SECOND DEGRE ACTIVITES

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1 SECOND DEGRE ACTIVITES Activité 1 : Forme canonique d un polynôme de degré 2. Définition : f est une fonction polynôme de degré 2 définie sur par : f ( x) ax² bx c ( a 0 ). Nous montrerons à la fin de cette activité que f peut alors s écrire sous la forme : f ( x) a( x )². Cette écriture est appelée forme canonique de f. Partie A : Reconnaitre une forme canonique Parmi ces fonctions, lesquelles sont sous forme canonique? Préciser dans le cas échéant les paramètres a,,. 5 f1( x) 2( x 5)² 7; f2( x) 2( x 7)² ; f3( x) ( x )²; f4( x) ( x )² 3; f ( x) (3x 1)² 5; f ( x) 5 x² 7x 4; 5 6 f ( x) 7( x 8)²; f ( x) 4 x² Partie B : Approche graphique Avec Géogébra, nous avons représenté la fonction f définie sur par f ( x) a( x )². On fait varier les paramètres a,, en créant 3 curseurs. Quel est le lien entre ces paramètres et la représentation graphique de f? Partie C : Déterminer la forme canonique d un trinôme de degré m m m m 1. Montrer que : x x² mx et x x² mx Transformer les écritures suivantes en utilisant une des deux formules obtenues : 5 7 x² 5 x; x² 4 x; x² 7 x; x² 6 x; x² x; x² x Ecrire un trinôme sous forme canonique Méthode : On considère le trinôme : f ( x) 2 x² 4x 6 On factorise par le coefficient «a» : On transforme l écriture de la forme «x² mx» : On remplace dans f(x) :.. On réduit et on termine :.. 4. Application 1 : Ecrire la forme canonique des fonctions suivantes : f ( x) 4 x² 12x 4 ; g( x) 3 x² 5x 1 5. Autre méthode à partir du résultat du cours : Méthode : On considère le trinôme : f ( x) 0,5 x² 2x 1 On détermine les coefficients : a = ; b = ; c =. b On détermine =. 2a On détermine f ( ) =. On obtient la forme canonique : f ( x) a( x )². 6. Application 2 : Ecrire la forme canonique de la fonction suivante : f ( x) 2 x² 5x 3 et en déduire les coordonnées du sommet de la parabole ainsi que son tableau de variation.

2 Activité 2 : Choisir la forme la mieux adaptée pour résoudre un problème On considère la fonction f définie sur par : f ( x) x² 2x 3. Le logiciel Xcas donne la forme factorisée ainsi que la forme canonique : 1. Retrouver par le calcul les résultats de la ligne 2 et 3. En choisissant la forme la mieux adaptée de f( x ), répondre aux questions suivantes : 2. Montrer que f est un trinôme de degré Calculer f(0). Interprétation graphique? 4. Résoudre l équation f(x) = 0. Interprétation graphique? 5. Résoudre l équation f( x) 4. Interprétation? 6. Résoudre l équation f( x) 3. Interprétation? 7. Dresser le tableau de variation de f en précisant son extremum. Activité 3 : Résoudre une équation du second degré Une équation du second degré est une équation de la forme : ax² bx c 0 ( a 0) Partie A : Approche algébrique Nous avons déjà résolu des équations du second degré dans des cas particuliers (DM1). Examinons des cas plus complexes : Résolution de l équation 2 x² 8x10 0 a. Montrer que : 2 x² 8x 10 2[( x 2)² 9] b. Résoudre ainsi l équation en utilisant une identité remarquable. Résolution de l équation 2 x² 20x50 0 Utiliser la même démarche pour résoudre cette équation. Résolution de l équation x² 4x5 0 a. Montrer que : x² 4x 5 ( x 2)² 1 b. Peut-on factoriser le trinôme? Cette équation admet-elle des solutions? Partie B : Approche graphique Définition : f est une fonction polynôme de degré 2 définie sur par : f ( x) ax² bx c ( a 0 ). On appelle discriminant de f le nombre noté («delta») défini par : = b² 4ac Avec Géogébra, nous avons représenté la fonction f définie sur par f ( x) ax² bx c. On fait varier les paramètres abc,, et en créant 3 curseurs. 1. Que représentent les points d intersections de la parabole avec l axe des abscisses? 2. Quel semble être le nombre de solutions possibles d une équation du second degré? 3. Quel semble être le lien entre le discriminant et le nombre de solutions d une équation du second degré?

