I Convergence de la suite (s n ).

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1 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 I Convergence de la suite (s n ). I..(a) Pour tout k on a k k k k(k ) >. L application x /x étant décroissante sur ], + [ il en résulte (b) On en déduit pour tout n, ( s n + ) + k k(k ) k k ( ) ( + + n ) n n. (c) La suite (s n ) est croissante car s n+ s n /(n + ) >, majorée par, donc, par le «théorème de la limite monotone», elle est convergente et sa limite S. I..(a) La suite (s n ) est croissante. Par définition de t n on a pour tout n, t n t n n + s n n s n n(n ) n. (cf..a) La suite (t n ) est donc décroissante. Enfin t n s n /n tend vers quand n tend vers l infini. Les suites (s n ) et (t n ) sont donc adjacentes. (b) Puisque S est limite de la suite croissante (s n ) et de la suite décroissante (t n ) on a pour tout n s n S t n, et ceci est un encadrement d amplitude /n. Pour n on a donc s S s () La calcul numérique de s donne s et donc l encadrement d amplitude...54 < s < I.. Voici le texte d un exercice de niveau terminale S. On peut faire plus long. (a) Démontrer que la fonction t /t est définie et décroissante sur [, + [. (b) En déduire, pour tout k une majoration de par une intégrale, puis une k majoration de s n n k n. (c) En déduire que la suite (s n ) est convergente. II Utilisation de polynômes. II.. La formule donnant la somme des racines de P est σ a n a n Plus précisemment, notons R n P kn+ /k le reste d ordre n de la série P n /n. L encadrement R dt < R t < R dt donne < t R <, et donc s + / < S s + R < s + / qui est un encadrement de largeur / / /. Le calul numérique donne.64 < S <.65. Corrigé Epreuve, 7 M. Deléglise

2 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 II..(a) La formule de Moivre donne cos(p + )ϕ + i sin(p + )ϕ (cos ϕ + i sin ϕ) p+ p+ ( ) p + i k sin k (ϕ) cos p+ k (ϕ) k k En remarquant que i k ( ) k et i k+ ( ) k i, l égalité des parties imaginaires des deux membres donne ( ) p + sin(p + )ϕ ( ) k sin k+ (ϕ) cos p k (ϕ). k + k (b) Puisque sin ϕ (car ϕ mod π) la formule ci-dessus s écrit encore sin(p + )ϕ sin p+ (ϕ) sin p+ (ϕ) ( ) p + ( ) k sin k p (ϕ) cos p k (ϕ) k + ( ) p + ( ) k (cotan ϕ) p k k + k k II..(a) Pour k p on a < π p + kπ p + pπ p + < π et γ k cotan kπ p + kπ est bien défini. On remplace ϕ par dans l identité obtenue en.(b) et on p + divise les deux membres par sin p+ kπ, qui est non nul, ce qui donne p + sin kπ ( ) P (γ k ). sin p+ kπ p+ (b) Puisque cotan : ], π/[ ], + [, ], π/[ on a γ > γ > > γ p, et les γ k sont p racines distinctes de P, donc toutes les racines de P car deg(p ) p. (c) Puisque les γ k sont les racines de P on a en utilisant II. ( ) kπ cotan p + k Avec la formule k ( ) sin kπ p+ γ k k ( p+ ) p + sin ϕ + cotan ϕ on en déduit k p(p ) ( ( )) kπ + cotan p(p ) p + p + p(p + ) II.4.(a) La fonction x x sin x de dérivée x cos x strictement positive sur ], π/[ est strictement croissante sur [, π/] (théorème des accroissements finis). Puisqu elle est nulle en, elle est strictement positive sur ], π/[. De même x tan x x, nulle en, de dérivée x tan x strictement positive sur ], π/[, est strictement positive sur ], π/[. Corrigé Epreuve, 7 M. Deléglise

