Béton armé et précontraint I INSTABILITE ELASTIQUE. E.N.P.C. module B.A.E.P.1. Jean Marc JAEGER Setec TPI. ENPC Module BAEP1 Séance 5 1

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1 Béton armé et précontraint I INSTABILITE ELASTIQUE Jean Marc JAEGER Setec TPI E.N.P.C. module B.A.E.P.1 ENPC Module BAEP1 Séance 5 1

2 Sommaire DISPOSITIONS DE DETAIL HAUTEUR DE FLAMBEMENT IMPERFECTIONS GEOMETRIQUES EFFETS DU SECOND ORDRE COEFICIENT DE FLUAGE METHODE GENERALE EVALUATION DE LA RAIDEUR EVALUATION DE LA COURBURE VERIFICATION DE LA SECTION ENPC Module BAEP1 Séance 5 2

3 14. FLAMBEMENT INSTABILITE ELASTIQUE N N δ déplacement horizontal de la ligne moyenne, S δ M N x δ moment de second ordre créé par la déformation du poteau, Stabilité du poteau : il existe une position d équilibre. N N Position d équilibre ENPC Module BAEP1 Séance 5 3

4 Instabilité élastique, flambement : rappels de RdM On considère un poteau bi-articulé soumis, en tête et en pied, à un effort de compression N centré sur son centre de gravité G (cas de compression centrée). Sous l effet d une action transversale (S) le poteau se déforme et chaque section droite subit un déplacement horizontal δ. Chacune de ces sections est alors soumise à un moment MN δ, lié à l excentricité de l effort appliqué par rapport au centre de gravité de la section déplacée, ce moment engendré par la déformation du poteau est nommé moment de second ordre. Dans le cas de pièces courantes le déplacement δ est faible et on néglige les effets du second ordre, dans le cas de pièces élancées on ne peut plus les négliger. Ces sollicitations de second ordre augmentent la déformation du poteau et donc les valeurs de δ. Si le processus converge vers une position d équilibre le poteau est stable et ne «flambe pas», si le processus diverge on dit que le poteau «flambe». Les imperfections géométriques de construction amorcent le processus, un poteau n est jamais réalisé selon une verticale parfaite. ENPC Module BAEP1 Séance 5 4

5 14. DISPOSITIONS DE DETAIL Dispositions prises vis à vis de la DURABILITE Poteaux b h / 4 Ferraillage longitudinal Ferraillage transversal 9.5 EC2 Φ A A Φ s t, barres s, min s, max barres max 8mm 0.10N max( fyd 0.04Ac (6mm ; 1 4 min(20φ ED Φ long ;0.002 long ) ;a ; AC ) 400mm) a : plus petite dimension transversale du poteau ENPC Module BAEP1 Séance 5 5

6 Dispositions de détail Les dispositions de détail concernant les poteaux sont définies dans la clause 9.5; elles concernent : - la distinction entre poteau et voile qui implique que la plus petite dimension transversale du poteau b vérifie b h/4 en notant h la plus grande dimension transversale de celui-ci; - les clauses de ferraillage longitudinal minimal qui imposent : un diamètre minimal des barres longitudinales Φ barres 8mm, une section minimale d acier d acier A s,min, une section maximale d acier A s,max ; - les clauses de ferraillage transversal qui imposent un diamètre minimal des armatures transversales, un espacement maximal des barres transversales. ENPC Module BAEP1 Séance 5 6

7 14. INSTABILITE ELASTIQUE, FLAMBEMENT G y EI F l f F M Fy M && y EI lf λ i π ² EI Fc lf ² π ² E nce λ² Fc 1+ Fc F 1 Fc 1 F moment de second ordre équation d équilibre élancement force critique d Euler contrainte critique d Euler facteur d amplification ENPC Module BAEP1 Séance 5 7

8 Force critique de flambement, facteur d amplification Il est utile de rappeler quelques résultats de résistance des matériaux, applicables à un matériau homogène élastique, pour mieux comprendre la clause 5.8 «Analyses des effets du second ordre en présence d'une charge axiale» de la norme NF EN On reprend le cas d un poteau bi-articulé de hauteur l f ou un poteau de longueur de flambement l f soumis à une compression centrée. On note y le déplacement horizontal de chaque section droite située à une abscisse x comptée depuis le pied du poteau. L équation différentielle qui relie le moment de flexion M Ny et la courbure 1/r (considérée égale à ÿ) s écrit ÿ M / EI ou E est le module d élasticité longitudinal du matériau et I l inertie de flexion. On trouve une solution y(x) à cette équation différentielle du second ordre et donc une position d équilibre du poteau si l effort appliqué F est inférieur à la force critique de flambement F c. On démontre, en RdM, que dans le cas où le poteau n est pas rectiligne mais présente une imperfection géométrique initiale (par exemple une courbure constante) cette géométrie sera amplifiée par les effets du second ordre et une fois atteint l équilibre, par un facteur dit d amplification égal à F c / (F c F). ENPC Module BAEP1 Séance 5 8

