E(x, y, ω, t)p(ωt + φ(x, y, ω, t))dω. T = 1 ν = 2π ω. 1 x ]2kπ, π + 2kπ[ k Z P(t) = 1 x ]π + 2kπ, 2(k + 1)π[ k Z
|
|
- Geoffrey Bourgeois
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Å Ø Ö Á Å Ø Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ù Ò Ð Ú Î ÒÒÓØ Ñ Ö ¾¼¼
2 ¾
3 Ì Ð Ñ Ø Ö ½ Ä Ò ÙÜ ½º½ Æ ØÙÖ Ò ÙÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È Ö ÔØ ÓÒ Ò ÙÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º½ È Ö ÔØ ÓÒ Ö ÕÙ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º¾ È Ö ÔØ ÓÒ Ð³ ÑÔÐ ØÙ Ø Ð³ ÒÚ ÐÓÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º È Ö ÔØ ÓÒ Ð Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ËØÖÙØÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Õ٠г Ô Ò ÙÜ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º º½ ij Ô Ò ÙÜ Ô Ý ÕÙ L 2 (R, dt) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º º¾ È Ö ÔØ ÓÒ ÒØ Ö Ø Ò ÙÜ Ö Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º º Á Ð Ø ÓÒ Ò ÙÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾ Ù Ð Ø Ø ÑÔ ¹ Ö ÕÙ Ò Ö Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ½ ¾º½ Ë Ö ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô Ö Ó ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð ÕÙ ÐÓÒÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÈÖÓÔÖ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ð ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÌÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÐØÖ Ø ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ ½ º½ ÐØÖ Ø ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÈÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º ÈÖÓÔÖ Ø Ù ÔÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ù Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º Ü ÑÔÐ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º½ ÅÓÝ ÒÒ Ð ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º¾ ÇÔØ ÕÙ ÓÙÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ÒØ ÐÐÓÒÒ ¾ º½ ÈÖ Ò Ô Ð³ ÒØ ÐÐÓÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ³ÙÒ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÒØ ÐÐÓÒÒ Ö Ð Ø ÒØ ÐÐÓÒÒ ÙÖ¹ ÒØ Ö Ø ÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÉÙ ÒØ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
