RAPPELS DE MATHEMATIQUE

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1 RAPPELS DE MAHEMAIQUE En électronique de puissance le fonctionnement en régime établi est une succession de régime transitoire. Pour être capable de modéliser correctement le fonctionnement des convertisseurs il est nécessaire de connaître les techniques de résolutions appliquées : aux régimes transitoires et aux régimes périodiques. Pourquoi dit-on que le régime permanent en électrique de puissance est une succession de régime transitoires? Si on établi le schéma partiel de fonctionnement du circuit, on obtient un schéma de fonctionnement discontinu. Cela est du à une application non continue de la source de courant ou de tension puisque l'interrupteur (transistor) est alternativement en position ON puis OFF. Le circuit étant constitué d'éléments capacitifs ou inductif il apparaît naturellement des régimes transitoires lors des commutations de l'interrupteur. La mise en équation s'effectue à l'aide d'équations différentielles. I- Régimes transitoires, équations différentielles : A- Premier ordre : Une équation différentielle du premier ordre est une équation décrivant le fonctionnement d'un circuit électrique ne comportant qu'un seul élément réactif (condensateur ou inductance). Si l'élément réactif est : condensateur : l'équation différentielle s'exprime en fonction de la tension, inductance : l'équation différentielle s'exprime en fonction du courant. Dans tout les cas l'équation différentielle est une équation de la forme : a. df t b. f t =g t dt a et b sont des constantes et g(t) est une fonction qui s'exprime en fonction des différentes sources présentes dans le circuit. g(t) peut être soit : une fonction sinusoïdale (cas par exemple des redresseurs commandés ou non), une fonction échelon (ex : hacheurs). 1- Résolution : La résolution s'effectue en 3 étapes : détermination d'une solution générale (équation sans second membre), détermination d'une solution particulière, détermination des constantes d'intégration. La solution de cette équation est a- Solution générale : On tente de résoudre l'équation précédente sans le second membre. a. df df t b. f t = dt dt t f ESSM t =A.e t f t =. A est une constante d'intégration. b- Solution particulière : On ne considérera ici que cas : la fonction g(t) peut s'écrire sous la forme g t =k, avec k= constante. On recherche une solution particulière de la forme f p t =C, avec C= constante. On remplace dans l'équation Fait sous Linux et OpenOffice/StarOffice page 1/11

2 différentielle f p t =k.. Chapitre III Rappels de mathématique - df p dt t f p t =k C =k C=k., donc la solution particulière vaut : la fonction g(t) peut s'écrire sous la forme g t =k.sin.t ou une somme de fonction sinusoïdale, avec k= constante. On recherche une solution particulière de la forme f p t =a 1. sin.t a. cos.t. En remplaçant dans l'équation différentielle : df p dt t f p t =k.sin.t d a 1.sin.t a.cos.t dt a 1.sin.t a. cos.t =k.sin.t a 1..cos.t a..sin.t a 1.sin. t a.cos.t =k.sin.t a 1. a.cos.t a 1 a..sin.t =k.sin.t On identification déterminer les constantes a 1 et a. Dans le cas proposé ici qui permet de déterminer sans problème les constantes. peut par a = } a. =k {a 1. a 1 c- Solution de l'équation différentielle : La solution au problème est la somme de la solution générale f ESSM (t) et de la solution particulière f p (t). d- Constante d'intégration : Il reste à déterminer la constante A de la solution générale. Pour cela on doit impérativement connaître la valeur du courant dans la bobine ou de la tension aux bornes du condensateur. Cette valeur est calculée par le fait que le courant ou la tension ne doit pas subir de discontinuité pendant les différentes phases de fonctionnement. - Exemples d'application : a- Circuit inductif en continu : Soit le circuit de la Figure 1, ce K i E D i R, L Figure 1 Calculer le courant qui traverse la bobine lorsque l'interrupteur est fermé. Fait sous Linux et OpenOffice/StarOffice page /11

