Activités avec GeoGebra à propos des tangentes et dérivées

Transcription

1 Aciviés avec GeoGebra à propos des angenes e dérivées Chrisine Docq, Sabine Hausmann, Marc Leebvre, Dany Legrand, André Malo, Rosane Tossu GEM Avril 014 1

2 Inroducion Cee séquence d aciviés a pour bu d inroduire, en s aidan du logiciel GeoGebra, les nombres dérivés e la oncion dérivée en associan éroiemen le sens géomérique e le sens algébrique de ces noions, ou en aisan un déour par la cinémaique. Nous débuons dans le domaine géomérique en cherchan, par l acivié 1, à caracériser localemen la croissance ou décroissance d une oncion par la pene d une droie qui colle le mieu possible à la courbe. Le logiciel GeoGebra, noammen l ouil "zoom" 1, es bien indiqué pour cee âche. Pour une oncion du ème degré, on peu assez acilemen conjecurer la pene de cee droie en un poin à coordonnées enières. Pour une oncion du 3 ème degré, la siuaion es plus diicile. Pour conourner la diiculé, nous passons à un ou aure domaine, celui de la cinémaique. A l acivié, nous nous inéressons au conceps de viesse moyenne e de viesse insananée pour un mobile soumis à un reinage. Nous proposons des calculs eplicies de viesses moyennes sur des inervalles de emps débuan à un même insan e de longueur de plus en plus réduie. Pour les aciviés 3 e 4, nous invions les élèves à uiliser le logiciel pour racer la oncion «espace parcouru en oncion du emps» de l acivié précédene. Les calculs des viesses moyennes sur des inervalles de emps débuan à un même insan donnen lieu à des inerpréaions graphiques inéressanes : on découvre que ces viesses, quoiens de diérences, donnen les penes de sécanes passan par un poin du graphe de la oncion. Nous suggérons une consrucion graphique de cee amille de sécanes. E on peu monrer avec le logiciel que si l écar enre les deu poins qui déinissen la sécane end vers 0, la droie sécane disparai. Nous espérons que ce pei événemen visuel sera insruci pédagogiquemen. Nous pouvons à ce momen déinir rigoureusemen une angene en un poin comme la droie don la pene es la limie des penes des sécanes choisies judicieusemen. A ce momen, une synhèse en rois paries se dégage : les poins de vue cinémaique, géomérique e algébrique se complèen muuellemen dans la percepion du concep de dérivée. Les aciviés 5 e 6 réuilisen les oncions éudiées à l acivié 1. Pour la première oncion, qui es une oncion quadraique, nous proposons de consruire les quoiens diéreniels relais au poin observé, d en calculer la limie e de comparer le nombre dérivé obenu avec la pene déerminée à vue précédemmen. En rassemblan les résulas pour les diérenes abscisses, on ai émerger le ai que chaque nombre dérivé obenu es le double de l abscisse correspondane e ainsi la oncion dérivée peu êre dégagée. On la calcule ormellemen. Pour la seconde oncion, qui es une cubique, nous reprenons le ableau des penes consrui e proposons deu cheminemens pour découvrir le graphe de la oncion dérivée : 1 Les insrucions spéciiques de GeoGebra son présenées enre guillemes " ", qu il s agisse d ouils, de commandes, de oncions,. GEM Avril 014

3 - Nous comparons les penes des angenes consruies à vue avec les penes des angenes ournies par le logiciel. Nous uilisons ensuie l ouil "race" pour créer la oncion qui aribue à chaque abscisse, la pene correce de la angene. - Nous associons les abscisses e les penes dans un ableur, aisons apparaîre un nuage de poins, uilisons l ouil "ajusemen polynomial" pour créer une oncion qui n es rien d aure qu une approimaion de la oncion dérivée. Nous la conrasons avec la oncion dérivée ournie par le logiciel. GEM Avril 014 3