3 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 (b) La première formule de.(c) et la majoration ϕ < tan ϕ (pour < ϕ < π/), soit cotan ϕ < /ϕ donnent p(p ) ( ) kπ cotan < p + k ( ) p + kπ k (p + ) π La deuxième formule du.(c) avec sin ϕ < ϕ (pour < ϕ < π/) donne k k (p + ) π ( ) p + k < kπ k k sin k kπ p+ p(p + ) (c) L encadrement établi au (b) donne, après multiplication par π /(p + ), π 6 p(p ) (p + ) < k < π 4p(p + ) 6 (p + ) k p(p ) 4p(p + ) Lorsque p +, (p + ) et tendent vers, et le théorème des (p + ) gendarmes, donne l existence et la valeur de k k π 6 II.5. On remarque que u n s n /4. Alors, puisque (s n ) est convergente, (u n ) est convergente et U lim n + u n (lim n + s n )/4 S/4 π /4. On remarque ensuite que v n s n+ u n. Puisque (s n ) et (u n ) sont convergentes, de limites respectives S et U, (v n ) est elle aussi convergente et lim v n S U S S n S π 8 On écrit Cela donne s n + w n k n k ( ) k+ k + n k n w n (k + ) s n k n + n k (k + ) V S π. III Utilisation des intégrales de Wallis. III.. Les fonctions t et t t sont continues de primitives t t et t t / d où I / dt t ] π/ π et J / t dt t ] π/ π 4 Corrigé Epreuve, 7 M. Deléglise

4 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 III..(a) Soient u(t) cos n+ t et v(t) sin t. Les fonctions u et v sont de classe C, avec dv cos t dt. Le théorème d intégration par parties donne I n+ / (n + ) u dv [ (cos n+ t) sin t ] π/ + (n + ) / soit (n + )I n+ (n + )I n. (cos n t) dt (n + ) / / (cos n+ t) dt (b) Pour n on a donc, I n n n I n puis, par récurrence, I n (n )(n ) (n)(n ) I (n)! (n) (n ) I (cos n t)(sin t)dt (n)! π n (n!) III..(a) Pour n une intégration par parties avec u(t) cos n t et v(t) t (u et v sont de classe C ) donne avec I n / udv [ t (cos n t) ] π/ + I n / / nt (cos n t)(sin t) dt ni n t (cos n t) sin t dt. Une deuxième intégration par parties, avec u(t) (cos n t) sin t et v (t) t donne [ t I n (cosn t) sin t ] π/ / t (cos n t)dt + (n ) Avec l identité sin t cos t cela donne I n J n + n J n n et enfin I n ni n n(n )J n n J n. (b) Par définition de K n, pour tout n on a / t cos n t sin t J n n J n nj n K n K n 4n (n )! J n 4n n! (n )! (n)! J n 4n (n )! (n(n )J n 4n J n ) (n)! Vu la formule précédente, et la question.b, cela donne K n K n 4n (n )! (n)! I n 4n (n )! (n)! π (n)! 4 n n! π 4n (c) Remarquons que K J, et donc, vu la question précédente, J K N K K N (K n K n ) π 4 n k n Corrigé Epreuve, 7 4 M. Deléglise

5 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 III.4.(a) La fonction x sin x définie sur [, π/] dont la dérivée seconde, x sin x est négative, est une fonction concave. Son graphe est donc situé «au dessus» de la droite passant par les points (, ) et ( π, ), d équation y x. Pour x π/ π on a donc sin x π x. (b) Par la question précédente, pour t π/, on a t π sin t, d où J n / t cos n t dt / π 4 (I n I n+ ) π I n 8 n + π 4 sin t cos n t dt π 4 (en utilisant.(a)). / ( cos t) cos n t dt Remplaçant J n par K n π I n (cf..(b)) dans cette inégalité on obtient K n π 6(n + ) (c) Par la question précédente, lim n K n. Avec la formule s n 4(J K n )/π établie au.(c), cela donne l existence et la valeur de lim n s n 4 π J π 6 IV.. Pour tout x R on a D n (x) + IV Noyau de Dirichlet. k n cos kx + k n (e ikx e ikx) n k n e ikx. Ceci est la somme d une progression géométrique de raison e ix puisque x πz, d où D n (x) e inx e i(n+)x e ix e i(n+/)x e i(n+/)x e ix/ e ix/ sin(n + /)x sin(x/) IV..(a) Par parties, avec u x, dv cos kx dx et v k sin kx, (u et v sont de classe C ) [ x cos kx dx x ] π k sin kx sin(kx) dx k k [cos(kx)]π ] [( ) k k { si k est pair si k est impair. k (b) La définition D n (x) / + n k cos kx et la linéarité de l intégrale donnent L n xd n (x) π 4 + n k ( ) k k x n dx + n k k k x cos kx dx Corrigé Epreuve, 7 5 M. Deléglise

