Élec 2 Les dipôles linéaires dans l ARQS

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1 Élec 2 Les dpôles lnéares dans l ARQS Lycée Polyvalent de Montbélard - Physque-Chme - TSI Contenu du programme offcel : Notons et contenus Dpôles : résstances, condensateurs, bobnes, sources décrtes par un modèle lnéare. Pussance. Assocaton de deux résstances. Résstance de sorte, résstance d entrée. Caractérstque d un dpôle. Pont de fonctonnement. Capactés exgbles - Cter les relatons entre l ntensté et la tenson et les ordres de grandeurs pour les composants R, L, C. - Modélser une source non déale en utlsant la représentaton de Thévenn. - Exprmer la pussance dsspée par effet Joule dans une résstance. - Exprmer l énerge stockée dans un condensateur ou dans une bobne. - Remplacer une assocaton sére ou parallèle de deux résstances par une résstance équvalente. - Établr et exploter les relatons de dvseurs de tenson ou de courant. - Étuder l nfluence de ces résstances sur le sgnal délvré par un GBF sur la mesure effectuée par un osclloscope ou un multmètre. - Extrare les grandeurs d une notce ou d un apparel afn d appréhender les conséquences de leurs valeurs sur le fonctonnement d un crcut - Étuder la caractérstque d un dpôle pouvant être éventuellement non-lnéare et mettre en œuvre un capteur dans un dspostf expérmental. En gras les ponts devant fare l objet d une approche expérmentale. Table des matères 1 Les résstances La lo d Ohm et effet Joule Assocatons de résstances Les ponts dvseurs Résstance d entrée d un apparel de mesure Les générateurs de tenson et de courant Le générateur de tenson Le générateur de courant Résstance de sorte Le pont de fonctonnement d un crcut Les condensateurs Présentaton Aspect énergétque Les nductances Présentaton Aspect énergétque n dpôle est dt lnéare s la relaton entre la tenson à ses bornes et le courant le traversant est lnéare. Autrement dt, pour un dpôle donné, s u = f() avec f une certane foncton, alors s u 1 = f( 1 ) et u 2 = f( 2 ), l vent u 1 + u 2 = f( ). Cette lnéarté est vérfée pour les composants que nous allons présenter c, et toute notre étude se lmtera à ces dpôles. 1 Les résstances 1.1 La lo d Ohm et effet Joule Lorsqu un courant crcule dans un matérau conducteur, les électrons sont frenés par les atomes de celu-c. Ce frenage tradut une perte de tenson. Cet effet est maxmal dans certans dpôles que l on appellera résstance. Maxme Champon - 1/11

2 Élec 2 : Les dpôles lnéares dans l ARQS Défnton. Dans une résstance, lorsque courant et tenson sont en conventon récepteur, la lo d Ohm est vérfée et ndque que = R avec R la valeur de la résstance en Ohm (Ω). Maxme Champon R Fg. 1 ne résstance en conventon récepteur Remarque : On défnt auss la grandeur G = 1/R la conductance qu s exprme en Semens (S). Calculons la pussance reçue par une résstance. On a, en conventon récepteur, P reçue =. On applque la lo d Ohm et l vent la proprété suvante. Proprété. La pussance dsspée par une résstance vaut P dsspée = = 2 R > 0. Cette pussance est toujours postve, la résstance est donc toujours un récepteur de courant. Cette pussance est dsspée dans le matérau sous forme de chaleur et entraîne une hausse de température. On parle de pertes par effet Joule. ne résstance étant toujours réceptrce de pussance, l faudra toujours orenter son courant et sa tenson en conventon récepteur. ne résstance est toujours une source de perte d énerge. Comme l écrasante majorté des matéraux conducteurs ont un caractère résstf, tous les crcuts électrques réels dsspent de l énerge en chauffant. Expérence 1 : TP 08 - Mesure d une résstance 1.2 Assocatons de résstances Assocaton en sére Consdérons deux résstances et en sére, donc parcourues par un même courant. On note la tenson aux bornes des deux résstances. 1 2 On a par la lo d Ohm 1 = et 2 =. Par alleurs, par défnton, l vent = et donc on a = ( + ). Tout se passe donc comme s état la tenson aux bornes d une résstance équvalente R eq. Proprété. En sére, les résstance s ajoutent R eq = +. Assocaton en parallèle Consdérons deux résstances et en parallèles, donc ayant une même tenson à leurs bornes. On note le courant total parcourant le dspostf. 2/11