4 Consruire une héorie pour connaîre la croissance d une oncion peu sembler inuile pour des élèves habiués à obenir le graphe d une oncion en inroduisan simplemen son équaion dans un logiciel. Il es judicieu de vériier qu ils on pris conscience au préalable que le graphique sur un écran peu se révéler rompeur. Comme on ne voi qu une parie, des élémens imporans peuven êre hors écran. E même sur un écran, une irrégularié peu êre invisible si l échelle n es pas adéquae. De plus, dans des domaines uilisaeurs de mahémaiques économie, physique, ou inernes au mahémaiques, les problèmes nécessien souven une connaissance plus ine de la croissance en un endroi précis ou au conraire plus globale de l évoluion d un phénomène par eemple des amilles de oncions avec un paramère. On s inéressera donc ici à la croissance ou décroissance du graphe d une oncion don on ne connaî que l epression algébrique. On se rend compe que cela peu varier suivan l inervalle dans lequel on eamine la oncion. Donc il au eaminer cela assez localemen. On pourrai parler de pene de la courbe en un poin ; on pourrai mieu la cerner si on connaissai la pene d une droie qui «colle le mieu possible» à la courbe au environs de ce poin. On appelle angene à la courbe une droie qui a cee propriéé. Commen déerminer la pene de cee angene en un poin? Supposons qu on dispose déjà du graphe de la oncion, même si dans ce cas, la croissance es visible. Acivié 1 a Tracez le graphe de 4. Créez un curseur m. Créez une droie de pene m passan par un poin pariculier du graphe e ajusez-la à vue pour qu elle devienne une angene au graphe. Vériiez la précision en zooman pour améliorer l ajusemen. Noez les coordonnées du poin e la pene reenue pour la angene en ce poin. Rassemblez les résulas dans un ableau. Que pourrai-on conjecurer? 1 3 b Reaies le même ravail avec. Collecionnez les résulas dans un ableau. Pour recueillir rapidemen assez de résulas, le mieu es de ournir une abscisse diérene à chaque élève ou groupe d élèves. Pour la quesion a, on peu proposer des valeurs enières qui seron reprises à l acivié 5. A la quesion b, il es souhaiable de proposer des valeurs non enières qui seron reprises dans l acivié 6. Pour créer la droie, la orme y m p n es pas uilisable elle quelle, il au recourir à l epression y a m a. On peu le laisser découvrir par les élèves en donnan un coup de pouce si nécessaire. a La pene semble êre le double de l'abscisse. GEM Avril 014 4

5 b La réponse es neemen moins évidene. On es bloqué. Comme en cuisine : «réservez». On remarque déjà que la angene peu couper la courbe plus loin ou avoir une parie de la courbe d'un côé e une parie de l'aure. On conourne la diiculé en s'inéressan à la cinémaique. On ne va pas s inéresser à une rajecoire dans un espace à dimensions on aurai alors une oncion y mais à la posiion d un mobile en oncion du emps oncion p ou à l espace parcouru oncion e sur une rajecoire reciligne. Nous allons nous inéresser à la viesse d un mobile lors d un reinage. Nous verrons commen ce problème, apparemmen éloigné, nous ramènera à la angene. Acivié Un mobile a une viesse iniiale de 1 m/s. Au emps 0, il se me à reiner. La décéléraion es de 4 m/s². Donnez la ormule de l espace parcouru en oncion du emps. Quelle es sa viesse au emps 0? au emps? Il s agi d un mouvemen uniormémen accéléré. La ormule qui donne l espace parcouru es 4 ce qui donne ici e 1 1. a e e0 v0, Au emps 0, le mobile a la viesse iniiale de1 m/s. Mais ensuie la viesse diminue jusqu à l arrê. Elle change donc ou le emps. Nous ne pourrons calculer que des viesses moyennes. La viesse moyenne sur [ i, ] es égale à e e i. i Pour approcher la viesse insananée en, nous prenons i e avec de plus en plus pei. Nous commencerons par donner à les valeurs 1 ; 0,5 ; 0,1 qui seron uilisées à l acivié 3. Déaillons le calcul de la viesse moyenne dans le cas où 1 e i On a e i 16, 3, e 18 e la viesse moyenne sur [ i, ] es égale à. 3 Le ableau compléé es donné ci-après. GEM Avril 014 5

