices carrées de taille n inversibles : ABC = C B A On obtient alors : M = T, D T, = T, D T, Correction de l exercice : Mise en place : 3 I = Les deux lignes de M sont d ordre Donc, M est ordonnée I M M = T, 3/ / B = T, 3/ I = 3/ B M La matrice M est triangulaire on dit aussi échelonnée La premiére phase de l algorithme est terminée Les éléments de la diagonale de M étant non nuls, on peut conclure que M est inversible M = D D M = / B = D D B = / 0 3 B M M 3 = T, / M = B 3 = T, / B = 3 B 3 M 3 On obtient donc : M = B 3 = 3 9

10 Soit en remontant les calculs : M = T, /D D T, 3/ On sait que l inverse de T i,j λ est T i,j λ et que pour a 0, l inverse de D i a est D i /a On rappelle que si A et B sont deux matrices carrées de taille n inversibles : MN = N M On obtient alors : M = T, /D D T, 3/ = T, 3/D D /T, / Correction de l exercice : Soit n, l ordre des matrices carrées A, B, C Par définition : ABC = BCA = I n Ainsi B admet le matrice CA comme inverse à droite D après le cours, si une matrice carrée a un inverse à droite, elle est inversible cad admet un inverse à gauche égal à son inverse à droite Ainsi, B est inversible d inverse la matrice CA De même, A admet le matrice BC comme inverse à gauche inversible d inverse la matrice BC Ainsi mêmes raisons, A est Correction de l exercice 3 : Si X était inversible, on obtiendrait : X XY = X = 0 = X XY = Y Ainsi, la matrice Y serait nulle, ce qui est impossible Si Y était inversible, on obtiendrait : XY Y = 0 Y = 0 = XY Y = X Ainsi, la matrice X serait nulle, ce qui est impossible Correction de l exercice 4 : Partons du couple de matrices : 4 5, I 3 = 0 : I 3 M Supprimons aux deuxièmes lignes de ces matrices leurs premiéres lignes et supprimons aux troisièmes lignes de ces matrices la moitié des premières ligne : 4 M = 0, A = T 3, T, I 3 = : A M / / Multiplions les premiéres lignes de ces matrices par / et multiplions les troisièmes lignes par, on obtient : / / M = 0, A = D 3 D /A = : A M 0

11 Supprimons aux premiéres de ces matrices le produit par / des troisiémes lignes : 0 M 3 = 0, A 3 = T,3 A = : A 3 M 3 Supprimons aux premières lignes de ces matrices le produit par de leurs deuxièmes, on obtient : 3 M 4 = 0 = I 3, A A = T, A 3 = : A 4 I 3 Il en résulte : M = A 4 = On en déduit : 3 = T, T,3 D 3D T 3, T, M = T, T 3, D D 3 T,3 T, = T, T 3, D D 3 T,3 T, 3 Posons N = T,3 T,3 T 3, T, T, On a successivement : N = T,3 T,3 T 3, T, T, I 3 = T,3 T,3 T 3, T, = T,3 T,3 = T,3 = = M Nous en déduisons : M = T, T, T 3, T,3 T,3 5 Un calcul donne det = 6 4 = Ainsi, par la formule donnée à la fin de la sous-section?? : M = =

12 Correction de l exercice 5 : Partons du couple de matrices : , I 3 = 0 : I 3 M La premiere ligne est d ordre, les deux suivantes d ordre Utilisons la deuxième ligne pour faire monter l ordre des suivantes : 3 M =, A = T 3, 4I 3 = 0 : A M La matrice M est triangulaire Multiplions sa première ligne par / pour que sa diagonale soit formée de : 3 M =, A = D 3 /A = 0 : A M 0 / La matrice M est triangulaire avec des sur la diagonale Utilisons la troisième ligne pour transformer la deuxième en 0,, 0 : M 3 = 3 0, A 3 = T,3 A = / : A 3 M 3 Utilisons maintenant la troisième ligne de M 3 pour transformer la première ligne en,, 0 : M 4 = 0 0, A 4 = T,3 3A 3 = 6 3/ / : A 4 M 4 Utilisons maintenant la deuxième ligne de M 4 pour transformer la première ligne en, 0, 0 : M 5 = 0 Il en résulte : M = A 5 = On en déduit :, A 5 = T, A 3 = / / / / : A 5 M 5 = I 5 = T, T,3 3T,3 D 3 /T 3, 4 M = T 3, 4 D 3 / T,3 T,3 3 T, = T 3, 4D 3 T,3 T,3 3T,

13 3 Multiplions l équation par M à droite Notre équation équivaut à : X M 3,3 R et X = 0 M 0 Cette équation a comme unique solution : X = 0 0 Correction de l exercice?? : M = T 3, M = Partons du couple de matrices : 3 0 3, I 3 = / / 0 = : I 3 M / 0 /4 0 3/ / 0 4 5/4 La premiere ligne est d ordre, les deux suivantes d ordre Utilisons la deuxième ligne pour faire monter l ordre des suivantes : 3 M =, A = T 3, I 3 = 0 : A M 0 La matrice M est triangulaire avec des sur la diagonale Utilisons la troisième ligne pour transformer la deuxième en 0,, 0 : 3 M = 0, A = T,3 A = 0 3 : A M 0 Utilisons maintenant la troisième ligne de M pour transformer la première ligne en,, 0 : M 3 = 0, A 3 = T,3 3A = 0 3 : A 3 M 3 0 Utilisons maintenant la troisième ligne de M 3 pour transformer la première ligne en, 0, 0 : M 4 = 0, A 4 = T, A 3 = 0 3 : A 4 M 4 0 Il en résulte : M = A 4 = = T, T,3 3T,3 T 3, 3

14 On en déduit : M = T 3, T,3 T,3 3 T, = T 3, T,3 T,3 3T, 3 On en vérifie par des calculs de produits ligne-colonne : Correction de l exercice 7 : = det det det = + = det = Le déterminant de M est non nul, la matrice carrée M est donc inversible La comatrice de M est donnée par la formule : Soit : On a alors : Com 3 4 +det 0 det 0 +det 3 4 Com 4 det +det det M = t Com t Com detm 3 4, I 3 = 0 3 +det det +det : I 3 M Ajoutons à la deuxième ligne de ces matrices deux fois leurs premiéres lignes : M = 0 3, A = T, I 3 = 4 : A M

15 Ajoutons à la troisième ligne de ces matrices moins /3 de fois leurs deuxièmes lignes : M = 0 3, A = T 3, /3A = : A M /3 /3 /3 Multiplions les deuxièmes lignes de ces matrices par /3 et les troisièmes lignes par 3, on obtient : M 3 = /3, A 3 = D /3D 3 3A = /3 /3 0 : A 3 M 3 3 Ajoutons aux deuxièmes lignes de ces matrices le produit par /3 de leurs troisiémes lignes : M 4 = 0, A 4 = T,3 /3A 3 = : A 4 M 4 3 Ajoutons aux premières lignes de ces matrices leurs troisiémes lignes : 3 M 5 = 0, A 5 = T,3 A 4 = : A 5 M 5 = I 3 3 Il en résulte : M = A 5 = 3 3 = T,3 T,3 /3D /3D 3 3T 3, /3T, Chic, on retrouve le résultat de la première question On peut rajouter que M s écrit comme produit de matrices élémentaires : M = T, T 3, /3D 3 /3D 3T,3 /3T,3 3 Le système linéaire équivaut à l équation matricielle : x 3 4 x = x 3 Il en résulte : x x x 3 = M m m = 3 3 Ainsi, le système m admet l unique solution : m m 5m, m +, 4m m m = 5m m + 4m 5