3 Élec 2 : Les dpôles lnéares dans l ARQS Maxme Champon 1 2 On a par la lo d Ohm = 1 et = 2. Par alleurs, par la lo des nœuds, l vent = = ( 1 R1 + 1 R2 ). Tout se passe donc comme s état la tenson aux bornes d une résstance équvalente R eq. Proprété. En parallèle, les nverses des résstances s ajoutent 1 R eq = Recherche de résstances équvalentes Applcaton 1 : Deux résstances de 10 kω sont dsponbles, comment les assocer pour avor une résstance équvalente de 20 kω ou de 5 kω? Applcaton 2 : Quelle est la résstance équvalente pour chacun des crcuts? 1.3 Les ponts dvseurs Les ponts dvseurs sont des relatons permettant de trouver des courants ou des tensons sans poser les los de Krchhoff dans certans cas partculers. Le pont dvseur de tenson On est confronté à la stuaton de la fgure 2 où, et sont connus et on cherche 2 (ou 1 ). Les deux résstances sont en sére, on a donc = ( + ) et de même 2 =. Ans, = = 2. + Proprété. Le pont dvseur de tenson ndque que 1 = + et 2 = Fg. 2 Le pont dvseur de tenson. 3/11

4 Élec 2 : Les dpôles lnéares dans l ARQS Maxme Champon Remarque : Il faut ben retenr cette confguraton. En partculer, les résstances sont en sére. Dans la formule, la résstance sur laquelle est la tenson recherchée est au numérateur. Applcaton 3 : Comben vaut la tenson dans le crcut c-dessous? 10 kω 5 kω 1 V Applcaton 4 : Comben vaut la tenson dans le crcut c-dessous? 10 kω 10 kω 5 kω 1 V Expérence 2 : TP 08 - Le pont dvseur de tenson Le pont dvseur de courant On est confronté à la stuaton de la fgure 3 où, et sont connus et on cherche 2 (ou 1 ). Les deux résstances sont en parallèle, on a donc = R eq avec R eq = + et de même = 2. Ans, = + = 2. Proprété. Le pont dvseur de courant ndque que 1 = + et 2 = Fg. 3 Le pont dvseur de courant. Remarque : Il faut ben retenr cette confguraton. En partculer, les résstances sont en parallèles. Dans la formule, la résstance qu n est pas traversée par le courant recherché est au numérateur. Applcaton 5 : Comben vaut le courant dans le crcut c-dessous? 4/11

5 Élec 2 : Les dpôles lnéares dans l ARQS Maxme Champon 1 ma 5 kω 15 kω Applcaton 6 : Comben vaut le courant dans le crcut c-dessous? 1 ma 5 kω 10 kω 15 kω 10 kω 10 kω 1.4 Résstance d entrée d un apparel de mesure Tous les apparels de mesures de tensons, comme les voltmètres ou les osclloscopes, dovent être placés en parallèles de la tenson à mesurer. Idéalement, l faut que leur résstance sot nfne. En effet, dans ce cas, aucun courant ne passe dans l apparel de mesure qu ne perturbe ans pas le montage électrque. En réalté, tous les apparels de mesures ont une résstance nterne R nt. La stuaton réelle est donc celle de la fgure 4. V R nt Voltmètre réel R Fg. 4 Stuaton dans une mesure de tenson. La résstance nterne nflue sur le crcut. Dans ce cas, la tenson est mposée par le courant mposé par le reste du crcut mas auss par la présence de la résstance nterne R nt. La tenson vaut alors = RR nt. Pour que l apparel de R + R nt mesure ne perturbe pas la tenson et le crcut, l faut donc R R nt. Comme on peut le vor fgure 5, c est pour cette raon que les résstances d entrée des multmètres sont très élevées, c de l ordre de 10 MΩ. Expérence 3 : TP 09 - Résstances de sorte et d entrée 2 Les générateurs de tenson et de courant 2.1 Le générateur de tenson n générateur de tenson est almenté par une source d énerge extéreure au crcut, qu peut venr du secteur EDF ou d autres sources (comme l énerge chmque pour les ples). Il apporte une tenson au système et ans fournt de l énerge. Il se symbolse comme c-dessous. Il dot toujours être placé en conventon générateur. S la tenson est mposé par le générateur, le courant débté est lu mposé par le reste du crcut électrque. 5/11

6 Maxme Champon Élec 2 : Les dpôles lnéares dans l ARQS Fg. 5 Extrat de la notce d un multmètre numérque. La résstance nterne est dans la parte «Input Impedance». E Fg. 6 n générateur déal de tenson E. Le courant est mposé par le reste du crcut. I Caractérstques d un générateur n générateur est dt déal s l n est pas perturbé par une résstance nterne. Dans ce cas, la tenson débtée est constante quelle que sot le courant. Dans un générateur réel, l y a toujours des effets résstfs qu font que la tenson et le courant débté sont lés. La relaton entre tenson et courant est appelée caractérstque. E0 Fg. 7 Caractérstque d un générateur de tenson déal délvrant la tenson E0 quel que sot le courant. Fg. 8 Caractérstque d un générateur de tenson réel, la tenson délvrée dépend du courant. I Représentaton de Thevenn d un générateur réel La présence d une résstance nterne mpose que la caractérstque 8 est décrte par la relaton lnéare = E0 r avec E0 la tenson délvrée en courant nulle, appelée force électromotrce (fém), et r la résstance nterne du générateur. n générateur réel est donc modélsé par un générateur de Thévenn modélsé par le crcut de la fgure 9. 6/11

