Statistique descriptive

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1 Index 1 page 180 Diagamme en boîte... 1 page 181 Mesue une dispesion... page 181 minimise une dispesion page 181 Le symbole Σ TP page 189 Effet de stuctue page page 19 Contôles compaatifs page 19 Contôle de qualité page 194 Contôle de qualité page 194 évolution des âges page page page page 198 Tavaille la démonstation page 198 Tavaille la démonstation page 180 Diagamme en boîte Rappel des définitions : médiane et quatiles Définition du pemie quatile : Le pemie quatile Q 1 est la plus petite valeu de la séie telle que 5 % au moins des effectifs ont une valeu inféieue ou égale à Q 1. Impotant : Dans cette définition, le quatile Q 1 est une valeu de la séie (il existe une aute définition où Q 1 n'est pas nécessaiement une valeu de la séie et que cetains logiciels utilisent). En patique : méthode de détemination de Q 1 : on ange la séie dans l'ode des valeus coissantes. On divise l'effectif N pa 4 (5% de l'effectif). (q 1 = N 4 ). Si q 1 est un entie, Q 1 est la valeu du q 1 ième élément. Si q 1 n'est pas un entie, on pend l'entie q 1 ' juste au-dessus, et Q 1 est la valeu du q 1 ' ième élément. Définition du toisième quatile : Le toisième quatile Q est la plus petite valeu de la séie telle que 75 % au moins des effectifs ont une valeu inféieue ou égale à Q. Impotant :Dans cette définition, le quatile Q est une valeu de la séie En patique : méthode de détemination de Q : on ange la séie dans l'ode des valeus coissantes. On multiplie l'effectif N pa 4 (75% de l'effectif). (q = N 4 ). Si q est un entie, Q est la valeu du q ième élément. Si q n'est pas un entie, on pend l'entie q ' juste au-dessus, et Q est la valeu du q ' ième élément. Définition de la médiane Me : 1/0 chap_7.odt 08/1/14

2 La médiane est le nombe éel tel que la séie odonnée est patagée en deux séies d'effectif égal. 50% des valeus de la séie sont inféieues ou égales à la médiane Me, 50% des valeus de la séie sont supéieues ou égales à la médiane Me. Remaque : la médiane Me n'est pas nécessaiement une valeu de la séie. En patique : méthode de détemination de Me : on ange la séie dans l'ode des valeus coissantes. Si l'effectif N est impai, la médiane Me est la N+ 1 ième valeu de la séie. Si l'effectif N est pai, la médiane Me est la moyenne des N et N +1 valeus de la séie. Quelques emaques à popos des enties natuels : L'ensemble des enties natuels est noté N. Les enties natuels pais sont les multiples de. Si N est un entie natuel pai, il existe un entie natuel p tel que N = p. Les enties natuels impais ne sont pas divisibles pa. Si N est un entie natuel impai, il existe un entie natuel p tel que N = p + 1. Si N et N + 1 sont deux enties consécutifs, l'un est pai, l'aute est impai. Tout nombe éel x est encadé pa deux enties consécutifs. Soit n un entie tel que n x < n + 1 (bien note les inégalités lage à gauche, sticte à doite) n est la patie entièe de x notée E(x). Exemple : E( ) =, E(15,7) = 15, E( 5,8) = 6, E ( 15 4 ) = Dans les notations utilisées supa pou les quatiles, q ' 1 = E ( N 4 ) + 1 losque N 4 N. Diagamme en boîte ou à moustaches : ) Diagamme en boîte ou à moustaches : q ' = E ( N 4 ) + 1 losque N 4 Soit une séie statistique où les valeus sont classées dans l'ode coissant. La valeu minimale est notée Min, la valeu maximale est notée Max. D'apès la définition des quatiles Q 1 et Q et de la médiane Me, on a : 5 % Min Q 1 50 % Me 5% Q Max L'intevalle intequatile [Q 1 ; Q ] contient 50 % des effectifs. Cet intevalle est epésentée pa un ectangle (contenant la médiane Me). Les intevalles [Min ; Q 1 ] et [Q ; Max] sont epésentés pa des segments (moustaches). N. Les diagammes suivants sont constuits avec le logiciel Sinequanon. /0 chap_7.odt 08/1/14