4 Ì Ä Ë Å ÌÁ Ê Ë
5 Ô ØÖ ½ Ä Ò ÙÜ ½º½ Æ ØÙÖ Ò ÙÜ Ò Ø ÓÒ ½º ÍÒ Ò Ð Ø ÙÒ Ö Ò ÙÖ Ô Ý ÕÙ Ù ÔØ Ð Ú Ö Ö Ò Ð Ø ÑÔ ÓÙ Ò Ð³ Ô º ÙÜ Ü ÑÔÐ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò ÙÜ Ð Ò ÙÜ ÓÙ Ø ÕÙ Ô Ý ÕÙ Ñ ÒØ Ð ³ Ø ³ÓÒ ÓÑÔÖ ÓÒ¹ ÓÑÔÖ ÓÒ Ð³ Öº ÁÐ ³ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø Ô Ý ÕÙ ÕÙ Ú Ö Ò Ð³ Ô Ø Ò Ð Ø ÑÔ f(x, t) ÔÓÙÖ ÑÔÐ Ö Ð³ Ü (Ox) Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ Ð Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð ÓÙÖ Ø ÔÓÒØÙ ÐÐ Ø ØÙ ÙÖ Ø Ü µº ËÓÙÚ ÒØ ÓÒ Ò ÓÒ Ö Ð ÓÒ ÕÙ³ г Ò ÖÓ Ø ÓÒ Ñ ÓÒ ÓÙ Ö ÔØ ÓÒ x 0 Ò Ð ÓÒ Ö Ñ Ò ÙÒ ÑÔÐ Ò Ð Ø ÑÔÓÖ Ð g(t) = f(x 0, t)º Ð Ò ÙÜ ÓÔØ ÕÙ Ô Ý ÕÙ Ñ ÒØ Ð ³ Ø ³ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÕÙ º ÁÐ ³ Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ ³ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø Ô Ý ÕÙ ÕÙ Ú Ö Ò Ð³ Ô Ø Ò Ð Ø ÑÔ f(x, y, z, t) (Oz) Ø Ð Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø Ð ÔÐ Ò (Oxy) Ø Ð ÔÐ Ò Ð³ Ñ µº ÇÒ ³ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ð Ô Ö ÔØ ÓÒ Ñ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x 0 Ö Ñ Ò ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ü ÙÒ Ò Ð Ô Ø Ð g(x, y) = f(x, y, z 0 )º ÙÜ ØÝÔ Ò ÙÜ ÓÒØ Ò ÙÜ ÓÒ ÙÐ ØÓ Ö ÕÙ ÔÖ ÒØ ÒØ ÓÙ Ð ÓÖÑ Ò Ö Ð f(t) = ÔÓÙÖ ÙÒ Ò Ð Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ t ÓÙ f(x, y, t) = 0 0 E(ω, t)p(ωt + φ(ω, t))dω E(x, y, ω, t)p(ωt + φ(x, y, ω, t))dω ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ó Ò Ð ÙÜ P Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ 2π¹Ô Ö Ó ÕÙ º Ò ³ Ò ÐÝ Ö Ð Ö ÒØ Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ø ØÙØ Ò ÙÜ ÓÒ ÖÓÒ Ð Ð Ñ Ø Ð ÔÐÙ ÑÔÐ Ø Ò ÔÖ Ñ Ö Ð Ù Ð Ò ÙÜ Ð ÓÖÑ ÔÓÙÖ ÑÔÐ Ö ÓÒ Ò Ö ÔÐÙ Ö Ö Ò Ð Ô Ò Ò x, yµ f(t) = EP(ωt + φ) E R +, ω R +, φ [0, 2π[ E Ø ÔÔ Ð ÑÔÐ ØÙ Ù Ò Ð ω Ð ÔÙÐ Ø ÓÒ Ù Ò Ð Ø φ Ð Ô º ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ð Ñ ÒØ T Ð Ô Ö Ó Ù Ò Ð Ø ν Ö ÕÙ Ò ÒØ ÕÙ T = ν = 2π ω ÇÒ Ø Ò Ù ÐÓÖ Ð Ò ÙÜ Ò ÓÒØ ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ P Ð Ò ÙÜ Ð ÔÐÙ Ö ÕÙ ÒØ Ø ÒØ Ð Ò ÙÜ ÒÙ Ó ÙÜ EP(ωt + φ) = E cos(ωt + φ) Ð Ò ÙÜ ÓÔØ ÕÙ ÓÒØ ØÓÙ ÓÙÖ ØØ Ò ØÙÖ µº Ð Ò ÙÜ Ö Ò ÙÜ { x ]2kπ, π + 2kπ[ k Z P(t) = x ]π + 2kπ, 2(k + )π[ k Z