7 Élec 2 : Les dpôles lnéares dans l ARQS Maxme Champon r E 0 r = E 0 r Fg. 9 Le générateur de Thévenn. La tenson réellement délvrée est la tenson = E 0 r. Le symbole générateur fat référence à un générateur déal de fém E Le générateur de courant n générateur de courant mpose un certan courant I dans le crcut. Tout comme le générateur de tenson, l dot être représenté en conventon générateur. S l est supposé déal, ce courant est ndépendant de la tenson aux bornes du générateur. En réalté, les générateurs réels possèdent une résstance nterne qu rend le courant délvré dépendant de la tenson aux bornes du générateur mposée par le crcut. I 0 Fg. 10 n générateur déal de courant I 0. La tenson est mposée par le reste du crcut. I 0 I 0 Fg. 11 Caractérstque d un générateur de courant déal délvrant le courant I 0 quelle que sot la tenson. Fg. 12 Caractérstque d un générateur de courant réel, le courant délvré dépend de la tenson. 2.3 Résstance de sorte Prenons un générateur réel pour almenter une résstance R, on note la tenson à ses bornes. La tenson commandée est la tenson E 0. La résstance nterne r est appelée résstance de sorte du générateur. Par défnton du générateur de tenson, on souhate que et E 0 soent dentques. Or, on remarque que la résstance r nflue sur la tenson. En effet, avec un pont dvseur de tenson, on constate que = R R + r E 0. La résstance de sorte d un générateur peut donc perturber le crcut. On s arrange généralement pour que toutes les résstances sur lesquelles débtent le générateur sot ben plus mportantes que la résstance nterne. Généralement, on a r 50 Ω. 7/11

8 Élec 2 : Les dpôles lnéares dans l ARQS Maxme Champon Générateur réel r E 0 R Expérence 4 : TP 09 - Résstances de sorte et d entrée Remarque : En séance de TP, lorsque nous utlserons les GBF en mode créneau, s le créneau observé sur l osclloscope n est pas parfatement carré, cela sgnfe souvent que la résstance globale du crcut est plus fable ou de l ordre de la résstance de sorte. 2.4 Le pont de fonctonnement d un crcut Nous avons ndqué précédemment que, pour un générateur réel, le courant et la tenson délvré sont mposés par le reste du crcut. Pour trouver rapdement ce courant et cette tenson réellement présents dans le crcut, on peut sot résoudre analytquement les équatons, sot fare un tracé graphque. E 0 R Fg. 13 n générateur et une résstance sont placés dans la même malle qu une dode de caractérstque = f(). Prenons par exemple le crcut de la fgure 13. n générateur et une résstance sont parcourues par le courant et ont la tenson à leurs bornes, donnés par la relaton = E 0 R. Ce crcut est branché sur une dode. La caractérstque d une dode est une certane foncton f telle que = f(). Pour trouver rapdement la valeur de et de dans le crcut, on trace les deux caractérstques. = E 0 R u = f() f Pont de fonctonnement f Fg. 14 Superposton des caractérstques des deux partes du crcut de la fgure 13. Le pont de fonctonnement de coordonnées ( f, f ) donne la tenson et le courant dans le crcut. On remarque qu en modfant R et E 0, le pont de fonctonnement parcourt l ntégralté de la caractérstque u = f(). On peut ans tracer expérmentalement une caractérstque nconnue. 8/11

9 Élec 2 : Les dpôles lnéares dans l ARQS Maxme Champon Expérence 5 : TP 09 - Caractérstque d une dode 3 Les condensateurs 3.1 Présentaton n condensateur est un système de deux plaques conductrces séparées par un mleu dt délectrque (du verre, de la céramque, éventuellement de l ar...). Les plaques sont chargées électrquement et les électrons ne peuvent pas traverser le matérau. Le courant apporte ou fat dsparaître ces charges. Chaque plaque est sot chargée postvement, sot négatvement. Il y a donc une nteracton électromagnétque qu sera précsée en seconde année. Ce prncpe est schématsé fgure 15. Matérau délectrque +q q Plaques chargées Fg. 15 Schéma de prncpe d un condensateur. Chaque plaque est chargée de la quantté ±q. Relaton fondamentale et capacté Théorème. La tenson u(t) aux bornes de l armature d un condensateur est donnée par la relaton q(t) = Cu(t) avec q(t) la charge postve dépendant du temps présente sur l armature (en Coulombs) et C la capacté du condensateur en Farad (F). Capacté Condensateur 1 nf suel (délectrque en verre) 1 µf Délectrque en paper paraffné 1 µf 100 µf Délectrque en céramque 1 mf Électrochmque On peut fare deux remarques : le Farad est une grande unté, un condensateur de 1 F est rare, ls sont utlsés par exemple pour les voture ; des effets capactfs, comme les effets résstfs, exstent de partout! 9/11

