Limite et continuité d une fonction

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1 Limite et cotiuité d ue octio 1 Limites iies Soit ue octio et D so domie de déiitio. Déiitio 1 : O dit que le ombre réel est u poit dhéret de D si >, D et tel que - < ( - < < + ). Le ombre est dit isolé s il est ps dhéret de D. remrques : - tout ombre ],b[ est dhéret de ],b[. Les ombres et b sot ussi dhérets de ],b[. - si D, lors peut être dhéret ou o : 3 est dhéret de [1,3[]3,7[ ( 7 ussi ) ; mis 3 est ps dhéret de ]-,2] ; - si D = ]-,2] {4}, lors 4 est u poit isolé du D (o dhéret de D ). Déiitio 2 : Soit ue octio, u ombre dhéret de D et u ombre réel l. O dit que l octio dmet l ite l pour tedt vers ssi >, > tel que - < () - l <. O ote () l. eemple : Foctio costte : () = c c c E eet, >, > tel que < - < c - c <. remrques : - e géérl déped de et de (le plus petit o pred, le plus petit il ut predre ). - l vleur = est eclue de l esemble des ombres pour lesquels o l iéglité () - l <. Théorème 1 : L ite l est uique. démostrtio : 2 Limites iiies et à l iii Soit ue octio et D so domie de déiitio. Déiitios 3 : Soit ue octio, u ombre dhéret de D. O dit que : () + ssi A>, > tel que - < () > A ; eemples : () - ssi A>, > tel que - < () < -A ; () l ssi >, B> tel que > B () - l < ; () l ssi >, B> tel que < -B () - l < ; () + ssi A>, B> tel que > B () > A. ( idem pour () -, () +, () - ). Foctio réelle d ue vrible réelle Pierre Frchebourg 1

2 3 Limites à droite, ites à guche Soit ue octio et D so domie de déiitio. Déiitios 4 : Soit ue octio, u ombre dhéret de D et u ombre réel l. O dit que l octio dmet l ite à droite l pour tedt vers si >, > tel que < < + () - l <. O ote () l. Soit ue octio, u ombre dhéret de D et u ombre réel l. O dit que l octio dmet l ite à guche l pour tedt vers si >, > tel que - < < () - l <. O ote () l. eemples : 4 Propositios sur les ites iies Déiitios 5 : Soit et g deu octios et leurs domies de déiitio respectis D et D g. L pplictio +g : D D g r se omme octio somme de et g. (+g)() = ()+g() L pplictio : D r se omme octio produit de pr. ()() = () L pplictio g : D D g r se omme octio produit de et g. (g)() = () g() L pplictio : D r se omme octio puissce de. ( )() = [()] L pplictio : g D D g {rg() } r se omme octio quotiet de et g. () () g g() L pplictio g o : {r D et ()D g } r se omme octio composée de et g. (go)() = g[()] Théorème 2 : et g dmettet chcue ue ite e, lors ( g)() () + g() remrques : - O démotre pr récurrece que pour l somme, cette propriété s éted à u ombre quelcoque de octios - si () l, lors [ () - l ] =, cr [ () - l ] = [ () + (-l )] = () + (-l ) = l + (-l ) =. Théorème 3 : dmet ue ite e, lors ( )() () Lemme 1 : Lorsque ted vers, si l u des cteurs d ue octio produit pour ite et que l utre reste e vleur bsolue strictemet iérieur à u ombre réel, ce produit ted vers. Foctio réelle d ue vrible réelle Pierre Frchebourg 2

3 Théorème 4 : et g dmettet chcue ue ite e, lors ( g)() () g() remrque : O démotre pr récurrece que cette propriété s éted à u ombre quelcoque de octios. E prticulier : *, () = () Théorème 5 : dmettt ue ite e est telle que est déiie pour * -{1}, lors () = (). Lemme 2 : Lorsque ted vers, si le umérteur d ue octio quotiet pour ite et que le déomiteur reste e vleur bsolue supérieur à u ombre réel positi o ul, ce quotiet ted vers. Théorème 6 : et g dmettet chcue ue ite e, l ite de g étt diérete de, () lors () g g( ). remrque : Tous ces théorèmes s ppliquet ussi pour les ites à droite et à guche. 5 Clcul des ites des octios élémetires Foctio idetité : () = E eet, >, > tel que < - < () = < e pret =. Foctio moôme : () = E eet, Foctio polyôme : () = lors () E eet, il suit d ppliquer le théorème 2 et l ite d u moôme. Foctio irrtioelle : c. le théorème 5. Foctio rctioire : c. le théorème 6. remrque : Tous ces résultts s ppliquet ussi pour les ites à droite et à guche. Foctio réelle d ue vrible réelle Pierre Frchebourg 3