6 À ÈÁÌÊ ½º Ä Ë ËÁ Æ Í Ð Ò ÙÜ ØÖ Ò ÙÐ Ö { 2 P(t) = π t + + 4k 2 π t 3 4k x ]2kπ, π + 2kπ[ k Z x ]π + 2kπ, 2(k + )π[ k Z Ø ÓÒ Ô ÙØ Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ò Ð Ô ÖØ Ö Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ ÐÐ ÓÒØ ÓÒ g : [0, 2π] R Ò ÔÓ ÒØ ÕÙ P Ø Ó Ø ÒÙ Ò Ö ÔÖÓ Ù ÒØ g ÙÖ ØÓÙØ Ð Ô Ö Ó º ÈÓÙÖ ÑÔÐ Ö Ô ÖØ Ö ÔÓ ÒØ ÓÒ Ò ÓÒ Ö Ö Ò Ô Ö Ö Ô ÕÙ Ò ÙÜ ÒÙ Ó Ùܺ Ò ÙÜ ÔÐÙ ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÐÙ Ö ÓÒØ Ó Ø ÒÙ ÕÙ Ò Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò ÙÜ ÔÖ ÒØ ÓÒØ ÑÓ ÙÐ Ò Ð Ø ÑÔ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ f(t) = E(t)cos(ωt + φ) ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ô f(t) = E cos(ω(t)t + φ) f(t) = E cos(ωt + φ(t)) ÇÒ ÒÓØ Ö ÕÙ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ô Ø ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÓÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒ Ö ÒØ ÙÒ Ö ÕÙ Ò ÑÓÝ ÒÒ ω 0 Ø φ 0 = φ(0) ÓÒ Ô ³ÙÒ Ð³ ÙØÖ Ò ÔÓ ÒØ ½ ÓÒ ÐÓÖ φ(t) = (ω(t) ω 0 )t + φ 0 ω(t) = ω 0 + φ(t) φ 0 t ω(t)t + φ 0 = ω 0 t + φ(t) Ä Ò ÙÜ Ð ÔÐÙ ÒØ Ö ÒØ ÔÖ ÒØ ÒØ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ Ø ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò f(t) = E(t)cos(ω(t)t + φ) Ä ÓÒØ ÓÒ t E(t) Ø ÐÓÖ ÔÔ Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ù Ò Ð Ø Ð ÓÒØ ÓÒ t cos(ω(t)t + φ) Ø ÔÔ Ð ÔÓÖØ Ù Ù Ò Ðº ½ ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ φ Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð ÓÒ ÒÓØ ÓÒ ÕÙ ω(0) = ω 0 + φ (0)º
7 ½º¾º È Ê ÈÌÁÇÆ Ë ËÁ Æ Í ÇÒ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ g : [0, 2π] R Ö ÔÖÓ Ù Ø Ô Ö Ó ÕÙ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ÓÒ ØÖÙ Ö P Ð ÓÒØ ÓÒ t E(t) Ø t ω(t) Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÔÖÓ Ù Ð ØÓ Ö Ð Ú Ð ÙÖ ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ t Ø ÐÓÖ Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÙÒ ÐÓ ÔÖÓ Ð Ø µº ³ Ø Ð Ò ÙÜ ÖÙ Ø º ÙÜ Ò ÙÜ Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÙÔ ÖÔÓ Ô Ö Ü ÑÔÐ ³ Ð ÓÒØ Ù ÙÜ ÓÙÖ µ ÓÒ ÐÓÖ ÓÑÑ Ò Ð Ö ÙÐØ ÒØ f(t) = f (t) + f 2 (t) = E (t)cos(ω (t) + φ ) + E 2 (t)cos(ω 2 (t) + φ 2 ) Ò Ò ÓÒ Ô ÙØ ÙÔ ÖÔÓ Ö ÙÒ Ò Ò Ø Ò ÙÜ f(t) = Ò ÒØ Ð Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð Ù Ú ÒØ ÓÒ f(t) = 0 E σ (t)cos(ω σ (t)t + φ σ )dσ φ(ω, t) = (ω σ (t) ω)t + φ σ 0 E(ω, t) = E σ (t) ω = σ E(ω, t)cos(ωt + φ(ω, t))dω Ø ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ö Ð Ò ÙÜ ÓÒ ÙÐ ØÓ Ö ÓÒÒ Ò ÙØ Ô Ö Ö Ô º ½º¾ ½º¾º½ È Ö ÔØ ÓÒ Ò ÙÜ È Ö ÔØ ÓÒ Ö ÕÙ Ò Ä ØÙ Ø ÓÒ Ø Þ ÑÔÐ ÔÓÙÖ Ð Ò ÙÜ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÕÙ ÙÐ Ò ÙÜ Ö ÕÙ Ò Óѹ ÔÖ ÒØÖ Ø ÀÞ ÓÒØ Ô ÖÙ Ô Ö Ð³ к Ä Ö ÒØ Ö ÕÙ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ ÓÙÐ ÙÖ ÁÊ ÖÓÙ ÓÖ Ò ÙÒ Ú ÖØ Ð Ù Ú ÓÐ Ø ÍÎ < > ÀÞ ÇÒ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð ÓÙÐ ÙÖ Ð Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ò ÙÜ ÓÒØ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ ÒØ ØÓÙØ Ð Ô ØÖ Ú Ð º È Ý ÕÙ Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ô ÖÓ Ø Ò Ö Ð Ø ÕÙ ÓÙÐ ÙÖ ÔÖ Ñ Ö ÖÓÙ Ú ÖØ Ø Ð Ù Ð Ö ÔÓÒ Ö ÔØ ÙÖ ÓÔØ ÕÙ Ø ÒØ ØÝÔ Ù Ò ÒØÖ ÙÖ ÓÙÐ ÙÖ R G B Ä Ö ÓÙÚÖ Ñ ÒØ Ö ÔÓÒ ÙÜ Ò ÙÜ Ô ÖÑ Ø Ù ÖÚ Ù Ö ÓÒ Ø ØÙ Ö ØÓÙØ ÓÙÐ ÙÖ Ô ÖØ Ö Ð³ ѹ ÔÐ ØÙ Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ ØÖÓ ØÝÔ Ø Ø ÙÖ Ð³ к Ô ÖÑ Ø Ð Ñ ÒØ ÓÒ ØÖÙ Ö Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ ÐÐ ÓÙÐ ÙÖ Ò Ô Ö ÔØ ÓÒµ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ØÖÓ Ò ÙÜ Ö ÕÙ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ ØÖÓ ÓÙÐ ÙÖ ÔÖ Ñ Ö º Ù Ò Ú Ù Ò ÙÜ ÓÙ Ø ÕÙ Ð Ô Ö ÔØ ÓÒ Ð³ÓÖ ÐÐ Ø Ò Ù ÙÜ Ö ÕÙ Ò Ò Ö ÙÖ ¾¼ ÀÞ ÓÒØ Ô ÖÙ ÓÑÑ ÙÒ ÖÝØ Ñ
8 À ÈÁÌÊ ½º Ä Ë ËÁ Æ Í Ö ÕÙ Ò Ù Ù ¼ ÀÞ ÓÒØ Ô ÖÙ ÓÑÑ ÙÒ ÒÓØ º Ò Ð Ö ÔØ ÓÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð ³ÙÒ Ò Ð ÓÙ Ø ÕÙ Ø ØÓÙØ Ø Ô ÖØ Ò ÒØ Ð Ö ÕÙ Ò Ø Ô ÖÙ ÓÑÑ ÙÒ ÖÝØ Ñ Ô Ö ÓÒØÖ ÙÒ Ö ÔØ ÓÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ð Ö ÕÙ Ò Ö ÔÐÙ Ô ÖØ Ò ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ò ÙÜ Ô ÖÙ ÓÑÑ ÒÓØ Ø ÓÒØ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ò³ Ø Ô Ø Ò Ù Ô Ö Ð³ÓÖ ÐÐ º ÆÓÙ Ö Ú Ò ÖÓÒ ÙÖ Ð Ö ÔØ ÓÒ Ò ÙÜ Ò Ö ÕÙ Ò º Ä ÓÒ ÓÒØ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ò ØÖÓ ÓÙÐ ÙÖ Ö Ú Ñ ÙÑ Ù ÀÞ ÀÞ 5 20 ÀÞ Ä ÓÒØ ÒÙÙÑ Ö ÕÙ Ò ÓÙ Ø ÕÙ Ô ÖÙ Ô Ö ÒÓØ Ø ØÖ Ø ÓÒÒ ÐÐ Ñ ÒØ ÕÙ ÒØ ÓÒ Ö ÑÔÐ ÓÒØ ÒÙÙÑ Ô Ö ÙÒ Ö Ö ÕÙ Ò Ø ÖÑ Ò Ö ÑÔÐ ÒØ Ð Ð ÖÓÑ Ø ÕÙ ÓÒØ ÒÙ Ô Ö ÙÒ Ñ Ò Ô Ð Ö f do ré mi fa sol la si do Ò Ð Ý Ø Ñ Ó ÒØ Ð Ð Ô Ð Ö ÓÒØ ÔÔ Ð ØÓÒ º ÙÜ ØÓÒ ÓÒ ÙØ ÓÒØ Ø Ð ÕÙ Ð Ö ÔÔÓÖØ Ö ÕÙ Ò Ó Ø f 2 f 9 8 Ò Ð³ ÖØ Ò Ö ÕÙ Ò ÒØÖ ÙÜ ØÓÒ ÓÒ ÙØ Ò³ Ø Ô ÓÒ Ø ÒØ Ø Ô Ò Ð