9 ENPC Module BAEP1 Séance INSTABILITE ELASTIQUE, FLAMBEMENT F F l f e ) ( ) (1 4 ) ( f f f f l r e l e x y l x l x e x y && ² 1 sin ) ( ) ( sin ) ( π π π π f f f f l r e l x l e x y l x e x y && déformée parabolique déformée sinusoïdale 8 c ² π c

10 Relation entre courbure (1/r) et déplacement maximal (e 2 ) La courbure 1/r de la ligne moyenne au droit d une section située à l abscisse x est reliée à la déformée y(x) par l expression : 1 ÿ r 1+ y'² On considère que y est faible devant 1 et on obtient alors 1/r ÿ(x). En choisissant une allure parabolique ou sinusoïdale pour la déformée y(x) et en respectant les trois conditions aux limites y(0)0, y(l f )0 et y(l f /2)e 2 on sait alors établir l expression reliant la courbure de la section la plus sollicitée, dite section critique et située à mi-hauteur du poteau, avec le déplacement e 2 de cette section. Cette expression prend la même forme dans les deux hypothèses de déformée à un facteur près noté c par la norme NF EN : c 8 dans l hypothèse d une déformée parabolique (moment constant), cπ² dans l hypothèse d une déformée sinusoïdale (hypothèse courante). ENPC Module BAEP1 Séance 5 10

11 14. LONGUEUR DE FLAMBEMENT Élancement du poteau λ l o / i Longueur de flambement Rayon de giration i l o I B EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 5 11

12 Longueur de flambement selon la résistance des matériaux La résolution de l équation différentielle ÿ M / EI en fonction des conditions de liaison hautes et basses du poteau avec le sol fait apparaître, en RdM, la notion de longueur de flambement. La longueur de flambement dépend des conditions de liaison de chaque extrémité du poteau (ou nœud de liaison) : extrémité libre, articulation ou encastrement et aussi de la possibilité ou non d un déplacement horizontal du nœud supérieur par rapport au nœud inférieur. Par exemple : - Poteau bi-articulé nœuds non déplaçables : longueur de flambement l o (notation de la norme) égale à la hauteur libre l du poteau, - Poteau bi-encastré nœuds non déplaçables : longueur de flambement l o (notation de la norme) égale à la demi hauteur libre l du poteau, - Poteau bi-encastré nœuds déplaçables : longueur de flambement l o (notation de la norme) égale à la hauteur libre l du poteau. L élancement mécanique λ d un poteau est égal au quotient de sa longueur de flambement l o par son rayon de giration i. Le rayon de giration d une section rectangulaire de hauteur h et de largeur b est égal à : i h/ 12 (en effet dans ce cas Ibh 3 /12 et Bbh. ENPC Module BAEP1 Séance 5 12

13 14. RAIDEUR DES LIAISONS k souplesse relative de l encastrement partiel des nœuds de liaison k (θ / M ) éléments. (EI / l ) poteau(x) éléments : s opposant à la rotation M moment unitaire appliqué aux barres raidissant le nœud θ rotation du nœud sous le moment M k 0 encastrement parfait k articulation k mini EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 5 13

14 Longueur de flambement selon la norme NF EN La détermination de la longueur de flambement l o passe par le calcul des souplesses relative à l encastrement partiel des liaisons hautes et basses du poteau avec le reste de la structure, notées k 1 et k 2. La valeur de k traduit la souplesse à la rotation des éléments de structure qui s opposent à la rotation du poteau: dans le cas théorique d un encastrement parfait k0, dans le cas théorique d une articulation totale k tend vers l infini. La valeur minimale de k, fixée par la norme, vaut 0,10. Pour calculer k on considère tous les éléments qui s opposent à la rotation de l extrémité considérée du poteau, en général il s agit des poutres encastrées dans le poteau et situées dans le plan de flambement, on impose une rotation θ au nœud de liaison et on calcule le moment total M équilibré par les éléments s opposant à cette rotation. Le produit de (θ/m) par (EI/l) du poteau considéré donne la valeur de k. Si le poteau adjacent (poteau supérieur pour le nœud supérieur et réciproquement pour le nœud inférieur) est susceptible d initier le flambement du poteau considéré alors il convient de remplacer (EI / l ) dans la définition de k par [(EI / l ) a + (EI / l ) b ]. ENPC Module BAEP1 Séance 5 14

