Opérations sur les fonctions
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- Hugues Gravel
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1 Opérations sur les fonctions Remarque On sait bien ce qu est la somme de deux nombres mais nous n avons pas encore défini la somme, le produit, etc. de deux fonctions. Les définitions présentées ci-après ne surprendront cependant personne. Soit f et g deux fonctions de domaine A à valeurs dans R, et c un nombre. f + g : A R : x (f + g)(x) f(x) + g(x) cf : A R : x (cf)(x) c f(x) fg : A R : x (fg)(x) f(x)g(x) f/g : {x A t.q. g(x) 0} R : x (f/g)(x) f(x)/g(x)
2 Résultat Pour a une constante, et f et g des fonctions dérivables, on a 1. (af) = af 2. (f + g) = f + g 3. (fg) = f g + fg 4. Sur un domaine où g est non-nulle : ( f g ) = f g fg g 2. Nous allons détailler quelques preuves.
3 Résultat Si a est une constante et f une fonction, alors (af) = af Il faut montrer que pour tout u dans le domaine de f, (af) (u) = af (u).on calcule simplement : lim x u (af)(x) (af)(u) x u af(x) af(u) x u x u f(x) f(u) x u f(x) f(u) x u x u a = a lim = af (u) x u
4 Résultat Si f,g sont deux fonctions, alors (f + g) = f + g Vérifions l égalité en un point u où f et g sont toutes les deux dérivables : lim x u d où le résultat. (f + g)(x) (f + g)(u) x u f(x) + g(x) f(u) g(u) x u x u f(x) f(u) g(x) g(u) + x u x u x u = f (u) + g (u)
5 Avant de prouver le résultat pour le produit, nous aurons besoin du résultat suivant : Résultat Si f est dérivable en u, alors f est continue en u. f(x) f(u) On suppose que lim x u x u existe et vaut un nombre réel (f (u)). Alors pour tout x u : f(x) f(u) f(x) = (x u) + f(u) x u et donc en passant à la limite : f(x) f(u) lim f(x) (x u) + f(u) = f (u)0 + f(u) = f(u). x u x u x u
6 Résultat Si f et g sont des fonctions dérivables en u, alors (fg) (u) = f (u)g(u) + f(u)g (u) (fg)(x) (fg)(u) f(x)g(x) f(u)g(u) lim x u x u x u x u f(x)g(x) f(x)g(u) + f(x)g(u) f(u)g(u) x u x u f(x)(g(x) g(u)) + (f(x) f(u))g(u) x u x u f(x)(g(x) g(u)) (f(x) f(u))g(u) + x u x u x u g(x) g(u) (f(x) f(u)) f(x) + lim g(u) x u x u x u x u = f(u)g (u) + f (u)g(u)
7 Résultat La dérivée 1/f est f /f 2 en tout point où f ne s annule pas. lim x u 1 f(x) 1 f(u) x u x u f(u) f(x) f(x)f(u) x u x u 1 f(x)f(u) = f (u) f(u) 2 f(u) f(x) x u Exercice Démontrer (f/g) s = (f g fg )/g 2 en combinant les deux dernières propositions.
8 Dérivées élémentaires Résultat La dérivée de f définie par f(x) = x est la fonction f telle que f (x) = 1. En général, on dira simplement «La dérivée de x est 1». Parfois on précisera «par rapport à x». f (u) x u x u x u = 1
9 Résultat La dérivée de x n vaut nx n 1 pour tout naturel n. Prouvons-le par induction. Si n = 1, cela revient à prouver que la dérivée de x vaut 1, ce qui a déjà été fait. Fixons n 1 et supposons que la dérivée de x n vaut nx n 1 pour cette valeur fixée. Alors : (x n+1 ) = (xx n ) = (x) x n +x(x n ) = 1x n +xnx n 1 = x n +nx n = (n+1)x n ce qui est bien la formule attendue pour n + 1.
10 Résultat Considérons f(x) = a x. Alors f (x) = a x ln(a). Remarque Les deux écritures suivantes sont identiques : f(x) f(u) f(u + h) f(u) lim x u x u h 0 h Preuve incomplète. (a x ) a x+h a x a x ah 1 = a x a h 1 lim h 0 h h 0 h h 0 h a Nous ne pouvons pas démontrer l égalité lim h 1 h 0 h = ln(a) actuellement.
11 Remarque Retenons que expx est une fonction égale à sa propre dérivée! Exercice Pouvez-vous trouver d autres fonctions qui sont égale à leur propre dérivée?
