Corrigé Feuille 4. et sa matrice dans la base canonique, qui est orthonormée pour le produit scalaire canonique, est. P (x)q(x)dx,
|
|
- Édouard Ricard
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Université Paris Panthéon-Sorbonne L MASS 0/03 Algèbre Corrigé Feuille 4 Exercice. a On remarque que dim F car F R 3 en effet,,, F. D autre part, soient e = 3,,, e =, 0,. On vérifie que {e, e } est une famille orthonormale de vecteurs de F, elle est donc libre et engendre un sous-espace vectoriel de F de dimension, qui ne peut ainsi qu être F lui-même. En conclusion, c est une base orthonormale de F. b On sait que dim F = 3 dim F =. De plus, par définition de F, le vecteur e 3 =,, F et est de norme. Ainsi, F = V ect{e 3 } et {e 3 } est une base orthonormale de F. c Puisque {e, e } est une base o.n. de F, l expression de p F est donnée par : Autrement dit, si x = x, x, x 3, on obtient x R 3, p F x =<x, e > e + <x, e > e. p F x, x, x 3 = 6 5x + x x 3, x + x + x 3, x + x + 5x 3, et sa matrice dans la base canonique, qui est orthonormée pour le produit scalaire canonique, est M = Elle est symétrique et par conséquent, p F est auto-adjoint i.e. p F = p F, et c est en fait le cas pour tout projecteur orthogonal. Enfin, on a e, e F et e 3 F, de sorte que p F e = e, p F e = e, p F e 3 = 0. d Rappelons que p F + p F = Id R 3. On a donc, pour tout x = x, x, x 3 R 3, dx, F = x p F x = p F x = <x, e 3 > e 3 = <x, e 3 > = x x + x 3. Exercice. E = R [X] est un espace de dimension. Construisons, pour le produit scalaire <P, Q>= 0 P xqxdx, une base orthonormée {Q 0, Q } de E à partir de la famille libre car échelonnée en degré {P 0, P } où P i X = X i, et ce par le procédé de Gram-Schmidt. On pose donc Q 0 = P 0 P 0, et Q = P <P 0, Q > Q P <P 0, Q > Q.
2 On trouve ainsi Q 0 X = et Q X = 3X. Cherchons maintenant l expression de la matrice de u dans la base {Q 0, Q }. D après le cours, la base {Q 0, Q } étant orthonormée, celle-ci s écrit A = a ij 0 i,j avec a ij =<P i, up j >, d où 3 A = 0 et la matrice de u dans cette même base est donnée par t 0 A = 3 Pour conclure, étant donnée P R [X], avec P X = ax + b = X on obtient u P X = a 3 3 a 3 u Q X + b + a a = 3 Q X + b + a = a X + = 3b + ax + 5b + a. La même méthode s applique pour le produit scalaire + b + a = a 3 Q X + b + a Q 0 X, u Q 0 X, Q 0 X 3Q X b + a 5 6X, <P, Q>= P 0Q0 + P 0Q 0 en remarquant que la base {P 0, P } est déjà orthonormée. Tout calculs faits, on trouve pour P X = ax + b, u P X = up X = ax + b. Exercice 3. L endomorphisme u v est symétrique si et seulement si u v = u v. Or, on a ce qui conclut la preuve. Exercice 4. u v = v u = v u, a Etant donné x E, p F est l unique vecteur de F tel que x p F x = inf { x y, y F }. Il en outre totalement caractérisé par les deux conditions suivantes : { pf x F x p F x F. b Calculons s F x. s F x =<s F x, s F x> = <p F x x, p F x x>,, = 4 p F x 4 <x, p F x> + x, = 4 <p F x x, p F x> + x = x.
