Feuille d'exercices : Puissance, transformateur & actionneur

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1 Feulle d'exercces : Pussance, transformateur & actonneur P Coln 12 janver Pussance moyenne consommée par un dpôle On consdère le montage suvant fonctonnant en régme snusoïdal de pulsaton ω. La pussance moyenne consommée par le dpôle vaut 500 W. R 1 R 2 C 1 On donne R 1 = 5, 0 Ω, R 2 = 4, 0 Ω et Cω 1. Calculer la valeur ecace de. = 4, 0 Ω. 2. Calculer la valeur de la pussance moyenne dsspée dans chacune des résstances. 2 Relèvement du facteur de pussance On modélse une nstallaton électrque par un dpôle nductf D d'mpédance Z = R + jlω. Le dpôle consomme une pussance moyenne P = 4, 6 kw. On consdère le montage suvant : u D On donne : (t) = I 2 cos (ωt Φ) ; I = 30 A 1

2 u(t) = U 2 cos (ωt) ; U = 220 V ; f = ω 2π = 50 Hz 1. Calculer les valeurs numérques de R et L. 2. Calculer la capacté du condensateur à placer en parallèle sur l'nstallaton pour relever le facteur de pussance à Calculer la capacté du condensateur à placer en parallèle sur l'nstallaton pour relever le facteur de pussance à 0,9. Que vaut alors le courant appelé par l'nstallaton? 3 Transformateur torque Sur un tore magnétque, on dspose deux enroulements. Le prmare est consttué de N 1 spres, et relé à un générateur de force électromotrce e(t) par l'ntermédare d'une résstance R 1. Le secondare comprend N 2 spres, l est branché sur une résstance R 2. Les résstances des enroulements sont nulles. Le tore est consttué d'un matérau de perméablté µ = µ 0 µ r avec µ r 1. Sa secton est notée S. Son rayon a est grand devant le rayon b de la secton S. On néglge les varatons du champ magnétque à l'ntéreur du tore. On le prend de la forme : B = B u θ. 1. Détermner le champ magnétque dans le tore. 2. Rappeler les proprétés des bornes homologues. 3. Établr les expressons des ux Φ 1 et Φ 2, traversant respectvement le prmare et le secondare. 4. Détermner le coecent de mutuelle nductance M exstant entre les deux crcuts, ans que leurs nductances propres respectves L 1 et L 2, en foncton de L 0 = µ 0µ rs 2πa. 5. Quelle relaton exste entre M, L 1 et L 2? 6. Établr les équatons dérentelles lant 2 et e d'une part, 1 et e d'autre part. 4 Étude d'un transformateur en court-crcut On réalse le montage suvant pour étuder les caractérstques en court-crcut d'un transformateur : L'ampèremètre A 1 mesure I 1, l'ampèremètre A 2 mesure I 2, le voltmètre V 1 mesure U 1 et le wattmètre W mesure P 1. 2

3 La mesure à l'ohmmètre des résstances des bobnages donne R 1 = 1, 5 Ω (prmare) et R 2 = 0, 17 Ω (secondare). La résstance nterne de l'ampèremètre A 2 est R A = 0, 04 Ω sur le calbre utlsé. On réalse un ensemble de mesures résumé par le tableau suvant : I 1 (A) 0,24 0,48 0,70 0,95 1,2 U 1 (V) 7, P 1 (W) 1,0 4,2 9, I 2 (A) 2,0 4,0 6,0 8, La plaque sgnalétque du transformateur donne une tenson d'almentaton de 220 V pour une tenson de sorte de 24 V et une ntensté maxmale admssble au secondare de 10 A. Peut-on almenter drectement le transformateur sous 220 V avec le montage proposé? 2. Utlser les mesures c-dessus pour dscuter de la valdté du modèle suvant : le transformateur consdéré fonctonne de manère lnéare et suvant le schéma électrque suvant : L 1 I 1 R 1 R 2 L 2 I 2 U 1 m U 2 Détermner numérquement les caractérstques qu peuvent l'être. 3

4 5 Actonneur électrostatque On consdère un condensateur formé de deux armatures planes, parallèles, de surface en regard S, séparées par de l'ar assmlé à un solant électrque représenté sur la gure. Une des deux armatures est xe, la seconde, qu peut se translater suvant l'axe Ox, est relée à l'extrémté d'un ressort de radeur k et de longueur à vde l 0. L'autre extrémté du ressort est attachée à un support xe. Le dpôle formé par le condensateur est relé à une source de tenson, non représentée sur la gure, qu mpose la tenson u à ses bornes. On xe l'orgne O des abscsses à la poston de l'armature lorsque le ressort a pour longueur l 0 et on désgne par x le déplacement de l'armature moble par rapport à O. La gure ndque l'armature portant la charge +q et celle portant q. On néglge la résstance des conducteurs ans que toutes les forces de frottement. 1. Rappeler l'expresson de la capacté d'un condensateur plan et en dédure les expressons de la capacté du condensateur ans que de l'énerge électromagnétque stockée E elec, en foncton de x et des paramètres utles du problèmes. On suppose que le condensateur évolue dans le cadre de l'arqs électrque de sorte que les expressons précédentes soent encore applcables. 2. Montrer que la force d'nteracton entre les deux plaques se dédut de l'énerge électromagnétque par : F ) = E elec x e x. u 3. Montrer que lorsque u reste nféreure à une valeur maxmale à détermner, l exste deux postons d'équlbre de l'armature moble. Étuder la stablté de chacune de ces postons. 4

5 6 Forces de Laplace sur un crcut rectangulare Un crcut rectangulare ndéformable et xe, de longueur a et de largeur b, est parcouru par un courant constant I 2. Un l rectlgne nn, xe et parallèle au côté de largeur b, parcouru par un courant constant I 1 est placé dans le plan du crcut, à une dstance r du côté de largeur b le plus proche. I 2 I 1 b r a 1. Fare le calcul drect de la résultante R des forces de Laplace s'exerçant sur le crcut rectangulare. 2. Détermner l'nductance mutuelle M entre la spre et le l en foncton notamment de la dstance r. 3. Exprmer l'énerge magnétque E mag du système sous la forme d'une foncton des varables I 1, I 2 et r. ) 4. Calculer Emag r I 1,I 2 7 Ressort parcouru par un courant On consdère un ressort spral vertcal de masse néglgeable, de radeur k et de longueur à vde l 0. Ce ressort est consttué de N spres métallques, non jontves, enroulées sur un cylndre de secton S et est attaché en une extrémté O. O g m 5

6 On attache un objet non magnétque de masse m sur l'extrémté lbre du ressort. Un dspostf permet à un courant contnu d'ntensté de traverser les spres. On consdérera que la longueur du ressort est dans tous les cas susamment grande pour pouvor calculer le champ magnétque créé comme celu d'un solénoïde nn. Calculer la masse m telle qu'à l'équlbre, le ressort retrouve sa longueur à vde. Commenter l'nuence du sgne du courant traversant les spres du ressort. 6