CALCULER UNE ENVELOPPE CONVEXE

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1 CALCULER UNE ENVELOPPE CONVEXE 1. Introuction Soit A une partie e R n. De nombreux problèmes géométriques requièrent la étermination e l enveloppe convexe e A. L enveloppe convexe e A sera notée conv(a). C est la plus petite partie convexe e R n qui contient A. La imension e A est la imension u plus petit sous-espace affine e R n qui contient A. Soit C une partie convexe e R n. Un point x e C est it extrémal s il n existe pas e couple (y, z) e points e C tels que x appartienne au segment ouvert ]y, z[. Dans notre étue, nous nous limitons au cas où A est un ensemble fini e points. Alors son enveloppe convexe est appelée un polytope. Ses points extrémaux sont appelés sommets. On peut émontrer qu une partie compacte convexe e R n est l enveloppe convexe e ses points extrémaux. Ainsi, éterminer l enveloppe convexe e A signifiera en éterminer les sommets. 2. Déterminer les sommets un polytope convexe Soit C l enveloppe convexe une partie finie A e R n. On suppose ici que C est e imension n. Un point x A est un sommet e conv(a) s il n existe pas n + 1 points a 0,..., a n ans A {x} tels que x appartienne à conv(a 0,..., a n ) (le émontrer, en utilisant le théorème e Carathéoory). Cette conition est assez facile à tester, par exemple en résolvant le système linéaire x = n i=0 λ ia i, n i=0 λ i = 1, en n + 1 inconnues λ 0,..., λ n. Dans le cas où les a i sont affinement inépenants, le point x appartient à leur enveloppe convexe si et seulement si tous les λ i sont positifs. Quelle est la complexité e cet algorithme? Supposons que A ait N éléments. Il faut parcourir, pour chaque élément x e A, les ( N 1 n+1) parties e A {x}, résoure le système linéaire et éliminer le point x si ce n est pas un sommet. C est un algorithme en O(N n+2 ). 3. Graham scan On se place ans le plan R 2. Alors l algorithme écrit ci-essus est en O(n 4 ). On peut mieux faire. Soit (Ox) l axe es abscisses. On va se ramener à la situation où, si A = {a 1,..., a N }, O est un point intérieur à A et où les angles ( Ox, Oa i ) 1

2 2 CALCULER UNE ENVELOPPE CONVEXE pris ans [0, 2π[ forment une suite croissante (à permutation circulaire es a i près). On appelle étoile centrée en O un tel polygone. Pour cela, il faut abor trouver un point P intérieur à l enveloppe convexe e A. Pour cela, il suffit e trouver trois points non alignés e A et e prenre pour point p l isobarycentre e ces points. Cela peut se faire en O(n) opérations au pire. Ensuite, on place P à l origine. Il reste à trier les points a i, suivant l angle ( px, pa i ). Pour cela, on peut consiérer l aire es triangles pa i a j. En effet, cette aire est positive si et seulement si ( px, pa i ) < ( px, pa j ). Cela peut se faire en O(N log N). Supposons onc maintenant que A = {a 1,..., a N } est une étoile centrée en O. Si un point n est pas un sommet e l enveloppe convexe, alors il est soit intérieur à un triangle Opq, ou bien à un segment ]p, q[, où p et q sont eux sommets consécutifs e l enveloppe convexe. L algorithme e Graham consiste en une recherche sur les points oronnés, urant laquelle les points intérieurs sont successivement éliminés. On commence en un point, qu on peut choisir comme étant le point le plus à roite e l ensemble. Mettons que ce soit a 1. On regare l angle a 1 a 2 a 3. Si l angle est sortant ou plat, a 2 ne peut pas être un sommet e l enveloppe convexe, car alors il est intérieur soit au triangle Oa 1 a 3, soit au segment ]a 1, a 3 [. Dans ce cas, on élimine a 2 et on consière a 1 a 3 a 4. Dans le cas contraire, on avance et on consière a 2 a 3 a 4. L algorithme se termine quan on va e a 1 à lui-même sans avoir éliminer aucun point. Théorème 3.1. L enveloppe convexe e N points u plan peut être calculé en un temps O(N log N), et un espace e O(N). On peut aapter cet algorithme e telle sorte qu on n aie pas à comparer les angles, pour le tri. Pour cela, on partage l ensemble A par la roite reliant le point le plus à gauche au point le plus à roite, puis on calcule abor l enveloppe convexe es points qui se trouvent au-essus, puis celle es points qui se trouvent en essous. On travaille alors sur les points rangés suivant leurs abscisses. Remarque. Le lien entre le problème e l enveloppe convexe et celui u tri est bien mis en évience par cet algorithme, au moins ans un sens : trier permet e calculer l enveloppe convexe. Inversement, si, étant onné {x 1,..., x N } un ensemble e nombres réels, on consière l enveloppe convexe e l ensemble es points (x i, x 2 i ), on voit que si l on sait calculer efficacement une enveloppe convexe, on sait trier tout aussi efficacement un ensemble e nombres réels. Cela montre en particulier que pour le calcul une enveloppe convexe e N points, on ne pourra pas trouver algorithme en moins e O(N log N).

