Imagerie interférométrique avec des données bruitées

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Rémy Lebel
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1 Imagerie interférométrique avec des données bruitées Josselin Garnier (Université Paris Diderot) But de l imagerie : sonder un milieu inconnu avec des ondes pour en extraire de l information. Une méthode d imagerie consiste en deux étapes : - acquisition des données : des ondes sont émises par une source (ou un réseau de sources) et enregistrées par un réseau de récepteurs. - traitement des données : les signaux enregistrés sont traités pour identifier les aspects qui sont intéressants (positions de réflecteurs, etc). Tendance récente : big data. Mais pas toujours de bonne qualité. Que se passe-t-il en présence de bruit de mesure, de bruit de milieu, de sources bruitées?

Une méthode d imagerie consiste en deux étapes : - acquisition des données : des ondes sont émises par une source (ou un réseau de sources) et enregistrées par un réseau

2 Imagerie d un réflecteur dans un milieu homogène x s x r y ref Imagerie d un réflecteur localisé en y ref. x s est une source, x r est un récepteur. Données : {u(t, x r ; x s ),r = 1,...,N r,s = 1,...,N s }. Modèle mathématique : ( 1 c ) 2 u 1 c 2 Bref ( x y ref ) ref t (t, x; x s) 2 x u(t, x; x s ) = f(t)δ( x x s ) But : à partir des données, construire une fonction I( y) ressemblant au mieux à 1 c 2 ref 1 Bref ( y y ref ), afin d extraire l information ( y ref,b ref,c ref ) sur le réflecteur.

Modèle mathématique : ( 1 c 2 0 + 1 ) 2 u 1 c 2 Bref ( x y ref ) ref t (t, x; x s) 2 x u(t, x; x s ) = f(t)δ( x x s ) But : à

3 Fonctions d imagerie classiques : 1) Imagerie par Moindres Carrés : on minimise l erreur quadratique entre les données mesurées et les données synthétiques obtenues en résolvant l équation des ondes avec un candidat ( y test,b test,c test ). 2) Imagerie par Retournement Temporel : on simplifie l imagerie par Moindres Carrés en linéarisant le problème direct. 3) Migration de Kirchhoff : on simplifie l imagerie par Retournement Temporel en remplaçant la résolution de l équation des ondes par une migration par temps de trajet.

2) Imagerie par Retournement Temporel : on simplifie l imagerie par Moindres Carrés en linéarisant le problème direct.

4 Fonctions d imagerie classiques : 1) Imagerie par Moindres Carrés : on minimise l erreur quadratique entre les données mesurées et les données synthétiques obtenues en résolvant l équation des ondes avec un candidat ( y test,b test,c test ). 2) Imagerie par Retournement Temporel : on simplifie l imagerie par Moindres Carrés en linéarisant le problème direct. 3) Migration de Kirchhoff : on simplifie l imagerie par Retournement Temporel en remplaçant la résolution de l équation des ondes par une migration par temps de trajet. Migration de Kirchhoff : I KM ( y) = N r N s r=1 s=1 u ( T ( x s, y)+t ( y, x r ), x r ; x s ) Cette fonction construit une image en rétropageant les signaux enregistrés. T ( y, x) est le temps de trajet de x à y, i.e. T ( y, x) = y x /c 0. - Robuste vis-à-vis du bruit de mesure (additif). - Sensible au bruit de milieu : Si le milieu est hétérogène (diffusant), alors la Migration de Kirchhoff ne marche pas.

3) Migration de Kirchhoff : on simplifie l imagerie par Retournement Temporel en remplaçant la résolution de l équation des ondes par une migration par temps de trajet.

5 Imagerie à travers un milieu hétérogène x s x r Imagerie d un réflecteur localisé en y ref. x s est une source, x r est un récepteur. Données : {u(t, x r ; x s ),r = 1,...,N r,s = 1,...,N s }. ( 1 c 2 ( x) + 1 ) 2 u 1 c 2 Bref ( x y ref ) ref t (t, x; x s) 2 x u(t, x; x s ) = f(t)δ( x x s ) Modèle de milieu hétérogène : 1 c 2 ( x) = 1 ( ) 1+µ( x) c 2 0 c 0 est la vitesse de référence, µ( x) est un processus aléatoire. y ref

( 1 c 2 ( x) + 1 ) 2 u 1 c 2 Bref ( x y ref ) ref t (t, x; x s) 2 x u(t, x; x s ) = f(t)δ( x x s ) Modèle

6 Imagerie à travers un milieu aléatoire : analyse On peut mener à bien une analyse multi-échelles (il y a plusieurs échelles : longueur d onde, distance de propagation, longueur de corrélation,...). Résultats généraux : Le champ d onde moyen (champ cohérent) est petit. = La Migration de Kirchhoff (ou par Retournement Temporel) ne peut pas marcher. Les fluctuations des ondes (champ incohérent) en des points proches et à des fréquences proches sont corrélées. Ces corrélations portent l information sur le milieu. = Il faut utiliser les corrélations des signaux enregistrés plutôt que les signaux pour faire de l imagerie en présence de bruit de milieu.

= La Migration de Kirchhoff (ou par Retournement Temporel) ne peut pas marcher.