12 Résultat Si f et g sont des fonctions et a est intérieur au domaine de f g, si g est dérivable en a et f dérivable en g(a), alors (f g) (a) = f (g(a))g (a). ( )( ) f(g(x)) f(g(a)) f(g(x)) f(g(a)) g(x) g(a) lim x a x a x a g(x) g(a) x a f(g(x)) f(g(a)) g(x) g(a) lim x a g(x) g(a) x a x a f(t) f(g(a)) g(x) g(a) lim t g(a) t g(a) x a x a = f (g(a))g (a) on a utilisé la continuité de g en a! Remarque
13 Exemple Si f(x) = exp(nx), c est la composée de l exponentielle et de x nx. La dérivée de l exponentielle est elle-même, la dérivée de nx est n, dès lors f (x) = exp(nx)n. Notons qu on peut également écrire f(x) = (expx) n, d où on voit f comme la composée de t t n et de l exponentielle. La dérivée de t n par rapport à t est nt n 1, dès lors f (x) = n(expx) n 1 expx = n(expx) n. Le résultat est évidemment le même.
14 Avant de passer à un résultat sur la dérivée des logarithmes, nous avons besoin de : Lemme Si f : I R est une injection continue définie sur un intervalle, alors f est strictement monotone (c est-à-dire strictement croissante ou strictement décroissante). Considérons le domaine T des points (x, y) I I avec x > y. Ceci forme un triangle. y 1 0, 5 (u,v) (x,y) 0, 5 1 x
15 Supposons qu il existe (x,y) dans T et (u,v) dans T avec f(x) f(y) positif et f(u) f(v) négatif. Considérons alors le point p(t) = (p 1 (t),p 2 (t)) = (x,y) + t((u,v) (x,y)). Lorsque t varie, ce point va du point (x,y) au point (u,v) en ligne droite, et donc en restant dans le triangle T. La quantité f(p 1 (t)) f(p 2 (t)) est positive en t = 0 (correspondant au point (x,y)) et négative en t = 1. Dès lors, par continuité, elle s annule pour une certaine valeur de t, c est-à-dire il existe t tel que f(p 1 (t)) = f(p 2 (t)) Comme f est injective, cela implique p 1 (t) = p 2 (t). Mais ceci n est pas possible car le point p(t) est dans T et donc p 1 (t) > p 2 (t)!
16 Résultat Si f : A B est une bijection dérivable en a avec f (a) 0, alors sa réciproque f 1 est dérivable en f(a) et (f 1 ) (f(a)) = 1 f (a). Comme f est une bijection dérivable en a, elle est également continue en a et son inverse est donc continue en f(a). Dès lors nous avons lim t f(a) f 1 (t) = f 1 (f(a)) = a.on a donc successivement 1 f (a) x a x a f(x) f(a) f 1 (f(x)) f 1 (f(a)) x a f(x) f(a) (a) f 1 (t) f 1 (f(a)) t f t f(a) où la dernière égalité s obtient par la règle de composition des limites. Ceci est la définition du nombre dérivé de f 1 en f(a).
17 Exemple La dérivée de ln(x) vaut 1/x. On sait que ln est la réciproque de exp, dès lors ln 1 (x) = exp ln(x) = 1 exp(lnx) = 1 x. Exemple La fonction f : R 0 R : x ln x a pour dérivée 1 x. Pour x > 0, c est simplement lnx ; pour x < 0, c est ln( x), dont la dérivée vaut 1 x ( x) = 1 x également par la règle sur la dérivée d une composée.
18 Résultat La dérivée de x n vaut nx n 1 pour tout réel n, x > 0. Exemple Nous savons que c est vrai pour n naturel. Pour n = 1/2, nous observons : x + h x ( x + h x)( x + h + x) lim h 0 h h 0 h( x + h + x) h h 0 h( x + h + x) = 1 2 x = 1 2 x 1/2 Pour n = 1/3, nous observons : 3 x + h 3 x ( 3 x + h 3 x)( 3 2 x + h + 3 x + h 3 x x ) lim h 0 h h 0 h( 3 x + h x + h 3 x + 3 x 2 ) h h 0 h( 3 x + h x + h 3 x + 3 x 2 = 1 ) 3 3 x 2 = 1 3 x 2/3
19 x n = exp(ln(x n )) = exp(n ln(x)) En dérivant cette dernière expression nous obtenons le résultat.
20 Dérivée seconde, troisième, etc... Contenu de la section Dérivée seconde, troisième, etc...
21 Dérivée seconde, troisième, etc... Questions de notations Dans vos cours vous rencontrerez les notations suivantes pour la dérivée d une fonction f en un point a : f (a) df dx (a) Ou, ayant écrit y = f(x) : y (a) dy dx (a)
22 Dérivée seconde, troisième, etc... Supposons f est dérivable dans un intervalle ouvert ]a,b[, et si sa dérivée f est aussi dérivable dans ]a,b[, alors on définit la dérivée seconde, notée f par : f (x) = (f ) (x); x ]a,b[ Si f admet à son tour une dérivée dans ]a,b[, on l appelle dérivée troisième, notée f ou f 3 et ainsi de suite, c est-à-dire f (n+1) = (f n ) récursivement, pour tout n.
23 Dérivée seconde, troisième, etc...
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