TD d électrocinétique n o 4 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé

Transcription

1 ycé François Arago Prpignan M.P.S.I TD d élctrocinétiqu n o 4 ircuits linéairs n régim sinusoïdal forcé Exrcic 1 - Détrmination ds modèls d Thévnin t d Norton. A Détrminr l modèl d Thévnin t l modèl d Norton du dipôl rprésnté ntr A t, la tnsion (t) étant sinusoïdal. Figur 1 Exrcic 2 - Équivalnc ntr dux dipôls. On s plac n régim sinusoïdal forcé d pulsation ω t on considèr ls dux dipôls ci-dssous. 1. Qulls doivnt êtr ls xprssions d t (n fonction d, t ω) pour qu ls dux dipôls soint équivalnts? 2. Pour qull pulsation a-t-on =? Figur 2 Figur 3 Exrcic 3 - Détrmination ds caractéristiqus d un bobin. Pour étudir un bobin réll, on réalis l montag rprésnté sur la figur 4. On obtint alors l oscillogramm (ou copi d écran d l oscilloscop) rproduit ci-dssous. 1. oscillogramm prmt d détrminr ls valurs d la périod T, d la pulsation ω, ds amplituds U m t I m t d l impédanc Z MD. omplétr l tablau ci-dssous. Grandur T (s) ω(rad/s) I m (A) U m (V) Z MD (Ω) Valur Numériqu 2. Ds tnsions visualisés n voi A t n voi, laqull st n avanc d phas sur l autr? 3. Détrminr l déphasag ϕ ntr la tnsion u (t) = U m cos(ω t) t l intnsité du courant i(t) = I m cos(ω t ϕ). 4. Détrminr l xprssion d la résistanc r d la bobin. alculr r. 5. Détrminr l xprssion d l inductanc d la bobin. alculr. S. ént 1

2 u M (, r) A D timdiv : 1ms/div hannl A : 2 V/div hannl : 2 V/div XY OFF Voi A Voi Figur 4 génératur délivr un tnsion : u (t) = U m cos(ω t) Donnés : = 20 Ω, = 10 µf s calibrs sont idntiqus pour ls dux vois : - snsibilité vrtical : 2 V/div ; - balayag : 1 ms/div. signal visualisé n voi A a été rprésnté n blu. signal visualisé n voi a été rprésnté n roug. OffstA 0 Offst 0 Offst 0 Exrcic 4 - Théorèm d Millman. On suppos qu tous ls génératurs délivrnt ds signaux sinusoïdaux d mêm pulsation ω. r η 2 i En appliquant l thémorèm d Millman, détrminr l xprssion d l amplitud complx du courant I m du courant circulant dans la branch contnant l condnsatur. Figur 5 Exrcic 5 - ircuit à dux sourcs. s sourcs délivrnt ds signaux sinusoïdaux : 1 (t) = E m cos(ω t) t 2 (t) = E m sin(ω t) En régim sinusoïdal forcé, on rchrch la tnsion u(t) sous la form 1 u 2 u(t) = U m cos(ω t + ϕ) 1. Introduir ls amplituds complxs associés à chaqu grandur élctriqu. 2. Détrminr l xprssion d l amplitud complx U m Figur n appliquant uniqumnt l théorèm d Millman, sans modifir l circuit ; 2.2. n utilisant ls lois d association ds dipôls linéairs t l équivalnc ntr ls rprésntations d Thévnin t d Norton d un sourc réll afin d simplifir au maximum l montag ; 3. En déduir l xprssion d la tnsion u(t). S. ént 2/6

3 Exrcic 6 - ranchs n parallèl. Un génératur d tnsion idéal d f..m. sinusoïdal (t) = E m cos(ω t + π 4 ) alimnt un dipôl t un dipôl n parallèl. 1. Détrminr ls xprssions ds intnsités i 1 (t) t i 2 (t) sous la form i 1 i 2 i i (t) = I 1m cos(ω t + ϕ i ) 2. Qulls conditions doivnt satisfair, t ω pour qu ls déphasags rspctifs ψ t ψ ds courants i 1 (t) t i 2 (t) avc la tnsion (t) soint opposés? Figur 7 3. Qulls conditions doivnt satisfair, t ω pour qu l déphasag ntr i 1 (t) t i 2 (t) soit π 2? Donnés : tan(α 1 α 2 ) = tan α 1 tan α tan α 1 tan α 2 4. s dux drnièrs conditions étant rspctés, donnr l xprssion simplifié ds intnsités i 1 (t) t i 2 (t). Exrcic 7 - Tnsions n quadratur. On impos aux borns du dipôl A la tnsion D u A (t) = U m cos(ω t) u DE En régim prmannt, la tnsion u DE st alors d la form u DE (t) = V m cos(ω t + ϕ) A E 1. Détrminr l xprssion d V m t d ϕ n fonction d,, ω t U m. u A 2. Pour qull valur d ω ls tnsions u A t u DE sont-lls n quadratur d phas? Figur 8 Exrcic 8 - Équation différntill t régim sinusoïdal forcé. On considèr l circuit ci-contr dans lqul l génératur impos la tnsion (t) = E m cos(ω t). 1. Détrminr n utilisant la loi ds maills t la loi ds nœuds l équation différntill vérifié par i. 2. En utilisant l formalism complx, détrminr la solution particulièr d ctt équation différntill (solution associé au régim prmannt). Précisr ls xprssions d l amplitud I m t d la phas ϕ d i (t). Pour qull pulsation i (t) st-ll indépndant d? Qu valnt alors I m t ϕ? i 3. trouvr c mêm résultat n utilisant ls lois d association ds dipôls linéairs t l équivalnc ntr ls rprésntations d Thévnin t d Norton d un sourc réll afin d simplifir au maximum l montag. Figur 9 S. ént 3/6