3 Villes Minimum Q 1 Me Q Maximum Rennes 10,5 11,5 1,1 1,8 1 Stasboug 9,8 10,8 11,4 11,8 1,5 Maignane 14 14,9 15, 15,9 16, Les calculs pou la séie de Maignane : Apès l'avoi classé dans l'ode coissant : 14 14, 14,4 14,5 14,8 14,9 14,9 14, , 15, 15, 15,4 15,4 15,6 15,6 15,7 15,9 15, ,1 16, 16, N = ; Min = 14 ; Max = 16, 4 = 5,85 La 6ième valeu est 14,9 Q 1 = 14,9 est impai, on a donc la 1 ième valeu pou médiane : Me = 15, 4 = 17, 475 La 18 ième valeu est 15,9 Q = 15,9 page 181 Mesue une dispesion Rappel : moyenne Soit une séie statistique d'effectif total N. Les valeus de la séie sont notées et les effectifs de chaque valeu sont notés. On peut écie sous fome d'un tableau : Valeus x 1 x p Effectifs n 1... n p n n p = N. La féquence de la valeu est f i = N. La somme des féquences est égale à 1. /0 chap_7.odt 08/1/14

4 La moyenne de la séie notée x = n 1 x 1 + +n p x p N i= p = 1 N i= p x 1 = = f 1 x f p x p. Quand une séie est divisée en deux sous-séies 1 et d'effectifs espectifs N 1 et N, on peut calcule les moyennes x 1 et x des sous-séies 1 et et, on a : x = N 1 x 1 +N x N 1 +N Coection de l'activité. A f i x 1 B ) Indicateus de position : moyenne et médiane moyenne de la séie A : x A = moyenne de la séie B : x B = Médiane de la séie A : M A = 11 (c'est la 8 ième valeu) = Médiane de la séie B : M B = 11 (c'est la moyenne des 8 ième et 9 ième valeus). ) Indicateus de dispesion déjà connus : étendue, écat intequatile. a) Séie A : étendue e A = 1 7 = 6, Q 1 = 8 (c'est la 4 ième valeu) et Q = 1 (c'est la 1 ième valeu), d'où, i A = 1 8 = 4 Séie B : étendue e B = 18 = 16, Q 1 = 4 (c'est la 4 ième valeu) et Q = 1 (c'est la 1 ième valeu), d'où, i B = 1 4 = 9. b) Si on emplace la valeu minimale 7 pa et la valeu maximale 1 pa 18 dans la séie A, la moyenne n'est pas modifiée ca on a enlevé 5 points et ajouté 5 points, la somme totale n'est pas modifiée. (De façon généale, la moyenne est modifiée pa le changement d'une valeu). La médiane n'est pas modifiée ca la valeu centale dépend de l'effectif et non des valeus extêmes. L'étendue est modifiée, elle vaut maintenant : 18 = 16 L'écat intequatile n'est pas modifié (même aison que pou la médiane, les 4 ième et 1 ième valeus n'ont pas changé). ) Un nouvel indicateu de dispesion : écat-type. Pou mesue la dispesion, on s'intéesse aux écats à la moyenne. Rappel : pou chaque séie la moyenne est 10. = 10 4/0 chap_7.odt 08/1/14

5 A écat elatif écat absolu caé des écats B écat elatif écat absolu caé des écats a) la moyenne des écats elatifs vaut 0 (pa définition de la moyenne). b) la moyenne des écats absolus, l'écat absolu moyen : Séie A : 15 = Séie B : 16 = = 9 8. Cet écat est peu utilisé en patique. c) La moyenne des caés des écats est appelée la vaiance Séie A : V A = 15 = Séie B : V B = = L'écat type est la acine caée de la vaiance : s A = = ,06 s B = ,44 Remaque : L'écat-type est mesué dans la même unité que la séie et la moyenne. La vaiance est mesuée pa l'unité au caé. Exemple : on a effectué un pélèvement d'objets de longueus mesuées en cm. La vaiance est en cm², la moyenne et l'écat-type sont en cm. page 181 minimise une dispesion le choix de la vaiance (et de l'écat type) pou mesue la dispesion n'est pas anodin... en effet : Valeu x k 0 5 Effectif n k 1 4 5/0 chap_7.odt 08/1/14