4 6 Propositios sur les ites iiies Théorème 7 : et g dmettet chcue ue ite iie, l ite de g étt diérete de, lorsque ted vers +, lors ( g)() () + g() ( )() () ( g)() () g() () g () g( ) et g(). remrque : O peut voir, ds l démostrtio du théorème 7, que les risoemets sot logues pour les ites e ou les ites pour. Aussi, ds les théorèmes suivts, o omet prois de le préciser. Théorème 8 : ds ue octio somme l ue des octios pour ite + ( resp. - ) et l utre est borée iérieuremet ( resp. borée supérieuremet ), lors l octio somme pour ite + ( resp. - ). Théorème 9 : ds ue octio produit l ue des octios dmet ue ite iiie et l utre est borée iérieuremet e vleur bsolue pr u ombre réel positi o ul, lors l octio produit dmet ue ite iiie. Théorème 1 : ds ue octio quotiet le déomiteur dmet ue ite iiie et le umérteur est boré supérieuremet e vleur bsolue pr u ombre réel positi, lors l octio quotiet pour ite. 7 Formes idétermiées ( ou idétermitios ) O peut résumer les théorèmes précédets pr les "opértios lgébriques" suivtes sur les ites : () et g() b lors ( g)() b () et g() b lors ( g)() b () et g() b (b) lors () g b () () et g() lors () g () et g() lors () (? ) (o déiie) g Foctio réelle d ue vrible réelle Pierre Frchebourg 4

5 () et g() b lors ( g)() () et g() b lors ( g)() () et g() lors ( g)() () et g() lors ( g)() () et g() lors ( g)() ( ) (? ) (o déiie) () () et g() lors ( g)() () et g() lors ( g)() () et g() lors ( g)() ( ) (? ) (o déiie) () et g() lors () g () et g() b lors () g () et g() lors () (? ) (o déiie) g Ds l recherche des ites d ue octio, il rrive doc des situtios où ucu des théorèmes précédemmet étblis e s ppliquet. O les ppelle des idétermitios ; il y e qutre :,, et. 8 Complémets sur l étude des ites Les théorèmes présetés ds cette prtie du cours complètet les précédets. Des cosidértios d ecdremets, de mjortio, de miortio, permettet de rmeer certies études compliquées de ites u cs plus simples étudiés précédemmet. Théorème 11 : Soit, g et h trois octios, déiies ou o e, et déiies sur u itervlle ouvert cotet, si () g() et () lors g() si () g() et g() lors () si () g() et si () et g() eistet, lors () g() Eemple : Foctio réelle d ue vrible réelle Pierre Frchebourg 5

6 Théorème 12 : ( Théorème des deu gedrmes ) Soit, g et h trois octios, déiies ou o e, et déiies sur u itervlle ouvert I cotet, si () h() g() pour tout I, et si () g(), lors h() L eistece de () l et g(t) e suit ps e géérl à détermier g( ()). Touteois, o les théorèmes : t Théorème 13 : 1) () l et si de plus g() g( ), lors g( ()) g[ ()] g( ) 2) () l et si de plus () l sur u itervlle ouvert cotet, su évetuellemet e, lors g( ()) = g(t) t Eemples : 9 Limites trigoométriques Théorème 14 : 1) si() si( ) 2) cos() cos( ) si() 3) 1 1 cos() Eercices : 1) 2) t() 1 1 Cotiuité d ue octio 1.1 Déiitios 1 cos() ) Déiitio 6 : Soit u poit dhéret de D. L octio est cotiue e si () = (). remrque : o doc () = () D et () () et () = (). Eemples : Déiitio 7 : Soit u poit dhéret de D. L octio est cotiue à droite e si Eemples : L octio est cotiue à guche e si () (). () (). Foctio réelle d ue vrible réelle Pierre Frchebourg 6

7 Déiitio 8 : Ue octio est cotiue sur l itervlle ouvert ] ;b[ si est cotiue e, pour tout ] ;b[. Ue octio est cotiue sur l itervlle ermé [ ;b] si est cotiue sur ] ;b[ et si est cotiue à droite e et à guche e b. 1.2 Théorèmes Théorème 15 : et g sot cotiues e, les octios +g,, g et g (si g( )) sot cotiues e. Théorème 16 : est cotiue e et g cotiue e ( ), lors g o est cotiue e. remrque : Avec les théorèmes 14, 15 et 16 et les théorèmes sur les ites, o démotre que les octios polyômes, rtioelles, trigoométriques, rcie -ième sot cotiues sur leur domie de déiitio. Théorème 17 : est cotiue sur l itervlle [ ;b], lors ([ ;b]) est u itervlle ermé compret () et (b). Corollire du théorème 17 :Ue octio cotiue sur u itervlle ermé [ ;b] dmet u mimum bsolu et u miimum bsolu sur cet itervlle. Théorème 18 : ( de l vleur itermédiire) est cotiue sur l itervlle [ ;b], lors pour tout ombre y compris etre () et (b), il eiste u ombre c [ ;b] tel que (c) = y. Corollire du théorème 18 : est cotiue sur l itervlle [ ;b] et si () et (b) sot de siges cotrires, lors il eiste u mois u ombre c ];b[ tel que (c) =. Théorème 19 : Ue octio cotiue strictemet croisste sur [,b] est bijective ds [( ); (b)]. Théorème 2 : L réciproque d ue octio cotiue et strictemet croisste (resp. décroisste) ds u itervlle est ue octio -1 cotiue et strictemet croisste (resp. décroisste) ds l itervlle correspodt. Prologemet d ue octio pr cotiuité e u poit : Déiitio 9 : Lorsqu ue octio est ps déiie e, si () = l, o peut costruire () et ue ouvelle octio g isi : g() = ou () et O ppelle cette octio g l prologée pr cotiuité de e. Foctio réelle d ue vrible réelle Pierre Frchebourg 7