Suites numériques (exercices)

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1 Suites numériques (exercices) Exercice 1 : u est la suite définie sur IN par u n = n 2-4n Déterminer une fonction f telle que :pour tout n IN u n = f(n) 2. Dans un repère tracer la courbe représentative de f sur [0 ;+ [ 3. Placer sur le graphique u 0, u 1,u 2,u 3,u 4. Exercice 2 : f est la fonction définie sur [0,+ [ par : f(x) = 2 x 1. Tracer, dans un repère, le graphe de f 2. u est la suite définie pour tout n IN par u n = f(n) 4. Placer sur le graphique u 0, u 1,u 2,u 3,u 4. Exercice 3 : 1 u est la suite définie sur IN par u n = n+1 1. Déterminer une fonction f telle que :pour tout n IN u n = f(n) 2. Dans un repère tracer la courbe représentative de f sur [0 ;+ [ 3. Placer sur le graphique u 0, u 1,u 2,u 3,u 4. Exercice 4 : Pour chacune des suites, exprimer le terme de rang n+1 en fonction de n 1. u n = 3n+1 2. v n = n 2-6n+1 3. w n =3 2n 4. t n= Exercice 5 : n+1 n+2 Dans chacun des cas ci-dessous, calculer u 1,u 2,u 3,u 4,u u n est la suite définie par u 0 = 1 et par la relation de récurrence u n+1 = 2 u n +n. 2. u n est la suite définie par u 0 = 1 et par la relation de récurrence u n+1 = -1+u n 2 3. u n est la suite définie par u 0 = 1 et par la relation de récurrence u n+1 = u n 2 + u n. 4. u n est la suite définie par u 0 = 1 et par la relation de récurrence u n+1 = 2 u n 1+u n. Exercice 6 : u est une suite telle que u 0 =1, u 1 =0 et pour tout n IN u n+2 = 3u n+1-2u n. Calculer u 2,u 3,u 4. 1

2 Exercice 7 : On fabrique une suite en posant : u 0 =1, u 1 =2 Pour tout n 2 u n est la somme des deux termes qui le précèdent. 1. Déterminer u 2,u 3,u Ecrire une relation de récurrence vérifiée par u. Exercice 8 : u est la suite définie par u 0 =2 et pout tout n IN, u n+1 = 1 2 u n+4 1. Dans un repère orthonormé, tracer les droites δ et d d équations respectives y = x et y = 1 2 x Placer u 0 sur l axe des abscisses et effectuer les tracés nécessaires pour obtenir u 1, u 2 et u 3 des abscisses. Exercice 9 : f est la fonction définie sur [0,+ [ par : f(x) = 2 x On note u la suite définie par u 0 = 1 4 et pour tout n IN u n+1 = f( u n ) 1. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de f et la droite d équation y = x 3. Placer u 0 sur l axe des abscisses et effectuer les tracés nécessaires pour obtenir u 1, u 2 et u 3 des abscisses. Exercice 10 : u est la suite définie par u n = n 2 v est la suite définie par v n = u n+1 - u n 1. Calculer u 0, u 1, u 2, u 3,u 4 puis v 0, v 1, v 2, v 3, v Démontrer que v est une suite arithmétique. Quelle est sa raison? 3. Reconnaître la suite v. Exercice 11 : u est la suite définie par sur IN par : u n = n sin ( nπ 2 ) Démontrer que cette suite n est pas arithmétique. 2

3 Exercice 12 : Dans un repère, u est le vecteur de coordonnées (2 ;-1). On définit une suite de points : A 0 a pour coordonnées ( -6 ;5) A n+1 est l image de A n par la translation de vecteur u 1. Placer dans le repère les points A 0, A 1, A 2, A 3 2. On note ( x n ; y n ) les coordonnées du point A n Montrer que les suites ( x n ) n IN et ( y n ) n IN sont arithmétiques. Exercice 13 : u est la suite de réels strictement positifs définie par u 0 =1 et la relation de récurrence u n+1 = u n u n +1 ; v est la suite définie par v n= 1 u n 1. Calculer u 0, u 1, u 2, u 3,u 4 puis v 0, v 1, v 2, v 3, v Démontrer que v est une suite arithmétique. 3. En déduire v n puis u n en fonction de n. Exercice 14 : La suite (u n ) est une suite arithmétique de raison r. 1. On donne : u 5 = 7, r = 2. Calculer u 1, u 25 et u On donne : u 3 = 12, u 8 = 0. Calculer r, u 0 et u On donne : u 7 = 7 2, u 13 = Calculer u 0. Exercice 15 : (u n ) est une suite arithmétique telle que u 2 + u 3 + u 4 = 15 et u 6 = 20. Calculer son premier terme u 0 et sa raison r. Exercice 16 : u est la suite arithmétique de raison 1 2 telle que u 1=-1 1. Calculer u A partir de quel rang a-t-on u n 50? 3. Calculer la somme S = u 1 +u u Calculer la somme S =u 26 +u 27 + u 50. 3