4 Exrcic 9 - Puissanc moynn. 1. Détrminr la puissanc moynn consommé par l dipôl ci-dssous, n fonction d r,,,, ω t U ff. u(t) = U m cos(ωt + ϕ) i(t) = I m cos(ωt) r Figur Exprimr la puissanc activ du dipôl ci-dssous n fonction d r,,, ω t I ff. i(t) = I m cos(ωt + ϕ) r u(t) = U m cos(ωt) Figur 11 Exrcic 10 - Optimisation du fonctionnmnt d un motur. Un motur élctriqu st modélisé par l association n séri d un résistor d résistanc t d un bobin d inductanc. Il st alimnté n courant sinusoïdal d fréqunc 50 Hz par un fil d résistanc négligabl. motur consomm un puissanc moynn P m = 4, 4 kw t son factur d puissanc vaut 0,6. On msur ntr ls borns A t un tnsion d valur fficac 220 V. 1. alculr la valur du courant fficac I ff circulant dans la lign. 2. alculr t. (t) A K Figur 12 i(t) 3. Pour rlvr l factur d puissanc d l installation, on connct ntr ls borns A t un condnsatur d capacité alculr la plus ptit valur d pour qu l nouvau factur d puissanc soit égal à 0, Qull st la puissanc moynn P m alors consommé par l installation? 3.3. alculr la valur fficac du courant I ff circulant dans la lign. S. ént 4/6

5 Exrcic 11 - lèvmnt du factur d puissanc. Un génératur d tnsion idéal délivrant un tnsion sinusoïdal d 220 V fficacs t d fréqunc 50 Hz alimnt un circuit constitué d un lamp à incandscnc d résistanc = 48 Ω conncté n parallèl à un motur M qu l on put schématisr par un bobin t un résistanc n séri. i 3(t) i 2(t) i 1(t) On désign rspctivmnt par ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 ls déphasags ds courants i 1, i 2, i 3 par rapport à la tnsion t par I 1ff, I 2ff t I 3ff ls valurs fficacs rspctivs d cs courants. (t) M 1. Exprimr I 3ff n fonction d I 1ff t I 2ff. 2. On msur I 1ff = 18, 2 A t I 3ff = 20, 8 A. alculr la puissanc moynn P M absorbé par l motur. Figur alculr la puissanc moynn P g fourni par l génératur. 4. alculr l factur d puissanc cos ϕ 3 d l installation. 5. On désir modifir l factur d puissanc d l installation. Pour cla, on branch un condnsatur aux borns du motur. alculr la valur d la capacité pour qu l nouvau factur d puissanc d l installation cos ϕ 3 soit égal à l unité. Exrcic 12 - Étud énrgétiqu d un circuit génératur délivr un tnsion sinusoïdal d pulsation ω, d valur fficac U ff = 220 V t d fréqunc 50 Hz. a résistanc st variabl t la bobin st caractérisé par un inductanc = 1, 0 H. 1. Exprimr la puissanc moynn P absorbé par la résistanc n fonction d,, ω t U ff. u(t) 2. Pour qull valur 0 d la puissanc P st-ll maximal? 3. alculr t la valur maximal P max d P sachant qu 0 = 12 Ω. Figur Si vaut 1 > 0, la puissanc délivré par l génératur vaut P 1 = 800 W. alculr la valur d On chrch à c qu l factur d puissanc d l nsmbl soit égal à l unité, avc = 1. alculr la valur d. Exrcic 13 - Adaptation d impédancs. On connct n séri dux dipôls D G t D d impédancs Z G t Z. Z t Z G sont ds impédancs qulconqus qui n notation complx puvnt êtr miss sous la form : Z = X + jy t Z G = X G + jy G avc j 2 = 1. D G 1. Démontrr qu la puissanc élctriqu moynn P dissipé dans l dipôl D st maximal lorsqu Z = ZG (* signifi complx conjugué). i(t) i(t) 2. Qu s pass-t-il si Z st purmnt imaginair? Qu dvint l énrgi fourni par la sourc? (t) D 3. Pour f = Hz, détrminr la natur du dipôl D G dans ls cas suivants : 3.1. D st un résistanc pur d 150 Ω n parallèl avc un condnsatur d capacité 100 pf ; 3.2. D st un résistanc pur d 150 Ω n parallèl avc un bobin pur d inductanc H. Exrcic 14 - Intrprétation énrgétiqu du factur d qualité. Figur 15 S. ént 5/6

6 On considèr un circuit séri d factur d qualité Q = ω 0 avc ω 0 = 1 1. Exprimr l énrgi mmagasiné à l instant t, noté E(t) dans un dipôl n régim sinusoïdal forcé, n fonction d l amplitud I m d l intnsité, du tmps t t ds caractéristiqus du montag (, t ω). 2. Vérifir qu E(t) st indépndant du tmps si l on st à la résonanc d intnsité du circuit. trouvr c résultat par un bilan énrgétiqu. 3. Dans l cas général, calculr la moynn tmporll < E > ainsi qu l énrgi W J rçu (t dissipé) par la résistanc n un périod. 4. Exprimr l rapport < E > W J n faisant apparaîtr l factur d qualité t la pulsation réduit ω / ω 0. Proposr un intrprétation énrgétiqu du factur d qualité. S. ént 6/6