6 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 IV.. Au voisinage de, sin x x + o(x ) x ( + o(x)), () et donc f(x) x sin x + o(x). () + o(x) Ceci montre d abord que lim x,x f(x), donc que la fonction f se prolonge par continuité en en posant f(). Ceci fait, () s écrit alors f(x) f() + x + o(x) ce qui montre que f est dérivable en avec f (). Par le théorème de dérivation d un rapport f est continûment dérivable sur ], π[ et f (x) sin x x cos x (sin x ) Le développement limité cos x + o(x) donne x cos x x + o(x ) et, avec () ( Lorsque x on a sin x ) sin x x cos x o(x ). f (x) sin x x cos x (sin x ) ( x ) x ( + o()). On a donc, lorsque x, 4 o(x ) x 4 ( + o()) f (). Ainsi la fonction f, continue en et sur R, est continue sur R et f de classe C. Remarque : On pouvait aussi se contenter de prouver que f est prolongeable par continuité en, sans prouver la dérivabilité en, puis démontrer que f (x) quand x, et utiliser le théorème du prolongement par continuité d une fonction dérivée (voir les remarques à la fin du corrigé). IV.4. Soit λ >. Une intégration par parties avec u(x) Φ(x), v (x) sin λx et v(x) cos λx λ, où u et v sont de classe C donne Φ(x) sin λx dx Φ() λ udv λ [Φ(x) cos λx]π + λ Φ(π) cos λπ + λ λ Φ (x) cos λx dx. Φ (x) cos λxdx Les fonctions Φ et Φ continues sur [, π], sont majorées en valeur absolue respectivement par Φ et Φ. Avec cos λx, il vient Φ(x) sin λx dx λ Φ + Φ (x) cos λx dx λ λ Φ + Φ λ dx λ Φ + π Φ λ, d où lim λ + Φ(x) sin λx dx. Corrigé Epreuve, 7 6 M. Deléglise

7 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 IV.5.(a) Les fonction x xd n (x) et x f(x) sin(n + )x sont continues sur [, π]. Par la question IV., pour x ], π[, elles prennent la même valeur x sin(n + )x sin x. Elles coïncident donc sur [, π] et ( L n xd n (x) dx f(x) sin n + ) x dx. Puisque f est de classe C sur [, π], par la question IV.4 on a lim n L n. (b) Il résulte de IV..(b) que lim L n π n 4 S W π 4 S S π 4 S. Puisque lim L n on en déduit S π /6. V Une somme double. V..(a) Puisque fonction t /t est décroissante sur R +, on a pour tout n La croissance de l intégrale donne alors et log(n + ) n+ n + dt n t n N+ dt t N N N H N + n + + n n n n+ n n+ n dt N t n H N n dt N t + dt + log N. t (b) On en déduit H N N + log N log N. Utilisant lim et le théorème des N N + N gendarmes, il vient lim H N/N. N (c) En remarquant que /(m(m + )) /m /(m + ) on a M m H m m(m + ) M m H M M m M H m m m M + m m H M M M H m m + m H m H m m H m m M m H M M H m m M + m m (d) En faisant tendre m vers l infini dans l identité que l on vient d établir on obtient H m m(m + ) m lim H M M M π 6 m m Corrigé Epreuve, 7 7 M. Deléglise

8 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 V..(a) En remarquant que n(n + m ) [ ] m n on écrit n + m Z N,m m m m [ ] n n + m n [ N ] N+m n n n nm [ ] N+m H m n nn+ (b) Pour m fixé N+m nn+ n est une somme de m termes qui tendent chacun vers quand N tend vers l infini, et donc V..(a) On a lim Z N,m H m N m n m mn(n + m ) m n m m Z N, + mn(n + m ) n m M n(n + m ) Z N,m m N n m M n + m Z N,m m Z N,m m Z N,m (b) Par IV..(b) pour chaque valeur de m dans [, M], on a lim N m H m m(m ). ce qui donne Avec lim N + n n π 6 lim lim N n m N m (c) Par la question précédente lim N n m cela donne Z N,m m N m H m m(m ) mn(n + m ) π 6 + M mn(n + m ) π 6 + M m Par V..(d) cette quantité tend vers π 6 + π 6 π et vaut π. m H m m(m ) H m m(m ) π 6 + M m H m m(m + ) donc la limite demandée existe Corrigé Epreuve, 7 8 M. Deléglise