15 14. RAIDEUR DES LIAISONS Calcul de (θ / M ) M θ M 3EI θ ( α l 3) M θ M 4EI θ ( α l 4) θ M M 1 + M 2 ( θ / M ) éléments ( αieiii / li ) (5) EC2 Nota : inertie fissurée des poutres (I homogénéisée par exemple) ENPC Module BAEP1 Séance 5 15

16 Calcul de k En considérant le cas où seule une poutre isostatique de portée l et de raideur EI s oppose à la rotation d une extrémité d un poteau la valeur de θ/m est directement donnée par un calcul simple RdM : θ / M l / (3EI). La norme précise que la raideur EI doit tenir compte de la fissuration : une surestimation de la raideur de la poutre conduit à sous-estimer la longueur de flambement du poteau. L inertie fissurée peut être déduite du calcul de flèche développé plus haut. Si cette poutre n est pas simplement appuyée à son extrémité opposée à la liaison avec le poteau mais encastrée à cette extrémité la valeur devient : θ / M l / (4EI). En réalité les conditions d appui à l extrémité de la poutre sont intermédiaires entre appui simple et encastrement, l hypothèse appui simple est sécurisante. En considérant maintenant le cas ou il y a deux travées de part et d autre du nœud de jonction avec le poteau le processus de calcul consiste à calculer les deux moments M 1 et M 2 équilibrés par chacune des travées et à les cumuler: MM 1 +M 2 et θ / M((M 1 +M 2 )/ θ) -1. ENPC Module BAEP1 Séance 5 16

17 14. LONGUEUR DE FLAMBEMENT - structure contreventée Longueurs de flambement : cas extrêmes k1/ 0 k l 0.7l 0.7l l EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 5 17

18 Longueur de flambement à partir de k1 et k2 Une fois calculées les valeurs de k 1 et de k 2, deux expressions donnent la longueur de flambement selon que la structure est contreventée ou non. Le cas d une structure contreventée correspond au fait que le nœud supérieur est non-déplaçable par rapport au nœud inférieur, c est le cas quand deux planchers successifs sont reliés par des voiles de contreventement au-delà des poteaux et que ces voiles bloquent les déplacements horizontaux relatifs de ces deux planchers. Il est intéressant de passer aux limites de l expression pour vérifier sa bonne application, par exemple k 1 0 et k 2 0 et structure contreventé signifie en RdM poteau bi-encastré à nœuds non déplaçables, dans ce cas l expression de la norme donne une longueur de flambement l 0 égale à la demi hauteur du poteau l ce qui est conforme au calcul RdM. ENPC Module BAEP1 Séance 5 18

19 14. LONGUEUR DE FLAMBEMENT - structure non contreventée Longueurs de flambement : cas extrêmes k1/ 0 k2 0 l 2l 2l EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 5 19

20 Longueur de flambement à partir de k1 et k2 structure non contreventée Le cas d une structure non contreventée correspond au fait que le nœud supérieur est déplaçable par rapport au nœud inférieur, c est le cas quand deux planchers successifs sont reliés uniquement par des poteaux. Il est intéressant de passer aux limites de l expression pour vérifier sa bonne application, par exemple k 1 0 et k 2 0 et structure non contreventé signifie en RdM poteau bi-encastré à nœuds déplaçables, dans ce cas l expression de la norme donne une longueur de flambement l 0 a égale à la hauteur du poteau l ce qui est conforme au calcul RdM. ENPC Module BAEP1 Séance 5 20

21 14. IMPERFECTIONS GEOMETRIQUES θ i θ 0. α h. α m avec θ 0 valeur de base θ 0 1/200 α h facteur de réduction lié à la hauteur α h 2 / l ; 2/3 α h 1 α m facteur de réduction lié au nombre de barres l hauteur m nombre de barres verticales contribuant à l effet total e i max(2cm; θ i l o ) / 2 α m + 0.5(1 1/ m) 5.2 EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 5 21

