Introduction. L épreuve pratique a pour objectif d évaluer les capacités des élèves à mobiliser les TICE pour résoudre un problème de mathématiques.

Transcription

1 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Introduction L épreuve pratique a pour objectif d évaluer les capacités des élèves à mobiliser les TICE pour résoudre un problème de mathématiques. Les exercices proposés sont généralement peu guidés afin de laisser une part d initiative à l élève, de lui permettre de s appuyer sur les observations faites dans la partie expérimentale pour étayer les raisonnements dans la phase de démonstration, et de lui laisser le choix de la démarche : vérification argumentée d une conjecture, tâtonnements, résolution géométrique, résolution algébrique, etc., selon les situations. On n attend pas des élèves la démarche la plus experte et toutes les formes de raisonnements peuvent être valorisées. De par sa conception, l épreuve suscite un échange oral entre l'élève et le professeur à plusieurs reprises. Le professeur peut alors apporter une aide si nécessaire aussi bien pour l utilisation des outils TICE que pour l élaboration d un raisonnement, par exemple en suggérant des pistes de réflexion sous la forme d un questionnement, sans que cela soit pénalisant au niveau de l évaluation.

2 Sujet 1 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Optimisation On dispose d une ficelle longue de douze mètres. À l aide de cette ficelle on souhaite entourer un rectangle d aire maximale. 1. Représenter, à l aide d un logiciel de géométrie dynamique, un rectangle qui a un périmètre de 12 unités. Conjecturer les dimensions du rectangle d aire maximale. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure et de la conjecture. 2. Démontrer votre conjecture. Indication : On pourra nommer x une des dimensions du rectangle. Construction de la figure Démonstration de la conjecture établie à la question 1.

3 Sujet 2 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Le billard circulaire Dans un billard circulaire de centre A on considère une boule placée en M qui suit une trajectoire rectiligne (MN). Cette boule rebondit en N et suit la trajectoire (NP) telle que MNA = ANP. Elle rebondit ensuite en P en respectant une égalité d angles comme précédemment. Puis elle continue sa trajectoire par des rebonds successifs en respectant la même règle sur les angles. 1. Réaliser à l aide d un logiciel de géométrie dynamique une figure avec deux rebonds. 2. Conjecturer quelle doit être la valeur de l angle AMN de départ pour que la boule arrive à nouveau en M après deux rebonds. Appeler l examinateur pour une vérification de la conjecture. 3. On suppose que la boule arrive à nouveau en M après deux rebonds. Déterminer la nature du triangle que forme dans ce cas la trajectoire de la boule et justifier votre réponse. Appeler l examinateur pour une vérification. Construction d une figure et conjecture pour les questions 1 et 2. Démonstration de la conjecture à la question 3.

4 Sujet 3 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Le logo Voici le logo d une entreprise. Le quadrilatère ABCD est un rectangle AM = BN Les points M et N sont les symétriques des points M et N par rapport à O. On souhaite que l aire de la partie grisée soit égale au tiers de l aire du rectangle. 1. Faire une figure à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. Conjecturer pour quelle position du point M sur le segment [AB] l aire de la partie grisée est égale au tiers de l aire du rectangle. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure et de la conjecture. 2. Démontrer la conjecture établie en 1. Appeler l examinateur pour une vérification. Construction d une figure à l aide d un logiciel de géométrie dynamique et conjecture. Démonstration de la conjecture établie à la question 1.

5 Sujet 4 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Calibrage On se place dans un repère orthonormé. Dans ce repère la tache ci-dessous est délimitée par les courbes d équation y = x 2 et y = 12x-2x 2 pour x compris entre 0 et À l aide d un logiciel de géométrie dynamique, construire la tâche et ajouter un segment vertical [AB] joignant deux points du contour de la tâche. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure. 2. Conjecturer comment positionner ce segment pour que sa longueur soit maximale. Appeler l examinateur pour vérification de la conjecture. 3. Démontrer la conjecture émise à la question 2. Indication : on pourra exprimer la longueur AB en fonction de l abscisse du point A. Appeler l examinateur pour une vérification ou une aide éventuelle. Construction de la figure Formulation de la conjecture Démonstration de la conjecture

6 Sujet 5 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève La longueur de la rampe Le profil de la rampe d une piste de skate-board peut être modélisé par le tracé de la courbe représentant la fonction inverse sur l intervalle [0,5 ;5] (1 unité = 1m). Bastien souhaite déterminer approximativement la longueur de ce profil : pour cela il calcule et additionne les longueurs des trois segments [AB], [BC] et [CD] dessinés ci-dessous. 1. Réaliser la figure avec un logiciel de géométrie dynamique et faire afficher une valeur approchée du calcul de Bastien. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure. 2. Pour estimer avec beaucoup plus de précision la longueur du profil, Bastien souhaite reproduire la démarche ci-dessous mais avec des segments reliant des points de la courbe dont les abscisses sont placées tous les 0,1 m. Grâce à un tableur ou un logiciel de programmation, effectuer cette seconde estimation de la longueur de la rampe. Figure pour la question 1. Feuille de calcul ou programme pour la question 3.

7 Sujet 6 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Cercle passant par quatre points On considère quatre points A, B, C et D tels que les segments [AB] et [CD] soient perpendiculaires et se coupent en un point O. On sait que OC = 3 et OD = 25. On sait de plus que OA = 3OB. On considère le cercle Γ passant par les points A, B et C. 1. Faire une figure avec le logiciel de votre choix. 2. Conjecturer la valeur de OB pour laquelle le cercle Γ passe par le point D. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure et de la conjecture 3. Démontrer que, pour la valeur de OB conjecturée à la question 2, le cercle Γ passe par D. Construction de la figure et conjecture. Démonstration demandée à la question 3.

8 Sujet 7 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Une courbe connue Dans un repère orthonormé, on considère le point A(0 ; 0,25) et la droite d équation y = 0, 25. La distance d un point M du plan à une droite est la distance MH où H est le projeté orthogonal du point M sur la droite. On souhaite déterminer l ensemble des points M situés à égale distance de la droite et du point A. 1. À l aide d un logiciel de géométrie dynamique : Pour un point H de la droite, construire le point M, dont le projeté orthogonal sur est H, et qui situé à égale distance du point A et de la droite. Faire apparaître une partie de l ensemble des points M situés à égale distance de la droite et du point A : quel semble être la nature de cet ensemble de points? Appeler l examinateur pour une vérification de la figure et de la conjecture sur l ensemble de points. 2. Soit M un point de coordonnées ( x ; y), situé à égale distance de et de A. Établir une relation vérifiée par x et y. Cette relation permet-elle de démontrer complètement la conjecture émise à la question 1? Justifier votre réponse. Figure et conjecture pour la question 1 Démonstration pour la question 2.

9 Sujet 8 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Vrai/Faux Un exercice de baccalauréat est composé de quatre affirmations et de l énoncé suivant : Pour chacune des quatre affirmations suivantes dire, sans justifier, si elle est vraie ou fausse. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 0,5 point et l absence de réponse n apporte ni n enlève aucun point. Si le total est négatif la note de l exercice est ramenée à 0. On veut connaître la probabilité, pour un élève qui répond au hasard à toutes les questions, d obtenir un zéro, note minimale, avec cette stratégie. 1. Simuler sur une feuille de calcul ou à l aide d un programme 100 grilles de quatre réponses données au hasard et faire apparaître la fréquence des grilles obtenant la note 0. Appeler l examinateur et lui montrer le tableau obtenu. 2. Relevez les fréquences pour plusieurs simulations de 100 grilles différentes et proposer une estimation de la probabilité d obtenir la note 0 en répondant au hasard aux quatre questions. Appeler l examinateur pour une vérification de la conjecture. 3. Calculer la valeur exacte de cette probabilité et comparer avec les fréquences obtenues à la question 2. Indication : on pourra s aider d un arbre Appeler l examinateur pour une vérification du calcul de la probabilité Construction d une feuille de calcul ou d un programme Estimation d une probabilité. Calcul de la probabilité.

10 Sujet 9 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Promotions chez votre parfumeur Dans une parfumerie on propose deux promotions différentes pour l achat de deux articles. Formule 1 : une réduction de 20% sur le montant total à payer. Formule 2 : une réduction de 50% sur le prix du deuxième article (le moins cher). 1. Écrire un algorithme qui renvoie le montant de l achat de deux articles selon la formule 1. Compléter l algorithme par le calcul de la dépense selon la formule 2 et par l affichage de la formule la moins chère. 2. Programmer l algorithme avec le logiciel de votre choix. Appeler l examinateur pour une vérification de l algorithme. 3. Utiliser ce programme pour conjecturer quelle est la formule la plus intéressante (a) dans le cas particulier où les prix des deux articles sont identiques ; (b) dans le cas où le premier article coûte 20 de plus que le second. 4. Démontrer ces deux conjectures Écriture d un algorithme. Programmation de l algorithme. Conjecture. Démonstration.

11 Sujet 10 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Signe d une différence Soient a et b deux entiers relatifs compris entre 10 et 10. On s intéresse au signe du nombre A défini par : A = (a + b) 3 (a 3 + b 3 ). 1. Reproduire le tableau ci-dessous dans une feuille de calcul d un tableur et compléter les 441 cellules (a, b) par le signe du nombre A a b Conjecturer à quelles conditions sur a et b, le nombre A est positif. Appeler l examinateur pour une vérification de la conjecture. 3. Démontrer la conjecture lorsque les entiers a et b sont de même signe. Appeler l examinateur pour exposer une méthode pour la démonstration, même non aboutie. 4. Étudier le cas où les entiers a et b sont de signes différents. Appeler l examinateur pour exposer une méthode pour la démonstration, même non aboutie. Une feuille de calcul et la formulation d une conjecture Démonstration de la question 2. Début d une méthode pour la question 3.