3 CALCULER UNE ENVELOPPE CONVEXE 3 4. Diviser pour régner Soit encore A une partie finie u plan et soit C son enveloppe convexe. Un algorithme e calcul e C e type iviser pour règner se écrirait e la façon suivante. - On écompose A en eux sous-ensembles A 1 et A 2 qui en forment une partition et on en calcule les enveloppes convexes e manière récursive. - On calcule l enveloppe convexe e C 1 C 2. Il faut réponre à eux questions. - Trouver une partition efficace. En pratique, on choisit les eux parties A 1 et A 2 approximativement e même carinal. - Calculer e manière efficace l enveloppe convexe e la réunion e eux convexes. Concentrons nous sur ce ernier aspect, et supposons avoir calculé les polygones P 1 et P 2 éterminant les enveloppes convexes C 1 et C 2 e A 1 et A 2. Soit O un point intérieur à P 1 ; Par exemple son centre e gravité. Le point O sera intérieur à C, mais on oit istinguer eux cas, suivant que O appartient ou pas à C 2. Pour écier ans quel cas on se trouve, il faut regarer les angles ( Ox, Oa), où a parcourt les sommets e P 2 ans le sens trigonométrique. (1) S ils forment une suite croissante (moulo 2π), le point O appartient à C 2. On peut alors oronner la réunion es sommets e P 1 et P 2 e sorte à obtenir une étoile E centrée en O. Ceci se fait avec une complexité linéaire. L enveloppe convexe e l étoile E est égale à C. (2) Sinon, ces angles sont compris entre eux valeurs ifférant au plus π et le polygone P 2 est contenu ans un secteur angulaire sortant e sommet O. Notons a et b les eux sommets e P 2 tels que P 2 soit contenu ans le secteur angulaire âob. Soit alors E l étoile obtenue en parcourant ans le sens trigonométrique les sommets e P 2 entre a et b puis ceux e P 1 ans le secteur complémentaire. Son enveloppe convexe est C. Une fois obtenue une étoile, on calcule son enveloppe convexe par la méthoe u paragraphe précéent. Analysons la complexité e l algorithme ainsi obtenu, où N est le nombre e points. Une fois obtenus P 1 et P 2, le polygone P est obtenu avec une complexité O(N) pour la fusion es listes et O(N) pour le calcul e l enveloppe convexe une étoile. La complexité T (N) vérifie alors l inégalité, T (N) 2T (N/2) + O(N), onc T (N) O(N log N). 5. Diamètre un ensemble e points Dans ce paragraphe, nous nous intéressons au calcul u iamètre un ensemble A e N points u plan, c est-à-ire à la istance maximale entre eux points e l ensemble.