4 Exercice 17 : Une suite arithmétique u de raison 5 est telle que u 0 = 2 et, n étant un nombre entier, n! u i = 6456 i=3 Calculer n. Exercice 18 : v est la suite définie sur IN par v n = 3n+5 5 n. 1. Démontrer que v est géométrique. 2. Quel est son sens de variation? Exercice 19 : Dans un repère d origine O on note A 0 le point de coordonnées ( 6,4) et pour tout entier naturel n A n+1 limage de A n par l homothétie de centre O et de rapport Placer, dans le repère, les points A 0, A 1,A 2 et A On note (x n,y n ) les coordonnées du point A n. Montrer que les suites (x n ) n IN et ( y n ) n N sont des suites géométriques. Exercice 20 : u est une suite géométrique à termes strictement positifs. Montrer que pour tout entier n 1 u n = u n-1 u n+1. Exercice 21 : La suite (u n ) est une suite géométrique de raison q. 1. On donne : u 1 = 3 et q = -2. Calculer u 4, u 8 et u On donne u 3 = 2 et u 7 = 18. Calculer u 0, u 15 et u 20. Exercice 22 : u est la suite géométrique de raison 1 3 telle que u 0=2 Calculer la somme S = u 10 +u u 50. Exercice 23 : Calculer les sommes S et S'. S = S' = Exercice 24 : La taille d'un nénuphar double chaque jour. Au bout de 40 jours, il a recouvert tout l'étang. Au bout de combien de jours avait-il recouvert la moitié de l'étang 4

5 Exercice 25 : Au cours d'une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque année 12% de sa valeur. Un livre a été acheté neuf en 2000, il coûtait alors 30. Quel est son prix à la bourse aux livres de 2005? de 2009? Exercice 26 : Soit (u n ) une suite telle que u 4 = -4 et u 7 = On suppose que la suite (u n ) est arithmétique. a) Calculer u 3, u 5, u 0. Plus généralement, exprimer u n en fonction de u p et de la raison r, pour n et p entiers quelconques. b) Calculer S 5 et S 10. c) Etudier la convergence de (u n ). 2. Mêmes questions si (u n ) est supposée géométrique. Exercice 27 : 1. Etudier le sens de variation des suites (u n ) définies ci-dessous 2. Sont-elles majorées, minorées, bornées? i) u n = 5n - 1 ii) u n = - 2n + 3 iii) u n = n 2 iv) u n = n 2-9 v) u n = 5 - n 2 vi) u n = 1 n ix) u n = 4 3 n x) u n = 1 n 2 vii) u n = n 2 xi) u n = 1-3 n viii) u n = 1-1 n xii) u n = (- 1) n xiii) u n = sin n xiv) u n = cos(nπ ) xv) u n = cos 1 n Exercice 28 : Dans chaque cas, étudier le sens de variation de la suite (u n ) définie par : i)!!u 0 = 5!!et!!u n+1 = u n! 2n +1 ii)!!u 0 = 2!et!!!u n+1!= 1 2 u n iii)!!!u 0 =!1!et!!!u n+1!= 3u n Exercice 29 : f est une fonction croissante sur [ 0;+ [ (u n ) est la suite définie par: n N u n = f(n) Démontrer que (u n ) est croissante 5

6 Exercice 29 : Montrer que chaque suite proposée a pour limite. a) et b) et c) et d) et e) et f) et Exercice 30 ; Montrer que les suites proposées tendent vers une limite à préciser. a) ; ; b) ; ; c) ; ; Exercice 31 : Etudier d'abord la limite de la suite géométrique, puis celle de la suite. a) ; b) ; c) ; d) ; Exercice 32 : Montrer que la suite satisfait la relation (R), puis en déduire la limite de cette suite. a) ; (R) : b) ; (R) : c) ; (R) : d) ; (R) : 6

7 Exercice 33 : Soit la suite définie par et. a) Déterminer les cinq premiers termes de cette suite. Quel semble être la limite de (u n )? b) Montrer que la suite (v n ) définie par v n = u n ²-4 est géométrique. En déduire la limite de la suite (v n ) puis celle de la suite (u n ). Exercice 34 : On définit la suite (u) sur IN par : u n = n 2-5n. o o o o Est-ce une suite arithmétique? géométrique? Est-ce une suite monotone? Est-ce une suite bornée? Est-ce une suite convergente Exercice 35 : On définit la suite (u) par la relation: Pour tout n entier naturel, u n = n + 1 n o Est-ce une suite monotone? o Est-ce une suite bornée? o Vérifier que pour tout n>2 u n < 1 n-1 o Est-ce une suite convergente? Exercice 36 : On définit la suite (u) par les relations: u 0 = 1 et Pour tout n entier naturel, u n+1 = 0,1.u n Calculer les premiers termes de cette suite 2. Etude d'une suite auxiliaire Posons la suite (W) définie par : 7