6 1) la moyenne m : m = Statistique desciptive =,5 La vaiance V : V = (,5) + (0,5) + 4 (,5) + (5,5) 10 = 5,5 10 = 5,5. ) t est un éel, f (t) est la moyenne des caés des écats des temes x k de la séie à ce éel t. a) f (t) = ( t) + (0 t) + 4 ( t) + (5 t) 10 = 1 10 (4+ 4 t+ t + t t+ 4t t+ t ) = t² 5t + 11,5 = (t,5)² 6,5 + 11,5 = (t,5)² + 5,5 (fome canonique d'un polynôme du second degé) b) Losque t =,5, f atteint son minimum qui vaut 5,5. La fonction f atteint son minimum en m =,5 et la valeu minimale est V = 5,5. Cette démache se généalise à toute séie : la moyenne est la valeu qui minimise la fonction f et cette valeu minimale est la vaiance. Commentaies : ( t) est la distance au caé ente deux nombes. On a une séie dont les valeus sont les distances ( t). On calcule la moyenne f (t) de cette séie qui est fonction de t. La moyenne x est la valeu de t où la fonction f atteint son minimum. La vaiance est la valeu minimale, soit : V = f (x) 4 page 181 Le symbole Σ. S = a 1 + a + + a n = 1) A = B = j=0 1 i n a i = =. j = = 6 6 C = k (k+1) = = 110 k= 10 1 ) S = = i ) U = (k k +4) k=0 15 T = ( 10)² + ( 10)² + + (15 10)² = (i 10). i= Somme de 4 temes : U = (0² 0 + 4) + (1² 1 + 4) + (² + 4) + (² + 4) 6/0 chap_7.odt 08/1/14

7 On peut commute les temes, factoise les facteus communs, associe les temes U = (0² + 1² + ² +²) ( ) + ( ) U = k k=0 k=0 k + 4 = V k=0 TP page 189 Effet de stuctue A- Compaaison de deux entepises Entepise de Monsieu Dupé Sexe Salaie S 1 S < S < S < 4 Total Femmes hommes Total Entepise de Monsieu Fotin Sexe Salaie S 1 S < S < S < 4 Total Femmes 15 0 hommes Total Calcul des moyennes de salaie : S Dupé = S Fotin = 160 1,5+ 60,5+ 50, ,5+ 7,5+ 5, Calcul des moyennes de salaie pa sexe : Femmes : S FemmesDupé = S FemmesFotin = Hommes : S HommesDupé = S HommesFotin = 150 1,5+ 40,5+ 0, ,5+,5+, ,5+ 0,5+ 0, ,5+ 70,5+ 50,5 50,09 (en millies d'euos).,15 (en millies d'euos). 1,95 (en millies d'euos). = 1,85 (en millies d'euos). =,7 (en millies d'euos). =,18 (en millies d'euos). Les salaies hommes sont plus élevés que les salaies femmes et comme l'effectif des hommes est beaucoup plus gand chez " Fotin " que chez " Dupé ", la moyenne généale est entaînée ves le haut chez " Fotin ". Répatition en poucentage : Entepise de Monsieu Dupé 7/0 chap_7.odt 08/1/14

8 Sexe Salaie S 1 S < S < S < 4 Total Femmes 55,56 14,81 11,11 81,48 hommes,7 7,41 7,41 18,5 Total 59,6, 18,5 100 Entepise de Monsieu Fotin Sexe Salaie S 1 S < S < S < 4 Total Femmes 5,56 1,11 0,74 7,41 hommes 48,15 5,9 18,5 9,59 Total 5,7 7,04 19,6 100 Reteni la popiété suivante : Soit une population d'effectif total N épatie en deux sous-goupes disjoints d'effectifs N 1 et N (N 1 +N = N) Soit x 1, x, x les moyennes espectives des sous-goupes et la moyenne généale. On a : N x = N 1 x 1 + N x, ou encoe : x = N 1 x 1 + N x N Peuve : Pa définition de la moyenne, la somme de toutes les valeus de la séie est N x la somme de toutes les valeus du pemie sous-goupe est N 1 x 1 la somme de toutes les valeus du second sous-goupe est N x Comme les deux sous-goupes disjoints et que leu éunion donne la population entièe : N x = N 1 x 1 + N x B- Compaaison de deux lycées. Lycée A Poucentage de candidats Taux de éussite Poucentage but de eçus Goupe G 1 0 0,5 15 Goupe G 40 0,59,6 Goupe G 0 0,8 16,4 Goupe G ,95 9,5 Effectif en % 100 XXXXXXXXX 64,5 1) Su 100 élèves du lycée A, le nombe de eçus est : 15 +,6 + 16,4 + 9,5 = 64,5 le poucentage de eçus : 64,5%. ) lycée B des épatitions possibles Cellule D : =B*C et «tie» ves le bas en D, D4, D5. 8/0 chap_7.odt 08/1/14

