Calcul intégral. I Intégrale d une fonction 2

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1 T le STIGE Clcul intégrl 8-9 Clcul intégrl Tble des mtières I Intégrle d une fonction II Interpréttion grphique : clcul d ire II. Aire d un fonction positive II. Aire d une fonction négtive II. Aire d une fonction quelconque : découpge d ire III Propriétés de l intégrle 4 III. Reltion de Chsles III. Linérité III. Inéglités III.4 Inéglité de l moyenne

2 T le STIGE Clcul intégrl 8-9 Dns tout le chpitre,f etgsont des primitives respectivement def etgsuri. etbsont deux points dei, bornes incluses. I Intégrle d une fonction Définition Le nombref(b) F(), indépendnt du choix def, est ppellé intégrle deàbdef, il est noté f(x)dx =F(b) F(). Exemple Clcul de l intégrle : xdx : Une primitive def(x) =x estf(x) = x. donc, xdx =F() F() = 9 4 = 5. II II. Interpréttion grphique : clcul d ire Aire d un fonction positive Propriété Sif est une fonction positive sur [;b ], lors f(x)dx est égl à l ire du domine compris entre l courbe def, l xe des bcsisses, et les droites d équtionx = etx =b exprimé en unité d ire. (U.A.) Exemple Clcul de l ire du domine compris entre l courbe d éqution x, l xe des bcsisses, et les droites d équtionx= etx = 4 dns un repère orthonormé (O; i ; j ) d unité grphique cm : 4 x dx = [ln(x)]4 = ln 4 ln = ln 4 + ln 4 x dx = ln 8 = ln U.A., 8 4 cm II. Aire d une fonction négtive Si l fonctionf est négtive, lors l fonction f est positive et les courbes sont symétriques pr rpport à l xe des bscisses. Donc, l ire du domine compris entre l courbe def, l xe des bcsisses, et les droites d équtionx = etx =b est égle à l ire du domine compris entre l courbe de f, l xe des bcsisses, et les droites d équtionx = etx =b. Dns ce cs,a = [ f(x)]dx. --

3 T le STIGE Clcul intégrl 8-9 Exemple On considère l fonctionf définie sur R prf(x) = x 7 x. f est négtive sur l intervlle [ ; 9 ]. Pour clculer l ire du domine compris entre l courbe def, l xe des bcsisses, et les droites d équtionx=etx=9, il suffit de clculer l ire du domine compris entre l courbe de f, l xe des bcsisses, et les droites d équtionx = etx = 9 : Grphique def : Grphique de f : A A. A =A = 9 [ f(x)]dx = 9 ) ( x 7 +x dx = ] 9 [ x4 8 +x = U.A. II. Aire d une fonction quelconque : découpge d ire Pour clculer l ire d un domine définie pr une fonction chngent de signe, il fut découper l intervlle en plusieurs intervlles sur lesquels l fonction est de signe constnt. Exemple 4 On considère l fonctionf définie prf(x) =x x. On noteal ire du domine compris entre l courbe def, l xe des bcsisses, et les droites d équtionx = etx =. A =A +A 4 A = A = [ f(x)]dx + [f(x)]dx ( x +x+)dx + (x x )dx A A = ] [ ] [ x x +x x + x + x A = 9 A = , U.A. A --

4 T le STIGE Clcul intégrl 8-9 III III. Propriétés de l intégrle Reltion de Chsles Propriété Soitf une fonction dérivble sur R etb [;c ], lors c f(x)dx = c f(x)dx + f(x)dx. b Interpréttion grphique : A A b c III. Linérité Propriété Soientf,g : [;b ] R deux fonctions dérivbles etλun réel, lors : [f(x) +g(x)]dx = λf(x)dx =λ f(x)dx. f(x)dx + g(x) dx. Ce théorème permet en prtique de rmener le clcul d une intégrle d une fonction complexe (de type polynôme pr exemple) à une succession d intégrtions de fonctions plus élémentires. Exemple 5 Clcul de l intégrle :I= I = xdx + 5 ( x + 5 ) x x dx I = [x ] + 5 [lnx] I = (4 ) + 5(ln ln ) I = ln. dx : -4-

5 T le STIGE Clcul intégrl 8-9 III. Inéglités Propriété 4 Soientf,g : [;b ] R deux fonctions dérivbles. Inéglité : si, pour toutx [;b ], on f(x) g(x), lors Positivité : si, pour toutx [;b ], on f(x), lors f(x)dx f(x)dx. g(x) dx. Remrque L réciproque de l positivité n est ps forcément vrie, on peut voit sur [;b ] : (x )dx = [x x] = 6. Donc, (x )dx. Cependnt, l fonctionx x n est ps positive sur [ ; ]. f(x)dx sns voirf positive III.4 Inéglité de l moyenne Propriété 5 Soitf : [;b ] R une fonction dérivble etmetm deux réels tels vérifintsm f(x) M, lors m(b ) f(x)dx M(b ). Interpréttion grphique : Dns le cs oùf est positive sur [;b ] et oùm, l ire de l prtie égle à f(x)dx est comprise entre l ire du rectngle de bseab de huteurmet l ire du rectngle de bseab de huteurm. M m A B Définition Soitf : [; b ] Rune fonction dérivble. Si b, on ppelle vleur moyenne def sur [; b ] le nombre réelµ f défini pr µ f = f(x)dx. b -5-

6 T le STIGE Clcul intégrl 8-9 Interpréttion grphique : L droite d équtiony=µ f est l droite horizontle telle l ire des prtie de pln délimitées pr l xe des bscisses, les droites d équtionx=etx=bd une prt et les courbes d équtiony=f(x) ety=m f soient de même vleur. Exemple 6 L vleur moyenne sur [ ; ] de l fonction crré est :µ = [ x x dx = ] =