Ex 1 : Montrer que pour tout entier naturel n, 9 divise 10 n 1. En déduire que pour tout entier naturel n, 9 ne divise pas 10 n + 1.

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1 Fiches méthodes arithmétique Comment traiter un problème de divisibilité? Méthode : Pour les problèmes de divisibilité dans N ou dans Z, on se ramène à la définition de la divisibilité : b divise a signifie qu il existe un entier k (k N ou k Z selon le problème) tel que a = kb. On n oublie pas de bien s assurer que k est un nombre entier. On évite de se «plonger» dans R en écrivant un quotient : l écriture a = kb apporte généralement à elle seule la réponse au problème. On peut aussi noter que les problèmes de divisibilité se résolvent souvent avec l outil des congruences. Ex 1 : Montrer que pour tout entier naturel n, 9 divise 10 n 1. En déduire que pour tout entier naturel n, 9 ne divise pas 10 n + 1. Ex 2 : Montrer que, pour tout entier naturel n, 10 divise 5n n Ex 3 : Montrer que pour tout entier naturel n, 6 divise n 3 n. Ex 4 : 1) Vérifier que pour tout entier naturel n : n 1 = n(n + 1) (n 2 + 1). 2) Déterminer l ensemble des entiers naturels n tels que n + 1 divise n Ex 1 : On factorise 10 n 1 avec l identité a n 1 = (a 1)(1 + a + a a n 1 ) Ex 2 : On factorise 5n n puis on discute suivant la parité de n Ex 3 : La factorisation de n 3 n est le produit de trois entiers particuliers Ex 4 : 2) On étudie d abord les cas où n = 0 et n = 1. Pour n 2, si n + 1 divise n alors, d après le 1), n + 1 divise n 1 Comment utiliser la division euclidienne et les congruences? Méthode :. Si l on doit utiliser la division euclidienne de a par b, on reviendra à la Définition : a = bq + r où r et q sont des entiers tels que 0 r < b. On n oubliera pas de s assurer de l encadrement du reste : une égalité comme 37 = ne traduit pas la division euclidienne de 37 par 9 (car 10 > 9) ; il faut écrire : 37 = (0 1 < 9).. Pour les congruences, on se souviendra que si r est le reste dans la division euclidienne de a par b alors a r [b]. Attention! Les congruences ne sont pas des égalités : si l on peut multiplier ou additionner entre elles des congruences (modulo le même nombre n), on ne peut pas les «diviser» par un même entier (encore moins entre elles) comme le montre le contre exemple [4] ; or 6 = 3 2 et 10 = 5 2 ; [4] mais c est faux d écrire : 3 5 [4].

2 Ex 1 : N est un entier supérieur à 200. Dans la division euclidienne de n par 11, le reste est 9 et le quotient est q. Dans la division euclidienne de n par 12, le reste est r et le quotient est q 1. Déterminer les valeurs de n possibles. Ex 2 : Un entier naturel n a pour quotient 10 dans la division euclidienne par 7 et pour reste 3 dans la division euclidienne par 5. Déterminer n. Ex 3 : Pour tout entier naturel n, soit A n = 5 n + 3 n + n. On désigne par R n le reste de la division euclidienne de A n par 4. 1) Calculer A 0, A 1, A 2, A 3, A 4 et R 0, R 1, R 2, R 3, R 4. 2) Vérifier que 5 1 [4] et 3 1 [4]. En déduire R n en fonction de n. Ex 4 : Montrer que, pour tout entier naturel n, n + 3 est divisible par Ex 5 : En utilisant les congruences, montrer que, pour tout entier naturel n, 6 divise n(n + 1)(2n + 1). Ex 1 : Les hypothèses se traduisent par le système : q 9 12( q 1) r _ avec _ 0 r 12 4 valeurs seulement sont possibles pour r 4 valeurs possibles pour q 4 valeurs possibles pour n : {240 ; 229 ; 218 ; 207} Ex 2 : n = 73. Ex 3 : 1) A 0 = 2 ; A 1 = 9 ; A 2 = 36 ; A 3 = 155 ; A 4 = 710. R 0 = 2 ; R 1 = 1; R 2 = 0; R 3 = 3; R 4 = 2. 2) Pour tout entier n, A n 1 + ( 1) n + n [4]. Si n 0 [4] alors R n = 2 ; Si n 1 [4] alors R n = 1 ; Si n 2 [4] alors R n = 0 ; Si n 3 [4] alors R n = 3. Ex 4 : 1999 [2000] et comme n + 3 [2000] donc n + 3 [2000]. Ex 5 : Le reste dans la division de n par 6 peut être 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ou 5. On étudie dans chaque cas les congruences modulo 6 de n, n + 1 et 2n + 1 puis du produit n(n + 1)(2n + 1). Comment déterminer si un entier est premier? Méthode : Pour déterminer si un entier n est premier, il suffit de disposer de la liste des nombres premiers p 1, p 2,, p k inférieurs ou égaux à n. Si aucun des entiers p 1, p 2,, p k ne divise n, alors n est premier.