3 Activité 4 : Problème concret - Modélisation Une sauterelle saute d un mur avant de se poser sur le sol. On admet que sa trajectoire est un arc de parabole représentant une fonction f dont l expression est f ( x) x² x Déterminer la forme factorisée et la forme canonique. 2. Choisir la forme appropriée pour répondre aux questions suivantes : a) Quelle est la hauteur du mur? b) A quelle hauteur maximale a-t-elle sauté? c) A quelle distance du mur est-elle retombée? d) A quelle distance est-elle du mur lorsque qu elle est à une hauteur de 2 m? Activité 5 : Signe d un trinôme Partie A : Approche graphique 1. En suivant le modèle ci-contre, dresser le tableau de signe des fonctions représentées ci-dessus. 2. De quoi semble dépendre le signe d un trinôme? 0 Partie B : Approche algébrique On considère le trinôme f ( x) 2 x² 8x 10. Pour obtenir le signe de ce trinôme, on utilise sa forme factorisée : f ( x) 2( x 5)( x 1) en dressant sont tableau de signe.

4 SECOND DEGRE - EXERCICES Exercice 1 : Reconnaitre une forme canonique, une forme développée Les fonctions ci-dessous sont des fonctions polynômes de degré Parmi ces fonctions, lesquelles sont écrites sous forme canonique? Préciser les valeurs de a,, 2. Déterminer la forme développée des fonctions suivantes et vérifier vos résultats à l aide du logiciel de calcul formel Xcas 5 13 g 1 (x) = 3-5x-x² g 2 (t) = t² -3t +5 (-2t² -8t + 4) h(x) = 3( x )² l(x) = -(x+1)(x-5) 6 12 i(x) = 3(2x-1)² -10 k ( x) ( x 3)² 7 1 j(x) = -2(x-7)² +10 mx ( ) 5(2 x 3)( x 2) f ( x) 2 x² 1 u( x) 3 x² 7x Exemple d utilisation du logiciel Xcas : (on a également la fonction expand(expr)) Exercice 2 : Choix de l écriture la mieux adaptée pour résoudre un problème. On considère la fonction f définie sur par : f ( x) 2 x² 8x 24. (forme développée) 1. Montrer que : Pour tout x, f ( x) 2( x 2)( x 6) (forme factorisée) 2. Déterminer la forme canonique de la fonction f. 3. A l aide de votre calculatrice, remplir le tableau de valeurs suivant : x f( x ) 4. Représenter graphiquement la fonction f en prenant : 1cm pour 1 unité en abscisses 1 cm pour 10 unités en ordonnées 5. Dresser le tableau de variation de la fonction f. 6. A partir du graphique, compléter les phrases suivantes : a. La parabole coupe l axe des abscisses en x 1 =. et x 2 =.. b. La parabole coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (.. ; ) c. La parabole passe par le point A(1 ;..). d. La parabole passe par le point B(.. ; 32) e. Les coordonnées du sommet S de la parabole sont : ( ;.) 7. Retrouver les résultats de la question 6. en choisissant l écriture la mieux adaptée de f( x ) (développée, factorisée, canonique) Exercice 3 : Intersection entre deux courbes Sur la figure ci-contre, on a tracé la parabole (P) d équation y x² et la droite (d) d équation y2x 2. Quelles sont les coordonnées des points d intersections I et J? Exercice 4 : Factoriser un trinôme Déterminer la forme factorisée de ces trinômes lorsque cela est possible : a) A( x) 4 x² 36x 56 b) B( x) 4 x² 4x 1 c) C( x) x² x d) D( x) x² 2 x 3 3 e) E( x) 2 x² x f) P( x) x² 1 g) H( x) (2x 1)(4 x 5)