10 Élec 2 : Les dpôles lnéares dans l ARQS Maxme Champon Modèle déal Défnton. En conventon récepteur, dans un condensateur, on a C (t) (t) = dq(t) dt = C du(t) dt. u(t) Fg. 16 Représentaton électrque d un condensateur. Il dot toujours être représenté en conventon récepteur Remarque : La notaton d dt temps t. fat référence à la dérvée mathématque par rapport à la varable Proprété. Il faut retenr deux proprétés mportantes du condensateur. La tenson aux bornes du condensateur est lée à la présence d une énerge stockée qu ne peut pas dsparaître nstantanément, la tenson aux bornes d un condensateur est une foncton contnue. Ans, un condensateur protège contre les varatons brusques de tenson. S la tenson u(t) = u 0 est constante, alors (t) = 0. Ans, en régme contnu, un condensateur est équvalent à un nterrupteur ouvert. Remarque : ne foncton contnue en mathématque est une foncton f telle que pour tout x 0 appartenant au domane de défnton, la lmte à drote égale la lmte à gauche égale la valeur de la foncton en ce pont, autrement dt lm f(x) = lm f(x) = f(x 0 ). x>x 0,x x 0 x<x 0,x x 0 Le régme électrque contnu sgnfe que les grandeurs électrques restent constantes au cours du temps. 3.2 Aspect énergétque En conventon récepteur, la pussance reçue par le condensateur vaut P reçue (t) = u(t)(t) = u(t)c du(t) = d ( ) C u(t)2 dt dt 2 où l on a utlsé la relaton mathématque à connaître (f 2 ) = 2ff. Défnton. L énerge électrostatque stockée dans un condensateur vaut E électrostatque (t) = 1 2 Cu(t)2. Cette énerge s exprme évdemment en Joule. La pussance reçue par un condensateur vaut la dérvée de cette énerge : s de l énerge est apportée au condensateur, la pussance est postve et le condensateur a un caractère récepteur ; au contrare, s le condensateur lbère de l énerge au système, la pussance est négatve et le condensateur a un caractère générateur. 4 Les nductances 4.1 Présentaton ne nductance, auss appelée bobne, est un fl enroulé autour d un éventuel noyau magnétque. Lorsque le courant parcourt ce fl, comme nous le verrons au second semestre, un champ magnétque apparaît. Ce champ magnétque tend, par ses effets, à s opposer aux varatons de courants mposées par l extéreure. C est un effet d nducton. Ce prncpe est schématsé fgure /11

11 Élec 2 : Les dpôles lnéares dans l ARQS (t) # B Maxme Champon Fl enroulé Fg. 17 Schéma de prncpe d une bobne. n champ magnétque apparaît et ralentt les varatons du courant. Modèle déal et nductance Défnton. En conventon récepteur, la tenson u(t) aux bornes la bobne est donnée par la relaton L (t) u(t) = L d(t) dt avec le courant traversant la bobne et L l nductance en Henry (H). u(t) Fg. 18 Représentaton électrque d une bobne. Elle dot toujours être représentée en conventon récepteur On peut fare deux remarques : les bobnes dsponbles en TP d électronques sont de l ordre du mh ; des effets nductfs sont présents dès que les fls forment des boucles (effets d antennes). Proprété. Il faut retenr deux proprétés mportantes des bobnes. Le courant traversant la bobne est lé à la présence du champ magnétque qu stocke de l énerge qu ne peut pas dsparaître nstantanément, le courant traversant une bobne est une foncton contnue. Ans, une bobne protège contre les varatons brusques de courant. S le courant (t) = I 0 est constant, alors u(t) = 0. Ans, en régme contnu, un condensateur est équvalent à un fl. 4.2 Aspect énergétque En conventon récepteur, la pussance reçue par la bobne vaut P reçue (t) = u(t)(t) = (t)l d(t) = d ( ) L (t)2 dt dt 2. Défnton. L énerge magnétque stockée dans une bobne vaut E magnétque (t) = 1 2 L2 (t). Cette énerge s exprme évdemment en Joule. La pussance reçue par une bobne vaut la dérvée de cette énerge : s de l énerge est apportée à la bobne, la pussance est postve et la bobne a un caractère récepteur ; au contrare, s la bobne lbère de l énerge au système, la pussance est négatve et la bobne a un caractère générateur. 11/11