3 On ouvre l'interrupteur à l'instant t= Donner le nouveau schéma électrique du circuit. Calculer l'expression analytique du courant qui traverse la bobine. racer le courant i. b- Circuit inductif en alternatif : Le circuit de la Figure est alimenté par une source tension sinusoïdale v t =V M.sin.t. v D i v D R, L Figure Indiquer la condition qui permet d'avoir la diode D bloquée? Indiquer la condition qui permet d'avoir la diode D passante? Donner à ce moment l'équation différentielle à résoudre permettant d'avoir l'expression analytique du courant -i- qui transite dans la bobine. Calculer et tracer le courant i. On supposera que la conduction de la diode cesse à l'instant t=t 1. Quelle est l'équation à résoudre pour calculer t 1? Cette valeur peut-elle s'exprimer analytiquement? Conclusion. Figure 3 : Simulation de l'évolution du courant dans une bobine (,5H, 5Ω) soumise à une tension secteur. Fait sous Linux et OpenOffice/StarOffice page 3/11

4 c- Circuit inductif et diode de roue libre : Le circuit de la Figure 4 est alimenté par une source tension sinusoïdale v t =V M.sin.t. v D1 i D 1 D v v D i R, L Figure 4 A partir des exemples précédents donner les différents modes de fonctionnement. Donner les schémas électriques correspondant aux modes déterminés précédemment. Donner les équations différentielles en courant à résoudre. Donner et justifier les conditions de continuité du courant. Calculer l'expression du courant i dans l'inductance. Figure 5 : Simulation du courant dans une bobine (,5H, 5Ω) avec une diode de roue libre soumise à la tension secteur. i 3 : courant dans la bobine, i : courant dans la diode D, i 1 : courant d'entrée. B- Deuxième ordre : Une équation différentielle du deuxième ordre est une équation décrivant le fonctionnement d'un circuit électrique comportant deux éléments réactif (condensateur et inductance, ou inductances ou condensateurs). Si l'élément réactif est : condensateur : l'équation différentielle s'exprime en fonction de la tension, inductance : l'équation différentielle s'exprime en fonction du courant. Fait sous Linux et OpenOffice/StarOffice page 4/11

5 Dans tout les cas l'équation différentielle est une équation de la forme : a. d f df t b. t c. f t =g t dt dt a, b et c sont des constantes et g(t) est une fonction qui s'exprime en fonction des différentes sources présentes dans le circuit. g(t) peut être soit : une fonction sinusoïdale (cas par exemple des redresseurs commandés ou non), une fonction échelon (ex : hacheurs). 1- Résolution : La résolution s'effectue en 3 étapes : détermination d'une solution générale (équation sans second membre), détermination d'une solution particulière, détermination des constantes d'intégration. a- Solution générale : On tente de résoudre l'équation précédente sans le second membre. a. d f df t b. t c. f t = dt dt Pour cela on écrit l'équation caractéristique du système a. x b.x c=. Ceci est une équation du ème degrés classique ou =b 4.a.c. Les solutions sont : si, il existe racines réelles r 1 = b, la solution s'écrit sous la forme.a f ESSM t = A 1.e r.t 1 A.e r.t, si =, il existe 1 racine double r = b, la solution s'écrit sous la forme.a f ESSM t =e r.t. A 1 A.t, si, il existe racines complexes conjugués r 1 = b± j. = ± j..a s'écrit sous la forme f ESSM t =e r.t. A 1.cos.t A.sin.t. Dans tous les cas A 1 et A sont des constantes d'intégration., la solution b- Solution particulière : On ne considérera ici que les cas couramment utilisés en électronique de puissance : la fonction g(t) peut s'écrire sous la forme g t =k, avec k= constante. On recherche une solution particulière de la forme f p t =Cste, avec Cste= constante. On remplace dans l'équation différentielle a. d f p t b. df p dt dt t c. f p t =k Cste =k Cste=k.c, donc la c solution particulière vaut : f p t =k.. la fonction g(t) peut s'écrire sous la forme g t =k.sin.t ou une somme de fonction sinusoïdale, avec k= constante. On recherche une solution particulière de la forme f p t =a 1.sin.t a.cos.t. En remplaçant dans l'équation différentielle : Fait sous Linux et OpenOffice/StarOffice page 5/11