9 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 VI La fonction Dilogarithme. VI.. L expression ln( t)/t n est a priori pas définie en, l intégrale définisssant Li(x) semble donc être une intégrale impropre en. Mais, puisque log( t) t lorsque t tend tend vers, la fonction t log( t) t définie sur [, [\ {} se prolonge par continuité en en lui donnant la valeur. Par le «théorème fondamental du calcul différentiel et intégral», la fonction Li : x x ln( t) t dt est donc définie sur [, [, et même de classe C, car sa dérivée est la fonction continue ln( x) x x VI.. Dire que Li se prolonge par continuité en c est dire que l intégrale x ln( t) dt t admet une limite lorsque x tend vers, c est à dire que l intégrale impropre ln( t) dt t est convergente. Lorsque t, l expression log( t)/t est positive, équivalente à log( t). Par la règle des équivalents pour les intégrales impropres de fonctions positives, cette intégrale est de même nature que log( t) dt. Une primitive de log t est t log t t. Une primitive de log( t) est donc ( t) log( t) + t. Cette primitive admet une limite quand t tend vers, ce qui termine la preuve. VI..(a) La série entière t t n, de rayon de convergence, peut être intégrée n terme à terme sur ], [. Il en résulte que pour tout u ], [ et donc, log( u) u dt t log( u) u n n u u n n t n dt n n u n+ n + u n n + Cette série entière est encore de rayon de convergence, et par intégration terme à terme il vient Li(x) x ln( u) u du n x u n n + du n n u n n x n+ (n + ) (b) Pour n, la fonction définie sur [, ] par x xn prend sa plus grande valeur n absolue en les points et et cette valeur absolue est /n. Notant la norme de la convergence uniforme sur [, ] on a donc x n n n n x n n Corrigé Epreuve, 7 9 M. Deléglise

10 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 La série n x n n est donc normalement convergente et a fortitori uniformément convergente sur [, ]. Sa somme g(x) est une fonction continue sur [, ]. Par VI. la fonction Li est continue sur [, ]. On a donc x n Li() lim Li(x) lim n lim g(x) g() x x x< x x x< n x< n n π 6 ln( t) VI.4.(a) La définition Li(x) donne, pour x ], [, Li ln( x) (x). t x Si t ], [ alors t ], [. Par le théorème de dérivation d une fonction composée la fonction t Li(t) + Li( t) est donc dérivable sur ], [ et d dx (Li(x) + Li( x)) Li (x) Li ln( x) ( x) + ln(x) x x (b) Par les théorèmes de dérivation d un produit et d une fonction composée x h(x) π 6 + ln(x) ln( x) est dérivable sur ], [ avec h ln( x) (x) ln(x) Cette dérivée est la x x même que celle de la fonction Li(x) + Li( x). Ces deux fonction diffèrent donc d une constante. De plus, lorsque x tend vers on a ln( x) x et donc, lorsque x, ln(x) ln( x) x ln(x). Il en résulte que π lim h(x) x 6 Li() lim(li(x) + Li( x)). x On a donc pour tout x ], [, Li(x) + Li( x) π + ln(x) ln( x). 6 VI.5. Utilisant VI..(a) et l identité précédente pour x / on obtient n n n Li ( ) [ Li VI.6.(a) Par VI..a, pour tout x ], [ d où Li(x) + Li( x) Li(x) + n + x n n ( ) ( + Li )] π + n et Li( x) ( ) n xn n ( + ( ) n ) xn + n n n x n n + (x ) n n n (ln()) Li(x ). (b) Faisant tendre x vers et utilisant la continuité de Li en et on obtient Li() + Li( ) Li(), ou encore Li( ) Li() π par VI..b. Corrigé Epreuve, 7 M. Deléglise

