Limites Comportement asymptotique

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1 Limites Comportement asymptotique Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/200 Table des matières Limite d une fonction en, en 3. Limite infinie en, en Limite finie en, en Asymptote horizontale Limite en un réel a 7 2. Deux exemples de base Limite infinie en un réel a Asymptote verticale Cas des fonctions usuelles Opérations sur les ites 8 3. Position du problème Somme de deux fonctions Produit de deux fonctions Inverse d une fonction Quotient de deux fonctions Limite en l infini d une fonction polynôme rationnelle 2 4. Cas d une fonction polynôme Cas d une fonction rationnelle Asymptote oblique 3 Ce crs est placé ss licence Creative Commons BY-SA

2 TABLE DES FIGURES LISTE DES TABLEAUX Table des figures Limite lorsque x tend vers Fonction racine carrée Fonction identité Fonction carrée Fonction cube Limite finie lorsque x tend vers Fonction x x Fonction inverse Fonction x x Asymptote oblique Liste des tableaux Limite d une somme Limite d un produit Limite de l inverse Limite d un quotient

3 LIMITE D UNE FONCTION EN, EN Activité : Activité page 2 [TransMath] Limite d une fonction en, en. Limite infinie en, en Définition : Soit f une fonction définie sur l intervalle [α ; [. Dire que f tend vers lorsque x tend vers signifie que l on peut rendre les valeurs de f x) aussi grandes que l on veut dès que x est suffisamment grand. On note alors : Remarques : f x) = f = x. On dit aussi que f a comme ite en. 2. Ceci peut se traduire par : pr tt réel A > 0, il existe un réel a > 0 tel que f x) > A dès que x > a voir figure ) Fig. Limite lorsque x tend vers 3. On peut définir de manière analogue x f x) = ; x f x) = et x f x) =. Cas des fonctions usuelles : Fonction racine carrée figure 2) : Fonction identité figure 3) : x = x x = et x = x x Fonction carrée figure 4) : x x2 = et x x2 = Fonction cube figure 5) : x x3 = et x x3 = Remarque : On peut montrer que, si n entier strictement positif : Si n est pair : x x n = et x x n = Si n est impair : x x n = et x x n = 3

4 . Limite infinie en, en LIMITE D UNE FONCTION EN, EN Fig. 2 Fonction racine carrée Fig. 3 Fonction identité Fig. 4 Fonction carrée Fig. 5 Fonction cube 4

5 LIMITE D UNE FONCTION EN, EN.2 Limite finie en, en Asymptote horizontale.2 Limite finie en, en Asymptote horizontale Définition : Soit f une fonction définie sur l intervalle [α ; [ et l un nombre réel. Dire que f tend vers l lorsque x tend vers signifie que l on peut rendre les valeurs de f x) aussi proches de l que l on veut dès que x est suffisamment grand. On note alors : Remarques :. On dit aussi que f a comme ite l en. 2. Ceci peut se traduire par : f x) = l f = l x pr tt réel α > 0 α aussi proche de zéro que possible), il existe un réel a > 0 tel que l α < f x) < l + α dès que x > a voir figure 6) Fig. 6 Limite finie lorsque x tend vers 3. On peut définir de manière analogue x f x) = l. Cas des fonctions usuelles : Fonction x x figure 7) : x x = 0 Fonction inverse figure 8) : = 0 et x x x x = 0 Fonction x x 2 figure 9) : x = 0 et x2 x x 2 = 0 Remarque : On peut montrer que, si n entier strictement positif : x x n = 0 et x x n = 0. Définition : Lorsque x f x) = l respectivement x f x) = l), on dit que la droite d équation y = l est asymptote horizontale) à la crbe représentant f. Remarque : Graphiquement, ceci signifie que la crbe représentant f se rapproche de plus en plus de cette droite lorsque x devient grand voir figure 6). éventuellement négatif et grand en valeur absolue pr l asymptote en. 5