22 Imperfections de construction, moment de premier ordre Les imperfections géométriques se traduisent, dans le cas d un poteau isolé, par une excentricité e i de l effort axial appliqué N. Un moment MN e i s ajoute au moment de flexion RdM obtenu dans la combinaison considérée, le moment résultant de ce cumul est appelé moment fléchissant de premier ordre et est noté M OE par la norme NF EN La norme représente les imperfections géométriques en fonction d une inclinaison θ i. Ces imperfections s appliquent aux éléments de structure soumis à des charges verticales et aux éléments soumis à une compression axiale, elles doivent être considérées aux ELU mais pas aux ELS. Dans l expression de θ i figurant ci-dessus : θ 0 est la valeur de base, α h est un coefficient de réduction relatif à la longueur ou hauteur, α m est un coefficient de réduction relatif au nombre d'éléments, l est la longueur de l élément comprimé dans le cas d un poteau isolé, m est le nombre d'éléments verticaux contribuant à l'effet total; dans le cas d un poteau isolé m1; dans le cas d un système de contreventement la norme définit les valeurs à prendre en compte pour m et l. En tête d un élément isolé l effet des imperfections géométriques peut être pris en compte sous la forme d une excentricité e i de la charge appliquée. L annexe nationale NF EN NA fixe la valeur minimale de cette excentricité à 2cm. ENPC Module BAEP1 Séance 5 22

23 14. CRITERES POUR EFFETS DU SECOND ORDRE Les effets du SECOND ORDRE peuvent être IGNORES si : λ élancement A 1/(1+0.2ϕeff) B 1+ 2ω C rm ϕ eff ratio prenant en compte le fluage 0.7 (cas général) ω A sd f yd /(A c f cd ) As aire totale d aciers passifs Ν Ν Εd /(A c f cd ) r m M 01 /M 02 M o1, M o2 moments du premier ordre aux extrémités M o2 M o EC2 λ 20 A.B.C / n ENPC Module BAEP1 Séance 5 23

24 Critères simplifiés pour les effets du second ordre, fluage Les effets du second ordre peuvent être négligés si le coefficient d élancement λ est inférieur à une valeur limite λ m. L'effet du fluage doit être pris en compte dans l'analyse du second ordre, en tenant compte de la durée d'application des différentes charges dans la combinaison de charges considérée. La durée du chargement peut être prise en compte d'une manière simplifiée au moyen d'un coefficient de fluage effectif ϕ eff qui, utilisé conjointement avec la charge de calcul, donne une déformation de fluage correspondant à la charge quasi-permanente. Le quotient des moments de premier ordre appliqués aux deux extrémités du poteau correspond au coefficient r m. Ces deux moments sont du même signe s il tendent des fibres situées sur la même face du poteau. ENPC Module BAEP1 Séance 5 24

25 14. PRISE EN COMPTE DU FLUAGE Coefficient de fluage utile φ ef φ. M 0Eqp / M 0Ed φ coefficient de fluage M 0Eqp Moment du premier ordre sous combinaison quasi-permanente M 0Ed Moment du premier ordre sous combinaison ELU EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 5 25

26 Coefficient de fluage effectif ϕ eff Le coefficient de fluage effectif prend en compte le fait que seule une partie des charges appliquées sont de longue durée d application et provoqueront une déformation de fluage. Ce coefficient se déduit du coefficient de fluage final au temps infini (qui dépend de l âge t 0 du béton au moment du chargement) par l expression figurant cidessus où: M 0Eqp est le moment fléchissant du premier ordre dans le cas de la combinaison quasi-permanente de charges (ELS), M 0Ed est le moment fléchissant du premier ordre dans le cas de la combinaison de charges de calcul (ELU). ENPC Module BAEP1 Séance 5 26

27 14. METHODES D ANALYSE Méthode générale basée sur une ANALYSE NON-LINEAIRE au SECOND ORDRE Analyse au second ordre basée sur une EVALUATION de la RAIDEUR du poteau Méthode basée sur une EVALUATION de la COURBURE EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 5 27

