CONTINUITÉ - LIMITES

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1 CONTINUITÉ - LIMITES I Continuité - Théorème des valeurs intermédiaires Notion de continuité On peut déinir mathématiquement la notion de continuité d'une onction mais cette déinition relativement compliquée n'est pas au programme. Graphiquement, on peut reconnaître une onction continue sur un intervalle I par le ait que le tracé de la courbe représentative de pour x I peut se aire sans lever le crayon de la euille. g(x) = -x si x et g(x) = x - 3 si x > h(x) = x si x < - et (x) = x h(x) = x si x ³ - Représentation graphique de Représentation graphique de g Représentation graphique de h est continue sur IR g est continue sur IR h est continue sur ]- -[ h est continue sur [- + [ mais h n'est pas continue en - On dit que h est continue par intervalles Considérons la onction x a E(x) appelée onction "Partie entière" et qui, à tout réel x associe le plus grand entier inérieur ou égal à x. Ainsi E(,5) est le plus grand entier inérieur ou égal à,5, donc E(,5) = De même E(-,4) = -3 E(,9999) = et E() = La représentation graphique de la onction "Partie entière" est donnée ci-contre. La onction "Partie entière" n'est pas continue en n (n ZZ ). Elle est continue sur chaque intervalle [n n+[ (n ZZ ). "Partie entière" est une onction dite "en escalier". La courbe ait "un saut" pour chaque valeur entière de x. Avec une calculatrice ou un tableur, E(x) est notée int(x) ou ent(x) ou loor(x) ou partent(x) TES Continuité - Limites page

2 Propriété (admise) Les onctions polynômes, les onctions rationnelles, la onction racine carrée sont continues sur tout intervalle sur lequel elles sont déinies. La onction déinie sur IR par (x) = 3x 3 - x + est une onction polynôme. Elle est continue sur IR La onction g déinie sur ]- [ ] + [ par (x) = est une onction rationnelle. x Elle est continue sur ]- [ et sur ] + [. Toutes les onctions qui seront utilisées sont des onctions continues par intervalles. Exercice Représenter graphiquement la onction dans chacun des cas suivants. À partir du graphique, étudier la continuité de. ) (x) = -x - 5 si x < et (x) = x + si x ³ ) (x) = x si x et (x) = x si x > 3 ) (x) = si x ]- -] (x) = -x si x ]- [ et (x) = - si x [ + [ Exercice Extrait de la "Fiche de calculs acultatis". Impôt sur les revenus de 5. Dans tout l'exercice on considèrera le revenu d'un célibataire (le nombre N de parts est alors égal à ). ) Un célibataire a un revenu imposable annuel R = 8. Calculer son impôt I. ) Même question pour un revenu imposable annuel R = 6. 3 ) On note la onction donnant l'impôt I en onction de R : I = (R). Reproduire et compléter le tableau suivant : Si R est dans l'intervalle («tranche») Alors l'expression de I en onction de R est : [ 4 4] (R) =... ] ] (R) =... ]......] (R) =... ]......] (R) =... ]......] (R) =... ]......] (R) =... ]......[ (R) =... 4 ) Représenter graphiquement la onction. (On choisira comme unité cm pour 5 euros) En utilisant le graphique, étudier la continuité et le sens de variation de. 5 ) Une personne a un revenu R de. Peut-on dire que son impôt se décompose de la açon suivante : Rien sur les 4 4 premiers euros 6,83% sur les 465 euros suivants 9,4% sur le reste 6 ) Une personne célibataire dont le revenu R est 5 5 tient le raisonnement suivant : Heureusement que je n'ai pas ait d'heures supplémentaires, car alors j'aurais changé de «tranche», mon impôt aurait été beaucoup plus élevé et inalement j'aurais perdu de l'argent dans l'opération. Qu'en pensez-vous? TES Continuité - Limites page