6 .2 Limite finie en, en Asymptote horizontale LIMITE D UNE FONCTION EN, EN Fig. 7 Fonction x x Fig. 8 Fonction inverse Fig. 9 Fonction x x 2 6

7 2 LIMITE EN UN RÉEL A 2 Limite en un réel a 2. Deux exemples de base. f : x x 2 voir figure 9) On peut rendre f x) aussi grand que l on veut, dès que x est assez proche de zéro. On note : x 0 x 2 = On dit que la droite d équation x = 0 est asymptote verticale) à la crbe représentant f. 2. f : x x voir figure 8) Sur ]0 ; [ : On peut rendre f x) aussi grand que l on veut, dès que x est assez proche de zéro. On note : x 0 x = x>0 Sur ] ; 0[ : On peut rendre f x) aussi petit 2 que l on veut, dès que x est assez proche de zéro. On note : x 0 x = x<0 On dit que la droite d équation x = 0 est asymptote verticale) à la crbe représentant f. 2.2 Limite infinie en un réel a Asymptote verticale Définition : Soit a un réel f une fonction. Dire que f tend vers lorsque x tend vers a signifie que l on peut rendre les valeurs de f x) aussi grandes que l on veut dès que x est suffisamment proche de a. On note alors : Remarques : f x) = f = x a a. On peut définir de manière analogue x a f x) = ; x a x<a 2. On a x 0 x = voir figure 7) 3. On peut montrer que, si n entier strictement positif : Si n est pair : x 0 x = n Si n est impair : x 0 x n x<0 = et x 0 x>0 x n = f x) = ± et x a f x) = ±. x>a Définition : Lorsque x a f x) = respectivement x a f x) = ), on dit que la droite d équation x = a est asymptote verticale) à la crbe représentant f. Exercices :, 2, 5, 6 page 29 3 [TransMath] 2 au sens : grand en valeur absolue, mais négatif... 3 Utilisation du graphique et du tableau de variations. 7

8 2.3 Cas des fonctions usuelles 3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 2.3 Cas des fonctions usuelles Propriété : Pr ttes les fonctions étudiées en classe de Première fonctions polynômes, rationnelles, racines carrées, cosinus, sinus, etc.), on a le résultat suivant : Si f est définie en a alors : f x) = f a) x a Remarque : Cette propriété est en fait vérifiée par ttes les fonctions continues. Cette notion sera expliquée en classe de Terminale S. Exercices : 7 page 29 4 [TransMath] 3 Opérations sur les ites 3. Position du problème Pr le moment, on s est contenté de conjecturer des ites, ce qui n est pas satisfaisant. On va donc donner des règles de calcul sur les ites pr pvoir déterminer les ites de fonctions plus complexes. Dans tte cette section, l et l désignent deux nombres réels ; a désigne soit un réel, soit, soit. 3.2 Somme de deux fonctions Les résultats sont résumés dans le tableau. x a f x) l l l x a g x) l x a [f x) + g x)] l + l F.I. Tab. Limite d une somme Remarque : «F.I.» signifie «Forme Indéterminée». Ceci veut dire que l on ne peut pas conclure directement à l aide du tableau. Il faut étudier plus en détail la fonction pr «lever l indétermination» et trver la ite. Exemples :. x x 2 + x + ) =? 2. x 0 x + x + 2 ) =? x>0 4 Limites de fonctions usuelles. x x 2 = x x = x = x 0 x>0 x 0 x>0 x 0 x>0 x = x = 0 2 = 2 donc x 2 + x + ) = x donc x 0 x + ) x + 2 = x>0 8