28 Méthodes d analyse La norme NF EN propose au trois méthodes d analyse: une méthode générale et deux méthodes simplifiées. La méthode générale est la plus précise, elle est développée dans le module BAEP3. Il s agit d une analyse prenant en compte: - les non-linéarités géométriques : les effets du second ordre qui s ajoutent aux effets du premier ordre, - les lois de comportement «exactes» des matériaux: on prend en compte dans cette analyse une loi de comportement du béton de type «loi de Sargin», -le fluage du béton sous la forme d une affinité de rapport (1 + φef ) appliquée à la loi contrainte déformation du béton. Une approche limitée à l analyse de la section critique est autorisée, la section critique est la section la plus sollicitée du poteau, par exemple section située à mihauteur pour un poteau bi-articulé ou section d encastrement dans le cas d un poteau encastré en pied et libre en tête. Cette approche s accompagne d une hypothèse concernant l allure de la déformée du poteau (loi sinusoïdale, loi parabolique ou autre). Les méthodes simplifiées sont : - une méthode basée sur une rigidité nominale EI, - une méthode basée sur une courbure nominale 1/r. ENPC Module BAEP1 Séance 5 28

29 14. METHODE GENERALE L EQUILIBRE DE LA SECTION s exprime avec : [ M ( 1/ r) ] [ ] externe M (1/ r) int erne [ N ] [ N ] externe int erne LOI MOMENT-COURBURE EXTERNE (déterminée par la RdM) LOI MOMENT COURBURE INTERNE (déterminée par un calcul béton armé) EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 5 29

30 Loi moment courbure Une application possible de la méthode générale de vérification de la stabilité élastique utilisant l approche limitée à l analyse de la section critique consiste à établir les deux lois moment-courbure externe et interne de cette section. La loi externe exprime la relation liant le moment externe (ou moment RdM) appliqué à la section de calcul en fonction de la courbure de cette même section. Cette loi est rapide à construire en notant que le moment de second ordre vaut MNe i et que nous avons établi plus haut la relation entre courbure de la section critique et déplacement de cette section en fonction d une hypothèse de déformée de l élément. La loi interne relie le moment équilibré par la section béton armé avec sa courbure. Cette seconde loi se construit point par point en remarquant que la courbure d une section droite correspond à la pente de son diagramme de déformation. L équilibre de la section implique une égalité entre le torseur des efforts externes et internes, si les deux lois s interceptent il existe une position d équilibre et il n y a pas d instabilité élastique pour peu que la résistance de cette section à l équilibre soit assurée. ENPC Module BAEP1 Séance 5 30

31 14. METHODE BASEE SUR L EVALUATION DE LA RAIDEUR 1 - RAIDEUR NOMINALE EI Fissuration, fluage et aciers passifs 2 - FORCE CRITIQUE DE FLAMBEMENT N B A partir de EI 3 - MOMENT TOTAL M ED Par comparaison de N B et N Ed EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 5 31

32 Méthode basée sur une rigidité nominale Dans une analyse du second ordre basée sur la rigidité, il convient d'utiliser les valeurs nominales de la rigidité en flexion EI, en tenant compte des effets de la fissuration, de la non-linéarité des matériaux et du fluage sur le comportement global. La méthode consiste tout d abord à estimer la rigidité nominale EI de l élément en béton armé en tenant compte du comportement plastique des matériaux, de la fissuration et du fluage. A partir de cette rigidité nominale on en déduit la charge de flambement N B puis un moment de calcul total M Ed exprimé comme une valeur majorée du moment fléchissant de premier ordre M OEd. Cette majoration fait appel à un coefficient qui s apparente de près au coefficient d amplification décrit cidessus (cf pages 7 et 8). ENPC Module BAEP1 Séance 5 32

33 14. EVALUATION DE LA RAIDEUR EI KcEcd I c + KSEsIS RAIDEUR NOMINALE K k 1 c k 1 k f 2 ck /(1 + φef / 20 ) COEFFICIENT POUR FISSURATION FLUAGE ET ACIERS PASSIFS k E I I c K s 2 cd s N 1 Ed E cm EC2 /( Acfcd ) / γ ce λ VALEUR DE CALCUL DU MODULE BETON (γ CE 1.2) INERTIE BETON INERTIE ACIERS PASSIFS ENPC Module BAEP1 Séance 5 33

34 Rigidité nominale EI La rigidité nominale est présentée par la norme NF EN comme la somme de deux termes: la rigidité du béton et celle des armatures passives. La valeur de calcul du module d élasticité du béton E cd se déduit du module d élasticité moyen E cm en divisant celui-ci par γ CE 1,2. Le moment d inertie I c de la section droite de béton est celui de la section brute totale (par exemple bh 3 /12 dans le cas d un poteau de hauteur h et de largeur b). La valeur du module d élasticité de l acier passif est MPa. Le moment d inertie I s de la section d armatures se calcule par rapport au centre de gravité de la section brute béton, dans le cas de barres de diamètre Φ i situées chacune à une distance δ i du CdG cette inertie a pour valeur : Σδ i Φ i ² par application du théorème de Huygens en négligeant l inertie propre de chaque barre. ENPC Module BAEP1 Séance 5 34