3 L application linéaire s F est ainsi une isométrie. Montrons que s F = s F. En effet, en utilisant la propriété p F p F = p F, on obtient pour tout x E, s F s F x = p F s F x s F x = p F p F x x p F x x, = 4p F x p F x p F x + x = x, d où le résultat. c L application linéaire étant orthogonale car c est une isométrie, on a s F d où p F = p F. p F Id = s F = s F = s F = p F Id, = s F et donc Exercice 5. On a, pour tout x E, u vx = uvx = vx = x, puisque u et v sont des isométries, ce qui donne le résultat. On a alors u v = u v = v u. Exercice 6. Soit E un espace euclidien de dimension n. Soit f LE symétrique. On suppose que, pour tout x E, < x, fx >= 0. Soient x et y deux éléments quelconques de E. Alors, 0 =<x + y, fx + y> = <x, fx> + <x, fy> + <y, fx> + <y, fy>, = <x, fy>, puisque f = f. En choisissant maintenant x = fy, on obtient que, pour tout y E, fy = 0, d où fy = 0 et le résultat. Soient f i i p une famille d endomorphismes de E vérifiant : rgf i = n x E, <x, f i x>=<x, x>= x. Pour montrer que f i = Id, il suffit de remarquer que f = f i Id vérifie les hypothèses du point précédent. Ainsi, tout vecteur x de E s écrit x = f i x d où E = Imf + + Imf p. Or, une somme de sous-espaces vectoriels est directe si et seulement si la dimension de la somme est égale à la somme des dimensions, ce qui est le cas ici par hypothèse puisque dimimf i = rgf i = n = dime = dim Imf + + Imf p. La décomposition précédente revient à dire que, pour tout i p, f i est la projection sur Imf i, parallèlement à j i Imf j, et donc que ce dernier est exactement Kerf i. Or, pour 3
4 un endomorphisme symétrique, le noyau et l image sont toujours orthogonaux, de sorte que f i est un projecteur orthogonal. Exercice 8. On se donne E espace euclidien et f LE vérifiant fx x erreur d énoncé, pour tout x E. On pose alors u = f Id. On veut montrer que Keru et Imu sont en somme directe orthogonale et que cette somme est égale à E. Notons dans un premier temps qu il suffit pour cela de montrer qu il sont orthogonaux. En effet, si c est le cas, on aura Keru Imu = {0}, d où dimkeru Imu = dimkeru + dimimu = dime, avec le théorème du rang et finalement E = Keru Imu. D autre part, l hypothèse sur f s écrit ux + x x, pour tout x E, c est-à-dire, en élevant au carré et en développant, Montrons que Keru Imu, autrement dit que x E, ux + <ux, x> 0. x, y E, ux = 0 = <x, uy >= 0. Pour cela, on applique au vecteur x + λy, avec x, y E, ux = 0 et λ R quelconque. En développant et en utilisant l hypothèse ux = 0, il vient λ uy + <uy, y > + λ <uy, x> 0, λ R, ce qui implique < uy, x >= 0 en divisant par λ et en faisant tendre λ vers ± suivant le signe de <uy, x>. On vient de voir que Keru Imu. Or, on a la décomposition générale E = Imu Imu de sorte que que d où Keru = Imu. dimimu = n dimimu = dimkeru, Montrons que, pour un endomorphisme u quelconque de E, Keru = Imu. En effet, u x = 0 y E, <u x, y >= 0 y E, <x, uy>= 0 x Imu. On a donc bien montré que Keru = Keru = Imu. Exercice 9. Soit f LE tel que f = Id. a= b : si f symétrie orthogonale alors f s écrit p F Id où F est un sous-espace vectoriel de E. Une projection orthogonale étant un endomorphisme symétrique cf. Exercice 4, il en va de même pour f linéarité de l application u u. b= c : Supposons maintenant f symétrique et montrons que f est orthogonale. Soient x et y dans E, alors <fx, fy>=<x, f y>=<x, y >, et le résultat. c= a : En prenant x = y, on voit que f est une isométrie et donc que f = f = f puisque f = Id. Ainsi, f est un endomorphisme symétrique. Les deux propriétés suivantes sont alors immédiates : 4
5 i f = Id sur Imf ii Kerf Imf et donc Kerf = Imf théorème du rang, ce qui veut exactement dire que f est la projection orthogonale sur Imf. Exercice.. On pose M = Pour une matrice, le polynôme caractéristique s écrit P X = X T rm X + detm = X + X 6 = X 3X +, et ainsi, les valeurs propres de M sont 3 et. Elles sont simples et donc les sous-espaces propres associés sont, d une de dimension v.p. simples et orthogonaux matrice symétrique. Déterminons une base orthonormée de vecteurs propres. Soit x = x, x R M x = x x x = x x = x, d où E = V ect{, }. On a alors E 3 = E = V ect{, } et A = P Dt P, avec D = 0 0 3, P = 5 On obtient finalement, pour tout entier n, M n = P D nt P = n n = n + 3 n n 3 n 5 n 3 n n n. On pose M = Le calcul du polynôme caractéristique de M donne P X = X X, de sorte que les valeurs propres de M sont 0,, et une base orthonormée associée est donnée par {e, e, e 3 }, avec e = 0, e = On a alors M = P D t P, avec D = , P =, e 3 = 0 On calcule les puissances entières de M de la même manière que précédemment. Exercice 4. La matrice A étant symétrique, elle est diagonalisable dans une base orthonormée, c est-à-dire qu elle peut s écrire A = P D t P, où D est diagonale et P orthogonale. Remarquons maintenant que n a ij = T r t AA. i,j= 5.