9 3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 3.3 Produit de deux fonctions 3. x x 2 + x ) =? x x 2 = x x = On a une forme indéterminée Cette F.I. sera levée à la ss-section Produit de deux fonctions Les résultats sont résumés dans le tableau 2. x a f x) l l > 0 l > 0 l < 0 l < x a g x) l x a [f x) g x)] l l F.I. F.I. Il s agit de la règle des signes Tab. 2 Limite d un produit Exemples :. x 3x 2 ) =? x 3 = 3 x x 2 = donc 3x 2 ) = x 2. x x 2 + x ) =? On a déjà vu à la ss-section 3.2 que cette ite présente une forme indéterminée. Or, x 2 + x = x x + ) et : On a levé l indétermination. x x = x x + = Exercices : 6, 8, 9 page 30 5 [TransMath] donc x 2 + x ) = x 3.4 Inverse d une fonction Les résultats sont résumés dans le tableau 3. Remarque : Lorsque f x) tend vers zéro, il est nécessaire de connaître le signe de f pr conclure. Par contre, dans la plupart des cas, ce n est pas du tt une forme indéterminée. 5 Limites d un produit. 9

10 3.5 Quotient de deux fonctions 3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES x a f x) l 0 et f x) > 0 0 et f x) < 0 x a fx) l 0 0 Tab. 3 Limite de l inverse Exemples : Remarques :. x 2 x 2 =? Comme x 2 x 2 = 0, il est nécessaire de connaître le signe de x 2) pr conclure : On a donc : x 2 x<2 x 2 On a une asymptote verticale d équation x = 2. x 2 x = et x 2 x>2 2. x x 2 =? x x 2 = donc x x 2 = 0. On a une asymptote horizontale d équation y = 0. x 2 = 3. x x 2 =? Comme x x 2 = 0, il est nécessaire de connaître le signe de x 2 ) pr conclure. Il s agit d un trinôme du second degré, avec deux racines évidentes : et. De plus, le coefficient du terme de degré 2 est positif. Le signe est donc le suivant : On a donc : x x< x x x 2 On a une asymptote verticale d équation x =.. Attention! La notation x x< voisinage de pr conclure. x 2 2. Par un raisonnement analogue, on trve : x x< x 2 = et x x> x 2 = n a aucun sens. Il suffit de connaître le signe de x 2 ) au = et x x> x 2 = 3.5 Quotient de deux fonctions On peut remarquer que fx) gx) = f x) gx). On peut donc trver la ite d un quotient à l aide des tableaux 2 et 3. Les résultats sont résumés dans le tableau 4. Exemples : 0

11 3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 3.5 Quotient de deux fonctions x a f x) l l l 0 x a g x) l 0 x a fx) gx) l l l 0 Il faut étudier le signe de g Tab. 4 Limite d un quotient règle des signes F.I. 0 0 F.I.. x 5 2x 2 =? x 5 = 5 x 2x 2 = donc x 5 2x 2 = 0 On a une asymptote horizontale d équation y = x 3 x 2 3x =? x 3 x 2 = 5 3 x 3 3x = 0 il faut étudier le signe de 3x le signe est résumé dans le tableau suivant : la ite du numérateur est négative, on a : x 3 x< 3 x 2 = et 3x x 3 x> 3 x 3 3x 0 + x 2 3x =. Par suite, comme On a une asymptote verticale d équation x = x 0 x 2 3 x =? x 0 x 2 3 = 3 x 0 x = 0 et x > 0 On a une asymptote verticale d équation x = x x 2 3 x =? x x 2 3 = x x = x 2 3 donc = x 0 x On a une forme indéterminée De plus : x 2 3 x = x2 x 3 x = x x) 2 x 3 x = x x 3 x x x x = 3 x x = 0 donc x 2 3 = x x Exercices : 9, 0, 2, 3 page , 2 page , 52 page 32 8 [TransMath] 6 Utilisation des théorèmes sur les ites. 7 Premières formes indéterminées. 8 Plus difficiles.

