Cours 2: Flots et couplages

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Justin Lachapelle
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1 Cour : Flo e couplage Flo e coupe Algorhme de calcul du flo maxmal Modélaon par flo Couplage e graphe de augmenaon Marage able -

2 Réeau de ranpor e flo Donnée: Un graphe orené G = (X, A), une valuaon c : A N, e omme e avec d n () = 0 e dou() = 0. Le omme e on la ource e pu, c(a) la capacé de l arc a. Un flo e une applcaon φ de A dan R + elle que - le flo en chaque arc a e nféreur à la capacé: φ(a) c(a) - pour ou omme de X \ {, }, flo enran = flo oran La valeur du flo φ e le flo oran de (égal au flo enran en ). Problème: Trouver un flo de valeur maxmale. Un flo φ e auré ur ou chemn de à l exe un arc a el que φ(a) = c(a). -

3 Le coupe d un réeau de ranpor Une coupe e une paron de l enemble de omme en pare djone, l une conenan la ource e l aure le pu: Y Z = X, Y Z =, Y, Z Y 3 Z La capacé C(Y, Z) d une coupe e la omme de capacé de arc de Y à Z. 5 Le flux de Y à Z dan un flo φ e φ(y, Z) = X 4 φ(u) u Y Z C(Y, Z) = 8 e le flux orené de la coupe (Y, Z) e (Y, Z) = φ(y, Z) φ(z, Y ). φ(y, Z) = 5 (Y, Z) = 3 Tou flo a pour valeur V φ = φ({}, X \ {}) = ({}, X \ {}). Lemme. Plu généralemen V φ = (Y, Z) pour oue coupe. Preuve par récurrence ur Y : Y = Y {y}, + = o + o. 3-

4 Le coupe d un réeau de ranpor Une coupe e une paron de l enemble de omme en pare djone, l une conenan la ource e l aure le pu: Y Z = X, Y Z =, Y, Z Y La capacé C(Y, Z) d une coupe e la omme de capacé de arc de Y à Z. Le flux de Y à Z dan un flo φ e φ(y, Z) = X φ(u) Y Y u Y Z e le flux orené de la coupe (Y, Z) e (Y, Z) = φ(y, Z) φ(z, Y ). Tou flo a pour valeur V φ = φ({}, X \ {}) = ({}, X \ {}). 3 Lemme. Plu généralemen V φ = (Y, Z) pour oue coupe. 5 4 Preuve par récurrence ur Y : Y = Y {y}, + = o + o. o y o Z 3-

5 Le graphe de augmenaon d un flo Le graphe de augmenaon G φ : Le omme de G φ on ceux de G, Tou arc a = (x, y) de G ree dan G φ φ(a) < c(a). L oppoé (y, z) de l arc a = (x, y) de G e dan G φ φ(a) > Lemme. S l exe un chemn de à dan G φ, le flo peu êre améloré. Lemme. S l n exe pa de chemn de à dan G φ, alor l exe une coupe (Y, Z) elle que c(y, Z) = V φ. Théorème. Valeur du flo maxmal = Capacé de la coupe mnmale. 4-

6 Cour : Flo e couplage Flo e coupe Algorhme de calcul du flo maxmal Modélaon par flo Couplage e graphe de augmenaon Marage able 5-

7 Algorhme de Ford Fulkeron Inaler avec un flo quelconque (nul par exemple). Tan qu l exe un chemn dan le graphe de augmenaon, augmener le flo. Théorème. L algorhme de Ford Fulkeron conu un flo maxmal. Le omme aegnable depu dan le graphe de augmenaon formen une coupe mnmale. Complexé O(mΦ) Remarque. Le flo maxmal obenu e à valeur enère. On a pa pécfé quel chemn on cho à chaque éape. N N N N