5 8 cm Exercice 5 : Problème de géométrie - Optimisation Dans le rectangle ABCD, on construit le carré AMNP avec M[AB] et P[AD] tel que AM = x. On construit ensuite les rectangles MBRN et PNQD avec R[BC] et Q[DC]. 1. A quel intervalle appartient le nombre x? 2. Exprimer en fonction de x l aire totale vx ( ) des deux rectangles coloriés sur le schéma. 3. Pour quelle valeur de x, vxest-elle ( ) maximale et quelle est la valeur de ce maximum? 4. Pour quelle valeur de x, vxest ( ) égale à la moitié de l aire du rectangle ABCD? 10 cm Exercice 6 : Résolution d une inéquation de degré 2 On considère l expression : A( x) 2(5 x 4)(3x 7) 1. Méthode 2 nde : Résoudre l inéquation Ax ( ) 0 à l aide d un tableau de signe 2. Méthode 1 ère : Résoudre l inéquation Ax ( ) 0 à l aide du signe du trinôme. 3. Déterminer le signe de x² 4;5 x²; x² 8 x; 2( x 4)² Exercice 7 : Modélisation Optimisation Problème concret Une entreprise fabrique jusqu à 3,5 tonnes de beurre par jour. Le coût total de production, exprimé en milliers d euros, pour fabriquer q tonnes de beurre est noté C(q). On a pour q [0 ; 3,5], C(q) = q² + 3. La recette réalisée pour une tonne de beurre est de 4 milliers d euros. On note R(q) la recette exprimée en milliers d euros, obtenue par la vente de q tonnes de beurres 1. Déterminer l expression de R(q) en fonction de q. 2. On note Bq ( ) le bénéfice (en milliers d euros), c est-à-dire la différence entre la recette et le coût total. Montrer que B(q) = -q² +4q - 3 où q [0 ; 3,5]. 3. Pour quelles valeurs de q, le bénéfice est-il positif? 1. Pour quelle valeur de x le bénéfice est-il maximal et quelle est alors la valeur de ce bénéfice? Exercice 8 : Equation bicarrée - Approfondissement 4 Résoudre l équation (E) : 2x 11 x² 6 0 en posant X = x ² (changement de variable) Exercice 9 : Fractions rationnelles- Approfondissement 4x 3 1. Déterminer l ensemble de définition de la fonction rationnelle f définie par : f( x) 6 x² 7x20 2. Résoudre les équations suivantes : x² 3x4 0 ; 2 x 5 x 1 x 5 x1 x 1 ; 2 x ² 3 x 2 x 1 x 2 x² x2 x 1 x Résoudre les inéquations suivantes : 0; 1 ; x² 9 x² 3x2 x2 x2

6 Algorithmique Exercice 1 : Instructions de base (entrée-sortie-affectation) Ecrire un programme calculant la valeur d une fonction On considère l algorithme suivant donné en pseudo-langage: Variables x, y et z sont des nombres réels Entrée Saisir x Traitement y prend la valeur ( x 3)² z prend la valeur -2y+5 Sortie Afficher z 1. Dans chaque cas, donner le nombre affiché à la sortie si: x = 0 ; x = 3 ; x = Programmer cet algorithme sur votre Ti et vérifier vos résultats. (Avec Algobox, il faut déclarer les variables) 3. Cet algorithme permet en fait de calculer l image d un nombre par une fonction f. Quelle est son expression algébrique? 4. Modifier l algorithme ci-dessous afin d avoir le même résultat à la sortie mais en utilisant que deux variables x et y. 5. On considère la fonction f définie par : f ( x) 3 x² 5x 1 Créer un algorithme permettant de calculer l image d un nombre réel par la fonction f. Exercice 2 : Forme canonique f est une fonction polynôme de degré 2 tel que : f ( x) ax² bx c et de forme canonique f ( x) a( x )². 1. Compléter cet algorithme qui lit les nombre a, b, c et qui affiche et Variables a, b, c, et sont des nombres réels Entrée Saisir a, b, c Traitement Affecter à la valeur.. Affecter à la valeur.. Sortie Afficher. Variables a, b et c sont des nombres réels D un nombre réel (associé au discriminant) Début de l algorithme Saisir a, b, c Traitement D prend la valeur.. Afficher «Delta», D Si D > 0 alors Afficher «2 racines» b D Afficher «X1=», 2a 2. Programmer cet algorithme sur votre calculatrice 3. On considère la fonction f définie par : f ( x) x² 2x 5. Déterminer avec votre algorithme les coordonnées du sommet S de la parabole. Exercice 3 : Résolution d une équation du second degré 1. Compléter l algorithme suivant donné en pseudo-langage, permettant de résoudre une équation du second degré 2. Le programmer sur votre Ti. Afficher «X2=»,. Fin Si Si D = 0 alors Afficher «.» Afficher «X0=»,. Fin Si Si D < 0 alors Afficher «.» Fin Si Fin de l algorithme