6 a. d f dt df t b. t c. f t =k.sin.t dt a. d A 1.sin.t A.cos.t b. d A 1.sin.t A.cos.t dt dt c. A 1.sin.t A.cos.t =k.sin.t a. A 1..sin.t A..cos.t b. A 1..cos.t A..sin.t c. A 1.sin.t A.cos.t =k.sin.t a.a 1. b.a c.a 1.sin.t a.a. b.a c.a 1.cos.t =k.sin.t On peut par identification déterminer les constantes a 1 et a. Dans le cas proposé ici a.a 1. b.a c.a 1 =k a.a. b.a c.a 1 =, ce qui permet de déterminer sans problème les constantes. c- Solution de l'équation différentielle : La solution au problème est la somme de la solution générale f g (t) et de la solution particulière f p (t). d- Constante d'intégration : Il reste à déterminer la constante A de la solution générale. Pour cela on doit impérativement connaître la valeur du courant dans la bobine ou de la tension aux bornes du condensateur. Cette valeur est calculée par le fait que le courant ou la tension ne doit pas subir de discontinuité pendant les différentes phases de fonctionnement. - Exemple d'application : On supposera le condensateur chargé à la tension u au moment de la mise en conduction du thyristor h. Calculer l'évolution de la tension aux bornes du condensateur ainsi que le courant qui circule dans le circuit en fonction des différents couples possibles C,L. Conclusion. i u C h R,L Figure 6 Fait sous Linux et OpenOffice/StarOffice page 6/11

7 Figure 7 : Simulation de l'évolution de la tension aux bornes d'un condensateur et du courant circulant dans le circuit de la Figure 6. R= 1Ω, C= 1mF, L= 1.4H. Figure 8 : Simulation de l'évolution de la tension aux bornes d'un condensateur et du courant circulant dans le circuit de la Figure 6. R= 1Ω, C= 1µF, L= 1.4H. Fait sous Linux et OpenOffice/StarOffice page 7/11

8 II- Grandeurs périodiques, calcul intégral et série de Fourier : A- Série de Fourier : Un signal périodique e de fréquence f (période ) peut-être décomposé en une série de Fourier : Où e t =E E n cos n t n n=1 n est un nombre entier qui désigne le rang de l'harmonique, ω=πf et φ n le déphasage à l'origine. Les termes de fréquence f, 3f,...nf sont les harmoniques de rang,3,...n. E n l'amplitude de l'harmonique. Le terme constant E est appelé valeur moyenne de e(t) ou valeur continue. Le terme de fréquence f (n=1) est appelé le fondamental E 1.cos(ωt+φ 1 ). Les termes E, A n et B n sont déterminés de la manière suivante : e t =E A 1.sin.t B 1.cos.t A.sin..t B.cos..t... A n.sin n..t B n.cos n..t... E = 1 e.dt A n = e.sin n..t.dt B n = e.cos n..t.dt Quelques propriétés de la série de Fourier : Symétrie du signal d'entrée par rapport à l'origine x t = x t -/ / t E = Les termes en cosinus sont égaux à. A n = 4 e.sin n..t.dt Symétrie dite de «glissement» x t = x t Fait sous Linux et OpenOffice/StarOffice page 8/11