Ö ÕÙ Ò Ò Ø Ð f f 8 º Ä ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒØ Ð ÔÖ Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÓÑÔØ Ñ ¹ØÓÒ Ü ÑÔÐ ÒØÖ Ó Ø Ó ÓÙ ÒØÖ Ö Ø Ö µ Ñ ¹ØÓÒ ÓÒØ Ø ÖÓÑ Ø ÕÙ º ÁÐ Ý ÓÒ ÒØÖ ÙÜ ÒÓØ ³ÙÒ Ð Ú Ö ÒØÖ ÙÜ ØÓÙ Ð Ò µ ÙÒ ØÓÒ Ù ÒØÖ Ð Ñ Ø Ð Ø ÒØÖ Ð Ø Ð Ó ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð Ð Ò³Ý ÕÙ³ÙÒ Ñ ¹ØÓÒ Ø ØÓÑ ÕÙ µº Ä Ñ ¹ØÓÒ ÖÓÑ Ø ÕÙ ÓÒØ ÔÓÖØ Ô Ö Ð ØÓÙ ÒÓ Ö º Ä Ö Ö Ò Ð³ÓÖ Ò µ ÔÓÙÖ ØØ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÔÔ Ð Ð Ô ÓÒ Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð Ð Ù Ñ ÓØ Ú ÕÙ ØÖÓÙÚ f diapason = 440Hzº ÈÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒØ Ð ÑÓ ÖÒ Ø ÑÑ Ø ÑÔ Ö µ Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ f noct,n ton = f diapason 2 noct 3+ n ton 0 2 Ó n oct Z Ø Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð³ÓØ Ú Ø n ton =,..., 2 Ø Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð ÒÓØ ÒÓØ Ó Ó Ö Ö Ñ ÓÐ ÓÐ Ð Ð Ö Ñ ÓÐ Ð n ton ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ f 3,nton ÀÞµ ¾ ½º ¾ º½ ¾ º ½½º½ ¾ º º¾ º ¾ ½ º ¼ º½ º Ä ØÖ Ø Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò ÙÜ Ò Ø Ù ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö ÕÙ Ò Ó Ø Ò Ø ÑÔ µ Ù Ø ÕÙ Ð Ý Ø Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ó Ú ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ò ÙÜ Ô Ö Ö ¼ Ø ½º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÙÜ Ö ÚÙ ÙÐØ Ö ÙÖ Ñ ÒØ Ò ÓÙÖ º ÁÐ Ö Ø ÒØ Ö ÒØ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÙÜ ÓÙ Ø ÕÙ Ô ÖÙ Ò Ö ÕÙ Ò Ô Ö ÙÒ Ý Ø Ñ Ô Ý ÕÙ Ð Ñ Ø Ø Ð ÙÒ Ò ØÖÙÑ ÒØ ÑÙ ÕÙ Ú ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÓÖ ÓÙ Ñ Ö Ö ÓÒ Ò µ Ø Ô Ö ÙÒ Ý Ø Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ò Ö ÒØ ÕÙ ØÖ Ô Ùº ½º¾º¾ È Ö ÔØ ÓÒ Ð³ ÑÔÐ ØÙ Ø Ð³ ÒÚ ÐÓÔÔ Ä³ Ð ÓÑÑ Ð³ÓÖ ÐÐ Ò ÓÒØ Ô Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ò Ð Ð³ ÑÔÐ ØÙ ³ÙÒ Ò Ð Ñ ÓÒ ÒØ Ò Ø º ÐÐ ¹ Ò Ð ÑÔÐ ³ÙÒ Ò Ð ÑÓÒÓ ÖÓÑ Ø ÕÙ f(t) = E cos(ωt + φ) Ø I = E 2 º Ò ÕÙ ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô ÒØ Ù Ò Ð f ÓÒ ÒØ Ò Ø Ó Ø Ð Ö Ñ ÒØ Ò Ð Ø ÙØ Ð Ô Ö ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ü ı 2 = µ f(t) = Ee ı(ωt+φ)
