Mathématiques B30. Les nombres complexes Module de l élève

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1 Mathématques B30 Les nombres complexes Module de l élève 00

2 Mathématques B30 Les nombres complexes 10 y axe magnare Module de l élève 4+6 x axe réel --4 Bureau de la mnorté de langue offcelle 00-10

3 Lste des objectfs du programme d'études de Mathématques B30 Objectf général L élève sera capable de: Démontrer les habletés acquses dans les opératons avec les nombres complexes Objectfs spécfques L élève sera capable de: D.1 Défnr et llustrer les nombres complexes D. Exprmer des nombres complexes sous la forme a b D.3 Addtonner et soustrare des nombres complexes D.4 Multpler et dvser des nombres complexes D.5 Dvser des nombres complexes à l ade d expressons conjuguées Remercements Certans exercces et exemples ont été adaptés, avec permsson, des documents de B. Thessen (Mathematcs B 30, Saskatoon Publc School Dvson, 1999) et d Algèbre 30, BMLO, P. - Math B30 - Nombres complexes

4 1. Introducton aux nombres complexes Au pont où nous en sommes dans l étude des mathématques, les expressons telles que - 1 ou - 4 n ont aucun sens nhérent lorsque nous travallons dans l ensemble des nombres réels. Pour fare usage de ces expressons l faudrat premèrement les défnr et deuxèmement, défnr comment les addtonner, multpler et dvser, tout cec en s assurant que les défntons construtes n entrent pas en contradcton avec les règles et les opératons des nombres réels telles qu utlsées jusqu à date. S nous avons à défnr la multplcaton de - 1 nous le ferons sans doute ntutvement de sorte que (- 1) = -1, pour n mporte quel nombre réel a > 0, - -a. - -a = -a. Avec cet objectf en vue, nous allons défnr un nouvel ensemble appelé l ensemble des nombres complexes, dénoté par. L ensemble des nombres réels sera contenu à l ntéreur de comme l llustre le dagramme c-dessous. * ' représente l ensemble des nombres rratonnels alors que ndque l ensemble des nombres ratonnels. L ensemble des nombres enters est ' symbolsé par la lettre. est l ensemble des nombres naturels et est celu des naturels non nuls. P.1 - Math B30 - Nombres complexes

5 L ensemble contendra un symbole qu s avérera l équvalent de - 1. Une telle entreprse dot se fare avec beaucoup de précauton et selon des crtères mathématques rgoureux. Car notre ntuton peut parfos nous fare défaut. Voc un exemple, où notre ntuton nous mène à une concluson ndésrable: 1 = 1 = ( - 1) ( - 1) = = - 1 Donc, 1 = -1. Ce sont les mathématcens talens du XVIe sècle qu ont utlsé pour la premère fos les nombres complexes. En voulant résoudre des équatons du 3e degré, ces derners ont dû travaller avec des racnes carrées de nombres négatfs. Ces nombres partculers, qu ls ont nommés nombres magnares, ont par la sute été meux défns par les mathématcens du XIXe sècle. Aujourd hu, la noton de nombres complexes est souvent utlsée dans la résoluton de crcuts électrques. Les nombres complexes sont auss utles dans les théores de la physque quantque. Une telle concluson est nacceptable. Nous ne devrons donc pas permettre des opératons telles que ( - 1) ( - 1) = dans notre nouveau système même s une telle opératon est légtme dans. Lorsque nous défnrons nos opératons nous devrons vérfer que nos défntons sont auss smples que possble et qu elles ne mènent pas à de telles contradctons.. Défnton des nombres complexes Notre défnton des nombres complexes comportera tros partes: La représentaton des symboles dans. L égalté dans. L addton, la soustracton et la multplcaton dans. Ces tros partes devront contenr toutes les règles qu nous permettront d effectuer les opératons voulues dans. De plus, nous voulons que contenne et que les opératons mathématques dans s effectuent selon les règles mathématques habtuelles. P. - Math B30 - Nombres complexes

