SUJET A Devoir commun de seconde Mathématiques Lundi 10/03/2008 L épreuve dure 2h et est notée sur 40 points.

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1 SUJET A Devoir commun de seconde Mathématiques Lundi // L épreuve dure h et est notée sur points. L usage d une calculatrice est autorisé. Exercice : (, points sur ) ABCD est un carré de côté AB = cm. EFIJ et GHKL sont des rectangles tels que EF = GH = x. On note l aire de la surface grise.. a. Expliquer brièvement pourquoi x [ ; ]. b. Prouver que pour tout x [ ; ], on a = x + x.. La fonction g définie sur IR par g(x) = x + x est représentée sur l intervalle [ ; ] sur le graphique suivant. a. Déterminer, par lecture graphique, les valeurs approchées à près des solutions de l équation g(x)= sur [ ; ] (faire apparaître les traits de construction). b. Dans l intervalle [ ; ], l équation g(x) = admet une unique solution notée s. A l aide de la calculatrice, donner un encadrement de la solution s à, près Exercice : (, points sur ) a. Résoudre dans IR l équation (x ) + = b. Résoudre dans IR, l inéquation -x + >. c. Résoudre dans IR, l inéquation (x+)(-x+) >. d. Développer (x + )(-x + ) puis résoudre dans IR, l inéquation (x + )(-x + ) <. e. Résoudre dans IR, l inéquation. x + x Exercice : ( points sur ) La fonction f est définie pour tout x ] ; -[U]- ; + [ par f ( x) = x + a. Calculer f ( ). b. Calculer f () et en déduire si est ou non une solution de l inéquation f ( x). c. Résoudre dans IR, l inéquation f ( x). Exercice : ( points sur ) x + y = a. Résoudre le système x + y = b. Dans un repère on a les points A( ; ) et B(- ; ). Calculer une équation de la droite (AB).

2 SUJET A Devoir commun de seconde Mathématiques Lundi // Exercice : (, points sur ) Lectures graphiques La fonction f est représentée graphiquement ci-contre sur l intervalle [- ; ].La fonction g est une fonction affine donc sa représentation est la droite notée d. a. Résoudre graphiquement l inéquation g(x) sur [- ; ]. b. Donner le tableau de variations de la fonction f sur [- ; ] c. Donner une équation de la droite d par lecture graphique. Exercice : ( points sur ) On donne le tableau de variation d une fonction f définie sur [- ; ] x Le but est de trouver un encadrement de connaissant un encadrement de x Compléter alors les points de suspension a) Si x alors.. b) Si x alors... On sait de plus que les solutions de l équation = sont et ; en utilisant le tableau de variation de f, indiquer sur quel(s) intervalle(s) est strictement positif. Exercice : (9 points sur ) ABCD est un carré de côté c =. I est le point du segment [AD] tel que AI = et H le point du segment [DC] tel que DH =. Les droites (AH) et (IB) se coupent en K. Montrer que les triangles ABI et ADH sont isométriques.. a) En déduire que les triangles AIK et BIA sont de même forme b) Déduire alors que les droites (AH) et (BI) sont perpendiculaires.. On note k = AI BI a) Prouver que k = b) Calculer alors les longueurs AK et KI c) Calculer l aire du triangle AIK et en déduire le rapport Aire( BIA) Remarque : Vous pourrez contrôler l exactitude de votre réponse du c) en faisant référence à la propriété qui relie les aires de deux triangles de même forme dont le coefficient de proportionnalité entre les longueurs des côtés est k.