8 Algorhme de Ford Fulkeron Inaler avec un flo quelconque (nul par exemple). Tan qu l exe un chemn dan le graphe de augmenaon, augmener le flo. Théorème. L algorhme de Ford Fulkeron conu un flo maxmal. Le omme aegnable depu dan le graphe de augmenaon formen une coupe mnmale. Complexé O(mΦ) Remarque. Le flo maxmal obenu e à valeur enère. On a pa pécfé quel chemn on cho à chaque éape. N N N N

9 Algorhme de Dnc, Edmond e Karp Effecuer Ford-Fulkeron en choan à chaque éape le premer chemn d augmenaon obenu par recherche en largeur dan G φ. G φ 3 4 Théorème. L algorhme DEK effecue au plu O(nm ) opéraon le graphe G à n omme e m arc. Preuve. Lorqu un chemn d augmenaon e ulé, le flo deven nul ou maxmal ur au mon l une de arêe: celle-c e reournée. Quand l arc (x, y) du chemn e reourne, le dance à ne peuven qu augmener. S (y, x) reven ur le chemn ce era plu lon. Donc chacun de m arc peu êre reourné au plu n fo. Le nombre de chemn d augmenaon ulé e donc O(nm). Le coû de la recherche d un chemn d augmenaon e O(m). auremen d on cho un plu cour chemn d augmenaon. 7-

10 Cour : Flo e couplage Flo e coupe Algorhme de calcul du flo maxmal Modélaon par flo Couplage e graphe de augmenaon Marage able 8-

11 Réparon d approvonnemen Donnée: le fourneur A,..., A p, avec A de capacé a. le clen B,..., B q, le clen B demande une quané b. le conrane: B j ne peu êre lvré que par le {A } Cj. Problème: maxmer l approvonnemen muuel. Modélaon en flo: omme X = {,, A,..., A p, B,..., B q } a 4 a 3 a a A 4 A 3 A A B 3 B B b 3 b b arêe (A, B j ) C j de capacé. arêe (, A ) de capacé a arêe (B j, ) de capacé b j Approvonnemen muuel maxmal = flo maxmal dan ce graphe. 9-

12 Problème de l expédon déale Donnée: le nrumen A,..., A p, avec A de coû c. de expérence B,..., B q à fare, B rappore b. pour pouvor effecuer B j l fau avor {A } Cj. Problème: maxmer le gan de l expédon. Modélaon en flo: on ule le même graphe a 4 a 3 a a A 4 A 3 A B 3 B b 3 b b une coupe mnmale do éver le arc (A, B j ) une expédon une coupe (Y, Z): Z = {A emporé} {B effecué} {z} A B c(y, Z) = P A Z a + P B / Z b j Gan maxmal = P b j c(y, Z) pour la coupe de capacé mnmale. 0-

13 Réance aux panne Donnée: Un graphe G, non orené. Problème: Nb mnmum d arêe à rerer pour déconnecer G? Modélaon en flo: le nb mn d arêe à enlever pour éparer deux omme e de G e la capacé de la coupe mnmale dan le graphe ymérque aocé avec capacé ur chaque arêe On rouve la réance aux panne en applquan un calcul de flo au réeau (R(G),, ) pour chaque omme du graphe, avec fxé arbraremen. -

14 Cour : Flo e couplage Flo e coupe Algorhme de calcul du flo maxmal Modélaon par flo Couplage e graphe de augmenaon Marage able -

15 Couplage dan un graphe non orené Donnée: un graphe non orené (ou ymérque) Un couplage e un enemble d arêe an exrémé comune Problème: déermner un couplage de cardnalé maxmale. Un chemn alernan alerne le arêe lbre e couplée. Théorème. Couplage maxmum pa de chemn alernan enre omme lbre. maxmal pour l ncluon Preuve de la récproque: comparer un couplage maxmal (an chemn augmenan) avec un couplage opmum en le uperpoan. Théorème (Edmond 965) On peu rouver le chemn alernan en emp polynomal. 3-

16 Couplage dan un graphe bpar Pour le graphe bpar, on e ramène à un problème de flo:. Décrre le problème de flo aocé G R(G) capacé ou. Monrer l équvalence enre pbl nal e maxmaon du flo c: bjecon enre couplage ur G e flo à valeur enère ur R(G) elle que le cardnal du couplage maxmum e égal au flo maxmum. démarche à reenr!! 4-