3 Convention Il est convenu que, dans un tableau de variation de onction, les lèches obliques indiquent que la onction est continue et strictement monotone. Le tableau de variation de la onction carré ( (x) = x ) signiie que la onction carré est continue et strictement décroissante sur ]- ] et qu'elle est continue et strictement croissante sur [ + [. x Théorème des valeurs intermédiaires Soit une onction déinie et continue sur un intervalle I. Soient a I et b I Pour tout réel k compris entre (a) et (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que (c) = k Ce que l'on peut aussi exprimer sous la orme : L'équation (x) = k a au moins une solution c comprise entre a et b. (admis) Si de plus la onction est strictement monotone sur l'intervalle I, alors le réel c est unique. n'est pas strictement monotone est strictement monotone La continuité de la onction est une hypothèse essentielle du théorème. Si la onction n'est pas continue, il est possible que pour un réel k compris entre (a) et (b), il n'existe aucun réel c compris entre a et b tel que (c) = k. solution approchée d'une équation On peut démontrer que la onction déinie par (x) = x 3 + x est continue et strictement croissante sur [ ]. Son tableau de variation est : Sa représentation graphique est donnée ci-contre. Donc pour tout k [ ], l'équation (x) = k a une solution unique dans [ ]. En particulier l'équation (x) = 5 a une solution unique α dans [ ]. On peut trouver une valeur approchée de α en aisant un tableau de valeurs de. Avec une calculatrice on obtient : x,,,3,4,5,6,7,8,9 (x),43,98 3,497 4,44 4,875 5,696 6,63 7,63 8,759 On a (,5) < 5 < (,6) x On en déduit que la solution α de l'équation (x) = 5 est telle que,5 < α <,6 TES Continuité - Limites page 3

4 La propriété des valeurs intermédiaires pourra être étendue à un intervalle non borné. Soit la onction dont le tableau de variations est donné ci-contre. Pour résoudre les équations (x) = -5 et (x) = 8, on pourra écrire : D'après le tableau de variations, est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [ + [. -5 ]- 3], donc l'équation (x) = -5 a une solution unique dans l'intervalle [ + [. 8 ]- 3], donc l'équation (x) = 8 n'a pas de solution dans l'intervalle [ + [. Exercice 3 On donne ci-dessous le tableau de variations de la onction. - - Donner dans chaque cas le nombre de solutions dans IR de l'équation : a) (x) = 7 b) (x) = -5 c) (x) = - x x Exercice 4 On donne ci-contre le tableau de variations de. Quel est le nombre de solutions de l'équation (x) = (On justiiera le résultat) x Exercice 5 On donne ci-contre le tableau de variations de. ) Quel est le nombre de solutions de l'équation (x) = ) Quel est le nombre de solutions de l'équation (x) = -5 (On justiiera les résultats) x Exercice 6 Soit la onction déinie par (x) = x - 3x + pour x [ 5]. Calculer la dérivée de et étudier son signe. Donner le tableau de variations de. En déduire que l'équation (x) = 8 a une solution unique α dans [ 5]. Donner une valeur approchée à - près de α. Trouver la valeur exacte de α. Exercice 7 Soit g la onction déinie sur IR par g(x) = x 3 + 3x - x ) Étudier et représenter graphiquement la onction g. (On pourra admettre que g(x) tend vers - quand x tend vers - et que g(x) tend vers + quand x tend vers + ) ) En utilisant le graphique, discuter suivant les valeurs du réel k le nombre et le signe des solutions de l'équation g(x) = k. 3 ) Justiier que l'équation x 3 + 3x - x + 8 = a une solution unique et donner une valeur approchée à - près de cette solution. TES Continuité - Limites page 4

5 II Limites Rappel Lorsque x est "très grand" x, x 3, x sont aussi très grands, aussi grands que l'on veut. On note x = + x 3 = + x = + Lorsque x est "très grand" x et sont très petits, aussi proches de zéro que l'on veut. x On note x = x = Lorsque x est "proche de zéro" x et sont très grands en valeur absolue. x On note x > x = + x = - x < x= + Les tableaux suivants permettent de donner, dans certains cas, la ite de la somme, du produit, du quotient de deux onctions et g, lorsqu'on connaît la ite des deux onctions. La plupart des résultats se comprennent et peuvent être retrouvés de açon intuitive. l et l' désignent des nombres réels. Les ites peuvent être des ites en +, en -, en a. Limite d'une somme Si a pour ite l l l Si g a pour ite l' Alors + g a pour ite Limite d'un produit l + l' Si a pour ite l l + ou - pas de résultat général Si g a pour ite l' + ou - + ou - + ou - Alors x g a pour ite l x l' + ou - suivant les signes + ou - suivant les signes pas de résultat général Exercice 8 ) la ite en de chacune des onctions suivantes : (x) = x (x) = x 3 + x + (x) = x + (x) = x x ) la ite en + de chacune des onctions suivantes : (x) = x (x) = x 3 + x + (x) = x + (x) = x x Exercice 9 : x + x - x + x + x(x + ) x - x x + x (x- )(x - 5) x - x x > + x (x - 3) Exercice x - 3 x - x. En déduire x - 3x - En utilisant une méthode similaire déterminer x 3 + 3x - 5x +. TES Continuité - Limites page 5

