Variables aléatoires continues

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1 BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 8 Variables aléatoires continues Table des matières I Variable aléatoire continue I. Notion de variable aléatoire continue I. Fonction de répartition I.3 Densité et loi de probabilité I.4 Espérance et variance II La loi Normale 5 II. Définition et cadre naturel d apparition II. Loi normale centrée réduiten (; ) II.3 Utilisation de la table de la loi normale II.4 Lien avec la loi normale II.5 Opérations de variables suivant une loi normale

2 BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 8 I Variable aléatoire continue I. Notion de variable aléatoire continue Définition Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de R. Exemple Exemple de variables aléatoires qui ne sont pas discrètes : Variable T correspondant à la taille d un élève, Variable L correspondant à longueur d un train, VariableAcorrespondant au temps d attente à une caisse... I. Fonction de répartition Définition SoitX une variable aléatoire, on appelle fonction de répartition dex la fonction définie sur R par F(x) =P(X x). Propriété La définition nous permet d écrire : F(x) =P(X ] ;x ]). P(a X b) =P(X b) P(X a) =F(b) F(a). P(X>b) =P(X b) = F(b). Remarque On admet que pour une variable aléatoire continue, pour touta R:P(X =a) =. On a donc : P(a<X<b) =P(a<X b) =P(a X<b) =P(a X b), P(a<X) =P(a X<b), P(X>b) =P(X b). Propriété La fonction de répartition F d une variable aléatoire continue X a les propriétés suivantes : F est une fonction croissante, définie et continue sur R. Pour toutx R, F(x). lim x F(x) = et lim x + F(x) =. --

3 BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 8 I.3 Densité et loi de probabilité Définition 3 Dans le cas oùf est dérivable, la fonctionf dérivée def est appelée densité de probabilité dexet pour toutxde R,F (x) =f(x). Conséquences : F étant une fonction croissante, f est positive. P(a X b) =F(b) F(a) = b a f(x)dx. P(X a) =F(a) = lim [F(a) F(x) ] = x a lim x a x b f(t)dt = notation a f(t)dt. f(x)dx =. Graphiquement, l aire entre la courbe def, qui est une fonction positive, et l axe des abscisses vaut. Exemple Voici quelques exemples de densités de probabilités ainsi que leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal : a f (x) = f (x) = si x< si x si x> si x x + si <x x + si <x si x> si x< f 3 (x) = e x si x -3-

4 BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 8 I.4 Espérance et variance Définition 4 Soit X une variable aléatoire continue et f sa densité. On appelle espérance dex le réel, notée(x), défini par la relation E(X) = xf(x)dx. On appelle variance dex le réel, notév (X), qui, s il existe, est défini par la relation V (X) = [x E(X) ] f(x)dx. On appelle écart-type dex le réel, notéσ X, défini par la relation σ X = V (X). Exemple 3 On peut s amuser à calculer l espérance, la variance et l écart-type pour la fonctionf définie dans l exemple : E(X) = V (X) = xf (x)dx = = (x +x)dx + [ ] x 3 = 3 +x + x dx + ( x +x)dx [ x3 3 +x ] [x E(X) ] f(x)dx = = (x 3 +x )dx + [ ] x 4 = 4 +x3 + 3 σ X = V (X) = 6. = ( x 3 +x )dx [ x4 4 +x3 3 ] = x(x + )dx + x( x + )dx + ( 3 + ) ( ) =. x (x + )dx + x ( x + )dx ( 4 ) ( ) = 3 6. x dx Propriété 3 SoitX une variable aléatoire continue admettant une espérance et une variance, alors pour tousa;b R : E(aX +b) =ae(x) +b. V (ax +b) =a V (X). σ(ax +b) = a σ(x). E(X +Y) =E(X) +E(Y ). E(X Y) =E(X) E(Y ). Si de plusx ety sont indépendantes, V (X +Y) =V (X) +V(Y ). V (X Y) =V (X) +V(Y ). -4-

5 BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 8 II II. La loi Normale Définition et cadre naturel d apparition Cette loi est celle qui rend compte de diverses mesures d une grandeur donnée, opérées à diverses reprises, chaque mesure étant sujette à des erreurs. La loi normale (ou de Laplace-Gauss, appelée «normale» par Pearson en 893) est la loi de certains phénomènes continus qui fluctuent autour d une valeur moyenne µ, de manière aléatoire, résultante d un grand nombre de causes indépendantes dont les effets s ajoutent sans que l un d eux soient dominant : par exemple la taille d un individu en cm, influencée par le sexe, la nourriture, l environnement, l hérédité, le lieu géographique... Définition 5 On appelle loi Normale de paramètresm R etσ>la loi d une variable aléatoire continuex prenant toutes les valeurs réelles, de densité de probabilité la fonction définie pour toutx R par On notex N (m;σ). f(x) = σ π e ( x m σ ) Exemple 4 Voici des exemples de courbes pour quelques valeurs demetσ: m = et σ =, m = et σ =, m = et σ =.8 m = et σ =. -5-