12 4 LIMITE EN L INFINI D UNE FONCTION POLYNÔME OU RATIONNELLE 4 Limite en l infini d une fonction polynôme rationnelle 4. Cas d une fonction polynôme Exemple : f x) = 3x 4 + x 3 2x + On a une forme indéterminée en et en. Si x 0 : f x) = x x3 x 4 2x x 4 + ) x 4 = x x 2x 3 + x ) 4 Remarques : x x 4 = ) x 3 + x3 2x + donc = 3 x 4 x 4 x 4. On a un résultat analogue lorsque x tend vers. f x) = x 2. On peut remarquer que la ite est la même que celle de 3x 4. Ce résultat se généralise. Propriété : admise) En en, une fonction polynôme a la même ite que son monôme de plus haut degré. Remarque : Attention! Cette propriété n est valable que pr les fonctions polynômes et uniquement pr l étude des ites en l infini. Exercices : 23, 25, 27, 29, 3 page page 30 0 [TransMath] 4.2 Cas d une fonction rationnelle Exemples :. f x) = 3x2 +x x 2 +7 On a une forme indéterminée lorsque x tend vers. Si x 0 : f x) = x2 3 + x x 2 x 2 ) x ) = 3 + x x 2 x x 2 x 3 + x x 2 = 3 x + 7 x 2 = donc f x) = 3 x = 3 On a une asymptote horizontale d équation y = g x) = x+2 x 3 On a une forme indéterminée lorsque x tend vers. Si x 0 : ) g x) = x + 2 x x + 2 x = x x 2 = On a une asymptote horizontale d équation y = 0. 9 Étude de fonctions polynômes. 0 Détermination de fonction. x 3 donc = + 2 x x 2 f x) = 0 x 2

13 5 ASYMPTOTE OBLIQUE 3. h x) = 3x2 5x+ x+2 On a une forme indéterminée lorsque x tend vers. Si x 0 : ) h x) = x2 3 5x x + 2 x 2 x ) + 2 = x 3 5 x + ) x x x x x = x 3 5 x + x 2 = 3 donc De plus, x + 2 x = donc x h x) = 3 x 5x + x ) x 2 = Remarque : Dans chacun des cas précédents, la ite est la même que celle du quotient des monômes de plus haut degré. Ce résultat se généralise. Propriété : admise) En en, une fonction rationnelle a la même ite que le quotient des monômes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur. Remarque : Attention! Cette propriété n est valable que pr les fonctions rationnelles et uniquement pr l étude des ites en l infini. Exercices : 36, 38 page 3 75, 76 page , 8 page 33 3 [TransMath] Module : TD 2 page 25 4 TD 3 page 26 5 [TransMath] 5 Asymptote oblique Définition : Si f x) = ax + b + φ x) avec x φ x) = 0, alors, la crbe C f représentant f se rapproche indéfiniment de la droite d équation y = ax + b lorsque x tend vers voir figure 0). On dit alors que est asymptote à la crbe représentant f. Fig. 0 Asymptote oblique Remarque : On a un résultat analogue en si x φ x) = 0. Étude de fonctions rationnelles. 2 Détermination de fonction. 3 Choisir une fonction homographique. 4 Fonctions homographiques. 5 Étude complète d une fonction. 3

14 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Propriété : Si x [f x) ax + b)] = 0 respectivement x [f x) ax + b)] = 0) alors la droite d équation y = ax + b est asymptote à la crbe C f représentant f. Remarque : Pr étudier la position de la crbe représentant f par rapport à son asymptote, il suffit d étudier le signe de φ x) = f x) ax + b). Exercices : 46, 47 page , 6, 62 page page , 83 page , 87 page page 34 et 9, 93, 95 page 35 2 [TransMath] Références [TransMath] TransMATH re S, édition 2005 Nathan) 3, 7, 8, 9,, 2, 3, 4 6 Asymptotes. 7 Études de fonctions. 8 Choix de crbes. 9 Études d asymptotes. 20 Intersection de crbes. 2 Pr aller plus loin. 4