6 Limite d'un inverse Si g a pour ite l' Alors g a pour ite l' supérieures inérieures + ou Les résultats deux tableaux précédents permettent de trouver les résultats pour un quotient : Limite d'un quotient Si a pour ite l l l + ou - + ou - + ou - Si g a pour ite l' Alors g a pour ite l l' + ou - supérieures ou inérieures + ou - suivant les signes pas de résultat général supérieures ou inérieures + ou - suivant les signes l' + ou - + ou - suivant les signes pas de résultat général Exercice Donner la ite de en dans chacun des cas suivants. (On distinguera éventuellement deux cas) (x) = (x) = x + x 5 (x) = (x) = + (x) = x + x x x (x) = x - - (x) = x + x (x) = x - x x + x (x) = - x x Exercice x + x x 4 x(x + ) x + x x + x > Exercice 3 les ites suivantes. (On distinguera éventuellement deux cas) x (x- ) x 3x + x x - x - x > x - x x + x x - (x - ) - x 3x - 3 (x + ) x x + 3 x - x + x - x x - Exercice 4 les ites suivantes. (On distinguera éventuellement deux cas) x x - 5 x - x x x x - x x x x - x -x + x - + x - 3 x x x - x < + x + 5 x x - x - x x + x x < x > x x 5 x - 5 x + x - x - + x + x + x On peut, avec une calculatrice, conirmer la ite d'une onction en cherchant certaines valeurs. Pour (x) = x + x, le calcul de la ite nous montre que (x) = +. En recherchant avec une calculatrice la valeur de (x) pour une valeur de x "très proche" de zéro, on doit trouver un nombre très grand positi. On obtient par exemple (,) ( - x - ),5 x 9 On peut aussi aicher la représentation graphique de et observer la courbe au voisinage de x =. TES Continuité - Limites page 6

7 Exercice 5 ) Vériier que x 3 - x se présente sous une orme indéterminée. cette ite en actorisant x 3 dans l'expression x 3 - x. ) Vériier que x3 + x x se présente sous une orme indéterminée. + x cette ite en actorisant x 3 dans l'expression x 3 + x, et x dans l'expression x + x. Règles opératoires La ite en + ou en - d'une onction polynôme est égale à la ite de son terme de plus haut degré. La ite en + ou en - d'une onction rationnelle (quotient de deux polynômes) est égale à la ite du quotient de ses termes de plus haut degré. Exercice 6 x + x x - x x 3 - x - 5 x 3 - x - 5 x 3 - x - 5 x 4 + x - x 4 + x - - x 4 - x 3 + x -x 4 - x 3 + x x - x - x x x + Exercice 7 x x + x x + x3 + 3x - x - x 3 + x x3 + 3x - x - x 3 + x Exercice 8 x 3 + x + x + x + x x x + x + 5 x - 3x - 4 x 3-3x + x - 3x - 4 x 3-3x + Propriété a,b et l désignent soit des réels, soit +, soit -. Si u(x) = b et (X) = l, alors (u(x)) = l x a X b x a On note aussi o u (x) = l x a On considère la onction h déinie sur IR par h(x) = 4 + On peut justiier que 4 + On en déduit que 4 + x + = x + x + = 4 et on a X = X 4 Exercice 9 + 3x x > + x 3 + x x - x < - x TES Continuité - Limites page 7