6 On obtient alors T r t AA = T r P D t P = T r D t P P = T rd = n λ i, en utilisant le fait que T rab = T rba, quelles que soient les matrices A et B, et que P = t P. Exercice 5. Pour trouver les solutions de l équation, on diagonalise la matrice M symétrique dans une base orthonormée en l écrivant M = P D t P, où D est diagonale et P orthogonale. On a alors M + M I n = 0 P D + D I n t P = 0 D + D I n = 0, puisque P et t P sont inversibles et que P t P = I n. Or, si on pose D = Diagλ i i n, on obtient D + D I n = Diagλ i + λ i i n et ainsi tous les λ i sont obligatoirement racines du polynôme P X = X + X. Les racines de P étant et, on obtient finalement que toute matrice symétrique solution de l équation doit s écrire M = P D t P, avec P orthogonale et D = Diagλ i i n, où λ i {, }, pour tout i n. On vérifie aisément que toutes ces matrices sont effectivement solutions. Remarque : Si n =, cela revient à choisir D parmi les 3 matrices Diag,, Diag, et Diag,, sachant que ces deux derniers cas produisent toujours respectivement I et I, quel que soit le choix de P. Exercice 6. Supposons dans un premier temps que A = t BB, avec B matrice inversible erreur d énoncé et vérifions que A est bien symétrique définie positive. D une part, D autre part, pour tout X R n, t A = t t BB = t B tt B = t BB = A. <AX, X >=< t BBX, X >=<BX, BX >= BX = X. On en déduit ainsi que < AX, X > 0 et que < AX, X >= 0 entraine BX = 0, et donc X = 0 puisque B est inversible. Réciproquement, étant donnée une matrice A symétrique définie positive, on sait qu il existe une matrice P orthogonale et une matrice D = diagλ diagonale Λ étant le vecteurs formé des valeurs propres de A, telles que A = P D t P. Remarquons que, puisque A est définie positive, toutes ses valeurs propres sont strictement positives. En effet, si λ est une valeur propres de A et si X 0 est un vecteur propre associé à λ, alors On pose alors 0 <<AX, X >=<λx, X >= λ X, d où λ > 0. Λ = λ i i n, avec i n, λi = λ i > 0, D = diag Λ, de sorte que D = D, puis B = P D t P. On vérifie alors que : B est symétrique, définie positive et donc inversible. En effet, t B = t P D t P = tt P t Dt P = P D t P = B. D autre part, X R n, <BX, X >=<P D t P X, X >=< D t P X, t P X >= et si <BX, X >= 0, alors, 0 = t P X = P X, d où X = 0. n λ i t P X i 0, 6
7 A = B = t BB par un simple calcul en utilisant de nouveau que t P = P. Remarque : La décomposition exposée ici par diagonalisation dans une base orthonormée exige le calcul des valeurs propres de la matrice A, ce qui est impossible en général, en raison de l impossibilité de trouver une formule donnant les racines d un polynôme si son degré est au moins 5 On peut néanmoins le faire de manière approchée. Il existe par contre des algorithmes pour avoir une telle décomposition de manière exacte et donc programmables, telles que la décomposition de Choleski ou ses variantes dans lesquelles la matrice B obtenue est triangulaire supérieure. Ces décompositions sont utilisées pour produire des algorithmes de résolution exacte de systèmes linéaires. Exercice 8. Soit X = t x,..., x n un vecteur non nul de R n et soit M = X t X. Remarquons que M = m ij i,j n, avec m ij = x i x j. a Soit Y R n. Alors, MY = X t XY =< X, Y > X, et donc MY = 0 si et seulement si <X, Y >= 0, puisque X 0. Autrement dit, KerM = X. C est un sous-espace vectoriel de R n de dimension n et d après le théorème du rang, on a rgm =. b D après la question précédente, 0 est valeur propre de M, le sous-espace propre associé est X, et il est de dimension n. De plus, on a MX = X X et donc X est une valeur propre de M et X est un vecteur propre associé à celle-ci. Pour des raisons de dimension, ce sous-espace propre est obligatoirement V ect{x}, et il n y a pas d autre valeur propre. c Soit u l endomorphisme de R n dont la matrice dans la base canonique est M. Alors, u = X p, où p est le projecteur orthogonal sur V ect{x}. On en déduit que, pour tout entier n, u n = X n p n = X n p = X n u, d où, pour tout entier n, M n = X n M. 7
Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailRelation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailExercices et corrigés Mathématique générale Version β
Université libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Université catholique de Louvain Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Laurent Claessens Nicolas Richard Dernière modification
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailRO04/TI07 - Optimisation non-linéaire
RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire Stéphane Mottelet Université de Technologie de Compiègne Printemps 2003 I Motivations et notions fondamentales 4 I1 Motivations 5 I2 Formes quadratiques 13 I3 Rappels
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailPEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?
PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une
Plus en détailENSAE - DAKAR BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA
ENSEA - ABIDJAN ENSAE - DAKAR ISSEA - YAOUNDÉ BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA CENTRE D APPUI AUX
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailProposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détail