6 BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 8 Propriété 4 On admet que six est une variable aléatoire suivant la loi normalen (m;σ) alors E(X) =m et σ(x) =σ. Ainsi les paramètres d une loi normale sont en fait son espérance mathématique et son écart-type. Remarque Dans l exemple précédent, on peut observer : que la courbe admet comme axe de symétrie la droite d équationx =m, que le maximum de la courbe est atteint enm, espérance de la variablex (ce maximum valant σ π ), et que plusσ est grand, plus la courbe «s étale» autour de la moyenne, en accord avec la signification de l écart-type. Propriété 5 Pour tousaetbréels tels quea b : P(a X b) = b σ e ( x m σ ) dx. π a II. Loi normale centrée réduite N (; ) Définition 6 La variable aléatoiret qui suit la loi normale de paramètresm = etσ= est dite variable aléatoire centrée réduite. Sa densité de probabilité est définie sur R parf(x) = e x. π Notation : On note Π la fonction de répartition d une variable aléatoire suivant la loin(; ). On a donc Pour toutt R, Π(t) =P(T t) = t π e x dx. Π(t) t -6-

7 BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 8 Propriété 6 Soit T la variable aléatoire centrée et réduite. P(T t) = Π(t). Sitest positif : Π( t) = Π(t). Pour tousa;b R, aveca b :P(a T b) = Π(b) Π(a). Pour toutt,p( t T t) = Π(t). Démonstrations et interprétations graphiques : P(T t) = P(T<t) = P(T t) = Π(t). Π(t) t Π( t) =P(T t) =P(T t) (par symétrie de la courbe) = P(T<t) = Π(t). Π( t) t Π( t) t P(a T b) =P(T b) P(T<a) =P(T b) P(T a) = Π(b) Π(a). a Π(b) Π(a) b P( t T t) = Π(t) Π( t) = Π(t) [ Π(t)] = Π(t). t Π(t) t -7-

8 BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 8 II.3 Utilisation de la table de la loi normale Le formulaire ne donne que les valeurs de la loi normale centrée réduite et pour des valeurs positives. En voici un extrait pour comprendre la méthode de lecture : t, 5, 6, 7,, 8749, 877, 879,, 8944, 896, 898, 3, 95, 93, 947 Calcul dep(t, 36) : Le nombre situé à l intersection de la colonne, 6 et de la ligne, 3 est la valeur de la fonction de répartition det pourt =, 3 +, 6 =, 36. Ainsi, Π(, 36) =P(T, 36) =, 93. Calcul dep(t, 5) : P(T, 5) = Π(, 5) =, 8944 =, 56. Calcul dep(t, 7) : P(T, 7) =P(T, 7) = Π(, 7) =, 879 =,. Calcul dep(, 5 T, 37) : P(, 5 T, 37) = Π(, 37) Π(, 5) =, 947, 8749 =, 398. II.4 Lien avec la loi normale Propriété 7 Si une variable aléatoirex suit la loi normalen (m;σ), alors la variable aléatoiret = X m σ loi normale centrée réduiten (; ). En particulier, on ae(t ) = etσ(t ) =. suit la Ce résultat est très importante, puisqu alors il nous suffit d étudier la loi normale centrée réduite puis de procéder à un changement de variable pour obtenir n importe quelle loi normale! Exemple 5 Une variablex suit la loi normale de paramètresm = etσ=3. On poset = X m X =. σ 3 Calcul dep (X< 6) : X< 6 T< 6 T< Donc,P (X< 6) =P (T<, 33) = Π(, 33). On lit sur la table Π(, 33) =, 98 donc :P (X< 6) =, 98. Calcul dep (9<X< 5) : P (9<X< 5) =P ( <T< ) = Π(). Or, Π() =, 843 donc :P (9<X< 5) =, 843 =,

9 BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 8 Remarque 3 SiX suit la loi normale de paramètresmetσ, alors P(m σ X m +σ), 68. P(m σ X m + σ), 95. Démonstration : T = X m X =m +σt. σ Donc, pourt>,p( t T t) =P( σt σt σt) =P(m σt m +σt m +σt) =P(m σt X m +σt). Ainsi, en particulier : P(m σ X m +σ) =P( T ) = Π() =, 843, 68. P(m σ X m + σ) =P( ) = Π() =, 977, 95. Interprétation graphique : σ π m σ m σ m m +σ m + σ II.5 Opérations de variables suivant une loi normale Propriété 8 SoitX une variable aléatoire suivant la loi normalen (m;σ). Alors, pour tousa;b R : La variable aléatoireax +b suit la loi normalen (am +b ; a σ), Si de plusy suit une loi normalen (m ;σ ), alors La variable aléatoirex +Y suit une loi normalen (m +m ; σ +σ ), La variable aléatoirex Y suit une loi normalen (m m ; σ +σ ), Exemple 6 SiX suit la loin (; 3) ety suit la loin ( ; ), alors : La variable aléatoire X + 5 suit la loi normalen (3; 3), La variable aléatoirex+y suit une loi normalen (; ), La variable aléatoirex Y suit une loi normalen (; ). -9-