Correction du devoir Surveillé 6 : Probabilités

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1 S DS - Probabilités Correctio du devoir Surveillé : Probabilités Exercice. ROC Démotrer le théorème suivat : ( poits) Théorème : La probabilité de la réuio de deux évéemetsaetb est : P(A B) =P(A) +P(B) P(A B) Remarque : Pour cette démostratio o admet et o pourra utiliser les deux propriétés suivates :. SiA B = alorsp(a B) =P(A) +P(B).P(A B) =P(A) P(A B) Preuve Il suffit d écrire que :A B = (A B) B et comme (A B) B =, il viet : P(A B) =P(A B) +P(B) =P(A) P(A B) +P(B) Exercice. (4 poits) Arthur possède quatre escargots de compétitio spécialemet ourris et etraîés pour la course de vitesse. Dossard : Pouf Pouf Dossard : Ouaf Ouaf Dossard : Miaou Miaou Dossard 4 : Cui Cui O sait que, pour toute course, ces escargots ot des probabilités de l emporter telles que :. O sait que : P() =P() ; P() = P() ; P() = 4 P(4) P() +P() +P() +P(4) = P() +P() + P() + 4 P() = P() +P() + P() + 4 P() = P() +P() + P() + 4 P() = P() = P() = Et voilà doc la probabilité pour que Pouf Pouf gage ue course, qui est doc. Aller mo gars, tu peux e gager.. Aujourd hui, Arthur orgaise courses etre ces 4 escargots. Quelle est la probabilité que :

2 S DS - Probabilités (a) Notos V l évéemet :«Pouf Pouf gage fois sur» A l aide d u arbre, o trouve immédiatemet : P(V ) = ( ) 0, 009 Par même chace sur 0, mo pauvre Pouf Pouf gager fois tiet du miracle. Il va falloir que tu t etraies fort. (b) Notos D l évéemet :«Pouf Pouf perd fois sur» A l aide du même arbre, o trouve immédiatemet : P(D) = ( ) 9 0, 09 Par cotre, Pouf Pouf a bie plus de chace de repartir bredouille...( fois plus...) (c) Notos +V l évéemet :«Pouf Pouf gage au mois fois sur» Il est clair que D est l évéemet cotraire de V, par coséquet : P(+V ) = P(D) = ( ) 9 0, 9 Pouf Pouf a de grade chace d être au mois ue fois vaiqueur, das le cas cotraire ous compredrios sa déceptio. Exercice. ( poits) Ue ureu cotiet trois boules oires et sept boules s. Ue ureu cotiet ciq boules oires et ciq boules s. O choisit ue ure au hasard et o tire successivemet deux boules, avec remise, das l ure choisie.

3 S DS - Probabilités oires oires 7 U 7 oires 7 oire oire U oire.. L arbre comportat issues, o acardω =. Soiet les évéemets suivats : A = «Obteir deux boules s sachat que l ureu a été choisie» B = «Obteir deux boules de mêmes couleurs» C = «Obteir au mois ue boule» P(A) = 7 7 = 49 0

4 S DS - Probabilités et P(B) = = = = 7 0 (= 4 0 ) 4. C : «e pas obteir de boule autremet dit obteir deux boules oires», par coséquet et doc P( C) = + = 9 + = = 7 0 P(C) = P( C) = 7 0 = 0. L évéemet B C est l évéemet «obteir deux boules s», o e déduit P(B C) = = = = 7 0.B C =Ω. Par coséquet, de maière évidetep(b C) =, mais puisqu il faut déduire ce résultat de la questio précédete, exécutos ous, cela cofirmera (à priori) la perfectio des calculs précédets : P(B C) =P(B) +P(C) P(B C) = = Auriez-vous pu trouver ce résultat sas calcul supplémetaire? Evidemmet, je vies de l expliquer. 4

5 S DS - Probabilités Exercice 4. ( poits) Ue boîte cotiet six boules rouges et boules s. U jeu cosiste à tirer successivemet, sas remise, deux boules de la boîte. Si les deux boules ot la même couleur, le joueur gage =C ; si elles sot de couleurs différetes, le joueur perd =C. O otex la variable aléatoire qui à chaque tirage de deux boules associe le gai algébrique du joueur.. O suppose que =. 9 9 (a) Les calculs s effectuet à l aide d u arbre de probabilité suivat : i. NotosC:«obteir de boules de mêmes couleurs», alors P(C) = = ii. Par coséquetp( C) = P(C) = = (b)x pred les valeurs et, par coséquet la loi de la variable aléatoirex est doé par le tableau suivat : X =x i Total Probabilité (c) O a : et E(X) = + = 0 V (X) = ( 0) + ( 0) = docσ(x) = V (X) =. (d) Le jeu est-il équitable? Evidemmet puisquee(x) = 0 Est-il risqué? C est tout relatif, à ce jeu o e perd pas plus d u euro, o a evie de peser que c est peu risqué, ceci état l écart type est élevé e rapport au gai maximum et à la perte maximale, alors...

6 S DS - Probabilités O suppose désormais que. (a) O a (b) et + P(X = ) = P(X = ) = E(X) = = + + = 0 + ( + )( + ) ( + )( + ) 0 + ( + )( + ) + 0 ( + )( + ) = ( + )( + ) (c) Le jeu est équitable lorsquee(x) = = 0 =b 4ac = 9 0 = 49, par coséquet l équatio précédete admet deux racies réelles : = b a = 7 = et = b + a = + 7 Les deux racies sot etières, par coséquet le jeu est équitable lorsqu il y a boules s ou boules s. (d) Le jeu est défavorable si et seulemet sie(x)<0 + 0<0, = Exercice. (Bous) ( poit) Au jeu des petits chevaux, pour pouvoir placer so cheval sur la case de départ, il faut, avec u dé que l o suppose équilibré, obteir u. Si o obtiet pas de o passe so tour. Calculer la probabilité de placer so cheval sur la case de départ : au premier lacé, au secod puis au sixième. Pour placer so petit cheval au premier lacer, il faut obteir u six, cette probabilité vaut doc Pour placer so petit cheval au secod lacer, il faut e pas avoir obteu de au premier lacer mais u au secod, ce qui doe ue probabilité de : = Efi pour placer so petit cheval au sixième lacer, il faut e pas avoir eu de chace fois puis avoir obteu u six la sixième fois, ce qui arrive avec ue probabilité valat :