35 14. MOMENT TOTAL N M β π ² / c c 0 B ED π ² EI lf ² FORCE CRITIQUE DE FLAMBEMENT M 0Ed ( N B / β N Ed ) 1 dépend de la distribution du moment de premier ordre : 8 moment constant 9.6 moment parabolique 12 distribution symétrique triangulaire EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 5 35

36 Moment total avec la méthode basée sur la rigidité Il faut noter que la méthode basée sur la rigidité nominale donne le moment de calcul total M Ed appliqué à la section (moment total moment RdM + moment dû aux imperfections géométriques + moment de second ordre) contrairement à la seconde méthode qui ne donne que le moment de second ordre à ajouter au moment de premier ordre. Le moment de calcul total M Ed est obtenu en majorant le moment de premier ordre M OEd par un facteur d amplification faisant appel au quotient de la charge critique de flambement N B par l effort normal agissant de calcul N Ed. Le coefficient c 0 dépend de la distribution du moment de premier ordre (comme vu ci-dessus): c 0 8 pour un moment constant (déformée parabolique), c 0 9,6 pour un moment suivant une distribution parabolique, c 0 12 pour un moment suivant une distribution triangulaire symétrique (cas d un IGH avec un point de moment nul à mi-hauteur). ENPC Module BAEP1 Séance 5 36

37 14. METHODE BASEE SUR L EVALUATION DE LA COURBURE NOMINALE 1/ r K r K φ 1/ r 0 COURBURE K r n N ( n u ED n) /( n /( Acfcd ) u n bal ) 1 CORRECTION DEPENDANT DE L EFFORT NORMAL n u (1 + ω) ω Asfyd /( Acfcd ) K 1/ φ r 1+ βφef 0 ε yd /(0.45d) CORRECTION DEPENDANT DU FLUAGE ε yd f yd / E s EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 5 37

38 Méthode basée sur une courbure nominale Cette méthode convient avant tout pour les éléments isolés soumis à un effort normal constant, et de longueur efficace donnée l 0. La méthode donne un moment nominal du second ordre basé sur une déformation, celle-ci étant basée à son tour sur la longueur efficace et sur une courbure maximale estimée. Dans le cas d éléments de section droite constante et symétrique, ferraillage compris, la norme propose une évaluation de la courbure 1/r qui peut se lire comme obtenue par interpolation linéaire entre deux courbures extrêmes : courbure nulle en compression centrée et courbure maximale associée au point le plus excentré selon l axe M d un diagramme d interaction (N,M). L expression de la courbure fait appel à la notion d effort normal relatif n obtenu en rapportant l effort normal N au produit A c f cd. Dans cette expression : Ac est l aire de la section droite de béton, As est l aire totale de la section d armatures. ENPC Module BAEP1 Séance 5 38

39 14. METHODE BASEE SUR L EVALUATION DE LA COURBURE COURBURE MOMENT M e EC2 1/ r 0 εyd /(0.45d) 2 2 N Ed e 2 lo² (1/ r) c Ac At εst f E yd s εb 0.45d c dépend de la distribution de la courbure totale c 2 π sinusoïde ENPC Module BAEP1 Séance 5 39

40 Moment de second ordre avec la méthode basée sur la courbure La méthode basée sur l estimation de la courbure donne le moment nominal de second ordre M 2. celui-ci doit être cumulé au moment de premier ordre M OEd pour obtenir le moment de calcul M Ed : M Ed M OEd + M 2. Ayant déterminé la valeur de la courbure nominale 1/r il est facile de calculer l excentricité de second ordre e 2 et d en déduire le moment de second ordre M 2 M Ed e 2. Dans l expression reliant la courbure et l excentricité de second ordre : e 2 (1/r ) l o ² / c on retrouve le coefficient c dépendant de la distribution des courbures présenté ci-dessus (cf pages 10 et 32). Une fois déterminées les sollicitations agissant sur la section droite et tenant compte des effets du second ordre (N Ed, M Ed ) il reste à justifier la résistance de cette section, par exemple en utilisant un diagramme d interaction. Le calcul d un poteau est ensuite à faire en situation de feu : calcul à chaud selon la norme NF EN : Règles générales Calcul du comportement au feu. ENPC Module BAEP1 Séance 5 40

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