9 Cellule D6 : =SOMME(D:D5) Lycée B Poucentage de candidats Taux de éussite Poucentage but de eçus Cellule B5 := B6-B-B-B4 Goupe G' ,48 4,8 (en B6 : 100, en modifiant la donnée dans une des cellules B, Goupe G' 0 B, B4, on est cetain 0,58 d'avoi la somme égale à 11,6 100) Goupe G' 0 0,81 4, Goupe G' ,9 7, Effectif en % 100 XXXXXXXXX 77,9 Pou que le taux de éussite global soit plus fot dans le lycée B que dans le lycée A bien que le taux de éussite soit plus faible pa juys, il faut que le nombe de candidats dans les juys aux taux de éussite élevés soit nettement plus impotant que dans les juys aux taux de éussite faible. 10 page 191 Données de la séie Masse en g [5 ; 40[ [40 ; 45[ [45 ; 50[ [50 ; 55[ [55 ; 60[ [60 ; 65] Effectifs eff. cumulés a) La médiane est la masse de la 100ième boîte : 51 g b) le pemie quatile est la masse de la 50ième boîte : 47 g 9/0 chap_7.odt 08/1/14

10 c) e pemie quatile est la masse de la 150ième boîte : 54 g d) l'écat intequatile vaut : 7 g. La moyenne : 50,45 l'écat-type : 5, page 19 Contôles compaatifs Le elevé odonné des 40 mesues : 55,8 58,7 59,7 60, 60,7 61, 61, 61,4 6,1 6, 6, 6,4 6,1 6,4 6,4 6,6 64,1 64,4 64,4 64,5 64,5 64,6 64, , 65,5 65,6 65,9 66,1 66, 66, ,1 67,6 68,7 68,8 69,7 69,8 71 7,9 1 a) Min =55,8 Q1 = 6, Me = 64,5+64,5 = 64,5 Q = 66, Max= 7,9 b) Les valeus abeantes sont les valeus qui n'appatiennent pas à [Q1 1,5I ; Q + 1,5I] où I = Q Q1 = 4 Q1 1,5I = 6, 6 = 56, Q + 1,5I = 66, + 6 = 7, (C'est J.W. Tukey qui a qualifié de valeus abeantes les valeus à l'extéieu de l'intevalle [Q1 1,5I ; Q + 1,5I]). Les seules valeus abeantes sont 55,8 et 7,9 : le poucentage de valeu abeante est égal à 5 % : 40 = ) Machine B : Min = 64,4 Q1 = 65,4 Me = 65,8 Q = 66, Max= 7 Machine C : Min = 65, Q1 = 65,8 Me = 65,9 Q = 66,1 Max= 66, a) 10/0 chap_7.odt 08/1/14

11 b) la pemièe séie statistique ne pote que su 40 valeus, ce qui est peu. les deux autes séies potent su 1 00 valeus ; la machine C est plus égulièe. page 19 Contôle de qualité Oganise les données : Total m = 61 0 V= s 4,55 (en gammes) = 10,65 (en gammes) 10,65² = 0,77 5 L'intevalle [m s ; m + s] donne [06,1 ; 15,], soit en aondissant aux enties des données : [07 ; 16]. Cet intevalle contient : 15 baquettes. On a donc : 15 0 = Le lot est ejeté. de baquettes dans cet intevalle. page 194 Contôle de qualité Oganise les données : classes [4, ; [4,4 ; [4,6 ; [4,8 ; [5,0 ; [5, ; [5,4 ; [5,6 ; [5,8 ; Total 11/0 chap_7.odt 08/1/14

12 4,4[ 4,6[ 4,8[ 5,0[ 5,[ 5,4[ 5,6[ 5,8[ 6,0[ cente : 4, 4,5 4,7 4,9 5,1 5, 5,5 5,7 5,9 XXXX ,5 18,5 59,8 47,1 51, ,5 51,8 494,6 95,45 780,5 1464, , , ,9 50 0,45 141,6 645,1 6 1) x = 4,946 mm Vaiance = 6,4516 4,946² = 0, s = 0,85596 mm ) L'intevalle [x s ; x + s] donne [4, ; 5,717..] plus de 90 % des effectifs. (On suppose que les effectifs se épatissent égulièement dans chaque classe, ce qui donne : effectifs diagamme des féquences cumulées , 5, diamète La poduction est bonne 4 page 194 évolution des âges Année 1950 Âges [0 ; 0[ [0 ; 60[ [60 ; 65[ [65 ; 75[ [75 ;...[ Total 1/0 chap_7.odt 08/1/14