6 Défnton de l ensemble des nombres complexes L ensemble des nombres complexes est l ensemble = { a b : a et b sont des nombres réels.}. S a et b sont des nombres réels, l sera entendu que: 1) b 0 b ; ) a0 a ; et 3) 1. Il découle de cette défnton que: est un sous-ensemble de pusque s a appartent à, a a0, un élément de ; 0 00 (découle de dans la défnton c-dessus); 0 0 (découle de 1 dans la défnton c-dessus). Défnton de l égalté dans Deux nombres complexes a bet c d dans sont égaux (écrts ab cd) s et seulement s a c et b d. L addton, la soustracton et la multplcaton dans ab cd ac bd S a b et c d appartennent à, alors et. a b c d a c b d L expresson a b est défne comme une autre façon d écrre ab. La multplcaton est défne comme sut: a bc d ac bd ad bc Comme on peut le vor dans l exemple qu sut, la multplcaton des nombres réels perçus comme des nombres complexes donne les mêmes résultats que la multplcaton conventonnelle. P.3 - Math B30 - Nombres complexes

7 Exemple 1 : Effectue l opératon suvante en utlsant les défntons des nombres complexes: 3. Soluton Lorsqu un nombre complexe est exprmé sous la forme a b, nous drons qu l est sous la forme standard où a est la parte réelle de a bet b, la parte magnare de cette forme standard. Il est à noter que a et b sont tous deux des nombres réels. Deux proprétés mportantes découlent de cette dernère constataton. Proprété des nombres complexes 1 ou 1 Cette proprété permet de résoudre des expressons dans lesquelles on retrouve ou 1. Exemple : Effectue l opératon Soluton Pusque 1, nous pouvons smplfer: La méthode qu consste à applquer de la dstrbutvté pus à remplacer l expresson par -1 (vor a c-dessous) devendra pour nous la méthode la plus effcace de multpler deux nombres complexes, évtant ans la nécessté de mémorser la formule de multplcaton. La parte b) de l exemple suvant llustre ce genre d applcatons. P.4 - Math B30 - Nombres complexes

8 Exemple 3 : Effectue les opératons suvantes: 63 5 a) b) Soluton a) b) Pour n mporte quel k 0 dans, Proprété des nombres complexes k k k k k 1k k Donc pour tout nombre réel postf k, k peut être exprmé sous la forme d un produt du nombre complexe k par lu-même. Par exemple -4 peut être exprmé sous la forme 4 4. Exemple 4 : Multple et ndque la réponse sous la forme standard: 43 Soluton P.5 - Math B30 - Nombres complexes

9 Exemple 5 : Résous pour et : x y Soluton x y x y 73 5 À cause du prncpe d égalté, Donc: x et y 5 x 7 5et y 3 Exemple 6 : Pour quelles valeurs de m et n est-ce que m3n 618? Soluton m 6 et 3n 18 m 3 et n 6 Pusque les nombres complexes ne sont pas nclus dans les nombres réels, la représentaton graphque d un nombre complexe exge un plan dfférent du plan cartésen dont nous avons fat usage jusqu à mantenant pour représenter les coordonnées des nombres réels. Ans, nous utlsons un plan Argand-Gauss sur lequel l axe des x est l élément réel d un nombre complexe alors que l axe des y représente le coeffcent de l élément magnare, c est à dre b. Exemple 7 : Illustre graphquement x y axe magnare 4+6 y axe magnare axe réel Soluton 1+ xaxe réel P.6 - Math B30 - Nombres complexes

10 Exemple 8 : Détermne la valeur de 3 4. Soluton La valeur absolue d un nombre complexe a b, ndquée par a b pour a, est défne comme étant ab a b. Donc, 3 4, on trouve que b Nous pouvons représenter la valeur absolue d un nombre complexe comme étant la dstance entre l orgne et le pont représentant le nombre complexe dans un plan Argand-Gauss. La fgure c-contre montre la représentaton graphque de axe magnare axe réel Exemple 9 : Évalue les pussances suvantes de. 3 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 f) 3 Soluton a) 1 b) c) 1 1 d) e) f) P.7 - Math B30 - Nombres complexes

11 Dans l exemple précédent, on remarque qu l est possble d évaluer une pussance de en décomposant l expresson afn de pouvor profter de la relaton 1. S l exposant est mpar, l faut réécrre l expresson comme un produt de exposant par et. Par exemple, pour , on écrrat S l exposant est par, l faut réécrre l expresson de manère à obtenr des produts de 6 6. Par exemple, 1 1 et 1 1. Exercce 1 1. Addtonner ou soustrare. Exprmer les réponses sous la forme standard. a) (6 + 3) + ( + 8) b) (4 - ) + (3 + 3) c) (5 + ) + ( + ) d) (7-8) - (5-8) e) (11-3) - (4 + 5) f) (8-7) + (-5 - ) g) (3-11) - (-4 + 5) h) (8-3) + (-3 + ) ) j) k) l) Multpler. a) ( - 3)(3 + ) b) (5 + 3)(4 - ) c) ( - 3)( - 3) d) (3 + 4)(3 + 4) e) 3 f) 4 g) 5 h) ) j) 43 k) (-) 3 l) ( + 3) 3 m) ( - 1)(1 - )( + 1) n) ( - 1). Smplfer. a) (-4 + 3) + 3(-5-4) b) c) d) ( - 5) (1-3) e) -(7 + 3) (1 + 6) - 3 f) ( - 1)(1 + ) g) ( - 7)(1 +)( + ) g) ( - ) P.8 - Math B30 - Nombres complexes