4 4 CALCULER UNE ENVELOPPE CONVEXE Ce problème a une solution très simple : il suffit e calculer la istance entre chacun es N(N +1)/2 paires e points. La plus grane e ces istances est égale au iamètre. C est un algorithme en O(N 2 ). On peut cepenant montrer que le iamètre e A est égal à celui e son enveloppe convexe. Donc, on peut se restreinre aux sommets e cette enveloppe convexe. Mais ans le pire es cas, il se peut que tous les points e A sont es sommets e son enveloppe convexe, et on peut crainre avoir épenser un temps e O(N log N) sans avoir éliminer aucun point. Mais il existe es algorithmes plus efficaces que O(N 2 ) pour le calcul u iamètre un polygone convexe. On peut utiliser le résultat suivant. Théorème 5.1. Le iamètre un ensemble convexe est égal à la istance maximale entre eux roites e support parallèles. Definition 5.2. Une roite e support un ensemble convexe C est une roite qui passe par un point e C, et telle que C soit inclus ans l un es emi-plans éfini par cette roite. On peut se convaincre par une figure simple que es roites e support parallèles ne peuvent pas passer par tous les couples e points un convexe. Une paire e points amettant es roites e support parallèles sont appelés antipoaux. Grâce au théorème 5.1, on peut se restreinre aux couples e points antipoaux, et le problème est e les trouver sans avoir à examiner tous les couples e points. Consiérons onc un polygone convexe C, et partons un sommet a i e C. Parcourons les points e C à partir e a i ans le sens contraire es aiguilles une montre, jusqu à atteinre un sommet b (i) qui est le plus loin possible e la roite (a i, a i 1 ) (s il y en a plusieurs, on pren le premier rencontré). Remarquons que la suite e ces istances est croissante, puis écroissante. On n a onc pas besoin e vérifier tous les sommets. De même, on éfinit b (i) g comme étant le premier point situé à la plus grane istance e la roite (a i, a i+1 ), trouvé en parcourant les sommets epuis p i, ans le sens es aiguilles une montre. Alors l ensemble C(a i ) es sommets situés entre b (i) et b (i) g est égal à l ensemble es points antipoaux avec a i. En effet, soit α i > π le secteur angulaire externe (rentrant) entre [a i 1, a i ] et [a i, a i+1 ], alors a i et a j sont antipoaux si et seulement s il existe une roite ans α i α j. Chaque point a j e C(a i ) vérifie cette propriété, tanis que les autres sommets e C ne la vérifient pas. Remarquons qu une fois b (i) à parcourir les points e C à partir e b (i) trouvé, on peut trouver b (i) g en continuant, jusqu à ce que la suite es istances écroisse. Attention : il peut y avoir eux points qui réalisent le maximum, en cas e cotés parallèles. Dans le cas contraire, b (i) = b (i+1) g. Ainsi, en l absence e cotés parallèles, il y a exactement N paires e points antipoaux.

5 CALCULER UNE ENVELOPPE CONVEXE 5 Ceci suggère un algorithme qui étermine tous les couples e sommets antipoaux. Le problème est, pour optimiser l algorithme, e trouver une et une seule fois chaque couple e points antipoaux. On utilise eux pointeurs p et q. Au ébut, p est en a N et q en a 1. On compare les aires u triangle p, NEXT (p), NEXT (q) et u triangle p, NEXT (p), q, où NEXT (a i ) = a i+1 si 1 i N 1 et NEXT (a N ) = a 1, et on incremente q s il y a lieu, jusqu à ce que q = b (1). On pose alors q 0 = q. Les points NEXT (p) = a 1 et q sont alors antipoaux. Ensuite, on fait une boucle qui incrémente abor p, puis étermine les points antipoaux à ce p, toujours par incrémentation successive e q, après comparaison es aires es triangles successifs. A la fin e cette petite boucle, q se trouve sur le b (i) g corresponant à ce point p, ou bien, en cas existence e cotés parallèles, sur le point précéent ce b g (i). On arrête lorsque q = a 1. Comme ans la boucle, p va e a N à q 0 et q e q 0 à a N, cela fait un total e N éplacements en l absence e cotés parallèles, onc N points antipoaux, comme nous l avions remarqué. De plus, il y a au plus N/2 cotés parallèles, onc le nombre e sommets antipoaux est inférieur ou égal à 3N/2. On obtient onc le résultat suivant. Théorème 5.3. Le iamètre un polygone convexe peut être calculé en temps linéaire par rapport au nombre e ses sommets. Références. Computational geometry, e F. P. Preparata et M. I. Shamos. Analyse fonctionelle, e Ruin. Texte e A. Chambert-Loir : Calculer une enveloppe convexe.

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