9 / t E = Il n'existe pas d'harmoniques de rang pair. A. k 1 = 4 e.sin. k 1..t.dt B. k 1 = 4 e.cos.k 1..t.dt Symétrie par rapport au milieu de la période du signal x t =x t -/ / t Les termes en sinus sont égaux à. B n = 4 e.cos n..t.dt B- Valeur moyenne ou composante continue : Par définition : E = 1 e t dt C- Valeur efficace : Par définition, on appelle valeur efficace la racine carrée de la moyenne du carré de la fonction périodique e(t) -en anglais RMS Root Mean Square- E eff = 1 e t dt La valeur efficace d'une tension continue est égale à sa valeur moyenne Pour un régime sinusoïdal e(t), E eff = E max Fait sous Linux et OpenOffice/StarOffice page 9/11

10 Pour un signal périodique E eff =E E 1 E E 3 E n (théorème de Parseval) D- aux d'ondulation : C'est le rapport entre la valeur de l'ondulation d'un signal par rapport à sa valeur moyenne. Plusieurs définition différentes peuvent être utilisées, il est indispensable de préciser la définition employée. Généralement on utilise la plus adaptée aux mesures que l'on est capable d'effectuer. Exemple 1 : Rapport entre la valeur efficace du fondamental avec la valeur moyenne du signal m=e 1 eff E Exemple : Rapport entre l'amplitude crête de l'ondulation et la valeur moyenne du signal. E - Facteur de forme : C'est le rapport de la valeur efficace à la valeur moyenne F = E eff E (F est nécessairement 1) F- Puissance : Lorsqu'une tension est appliquée à un circuit, celui-ci est parcouru par un courant d'intensité i. On peut définir : 1- Puissance instantanée, p(t) : C'est le produit, p(t)=u(t).i(t) à l'instant considéré. Unité le Watt (W). - Puissance active, P : Si u et i sont périodiques, on appelle puissance active la valeur moyenne de la puissance instantanée : P= 1 u t i t dt. P traduit les pertes par effet Joule dans les circuits. Si u et i sont sinusoïdaux et en phase, on obtient P=U eff I eff. Unité le Watt (W). Si u et i sont sinusoïdaux et déphasé, on obtient P=U eff I eff cos. Unité le Watt (W). 3- Puissance réactive, Q : En régime sinusoïdal, on a Q=U eff.i eff.sin(φ). Unité le Volt-Ampère réactif (VAR). Q traduit les phénomènes d'accumulation d'énergie électrostatique ou électromagnétique dans les composants. 4- Puissance apparente, S : C'est le produit des valeurs efficaces de la tension et du courant S=U eff.i eff.. Unité le Volt-Ampère (VA). S traduit la puissance totale fournie au système. S n'est pas malgré son nom une puissance au sens physique du terme. S =P +Q 5- Facteur de puissance, F p : C'est le rapport entre la puissance active et la puissance apparente. F p = P S = P U eff I eff Cette formule est toujours varie quelque soit la forme du courant et de la tension. Dans les cas ou la Fait sous Linux et OpenOffice/StarOffice page 1/11

11 tension et le courant sont sinusoïdaux : P=U eff. I eff.cos donc F p = P S =cos. 6- Puissance déformante : Dans le cas ou le courant et/ou la tension ne sont pas sinusoïdaux : S =P Q D, ou - D Puissance déformante, D =U I U I 3 U I 4 U I 5... P Puissance active, P=U eff I eff cos 1 Q Puissance réactive, Q=U eff I eff sin 1. G- Exemple d'utilisation : Le courant moyen nominal indiqué par le constructeur est de A. Ce calcul a été effectué pour un redressement sinusoïdal mono-alternance. Calculer : les pertes dans le semi-conducteur lors du fonctionnement ayant servi à la définition du courant nominal. On alimente cette diode par des signaux rectangulaires. Pour une valeur de pertes identique calculer la valeur moyenne du courant direct pour un temps de conduction x égal à 1, 1/, 1/3, 1/6, 1/9 de la période du signal. i i / t Figure 9 x t Fait sous Linux et OpenOffice/StarOffice page 11/11