12 3. Résoudre pour x et y. a) 4x + 7 = -6 + y b) y = 5x - c) (x + y) + (7-3) = 5 + d) x + y = 1 + (3 + 5) e) (x - y) + (x + y) = - 4 f) (x + 4y) + (x - 3y) = g) 3x + y = + (1 + 6) h) ( + 1) = y + x 4. Illustrer graphquement les nombres complexes suvants. a) -6 b) 1 c) 8 d) 6 6. Calculer les valeurs absolues suvantes. a) 1 b) 3 c) d) 9 40 P.9 - Math B30 - Nombres complexes

13 3. Évaluer des expressons comportant 1 Nous savons qu une équaton telle que z 1 n a pas de soluton dans pusque aucun nombre réel ms au carré nous donne un nombre négatf. Par contre nous savons que certans nombres complexes satsfont cette proprété. D alleurs, est une soluton de cette équaton. Vérfons s 01 est le seul nombre complexe qu satsfat l équaton z 1. Trouvons tous les a et b tel que ab 1. L expresson développée devent: a abb 10 ou a b ab 10. Sute au prncpe d égalté de nombres complexes, nous trouvons que a b 1 et que ab 0. Cec mplque que sot a 0 sot b 0. S b 0, cec mplque que a 1. Pusque a est un nombre réel, cec est mpossble. Donc b 0. S a 0, b 1 et par conséquent b 1. Cec mplque que b 1 b1 b1 0 et les solutons possbles pourb sont b 1. Les seules solutons à l équaton z 1 sont donc 01 et 01, ce que nous soupçonnons. Il exste une autre façon que nous pourrons utlser pour tenter de résoudre z 1. S z 1, cec mplque que z 10. Il s agt d une équaton du second degré, et donc on peut utlser l équaton quadratque pour la résoudre. Nous obtenons alors, 4 4 Les solutons ans trouvées nous donnent et, des expressons qu n ont pas encore de sens dans l ensemble des nombres réels. Nous amerons ben défnr ces expressons de façon à ce que les deux façons de résoudre l équaton P.10 - Math B30 - Nombres complexes

14 4 4 nous donnent les mêmes solutons, c est à dre que et. En défnssant la racne carrée d un nombre négatf comme sut nous attendrons cet objectf. Pour tout k > 0 dans, nous défnssons l expresson - k comme étant k. 4 4 Grâce à cette défnton et. Donc les deux méthodes produsent les mêmes solutons et -. Dorénavant, même s l expresson - k = k n est pas un nombre réel, nous pourrons la manpuler selon les règles dctées c-dessus pour les nombres complexes. Par exemple, des expressons telles que - 4 peuvent mantenant être nterprétées comme 4 =. De plus, les règles cdessus ont comme agréable conséquence que (- k ) = (k ) = ( )(k ) = -k, un nombre réel. Exemple 10 : Smplfe 10. Soluton ou 10 Exemple 11 : Smplfe 0. Soluton ou 5 Exemple 1 : Smplfe Soluton P.11 - Math B30 - Nombres complexes

15 Exemple 13 : Smplfe 3. Soluton L exemple précédent montre que la règle de multplcaton des radcaux,, ne fonctonne pas lorsque les radcaux contennent a b ab des nombres négatfs. Il faut alors utlser nos connassances du nombre magnare avant de procéder à la multplcaton. Exercce 1. Smplfe. a) 49 b) 100 c) 5 5 d) 3 1 e) f) 0 g) 108 h) 50 ) 98 j) 9 16 k) l) m) 00 n) 18 o) 4 7. Smplfe. a) b) 8 c) 6 d) 1 7 e) f) 33 7 g) 5 8 P.1 - Math B30 - Nombres complexes