8 Pour tout entier naturel n W n = u n! 20 9 Montrer que (W) est donc une suite géométrique de raison 0,1 En déduire l'expression de W n puis celle de u n en fonction de n: Etudier la convergence de (u) Exercice 37 : On cherche à calculer l'aire A de la surface comprise entre la portion de parabole d'équation! =!! + 1 et les axes du repère (voir figure). Pour cela, on divise [0,1] en n parties égales et l'on remarque que A est comprise entre l'aire A n de la région délimitée en noir et l'aire A' n de la région délimitée en rouge. 1. En vous servant de la calculatrice, calculer A n et A' n en fonction de n. 2. Calculer les limites de A n et de A n et en déduire la valeur de A. Exercice 38 : Une suite géométrique v est croissante et ses termes sont strictement négatifs. 1. Justifier que la raison b de la suite est telle que 0 < b < On suppose que v 1 v 3 = 4 9!!!!et!!v 1 + v 2 + v 3 =! Calculer v 1, v 2, v 3 et b. Exercice 39 : Soient les suites (U n ) et (V n ) définies sur IN par: 1.En travaillant dans l application tableur de la calculatrice, calculer les 15 premiers termes de chacune des suites U n et V n et émettre une conjecture quant à la nature de la suite V n 2. Démontrer la conjecture émise en Calculer V 0 et exprimer V n en fonction de n. 4. En déduire que pour tout entier naturel n, 8

9 Exercice 40 : (un) est la suite définie par la relation: 1. A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 0,0001 près par défaut de u 4 et de u Esquisser le nuage de points (n, u(n)) obtenue sur la calculatrice. 3. Esquisser le «graphe toile» qui permet d obtenir à partir du tracé d une fonction l on précisera et du tracé de la droite d équation y=x les termes de la suite. 4. Emettre une conjecture quant au sens de variation de la suite (u n ) et à la convergence de cette suite. 5. On admet que pour tout n entier naturel, u n est > 1. Démontrer alors la conjecture émise sur 3 le sens de variation de la suite. 6. Déduire des résultats précédents que la suite (u n ) est convergente et calculer sa limite. Exercice 41 : (u n ) est la suite réelle définie pour n entier naturel par les relations: u 0 = 6 et pour tout n entier naturel : u n+1 = (0,3)u n i) A l aide de la calculatrice, calculer les 20 premiers termes de la suite. ii) Représenter graphiquement les termes de la suite (u n ) en utilisant les droites d équation y=0,3x-4 et y=x. iii) Emettre des conjectures quant au sens de variation et à la convergence de la suite. 2. On suppose que la suite (u n ) est minorée par!". Démontrer alors que la suite est! convergente et calculer sa limite. 3. On se propose de retrouver cette limite par une autre méthode Soit a un réel fixé. On pose pour n entier naturel : Vn = u n - a. i) Exprimer en fonction de a, V 0, V 1 et V 2. ii) Déterminer a tel que V 0, V 1 et V 2 soient trois termes consécutifs d'une suite géométrique. iii) Montrer que pour cette valeur de a, la suite (V n ) est bien géométrique. iv) Exprimer alors (V n ) en fonction de V 0 et de n. En déduire l'expression de u n en fonction de u 0 et n. v) En déduire la limite de la suite (u n ). 4. On pose S n = V 0 + V V n et T n = u 0 + u u n. i) Quelle est l'expression de S n en fonction de n? En déduire l'expression de T n en fonction de n. ii) Quelle est la limite de la suite (S n )? Quelle est la limite de la suite (T n )? 9