6 Quand approche de 0, on voi que les viesses moyennes se sabilisen e on peu raisonnablemen penser qu elles se rapprochen d aussi près que l on veu de 4. Cee valeur es appelée viesse insananée en. e Viesse moyenne sur [ i, ] ,5,5 17,5 3 0,1,1 16,38 3,8 0,01,01 16,0398 3,98 0,001,001 16, , = viesse insananée en Acivié 3 Tracez le graphique de e dans GeoGebra. Commen rerouver les rois premières viesses moyennes à parir du graphique? E la viesse insananée? La première viesse moyenne se «voi» direcemen comme la diérence d ordonnées des deu poins même si, en enan compe des uniés, il au encore diviser cee disance par le emps qui vau 1 dans ce cas. La deuième viesse moyenne es égale à 3 alors que la diérence des ordonnées es 1,5. Comme la diérence d abscisses es ici de 0,5, il semble naurel de racer la droie relian les deu poins pour voir la valeur 3 comme la variaion vericale pour une variaion horizonale de 1. La viesse moyenne enre les emps e,5 es donc la pene de la droie relian les deu poins d abscisse e,5 sur le graphe de l espace. Cee droie sera appelée sécane. La roisième viesse moyenne ai apparaîre la pene d une sécane de manière analogue. Pour la viesse insananée, les élèves penseron peu-êre à racer par le poin d abscisse la droie de pene 4. On s aperçoi que cee droie colle bien à la courbe auour du poin. Acivié 4 Reaies le même ravail au emps i 1, puis généralisez au emps i. GEM Avril 014 6

7 Pour i 1, on peu reprendre la même démarche qu à l acivié. A présen, e i 10 e le ableau compléé es donné ci-après. e Viesse moyenne sur [ i, ] ,5 1,5 13,5 7 0,1 1,1 10,78 7,8 0,01 1,01 10,0798 7,98 0,001 1,001 10, , = viesse insananée en 1 Commen rouver une ormule générale pour la viesse insananée au emps? Cherchons d abord la viesse moyenne sur l inervalle sur [, ] : v m e e v lim vm Nous généralisons le raisonnemen ai à l acivié 3. Les valeurs e e e son les ordonnées des deu poins du graphe d abscisses e. Leur diérence es la variaion des ordonnées. Comme es la variaion des abscisses, le quoien des deu variaions es la pene de la droie relian ces deu poins. La viesse moyenne enre les emps e es donc la pene de la sécane relian les deu poins d abscisse e sur le graphe de l espace. Comme cee viesse moyenne es un quoien de deu diérences, on l appelle quoien diéreniel ou au de variaion. Pour obenir la viesse insananée, nous passons à la limie de la viesse moyenne quand end vers 0. Comme se rapproche de, le deuième poin se rapproche du premier. Si on ai ce mouvemen dans GeoGebra, au momen de la joncion des deu poins, la droie disparaî. Le logiciel ne peu plus monrer une droie don on ne connaî qu un poin. Pour la racer, il au uiliser la pene obenue comme limie des penes de sécanes. Jusqu à présen, nous voyions la angene en comme une droie «collan le mieu possible à la courbe». Nous la déinissons mainenan rigoureusemen comme la droie don la pene es la limie quand end vers 0 de la pene des sécanes passan par les poins d abscisses e. GEM Avril 014 7

8 La viesse insananée es donc la pene de la angene au graphe de l espace parcouru en. La igure suivane illusre cee démarche avec une oncion choisie pour la claré du dessin. Le ableau de la page suivane présene une synhèse des diérens poins de vue : cinémaique, géomérique e algébrique. GEM Avril 014 8

9 GEM Avril Cinémaique Géomérique Algébrique Viesse moyenne : e e Pene de sécane Quoien diéreniel ou au de variaion : Viesse insananée : e e v lim 0 Pene de angene Nombre dérivé : lim 0

10 Acivié 5 Revenons à la oncion 4. a Reprenez le poin choisi à l acivié 1 e consruisez un ableau présenan des au de variaion avec les mêmes accroissemens qu à l acivié. Comparez le nombre dérivé obenu avec la pene déerminée à l acivié 1. b Calculez le nombre dérivé au poin choisi en uilisan la ormule du quoien diéreniel. c Calculez a en uilisan la ormule du quoien diéreniel. a Prenons par eemple a 3. On a alors a 5 e on peu compléer le ableau suivan : a a Tau de variaion ,5 3,5 8,5 6,5 0,1 3,1 5,61 6,1 0,01 3,01 5,0601 6,01 0,001 3,001 5, , = nombre dérivé en 3 L idée es de aire émerger qu on obien à peu près la même réponse dans ce ableau que lors de la déerminaion de la pene par approimaion graphique à l acivié 1. b Voici le déail du calcul dans le cas a 3 : 3 lim lim En rassemblan les résulas pour les diérenes abscisses, on ai émerger le ai que chaque nombre dérivé obenu es le double de l abscisse correspondane. c Voici le calcul de a : a lim 0 a 4 a 4 lim a a. 0 GEM Avril