7 Application : Imagerie à travers un overburden van der Neut et Bakulin (2009)

8 Imagerie à travers un overburden x s x r y ref Imagerie d un réflecteur localisé en y. x s est une source, x r est un récepteur. Données : {u(t, x r ; x s ),r = 1,...,N r,s = 1,...,N s }. Si l overburden est hétérogène, alors la Migration de Kirchhoff ne marche pas : I KM ( y) = N r N s r=1 s=1 u ( T ( x s, y)+t ( y, x r ), x r ; x s )

9 Simulations numériques Configuration Migration de Kirchhoff

10 Imagerie à travers un overburden x s x r Imagerie d un réflecteur localisé en y. x s est une source, x r est un récepteur. Données : {u(t, x r ; x s ),r = 1,...,N r,s = 1,...,N s }. On image par une migration de la matrice des corrélations croisées : y ref I( y) = N r C ( T ( x r, y)+t ( y, x r ), x r, x r ), avec C(τ, x r, x r ) = N s r,r =1 u(t, x r ; x s )u(t+τ, x r ; x s )dt, r,r = 1,...,N r s=1

On image par une migration de la matrice des corrélations croisées : y ref I( y) = N r C ( T ( x r,

11 Simulations numériques Migration de Kirchhoff Migration des Corrélations Croisées

12 Extension : Imagerie avec le bruit ambiant On peut employer des techniques d imagerie par corrélations croisées sur des signaux émis par des sources de bruit ambiant. Première application en géophysique : Estimation de temps de trajet (pour estimer ensuite la vitesse de propagation par tomographie). Méthode 1 : Utiliser des signaux sismiques issus de tremblements de terre. Méthode 2 : Utiliser le bruit de fond sismique et les techniques de corrélations croisées.

Première application en géophysique : Estimation de temps de trajet (pour estimer ensuite la vitesse de propagation

13 Estimation de temps de trajet par corrélation croisée du bruit ambiant Des sources de bruit ambiant ( ) émettent des signaux aléatoires stationnaires. Les ondes se propagent dans le milieu. Les signaux u(t, x 1 ) et u(t, x 2 ) sont enregistrés par les deux récepteurs x 1 et x 2. piece of signal recorded at x t x 1 x 2 piece of signal recorded at x t Quelle information (sur le milieu) peut-on extraire de ces signaux?

Les signaux u(t, x 1 ) et u(t, x 2 ) sont enregistrés par les deux récepteurs x 1 et x 2.

14 Estimation de temps de trajet par corrélation croisée du bruit ambiant Des sources de bruit ambiant ( ) émettent des signaux aléatoires stationnaires. Les ondes se propagent dans le milieu. Les signaux u(t, x 1 ) et u(t, x 2 ) sont enregistrés par les deux récepteurs x 1 et x 2. piece of signal recorded at x t x 1 x 2 piece of signal recorded at x t cross correlation x 1 x 2 τ On calcule la corrélation croisée : C(τ, x 1, x 2 ) = 1 T T 0 u(t, x 1 )u(t+τ, x 2 )dt C(τ, x 1, x 2 ) possède deux pseudo-pics qui donnent (deux fois) le temps de trajet x 1 à x 2.

piece of signal recorded at x 1 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 t x 1 x 2 piece of signal recorded at x 2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 t cross

15 Estimation de temps de trajet entre sismomètres Les temps de trajet sont estimés par corrélation croisée des signaux (de bruit) enregistrés pendant un mois!

16 Estimation de la vitesse de propagation à partir des temps de trajet estimés [Shapiro et al, Science 307 (2005), 1615]

17 Imagerie avec le bruit ambiant Applications principales : Estimation de la vitesse de propagation des ondes sismiques de la croûte terrestre (à des échelles globales, régionales ou locales). Surveillance de volcans (première prédiction d une éruption du Piton de la Fournaise, à La Réunion, en 2010). Imagerie 4D de réservoirs pétroliers. Imagerie de réflecteurs.

Imagerie d un réflecteur par utilisation du bruit ambiant Des sources de bruit ambiant ( ) émettent des signaux aléatoires stationnaires. Les signaux (u(t, x r )) r=1,.

18 Imagerie d un réflecteur par utilisation du bruit ambiant Des sources de bruit ambiant ( ) émettent des signaux aléatoires stationnaires. Les signaux (u(t, x r )) r=1,...,nr sont enregistrés par les récepteurs ( x r ) r=1,...,nr ( ). La matrice des corrélations croisées est calculée et migrée : I( y) = N r r,r =1 C ( ) T ( x r, y)+t ( x r, y), x r, x r avec C(τ, x r, x r ) = 1 T T 0 u(t+τ, x r )u(t, x r )dt x 50 0 x 5 x z signal recorded at x t signal recorded at x t coda correlation x 1 x τ

La matrice des corrélations croisées est calculée et migrée : I( y) = N r r,r =1 C ( ) T ( x r, y)+t ( x r, y), x r, x r avec C(τ, x r, x r ) = 1 T T 0

19 Conclusions Dans des milieux hétérogènes il vaut mieux utiliser des corrélations croisées des signaux enregistrés plutôt que les signaux eux-mêmes pour faire de l imagerie. Les techniques d imagerie par corrélations croisées peuvent être utilisées avec des sources de bruit ambiant au lieu de sources contrôlées. Déplacement de la frontière traditionnelle entre signal et bruit.

Les techniques d imagerie par corrélations croisées peuvent être utilisées avec des sources de

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