10 Exercice 42: Monsieur X a placé 2000 euros le 31 décembre 2002 sur son livret bancaire à intérêts composés au taux annuel de 3,5% (ce qui signifie que, chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts). A partir de l année suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, 700 supplémentaires sur ce livret. On désigne par Cn le capital, exprimé en euros, disponible le 1 er janvier de l année (2003+n), où n et un entier naturel. Ainsi, C 0 = a. Calculer le capital disponible le 1 er janvier b. Etablir, pour tout entier naturel n, une relation entre C n+1 et C n. 2 Pour tout entier naturel n, on pose U n = C n a. Démontrer que la suite (U n ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison. b. Exprimer U n en fonction de n. c. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : Cn = x (1.035) n d. Calculer le capital disponible le 1 er janvier 2008 (on arrondira le résultat à l euro près). 3. Le premier janvier 2008, Monsieur X retirera alors le capital disponible de la banque pour financer un voyage dont le coût (supposé fixe) est de Il paiera cette somme en 4 mensualités qui seront 4 termes consécutifs d une suite arithmétique de raison 800. Calculer le montant de ces 4 mensualités. Exercice 43 : La population d'une ville au mois de janvier 2001 est de habitants. Un programme de construction immobilière prévoit la construction de nouveaux logements dans cette ville et une estimation réalisée par les services municipaux conduit à penser que la population doit augmenter de 1250 habitants par an durant les années à venir. On estime que ce programme immobilier ne va pas plaire à tous les habitants de cette ville et que 250 anciens habitants de cette ville partiront par an durant les prochaines années. On appelle Po le nombre d'habitants en janvier 2001, P1 le nombre d'habitants en janvier 2002,..., etc, et Pn le nombre d'habitants en janvier de l'année (2001+n). 1: Quelle est la valeur de P1? de P2? de P3? 2: Montrer que la suite (Pn) est arithmétique et donner sa raison. 3: A partir de quelle année peut-on estimer que la population de cette ville dépassera les habitants? 4: A partir de quelle année la population nouvelle attirée par les constructions immobilières sera plus importante que la population ancienne, celle présente avant le programme immobilier? 5: A partir de quelle année la ville ne comptera plus parmi ses habitants de membres de l'ancienne population? Exercice 44 : Une personne fait un héritage de euros. Prudente, elle décide de placer cette somme d'argent en obligations d'etat qui lui rapporte 7% en intérêts simples. Comme ses besoins en argents ne sont pas importants, elle décide que, tant que le capital résultant de son placement n'a pas atteint euros, elle laisse son argent sur les Obligations d'etats. Dès que le capital dépasse euros, elle demandera le versement en liquide de ses intérêts. En quelle année demandera-t-elle le versement des intérêts? 10

11 Exercice 45 : On sait que A, B et C sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique. On sait que A + B + C = 250 et 2A + 3B +4C = 500 Déterminer A, B, C et la raison de cette suite. Exercice 46 : On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = 0,75x + 2. (D) est la droite qui représente cette fonction dans le plan muni d'un repère orthonormé. (D) : y = 0,75x + 2 On appelle (D ' ) la droite d'équation : y = x. 1. Représenter sur une figure les droites (D) et (D '). Déterminer les coordonnées du point L l'intersection de ces deux droites. 2. On définit la suite (u n ) par : u 0 = 0 et pour tout n entier naturel, u n+1 = f(u n ). A n, B n et U n sont les points de coordonnées respectives (u n ; 0), (u n ; u n+1 ) ; (u n ; u n ). i) Placer sur la figure A 0, B 0, U 0, A 1, B 2, U 1 et A 2. ii) Montrer que la suite (v n ) définie par v n = u n - 8, est géométrique. Donner alors l'expression de v n, puis celle de u n en fonction de n. Etudier la convergence de la suite (u n ). iii) Que peut-on en déduire pour les suites de points (A n ), (B n ) et (U n )? Exercice 47 : a) Soit ABCDE une pyramide à base carrée ayant toutes ses arêtes égales (AD = a). Calculer la hauteur AH de cette pyramide. b) On empile des billes de même rayon R de telle sorte que chaque bille repose sur quatre billes dont les centres définissent un carré de côté 2R. Le niveau 1 contient une bille, le niveau 2 contient quatre billes. Quel est le nombre de billes du niveau 3, du niveau 4, du niveau n (n entier naturel)? c) On note h n la hauteur d'un empilement à n niveaux. Démontrer que (h n ) est une suite arithmétique et donner le premier terme et la raison. Exercice 48 : On considère la suite récurrente (u n ) de premier terme u 0 =0 et telle que pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + 2n!11 1. En utilisant la calculatrice, calculer et représenter graphiquement les 20 premiers termes de cette suite. Le nuage de points a-t-il une particularité? Si oui, laquelle? 2. n étant donné, on peut calculer la valeur de u n si on connaît la valeur de u n-1. On voudrait à présent pouvoir calculer, pour n importe quelle valeur de l entier naturel n, 11

12 la valeur de u n sans pour autant connaître la valeur de u n-1. Pour cela il faudrait une formule donnant u n en fonction de n. A l aise des observations faites dans la première question, établir cette formule. Vérifier en traçant la fonction correspondante sur le même graphique Exercice 49 : On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel par u n =n 3 et la somme de ses n premiers termes S n =! k 3. On désigne par V n la somme des n+1 premiers termes de la suite k=0 arithmétique des entiers naturels soit V n =! k. n k= A l aide du tableur de la calculatrice calculer S n,v n,v n pour n allant de 1 à 30. Que constate-t-on? 2. Rappeler l expression de V n en fonction de n et conjecturer d après les observations faites à la question 1 une formule donnant la valeur de S n en fonction de n. 3. Vérifier en calculant directement S n dans l application calcul. 12