13 Cente de la classe , féquences en % f i 0,1 5,7 4,8 7,6,8 100 f i f i âge moyen 6, vaiance 444,9 écat-type 1,08 Année 1990 Âges [0 ; 0[ [0 ; 60[ [60 ; 65[ [65 ; 75[ [75 ;...[ Cente de la classe , féquences en % f i 7,8 5, 5,1 7,1 6,8 100 Total f i , ,75 f i , ,88 âge moyen 8,4 vaiance 507,15 écat-type,5 Année 000 Âges [0 ; 0[ [0 ; 60[ [60 ; 65[ [65 ; 75[ [75 ;...[ Cente de la classe , féquences en % f i 5,6 5,8 4,6 8,8 7, 100 Total f i , ,5 f i , ,75 âge moyen 9,6 vaiance 51,7 écat-type,64 1/0 chap_7.odt 08/1/14

14 Année 010 Âges [0 ; 0[ [0 ; 60[ [60 ; 65[ [65 ; 75[ [75 ;...[ Cente de la classe , féquences en % f i 4, 5,0 6,0 7,9 8,8 100 Total f i f i , ,5 âge moyen 40,8 vaiance 59,49 écat-type, Année 00 Âges [0 ; 0[ [0 ; 60[ [60 ; 65[ [65 ; 75[ [75 ;...[ Cente de la classe , féquences en % f i,6 48,1 6,1 11, 1,0 100 Total f i , ,5 f i , ,1 âge moyen 4,95 vaiance 619,46 écat-type 4,89 Année 050 Âges [0 ; 0[ [0 ; 60[ [60 ; 65[ [65 ; 75[ [75 ;...[ Cente de la classe , féquences en % f i 1,9 46, 5,7 10,6 15,6 100 Total f i , ,5 f i , ,6 âge moyen 45,69 14/0 chap_7.odt 08/1/14

15 vaiance 678,95 écat-type 6,06 1) 5 page 194 k =5 a) S = k = k=0 (Le calcul donne S = 0) k =5 Remaque : on peut factoise, S = k k=0 k= 4 b) S = k = 1² + ² + ² + 4² k =1 (Le calcul donne S = 0) k =8 c) S = k k = k= 4 (Le calcul donne S = 55) Remaque : On peut factoise 4 : S = 4 ( ² ) k=6 ) a) S = = k k =1 k= 4 b) S = = k (k+ 1) k =1 c) S = (10 1)² + (10 )² + (10 )² + (10 4)² = (10 k ) Remaque : on peut développe S k= 4 k =1 (10 k ) k= 4 = k =1 k= k =1 k= 4 k + k k =1 k= 4 k =1 6 page 194 Dans cet execice, i est undice (un numéo). Il n'ente pas dans les calculs. Les nombes qui entent dans les calculs sont les nombes et. Avec = i pend toutes les valeus entièes de 1 à 15/0 chap_7.odt 08/1/14

16 Indices (numéos) i 1 Valeus de la séie : x 1 x x Effectifs patiels : n 1 n n d(x) = (x ) pou tout éel x. d est une fonction donnant la dispesion autou des valeus. 1 a) = d(x) = (x ) d(x) = n 1 ( x x 1 ) + n (x x ) + n ( x x ) d(x) = (n 1 +n +n ) x ( (n 1 x 1 +n x +n x ) x + n 1 x 1 + n x + n x (avec le symbole ) d(x) = (x ) = b) d est un polynôme du second degé. a = ( (x x+x i ) = x ) ( = N b = x i) = ( Le coefficient de x² admet son minimum en = La moyenne est la valeu qui minimise la fonction d. ) x² ( x + c = b a = n x +n x +n x 1 1 n 1 +n +n ) x + = x (moyenne de la séie) Cette valeu minimale de d est la vaiance de la séie multipliée pa N (effectif total) : N V = (x ) ou encoe d'(x) = ( ) ( x x i) ( d'(x) est une expession du pemie degé qui s'annule en = ( ) ) ) a) b) c)les calculs pécédents sont les mêmes en emplaçant pa. = x.. 16/0 chap_7.odt 08/1/14