8 Exercice La onction a pour tableau de variation : x Donner, en utilisant ce tableau les ites suivantes : x x x ( ) x - x > - (x) -x + x x + x - x < x (x) + 3 x < - x + (x) + 3 Propriété Soient et g deux onctions déinies sur un intervalle ]k + [ si pour tout x ]k + [ (x) ³ g(x) et si g(x) = + alors (x) = + Si une onction tend vers + alors toute onction qui lui est supérieure tend aussi vers + Le résultat précédent reste vrai pour une ite lorsque x tend vers - ou lorsque x tend vers a. Propriété Soient et g deux onctions déinies sur un intervalle ]k + [ si pour tout x ]k + [ (x) g(x) et si g(x) = - alors (x) = - Si une onction tend vers - alors toute onction qui lui est inérieure tend aussi vers - Le résultat précédent reste vrai pour une ite lorsque x tend vers - ou lorsque x tend vers a. Propriété (théorème des gendarmes) Soient trois onctions, g et h déinies sur un intervalle ]k + [ Si pour tout x ]k + [ g(x) (x) h(x) et si g(x) = h(x) = l, alors (x) = l Le résultat précédent reste vrai pour une ite lorsque x tend vers - ou lorsque x tend vers a. Exercice ) Une onction est telle que pour tout réel x, on a : (x) ³ x + x + x. Si cela est possible, en déduire (x) (x) x > ) Une onction g est telle que pour tout x de l'intervalle ] + [, on a : Si cela est possible, en déduire g(x) Exercice g(x) (x) x < g(x). (x) 3 - x 5 - x g(x) x + x - 3 x - 5. Une onction est telle que pour tout réel x de l'intervalle ]- 5], la courbe représentative de se trouve au-dessus de la droite d'équation y = 3x - 5. Peut-on en déduire (x). TES Continuité - Limites page 8

9 III Asymptotes à une courbe Déinition Soit l un nombre réel. Si (x) = l, on dit que la droite d'équation y = l est asymptote (horizontale) à la courbe de au voisinage de +. Graphiques (x) = 3 y = 3 (x) = - y = - Déinition Soit l un nombre réel. Si (x) = l, on dit que la droite d'équation y = l est asymptote (horizontale) à la courbe de au voisinage de -. Graphiques (x) = y = (x) = y = Déinition Soit a un nombre réel. Si (x) = + ou (x) = + ou (x) = - ou x a x a x a x > a x < a x > a d'équation x = a est asymptote (verticale) à la courbe de. (x) = -, on dit que la droite x a x < a Graphiques 3 (x) = + x x < O 3 - x = O - x = (x) = + x x > x = O (x) = - x - TES Continuité - Limites page 9

10 Exercice 3 Soit déinie par (x) = 3x + 5 x - 4. Donner l'ensemble de déinition de et déterminer les ites de aux bornes de cet ensemble. En déduire l'existence d'asymptotes à la courbe représentative de. Vériier en traçant la courbe avec une calculatrice ou un grapheur. Déinition Soit a et b deux nombres réels. Si (x) -(ax + b) =, on dit que la droite d'équation y = ax + b est asymptote (oblique) à la courbe de au voisinage de +. Si (x) -(ax + b) =, on dit que la droite d'équation y = ax + b est asymptote (oblique) à la courbe de au voisinage de -. Graphiques y = ax + b y = ax + b y = ax + b (x) -(ax + b) = (x) -(ax + b) = (x) -(ax + b) = Dire que la droite d'équation y = ax + b est asymptote à la courbe représentative de au voisinage de + signiie aussi que (x) = ax + b + ϕ(x) avec ϕ(x) =. Exercice 4 Soit déinie par (x) = (x- ). x - ) Donner l'ensemble de déinition de et déterminer les ites de aux bornes de cet ensemble. ) Montrer que pour tout x, on a (x) = x + x - 3 ) les asymptotes à la courbe représentative de. 4 ) Justiier que (x) - x > pour tout x > et (x) - x < pour tout x <. Interpréter graphiquement ces inégalités. 5 ) Vériier en traçant la courbe avec une calculatrice ou un grapheur. Exercice 5 Sur le dessin ci-contre la représentation graphique d'une onction est tracé en bleu. À l'aide de ce graphique, donner les ites de quand x tend vers indiquer les asymptotes à la courbe. TES Continuité - Limites page