3 Exercice : (, points sur ). a. x = EF est une distance donc x. EF DC donc x. Finalement x [ ; ]. CORRIGE b. = aire(efji) + aire(ghkl) aire(carré central) = x+x x = x + x.. a. Les solutions de l équation g(x)= sur [ ; ] ont pour valeurs approchées à un près et. b. tableau de valeurs à, près x,,,, Conclusion : tableau de valeurs à, près x,,,9,, < s <, Exercice : (, points sur ) a. (x ) + = (x ) + = (x ) = (x-+)(x--)= (x-)(x-)= x-= ou x-= x = ou x =. S = { ; } b. -x + > -x> - x < x < x ] ; [ c. Pour résoudre (x+)(-x+) > on étudie le signe de (x+)(-x+) : x + x x+ + + (x+)(-x+) + d. (x + )(-x + )= -x +x x+ =-x x+. (x + )(-x + ) < -x x+< -x x< x(-x )<. x + -x + x + x(-x ) + S = ] ; [ x+ = x =. -x+ = -x = - x =. Conclusion : (x+)(-x+) > x ]- ;[ S = ] ; [ x =. -x = -x = x = /- x = -. Conclusion : (x + )(-x + ) < x(-x ) < x ]- ;-[ ] ;+ [ S = ]- ;-[ ] ;+ [ x ( x + ) x ( x + ) x x x e. x + x x + x ( x + ) x x( x + ) x( x + ) x( x + ) x( x + ) x + x + x + + x x + + x( x + ) x = x=. x =. x+ = x =. x Conclusion : x + x x( x + ) x ]- ;-[ ] ;] S = ]- ;-[ ] ;[

4 Exercice : ( points sur ) a. f ( ) = = = = = b. f ( ) = = or = donc f () donc est une solution de l inéquation f ( x). + ( x + ) ( x + ) x x + c. f ( x) x + x + x + x + x + x + x + x / + x+ + + x+ + + x + x + + x+ = -x = - x = -/- x= /. x+ = x =. x + Conclusion : f ( x) x + x ]- ; ]. Exercice : ( points sur ) S = ]- ; [ a. x + y = x + y = E + E x + y = y = y = x + y = x + y = x + y = x + = x = b. A( ; ) et B(- ; ) donc la droite (AB) a pour coefficient directeur = = donc (AB) a une équation de la forme y = -x + p et A( ;) appartient à (AB) donc = - + p = - + p = p. Conclusion : (AB) a pour équation y = - x +. Exercice : (, points sur ) a. g(x) x [- ;-,] [ ; ]. b. x - - c. d a pour équation y = x Exercice : ( points sur ).a) Si x alors. b) Si x alors -.. > x [- ;-[ ] ;]. x - - -

5 Exercice : (9 points sur ) ABCD est un carré de côté c =. I est le point du segment [AD] tel que AI = et H le point du segment [DC] tel que DH =. Les droites (AH) et (IB) se coupent en K. Montrer que les triangles ABI et ADH sont isométriques. Les triangles ABI et DAH ont : angle BAI = angle ADH = angle droit; AB = AD et AI = DH Ces deux triangles ont donc un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur : ils sont donc isométriques. a) En déduire que les triangles AIK et BIA sont de même forme Les triangles ABI et DAH étant isométriques on a mesure angle ABI = mesure angle DAH. Or angle DAH = angle IAK. Donc mesure angle ABI = mesure angle IAK Les triangles AIK et BIA ont donc : mesure angle IAK = mesure angle IBA Angle AIK = angle BIA Ces deux triangles ont deux angles respectivement de même mesure : ils sont de même forme b) Déduire alors que les droites (AH) et (BI) sont perpendiculaires. Les triangles AIK et BIA étant de même forme, ils ont leurs angles deux à deux de même mesure ; on a donc : Mesure angle AKI = mesure angle BAI = 9 Conclusion les droites (AH) et (BI) sont perpendiculaires. On note k = AI BI a) Prouver que k = D après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABI on a BI = AB + AI or AI = et AB = on en déduit BI = Ainsi k = AI BI = b) Calculer alors les longueurs AK et KI. Les triangles AIK et BIA étant de même forme, ils ont leurs côtés correspondants proportionnels; AI AK IK on a donc : BI = BA = IA = d où AK = BA or BA = donc AK = et IK = IA or IA = donc c) Calculer l aire du triangle AIK et en déduire le rapport 9 IK = Aire( BIA) Le triangle AIK étant rectangle en K (question b), son aire est égale à : = Or le triangle BIA est aussi rectangle en A son aire est égale à : Le rapport des deux aires est donc égal à : Aire( BIA)= Aire( BIA ) = 9 = = k = 9 AK KI = = AB AI = = Remarque : Vous pourrez contrôler l exactitude de votre réponse du c) en faisant référence à la propriété qui relie les aires de deux triangles de même forme dont le coefficient de proportionnalité entre les longueurs des côtés est k.

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