Oscillations électriques libres

Transcription

1 Oscllatons électrues lbres A Oscllatons lbres amortes 1/ Etude expérmentale a Expérence et observatons Après avor chargé le condensateur (poston 1) On bascule l nterrupteur sur la poston, on obtent l oscllogramme suvant relatf à la décharge. E K Y (L,r) Y 1 u (v) b Interprétaton A l état d éulbre, la charge du condensateur est nulle ans ue la tenson u c aux bornes du condensateur. On constate ue cet oscllogramme est symétrue par rapport à l axe des temps ce u montre ue la charge du condensateur vare et change de sgne à des ntervalles successfs et égaux. La charge prend au cours du temps des valeurs alternatvement postves et négatves autour de celle prse à l état d éulbre ( ). On dt ue la charge () osclle au cours du temps. La charge est appelée grandeur oscllante et le crcut L est appelé oscllateur. ette décharge se fat d ellemême, les oscllatons sont dtes lbres. On constate auss : ue l ampltude (la valeur maxmale) de la tenson u c dmnue au cours du temps : les oscllatons sont alors amortes ; ue la tenson u c est presue pérodue, on dt alors u elle est pseudopérodue. c emarue L ntensté est auss une grandeur oscllante.

2 d oncluson Les oscllatons lbres amortes sont des oscllatons pseudopérodues de pseudo pérode. 1/ Influence de l amortssement a ause de l amortssement L amortssement est du à la résstance du crcut r u transforme une parte de l énerge électrue en énerge thermue par effet Joule. ec se tradut par la dmnuton de l ampltude de la grandeur oscllante. b Amortssement fable u (v) L oscllateur, dans ce cas, effectue un certan nombre d oscllatons pus revent à son état d éulbre stable : c est le régme pseudopérodue des oscllatons de pseudopérode. Plus l amortssement est mportant plus la pseudopérode est plus grande. c Amortssement mportant L oscllateur, dans ce cas, n effectue aucune oscllatons et revent lentement à son état d éulbre stable : c est le régme apérodue des oscllatons. II Etude théorue 1/ Euaton dfférentelle u (v) d ub r L, u., uc dt On applue la lo des malles au crcut. d d ( ) u B u o u L r r d dt dt L dt L

3 / Energe électrue de l oscllateur a ransformaton mutuelle de l énerge L énerge électrue totale de l oscllateur est E u (v), u (v) u u E c EL L / Etat de l oscllateur t t /4 t / t 3/4 t Im Im Energe E E E E E L E E E E L E E b La non conservaton de l énerge c EL L de d d d d E E. L ( L ) dt dt dt dt dt D après l éuaton dfférentelle de d ( ).Avec dt dt r On constate ue l énerge électrue est une foncton décrossante. de..dt. La dmnuton d énerge est due à la résstance du crcut u transforme une parte de l énerge électrue en chaleur par effet Joule.

4 B Oscllatons lbres non amortes I Evoluton de la charge du condensateur K 1/ Euaton dfférentelle de l oscllateur E u L u L Le condensateur est ntalement chargé et la bobne est purement nductve. On applue la lo des malles au crcut : u u L L dt d d d d L on pose ω dt L L 1 dt dt d ω Euaton dfférentelle de l oscllateur. dt / Expresson de la charge du condensateur L éuaton dfférentelle de l oscllateur est une éuaton dfférentelle de second ordre u admet des solutons snusoïdales de la forme : (t) Q m sn( ω.t ϕ ), est la grandeur oscllante de l oscllateur. D où les oscllatons sont snusoïdales Avec : ω 1 est appelée pulsaton propre de l oscllateur. L π π L est appelée pérode propre de l oscllateur. ω 1 1 N est appelée fréuence propre de l oscllateur. π L Q m est appelée ampltude de la charge (t) ( ω.t ϕ ) phase de la charge à l nstant t ϕ phase ntale de la charge. emarue L ampltude et la phase ntale de la charge (t) dépendent des condtons ntales. 3/ ourbe f(t)

5 Un condensateur de capacté 1µF est chargé par un générateur de f.e.m E 6 V. A l nstant t, le condensateur est relé à une bobne purement nductve d nductance L 1 H. Sachant ue la charge (t) Q m sn( ω.t ϕ ) 1 ) Détermner l ampltude Q m, la pulsaton propre et la phase ntale de la charge (t). ) emplr le tableau suvant et tracer la courbe f(t). t /4 / 3/4 Q m Q m Q m 3 ) a Détermner l expresson de l ntensté (t) du courant. b racer la courbe f(t). c Détermner le déphase ϕ ϕ ϕ. emarue (t) et (t) ont la même pulsaton (pérode) on dt ue les deux grandeurs sont synchrones. 4/ omparason de deux grandeurs snusoïdales synchrones Q m Q m t On se propose de comparer les phases ntales de deux grandeurs snusoïdales u, synchrones. as où ϕ u Exp : u (t) U m sn(ωt ϕ u ). D après la lo d Ohm u (t).(t) Um (t) sn( ω.t ϕu ) Im sn( ω.t ϕ ) Um Im et ϕ ϕu ϕ ϕ ϕ u. On dt ue les deux grandeurs sont en phase.

6 Deux grandeurs synchrones sont dtes en phase s ϕ kπ ; avec k u(v) u 3 u Z 1 as où ϕ π rad Exp : u 1 (t) sn (πt) ; u (t) 3 sn,5 1 1,5 (πt π) ϕ ϕ u ϕ u1 π rad On dt ue les deux grandeurs sont en opposton de phase. Deux grandeurs synchrones sont dtes en opposton de phase s ϕ (k1)π ; avec k Z. as où ϕ π rad Exp : ϕ ϕ ϕ π rad. On dt ue les deux grandeurs sont en uadrature de phase. Deux grandeurs synchrones sont dtes en uadrature de phase s ϕ (k1) π ; avec k Z. II Energe électrue totale 1/ La conservaton de l énerge totale, Energe électrostatue emmagasnée dans le condensateur. E Energe magnétue emmagasnée dans la bobne. L EL Energe électrue totale emmagasnée dans le crcut L.. L E E EL d Q m sn( ω.t ϕ ) et ωqm cos( ωt ϕ). dt E 1 Q m sn ( ω.t ϕ ) 1 L ω Q m cos ( ω.t ϕ )

7 Qm I E or I Q donc Q I.L., alors E Im L m ω m m m ω D où E LIm L énerge E s exprme en foncton des grandeurs constantes d où la conservaton de l énerge de l oscllateur. m / Dagramme des énerges On consdère ue la charge nstantanée d un condensateur est : Q m sn(ω.t) E 1 Q m sn (ω.t) Qm Qm E (1 cos(ωt) ) et E 4 L (1 cos(ωt)) 4 Q m E, E L E E L E 4 t