17 d(x) = (x ) = Statistique desciptive (x x+x i ) = x = ( ) x² ( le polynôme d(x) du second degé a pou coefficients : a = ( Le minimum est atteint en = b ( a = ( ) ) La moyenne est la valeu qui minimise la fonction d. x + ) x + ), b = ( = x (moyenne de la séie) ) et c = Cette valeu minimale de d est la vaiance de la séie multipliée pa N (effectif total) : N V = (x ). 1) a) Tieu A 0 page 195 Points : Total Effectifs : Étendue : 100 Moyenne pa ti : Tieu B = 46,8 Points : Total Effectifs : Étendue : 100 Moyenne pa ti : 1170 = 46,8 5 b) Que doit-on obseve? Le tieu B peut semble plus égulie ca les effectifs patiels paaissent plus équilibés. Le tieu A peut semble plus égulie ca la majoité (11 tis su 5) des tis est concentée su le «50». C'est cette denièe obsevation qui va appaaîte. 17/0 chap_7.odt 08/1/14

18 a) Tieu A : La médiane Me = 50 (1ème valeu) Pemie quatile Q1 = 10 (7ième valeu) Toisième quatile Q = 50 (19ième valeu) L'écat intequatile : 40 Tieu B : La médiane Me = 0 (1ème valeu) Pemie quatile Q1 = 10 (7ième valeu) Toisième quatile Q = 100 (19ième valeu) L'écat intequatile : 90 Statistique desciptive (Tieu A : comme Me = Q, on ne voit pas appaaîte su le diagamme les 5 % ente Me et Q) (Tieu B : comme Q = max, on ne voit pas appaaîte les 5 % extéieus à Q) b) Vaiance et écat-type : Tieu A : V = ,8² = 1005,76 5 écat-type : 1,71 7 Tieu B : V = ,8² = 1549,76 5 écat-type : 9,67 Les indicateus de dispesion sont plus faibles pou le tieu A. 5 page 198 Tavaille la démonstation 1) Cas paticulie La séie statistique est patagée en deux sous-séies disjointes : sous-séie 1 : x 1, x,, x k de moyenne x (On a donc k valeus) sous-séie : y 1, y,, y de moyenne y (On a donc valeus) a) l'effectif total de la séie est : k + b) La moyenne m de cette séie est égale à : m = (x 1 +x + +x k )+( y 1 + y + + y ) k+ 18/0 chap_7.odt 08/1/14

19 c) Pa définition de la moyenne x, on sait : x 1 + x + + x k = k x. d) De même, on sait que y 1 + y + + y = y En emplaçant ces sommes dans la définition de m au b), il vient : m = k x+ ȳ k + ) Cas généal. Une séie statistique X est patagée en p sous-séies X i disjointes de moyennes et d'effectifs : ( x 1, n 1 ), ( x,n ),, ( x p,n p ). a) Effectif total de la séie X est N = n 1 +n + +n p. b) Pou chaque sous-séie X i, la somme des valeus est.. i= p Donc la somme des valeus de la séie X est : S =. i= p c) La moyenne x de la séie X est donc : x = 1 N. = n 1. x 1 +n. x + +n p. x p n 1 +n + +n p 54 page 198 Tavaille la démonstation Dans cet execice, i est undice (un numéo). Il n'ente pas dans les calculs. Les nombes qui entent dans les calculs sont les nombes et. Avec = i pend toutes les valeus entièes de 1 à Indices (numéos) i 1 Valeus de la séie : x 1 x x Effectifs patiels : n 1 n n Vaiance de la séie : V = 1 N (x x i ) (C'est la définition) V est un nombe éel défini pa les données. Ce n'est pas une valeu vaiable... On est amené à faie un calcul algébique (développement, factoisation, éduction,.) On a besoin de (a b)² =. développement du caé de la difféence de a et b. a(b + c) =. distibutivité de la multiplication su l'addition (pou développe) ab + ac =.. idem (pou factoise) Voi l'activité 4 de ce chapite pou la " manipulation " du. a) = V = 1 N (x x i ) = 1 N ( (x x+x i ) ) développement du caé de... 19/0 chap_7.odt 08/1/14

20 = 1 N x 1 N x + 1 N distibutivité de. su. O, N = ( = 1 N ( ) et 1 N ( x i) ) x² 1 N ( x i) x + 1 N = x, d'où distibutivité de. su. (factoisation) V = x² x x + = 1 N x i 1 N x². b) En emplaçant pa dans la démache : on monte que V = 1 N x i x². (Les popiétés utiles sont les mêmes) 0/0 chap_7.odt 08/1/14