11 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 VI.7.(a) Pour x ], [ on a d dx Li d dx Li d x) Li(x) ln(, dx x ( ) x x ( + x) ln +x + x x ( ) x ( + x) ln +x + x x d + x) Li( x) ln( dx x ( + x) x ln x + x ( + x) x ln + x Notons U(x) Li(x) Li( x)+li ( ) ( ) x x Li + x + x ( ) V (x) π + x 4 +ln ln x. x On a donc U (x) ( ) + x x ln + ln x x x V (x) De plus, avec la continuité de Li sur [, ], on a π lim U(x) Li() Li( ) x 6 + π π 4 lim V (x). x Ceci prouve que U(x) V (x) pour tout x ], [. (b) Soit x satisfaisant x x + x. Un calcul simple montre que x convient. Donnons cette valeur à x dans la formule précédente. Elle devient De plus, par VI..(a) on a [Li(x) Li( x)] π 4 + ln Li(x) Li( x) n x n n n ( x ) ln x π 4 (ln x). ( x) n n n x n+ (n + ) Ceci donne donc n x n+ (n + ) (Li(x) Li( x)) 4 ( π 4 (ln x) ) soit n ( ) n+ (n + ) π 6 [ln( )] 4 Merci à François Gramain qui a relu soigneusement ce texte et éliminé bon nombre de fautes ou imprécisions. Corrigé Epreuve, 7 M. Deléglise

12 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 Remarques A propos de la question II.4.a Soit f une fonction continue sur [a, b] R, dérivable sur ]a, b[, avec f (x) > pour tout x ]a, b[. Alors, f est strictement croissante sur [a, b] et non pas seulement sur ]a, b[. C est encore une conséquence du théorème des accroissements finis, car, pour tous u, v, a u < v b, ce théorème s applique sur l intervalle [u, v] et il existe c ]u, v[ avec f(v) f(u) (v u)f (c) >. A propos de la question IV. Soit f une fonction continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, telle qu il existe l lim x a + f (x). Une faute fréquente est la suivante : «la fonction f définie sur ]a, b[, se prolonge par continuité au point a, en lui donnant en ce point la valeur l. Donc f est continûment dérivable en». La conclusion est vraie, mais cela résulte du théorème suivant. Si vous n invoquez pas ce théorème on peut penser (probablement sans sans se tromper) qu il est pour vous évident que la dérivée de f au point a existe et coïncide avec lim x a f (x). Théorème Soit f : [a, b] R, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, telle qu il existe l avec lim x a + f (x) l. Alors f est dérivable en a, et, de plus, f (a) l. En particulier, f est continue en a. Preuve : Il faut connaitre cette démonstration, qu on pourra vous demander à l oral. C est une conséquence classique du théorème des accroissements finis. En effet, par ce théorème, pour tout h, avec < h b a, il existe θ ], [ tel que f(a + h) f(a) h f (a + θh). Lorsque h, a + θh a, et, par hypothèse, lim h f (a + θh) l, d où f(a + h) f(a) lim lim f (a + θh) l. h h h A propos de la question VI..b Personne n a répondu correctement à cette question qui était un piège. Par VI..a on sait que, pour x ], [, Li(x) + n xn. Beaucoup d étudiants ayant traité la question n écrivent : «et donc, pour x cela donne Li(x) + n», ne remarquant pas que n n est pas un élément de ], [! Les autres écrivent «Puisque la fonction Li est continue au point (question ) on a, en utilisant VI..a, Li() lim Li(x) lim x x + n x n + n n» (4) n Corrigé Epreuve, 7 M. Deléglise

13 Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 Cette démonstration est fausse. Lorsqu on écrit lim + x n on admet (implicite- n ment) que si g est la fonction définie sur ], [ par g(x) x n + n n + n Or g(x) est défini sur ], [ comme somme de la série entière + n x n n x n, alors lim n g(x) + x Le théorème au programme dit que, à l intérieur du disque de converence, la somme d une série entière est continue. Il ne dit rien concernant la somme en un point situé sur la frontière du disque de convergence. n n. Corrigé Epreuve, 7 M. Deléglise

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