16 4. La dvson et la résoluton d équatons dans 5 La smplfcaton d une expresson telle que est réalsée en tenant compte 5 de la relaton 1. Ans, peut être prendre la forme de d élmner le radcal au dénomnateur: En effectuant la ratonalsaton, l est possble On remarque que le dénomnateur et le numérateur ont tous deux été multplés par afn d élmner le terme complexe au dénomnateur. Exemple 14 : Smplfe. 0 Soluton Nous savons ntutvement que est l nverse multplcatf du nombre réel pusque 1 1. Cette noton peut être utle dans l ensemble des nombres complexes et c est pourquo nous défnssons c l nverse d un nombre complexe a b a b a b a b comme étant. P.13 - Math B30 - Nombres complexes

17 Exemple 15 : Détermne l nverse de 1 et vérfe ta réponse. Soluton Selon ce que nous avons ndqué auparavant, la récproque multplcatve d un nombre complexe de la forme a b est donnée par l expresson a b a b a b L nverse de 1 est donc. Pour vérfer notre réponse, nous n avons qu à multpler l expresson de départ par l nverse calculé. Le produt devrat donner Nous avons détermné l nverse. Exemple 16 : Détermne l nverse de 3. Soluton Dans ce cas, 3 peut être représenté par la forme standard 0 3. L nverse prend l allure suvante: La vérfcaton confrme la réponse trouvée: P.14 - Math B30 - Nombres complexes

18 Le concept d nverse d un nombre complexe nous permet de défnr un autre nombre qu est très utle lors de la smplfcaton d une expresson comportant un nombre complexe au dénomnateur. Le conjugué d un nombre complexe a best représenté sous la forme de a b. Il est ntéressant de noter que le produt de deux conjugués complexes est un nombre réel. En effet, comme le montre la démarche suvante, le résultat d une telle opératon mène à a b. a b a b a ab ab b a b L exemple suvant llustre comment ce concept est utlsé. 3 Exemple 17 : Smplfe. Soluton Le conjugué de est. Il sufft de multpler le dénomnateur et le numérateur par Notre connassance des nombres complexes nous permet auss d effectuer la factorsaton d expressons polynomales qu ne peuvent être résolues dans l ensemble des nombres réels. Par exemple, supposons que nous voulons résoudre l équaton x L ensemble n admet pas de soluton pour une telle équaton. Toutefos, dans l ensemble des, x x x 16 x4 P.15 - Math B30 - Nombres complexes

19 Exercce 3 Détermne le conjugué de chacun des nombres complexes suvants Détermne l nverse des nombres suvants Smplfe les expressons suvantes et exprme les réponses sous la forme a b s possble P.16 - Math B30 - Nombres complexes

20 Résous les équatons suvantes. 6. n y x 4 0 9y 30 b t Monca fournt la démarche suvante lors d une autoévaluaton sur les nombres complexes. Elle sat qu elle a comms une erreur, mas elle n arrve pas à l dentfer. Montre l erreur de Monca et ndque la bonne réponse P.17 - Math B30 - Nombres complexes

21 Réponses Exercce 1 1. a) 811 b) 7 c) 7 4 d) e) 7 8 f) 3 8 g) 716 h) 5 ) 10 8 j) 34 k) 7 l) 4. a) 1 5 b) 3 7 c) 51 d) 74 e) f) 1 g) h) -1 ) j) k) 8 l) 46 9 m) 510 n) 1 3. a) 3 6 b) 0 c) 45 d) e) f) g) h) a) x ; y 7 b) 1 x ; y 5 c) x ; y 5 d) x ; y 5 e) x 1; y 3 f) x 5; y 1 g) x ; y 4 3 h) 1 x 1; y 10 y axe magnare x axe réel -6 P.18 - Math B30 - Nombres complexes -10

22 6. a) 5 b) 10 c) d) 41 Exercce 1. a) 7 b) 10 c) -5 d) -6 e) 10 f) 5 g) 6 3 h) 5 ) 7 j) k) l) m) 10 n) 8 o) 7 7. a) 18 b) 4 c) 3 d) 7 3 e) 100 f) 54 g) 7 Exercce P.19 - Math B30 - Nombres complexes

23 La règle de multplcaton pour les radcaux, a b ab, ne fonctonne que pour les radcaux contenant des nombres postfs. Dans ce cas-c, l faut écrre chaque expresson radcale en tenant compte de la relaton d effectuer la multplcaton , avant P.0 - Math B30 - Nombres complexes