17 Couplage e maroïde So G = (Y Z, E) un graphe bpar. La famlle F de pare couplable de Y e l enemble de Y Y el qu l exe un couplage parfa enre Y e un Z Z. Lemme. F e un maroïde. Preuve. S Y > Y on uperpoe le couplage aocé à Y e Y pour rouver une chane alernane qu perme d éendre Y. Corollare (Cour ). Le ranveraux d un enemble de pare formen un maroïde. Remarque. La famlle de couplage ne forme pa un maroïde. ma c e l nerecon de maroïde: le enemble d arêe an exrémé commune dan Y e dan Z repecvemen. Par augmenaon on a rouvé un élémen max de cee nerecon. 5-

18 Inerecon de maroïde Donnée: un graphe à n omme don le arêe on paronnée en E,..., E k ou-enemble djon (couleur). Problème: Trouver une forê mulcolore maxmale. Remarque: ce forê on dan l nerecon de maroïde. Algorhme glouon: T := ; an qu l exe une arêe e d une couleur n apparaan pa dan T, e ne créan pa de cycle, fare T := T {e}. Ça ne donne pa l opmum! 6-

19 6- Inerecon de maroïde Donnée: un graphe à n omme don le arêe on paronnée en E,..., E k ou-enemble djon (couleur). Problème: Trouver une forê mulcolore maxmale. Remarque: ce forê on dan l nerecon de maroïde. Algorhme Améloran. Inaler T := e érer: So D(T ) le graphe d améloraon (E, X) bpar avec arêe: de a T à b E \ T T a + b e an cycle de b E \ T à a T T a + b e mulcolore So E = {b T + b an cycle}, E = {b T + b mulcolore} S D(T ) a un chemn C de E \ T à E \ T fare T := T C mn où C mn e un plu cour el chemn. Théorème. L algorhme Améloran rouve l ndépendan maxmal dan l nerecon de maroïde.

20 Cour : Flo e couplage Flo e coupe Algorhme de calcul du flo maxmal Modélaon par flo Couplage e graphe de augmenaon Marage able 7-

21 Marage able Donnée: Deux enemble X = {x,..., x p } e Y = {y,..., y p } Le le de préférence F de x e G j de y j pour ou, j. Le graphe de marage e le graphe bpar ur X Y avec une arêe (x, y j ) x G j e y j F. Un couplage dan ce graphe décr un (mul)marage accepable. S x e couplé à y on noe α(x) = y e β(y) = x. exemple: X = {x, x, x 3 } e Y = {y, y, y 3 } F y y y 3 F y y 3 y F 3 y y y 3 G x x 3 x G x 3 x x G 3 x x 3 x (x, y ), (x, y ), (x 3, y 3 ) nable: x y (x, y ), (x, y 3 ), (x 3, y ) able 8- Un marage able e un couplage el que x e y ne on pa couplé alor x préfère α(x) à y ou y préfère β(y) à x.

22 Marage able, algorhme de Gale Shapley. Inaler α(x ) au premer élémen de la le F, e β(y) ndéfn. Iérer:. pour chaque y j chor l élémen x le plu nérean dan G j parm le x el que α(x ) = y j e poer β(y j ) = x.. pour chaque x l exe y j el que β(y j ) = x, alor α(x ) = y j, non, α(x ) n e pa le derner dan F, decendre d un rang non laer α(x) ndéfn. Théorème. S le oue le le de préférence on complèe, l algorhme de Gale-Shapley conu un marage able. 9-

23 Cour : Flo e couplage Flo e coupe Algorhme de calcul du flo maxmal Modélaon par flo Couplage e graphe de augmenaon Marage able Reenr: Modélaon par flo e coupe, algorhme de Ford-Fulkeron/Edmond Karp, dualé MaxFlow=MnCu 0-

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