11 Le raisonnemen qu on a ai es valable quel que soi a, c es-à-dire valable pour oue valeur de la variable. On peu donc considérer qu on a consrui une nouvelle oncion qui, à, associe. Cee oncion es appelée oncion dérivée. Pour découvrir le graphe d une oncion dérivée, nous proposons deu cheminemens possibles. Dans chacun d eu, nous reparons des approimaions des penes de angene aies à l acivié 1b. Dans le premier, nous invions les élèves à les comparer avec les penes des angenes données par le logiciel e à aciver ensuie l ouil "race" pour créer la oncion qui aribue à chaque abscisse, la pene correce de la angene. Dans le second, nous proposons de créer un nuage de poins correspondan au couples abscisse, pene approimaive, d uiliser ensuie l ajusemen polynomial pour créer une oncion que l on compare inalemen avec la oncion dérivée ournie par le logiciel. Acivié 6.1 Revenons à la oncion 1 3. a Reprenez le ableau des penes consrui en 1 b. b Uilisez l ouil "angene" de GeoGebra pour aire apparaîre les angenes au poins d abscisses reenues lors de l acivié 1 e compléez le ableau avec les penes données par le logiciel. Aviez-vous eu le compas dans l œil dans vos approimaions des penes de angenes? c Créez un poin don l abscisse es l abscisse du poin mobile sur la courbe e don l ordonnée es la pene de la angene à la courbe en ce poin. Uilisez l ouil "race" pour le poin créé. On voi ainsi apparaîre, poin par poin, la oncion dérivée. Voici une capure d écran correspondan à cee quesion : GEM Avril

12 Acivié 6. Revenons à la oncion 1 3. a Reprenez le ableau des penes consrui en 1 b. Dans GeoGebra, inroduisez les abscisses e les penes dans le ableur e aies apparaîre le nuage de poins. b Uilisez l ouil "ajusemen polynomial" du logiciel qui vous donne une oncion réelle qui s ajuse au mieu au nuage de poins. c Recopiez cee oncion dans la enêre principale de GeoGebra. Le logiciel vous donne un accès direc à la oncion dérivée. Uilisez-le pour obenir le graphique de la dérivée de. Avez-vous eu le compas dans l œil dans vos approimaions des penes de angenes? GEM Avril 014 1

13 b On peu aller plus ou moins loin dans la discussion sur l ajusemen. - On peu uiliser la symérie du graphe pour ajouer des couples dans le ableau. - Le calcul héorique de la pene par quoien diéreniel peu aire prévoir que les ermes du 3 ème degré von disparaîre e qu on doi donc choisir pour la oncion dérivée un polynôme du ème degré. - Puisque la oncion de dépar es croissane au valeurs erêmes, la oncion dérivée doi y êre posiive e donc de degré pair. On peu s aendre à des surprises. Par eemple, si les penes obenues par visualisaion ne son pas assez précises, un polynôme du 4 ème degré peu sembler mieu convenir qu un ème degré! Les élèves réaliseron en ous cas que les ajusemens son un domaine complee. c La oncion dérivée du logiciel arrive donc en in de séquence, après que le concep se soi insallé pas à pas lors d aciviés d approche, an géomériques que calculaoires, e que la déiniion algébrique ai éé éablie. Nore séquence s arrêe à ce sade. Le logiciel GeoGebra pourrai êre uilisé pour aire pressenir enre aures que - la dérivée de la somme d une oncion e d une consane es la même que la dérivée de la oncion puisque la oncion es simplemen ranslaée vericalemen, donc les penes des angenes resen inchangées ; - la dérivée du produi d une oncion par une consane es proporionnelle à la consane puisque l éiremen ou la compression vericale correspondane redresse ou abaisse les angenes. GEM Avril