3 Ex 1 : Déterminer si les entiers suivants sont premiers : 409 ; 2047 ; 1681 ; Ex 2 : 1) Déterminer si 401 est un nombre premier. 2) En déduire les couples (x ; y) d entiers naturels tels que x 2 y 2 = 401. Ex 1 : ,0 Par les critères de divisibilité 409 n est divisible ni par 2, ni par 3, ni par n est pas divisible par 7, ni par 11, ni par 13, ni par 17, ni par 19 donc 2047 n est pas un nombre premier car 1681 n est pas un nombre premier car 1009 est un nombre premier car Ex 2 : 1) 401 est un nombre premier car 2) Une seule solution : le couple (201 ; 200). Comment déterminer le PGCD par l algorithme d Euclide? Méthode : Lorsque les valeurs numériques de deux entiers sont connues, on peut obtenir leur PGCD par l algorithme d Euclide : on effectue les divisions successives du diviseur par le reste, jusqu au dernier reste non nul, qui est le PGCD. Le principe de l algorithme est le suivant : «si a = bq + r, 0 r < b, alors : PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r)». Il peut être utilisé dans des exercices où a et b ne sont pas donnés sous forme de valeurs numériques. Aussi, le PGCD de deux nombres entiers peut être obtenu par d autres procédés : la décomposition en produits de facteurs premiers, le théorème de Bézout. Ex 1 : A l aide de l algorithme d Euclide, déterminer : PGCD(5940 ; 3185) ; PGCD(9630 ; 1848) ; PGCD(2754 ; 294). Ex 2 : Selon les valeurs de l entier naturel n, déterminer : PGCD(n + 1 ; 2n + 5). Ex 1 : PGCD(5940 ; 3185) = 5 ; PGCD(9630 ; 1848) = 24 ; PGCD(2754 ; 294) = 6. Ex 2 : Dans les cas où n 3, le reste de la division euclidienne de 2n + 5 pat n + 1 est 3 car On en déduit que PGCD(2n + 5 ; n + 1) = PGCD (n + 1 ; 3) On effectue alors une disjonction des cas : n + 1 est divisible par 3 ou n + 1 n est pas divisible par 3 Il reste ensuite à étudier les cas où n = 0, n = 1 et n = 2 Comment utiliser la décomposition en produits de facteurs premiers? Méthode : Lorsqu on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers d un entier, on en déduit tous ses diviseurs. Les décompositions en produit de facteurs premiers de deux nombres entiers permettent d obtenir le PGCD et le PPCM de ces deux entiers.

4 Dans l ensemble des nombres rationnels, les décompositions en produit de facteurs de nombres entiers permettent la simplification de fraction et une réduction à un même dénominateur pour l addition. Ex 1 : a) Etablir la décomposition en facteurs premiers des entiers 1400 et 980. b) En déduire le PGCD et le PPCM de et Ex 2 : a) Décomposer 160 en produit de facteurs premiers. b) En déduire la liste des diviseurs de 160. Ex 3 : a) Soit N un entier, N 2. Montrer que N est un entier si et seulement si les exposants des nombres de la décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs. b) L entier N = est-il le carré d un entier? Ex 1 : a) 1400 = ; 980 = b) PGCD( ; ) = ; PPCM( ; ) = Ex 2 : a) 160 = b) 160 a 12 diviseurs Ex 3 : a) On démontre l implication : si N est un nombre entier k alors les nombres de la décomposition en produit de facteurs premiers de N sont pairs. On démontre ensuite l implication réciproque. b) N est le carré de Comment résoudre dans Z 2 une équation du type a x + by = c? Méthode : Résoudre une équation du type ax + by = c, avec a b et c connus, dans Z 2 signifie rechercher un couple de d entiers relatifs x et y vérifiant l égalité.. Si a et b sont premiers entre eux, on obtient à partir de l algorithme d Euclide une relation de Bézout : ax 0 + by 0 = 1 et, en multipliant par c : a(cx 0 ) + b(cy 0 ) = c. Pour résoudre, dans Z 2, l équation ax + by = c, on montre par différence des deux égalités que : a(x cx 0 ) = b(cy 0 y). Puis à l aide du théorème de Gauss, on prouve que x = cx 0 + bk et y = cy 0 ak, où k est dans Z. On vérifie que de tels couples sont bien solutions.. Si a et b ne sont pas premiers entre eux, l équation ax + by = c n admet de solutions que si le nombre d = PGCG(a ; b) divise c. Si d = PGCG(a ; b) divise c alors, en divisant par d, on se ramène au cas précédent. Aucun des résultats de cette méthode n est dans le cours ; sur chaque exemple, il faut savoir refaire les démonstrations. Ex 1 : Résoudre dans Z 2 les équations suivantes : a) 77x + 75y = 1. b) 270x + 325y = 25 c) 126x + 98y = 21 Ex 2 : a) Résoudre dans Z 2 l équation suivante : 11x + 15y = 1. b) En déduire les solutions dans N 2 de l équation : 11a 15b = 1.

5 Ex 1 : a) PGCD(77; 75) = 1 et l égalité de Bézout : 77 ( 35) = 1. Par différence avec l équation initiale, on obtient 77(x + 37) = 75( y + 38) D après le théorème de Gauss, on en déduit que : x = k et y = 38 77k avec k Z. On a bien, pour tout k Z, 77( k) + 75(38 77k) = = 1 Donc les solutions de l équation sont b) Les solutions dans Z 2 de l équation sont tous les couples d entiers x = k et y = 25 54k avec k Z. c) L équation n a pas de solution dans Z 2. Ex 2 : a) Les solutions de l équation 11x + 15y = 1 sont les couples d entiers ( k ; 3 11k) avec k Z. b) Les solutions dans N de l équation 11x + 15y = 1 sont les couples d entiers naturels ( k ; k) avec k N et k 1.