9 ½º¾º È Ê ÈÌÁÇÆ Ë ËÁ Æ Í Ä Ò Ð Ö Ð Ø ÒØ Ó Ø ÒÙ ÓÑÑ Ð Ô ÖØ Ö ÐÐ Ù Ò Ð ÓÑÔÐ Ü º ÇÒ ÐÓÖ I = f(t) 2 ØØ ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÒØ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ø ³ ÒØ Ö Ö Ò f(t) = E e ı(ωt+φ) + E 2 e ı(ω2t+φ2) I(t) = f(t) 2 = E 2 + E2 2 + E E 2 ( e ı((ω ω2)t+φ φ2) + e ı((ω ω2)t+φ φ2)) = I + I 2 + 2E E 2 cos((ω ω 2 )t + φ φ 2 ) I + I 2 ij ÒØ Ò Ø ³ÙÒ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÙÜ Ö ÕÙ Ò Ò³ Ø ÓÒ Ô Ð ÓÑÑ ÒØ Ò Ø Ñ ØØ ÓÑÑ ÑÓ ÙÐ Ô Ö ÙÒ Ø ÖÑ ³ ÒØ Ö Ö Ò ¾ º ØØ Ô Ö ÔØ ÓÒ Ð³ ÒØ Ò Ø ÔÐÙØØ Õ٠г ÑÔÐ ØÙ Ø Ù Ù Ø ÕÙ Ð Ý Ø Ñ Ô Ý ÓÐÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ð³ Ò Ö Ö Ù Ù Ò Ðº ÇÖ Ð³ ÒØ Ò Ø Ø Ð³ Ò Ö Ö Ù Ô Ö ÙÒ Ø Ø ÑÔ ³ÙÒ Ò Ðº ij Ò Ö ØÓØ Ð ÔÓÖØ Ô Ö ÙÒ Ò Ð Ø ÓÒ E f = f(t) 2 dt ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ð Ñ ÒØ Ð ÔÙ Ò ÑÓÝ ÒÒ ØÖ Ò ÔÓÖØ Ô Ö ÙÒ Ò Ð T/2 P f = lim f(x) 2 dx T + T T/2 ÇÒ ÒÓØ Ö Ò Ò ÕÙ Ð Ý Ø Ñ Ô Ý ÓÐÓ Õ٠г Ð Ø Ð³ÓÖ ÐÐ µ ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÒ Ö ÔÓÒ ÐÓ Ö Ø Ñ Õ٠г ÒØ Ò Ø Ò Ùܺ ÈÓÙÖ Ù Ñ ÒØ Ö Ð Ô Ö ÔØ ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ ³ÙÒ Ò Ð ³ÙÒ ÙÒ Ø ÙÒ µ Ð ÙØ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð³ ÒØ Ò Ø Ù Ò Ð Ô Ö ½¼º ÄÓÖ ÕÙ³ÙÒ ÓÒ ÔÖ ÒØ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ³ ÒÚ ÐÓÔÔ Ð Ô Ö ÔØ ÓÒ ØØ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ø Ö ÒØ Ò ÓÒØ ÓÒ Ð Ú Ø ØØ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒº È Ö Ü ÑÔÐ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ô Ö Ó ÕÙ Ö ÕÙ Ò Ð³ÓÖ Ö ½¼ ÀÞ ÖÓÒØ Ô ÖÙ ÓÑÑ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ô Ö Ó Õ٠г ÒØ Ò Ø Ù ÓÒ ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò Ð ÔÓÖØ Ù ÓÒØ Ð³ÓÖ Ö ½¼¼ ÀÞ Ø ÓÒØ ÓÒ Ô ÖÙ ÓÑÑ ÒÓØ µº Ñ Ò Ö Ò Ö Ð Ð ÙÖ ÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ð³ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ò Ø Ú Ø ØÖ ÙÔ Ö ÙÖ Ð Ô Ö Ó Ð ÔÓÖØ Ù Ð ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ø Ô ÖÙ ÓÑÑ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ð³ ÒØ Ò Ø º ÈÓÙÖ ÙÒ Ò ØÖÙÑ ÒØ ÑÙ ÕÙ ÒÖ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð³ ØØ ÕÙ Ð ÒÓØ Ø ÙØ ÙÖ ³ Ø Ð Ñ ÒØ Ø ÐØÙÖ Ù ÓÒµº Ò Ð³ ØØ ÕÙ Ø ØÖ ÖÙØ Ð ÔÓÙÖ ÙÒ Ô ÒÓ Ø ØÖ ÔÖÓ Ö Ú ÔÓÙÖ ÙÒ Ú ÓÐÓÒº ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ³ ÒÚ ÐÓÔÔ ÙÖ ÙÖ Ù Ñ Ñ ÓÖ Ö ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ð ÔÓÖØ Ù Ò ÓÒØ ÔÐÙ Ø Ò Ù Ô Ö Ð³ÓÖ ÐÐ ÓÑÑ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ò Ð³ ÒØ Ò Ø º ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ÓÒØ ÐÓÖ Ô ÖÙ ÓÑÑ Ð Ø ÜØÙÖ Ù ÓÒ Ü ÑÔÐ ÒØÖ ÙÒ ÒÓØ Ô ÒÓ ÕÙ Ø ØÖ ÔÙÖ ÒÚ ÐÓÔÔ ÔÐ Ø µ Ø ÙÒ ÒÓØ Ù Ø Ö Ð ØÖ ÕÙ ÒÚ ÐÓÔÔ ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÓÙÔ ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ µº ½º¾º È Ö ÔØ ÓÒ Ð Ô Ä Ô Ò ÙÜ ÓÔØ ÕÙ Ø ÓÙ Ø ÕÙ µ Ò³ Ø Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ô ÖÙ º Ø Ú ÒØ ÔÙ ÕÙ ÐÐ ¹ Ø Ö ØÖ Ö ÐÐ Ô Ò Ù Ó Ü Ð³ÓÖ Ò t = 0 Ù Ø ÑÔ µº Ä Ô Ò³ Ø ÓÒ Ô ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø Ô Ý ÕÙ Ô Ö ÓÒØÖ Ð Ö Ò Ô ÐÐ ÙÒ Ò Ô Ý ÕÙ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ð ÓÖÑÙÐ ÒØ Ö Ö Ò µº ÍÒ Ö Ò Ô Ô ÙØ ÓÒ ØÖ Ô ÖÙ ÓÒ Ø ÓÒ ³ ÚÓ Ö ÙÒ Ö ÔØ ÓÒ Ø Ö Ó ÓÔ ÕÙ º ÈÓÙÖ Ð Ò ÙÜ ÓÔØ Õ٠г Ð ÖÓ Ø Ø Ð³ Ð Ù Ö Ó Ú ÒØ Ò ³ÙÒ Ñ Ñ ÔÓ ÒØ ÙÒ ÙÒ Ò Ð ÕÙ Ò Ö Ò ÕÙ Ô Ö Ð ÙÖ Ô ÐÐ ¹ Ô Ò ÒØ Ù Ñ Ò Ô ÖÓÙÖÙ Ô Ö Ð Ò Ð ¾ ÓÒ ÒÓØ Ö ÕÙ³ Ð Ø ÔÓ Ð Ô Ö ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ü ÔÓÙÖ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ô ÒÓÑ Ò ³ ÒØ Ö Ö Ò Ò ÒÑÓ Ò ÐÙ ¹ ÔÖ ÒØ ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÒØ ÕÙ ÐÐ ÒÓÑ Ö ÓÑÔÐ Ü z + z 2 2 = z 2 + z R(z z 2 )º Ä ÑÓ Ð Ò ØÙÖ Ð Ò ÙÜ Ø ÓÒ Ò ÓÒ ØÖÙ Ø ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ô ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö Ö Ð º
10 ½¼ À ÈÁÌÊ ½º Ä Ë ËÁ Æ Í k 2 k f droit (t) = Ee ı(ωt+r C k d l+φ 0) f gauche (t) = Ee ı(ωt+r C k2 d l+φ 2 0) φ = k2 d l C 2 k d l C ÈÐÙ Ð ÔÓ ÒØ ÓÙÖ Ø ÐÓ Ò ÑÓ Ò Ð Ö Ò ÒØÖ Ð Ñ Ò Ô ÖÓÙÖÙ Ø Ö Ò Ø ÓÒ ÔÐÙ Ð Ö Ò Ô Ù» ÖÓ Ø Ø Ð º Ò Ð ÖÚ Ù ÒØ ÖÔÖ Ø Ð Ö Ò Ô ÓÑÑ ÙÒ Ñ ÙÖ Ð Ø Ò Ð ÓÙÖ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð Ú ÓÒ Ñ Ò ÓÒ º ÈÓÙÖ Ð Ò ÙÜ ÓÙ Ø ÕÙ Ð ÔÖ Ò Ô Ø Ð Ñ Ñ Ö Ò Ô Ø ÒØ Ò Ø Ò ÙÜ ÒØÖ Ð ÓÖ ÐÐ ÖÓ Ø Ø Ù Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ö Ô Ö Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ô Ø Ð Ð ÓÙÖ º Æ ÒÑÓ Ò Ý Ø Ñ Ô Ý ÓÐÓ ÕÙ Ø ÑÓ Ò ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ò ÙÜ ÓÔØ ÕÙ ³Ó Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ù Ó º½ Ö ÑÔÐ ÒØ Ð Ý Ø Ñ Ø Ö Ó Ð ÕÙ µº ½º ½º º½ ËØÖÙØÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Õ٠г Ô Ò ÙÜ Ø ØÖ Ù¹ Ø ÓÒ Ä³ Ô Ò ÙÜ Ô Ý ÕÙ L 2 (R, dt) ÇÒ ÚÙ ÕÙ³ÙÒ Ò Ð Ø Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ù Ø ÑÔ Ú Ð ÙÖ Ò C Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð ÒØ Ö Ö Ò µº ÔÐÙ ÓÒ Ó Ø ÔÓÙÚÓ Ö Ø ÓÒÒ Ö ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ò ÙÜ ÔÓÙÖ Ð ÙÔ ÖÔÓ Öµº Ø Ò Ò ÓÒ ÚÙ Õ٠г ÒØ Ö Ð Ù ÑÓ ÙÐ ÖÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ð³ Ò Ö ÔÓÖØ Ô Ö ÙÒ Ò Ð ÐÐ ¹ Ú ÒØ ØÖ Ò Ð ÓÒØ ÓÒ Ó Ú ÒØ ØÖ ÖÖ ÓÑÑ Ð f(t) 2 dt < + Ò Ø ÓÒ ¾º ij Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ ÓÑÔÐ Ü ÖÖ ÓÑÑ Ð ÑÙÒ ³ÙÒ ØÖÙØÙÖ ³ ¹ Ô Ú ØÓÖ Ð Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ð Ö µ Ø Ð ÒÓÖÑ f = f(t) 2 dt Ø ÒÓØ L 2 (R, dt) ÔÖ ÚÓ Ö ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ò Ö Ò ÒØ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÔÓ ÒØ µº L 2 (R, dt) Ø ÙÒ Ô À Ð ÖØ ³ Ø Ö ÕÙ ÓÒ ÓÒÒ ÙÒ Ù Ø Ò ÙÜ (f n (t)) n N Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ö Ò ÒØÖ ÙÜ Ò ÙÜ ÓÒ ÙØ Ú ÒØ ÒÙÐÐ Ð Ð Ñ Ø ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ Ò Ð Ð Ñ Ø f(t) L 2 (R, dt) Ø Ð ÕÙ lim f n+ f n = 0 n lim f n f = 0 n
11 ½º º ËÌÊÍ ÌÍÊ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ä³ ËÈ Ë ËÁ Æ Í Ì ÁËÌÊÁ ÍÌÁÇÆË ½½ ½º º¾ È Ö ÔØ ÓÒ ÒØ Ö Ø Ò ÙÜ Ö Ð Ø ÍÒ Ø Ø ÙÖ Ò ÙÜ Ö Ð Ø Ò Ø Ø Ô ÙÒ Ò Ð Ò Ø ÒØ Ò Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ö Ð Ò Ð ÙÖ ÙÒ Ô Ö Ó T T T 0 f(t )dt t [T, 2T] 2T f(t) f p (t) = T T f(t )dt t [2T, 3T] 3T T 2T f(t )dt t [3T, 4T]... ÔÐÙ Ð Ö ÔÓÒ Ù Ö ÔØ ÙÖ ÙÖ ÙÒ Ô Ö Ó Ö ÔØ ÓÒ Ò³ Ø Ô Ò Ö Ñ ÒØ ÔÐ Ò Ñ Ô ÙØ ØÖ ÙÒ ÓÒØ ÓÒº ³ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ö ÔØ ÓÒ ÒØ Ö Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ g Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ö ÙÐØ Ø Ð Ô Ö ÔØ ÓÒ Ø g f = g(t)f(t)dt ÍÒ Ö ÔÓÒ ÔÐ Ò Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ ÔÓÖØ Π(t) = { t < 2 0 ÒÓÒ Ò ÓÒ ÒØ Ö Ð Ò Ð ÙÖ ÙÒ Ò ØÖ t Π f = /2 /2 f(t)dt Ä ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ÓÒ Ð Ö ÔÓÒ Ý Ø Ñ ÙÒ Ò Ð ÓÒØ ÐÐ ¹Ñ Ñ Ò ÙÜ Ñ ÕÙ ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØ ÙÒ Ð ÔÐÙ Ö Ù Ø ÕÙ L 2 º Ò Ø ÓÒØ ÓÒØ ÓÒ ÙÔÔÓÖØ ÓÖÒ ³ Ø Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø a Ø b Ò R Ø Ð ÕÙ f(t) = 0 t < a Ø t > bµº ÇÒ ÒÓØ Ø Ò Ñ Ð D(R, dt)º Ä ÓÒØ ÓÒ ÙÔÔÓÖØ ÓÖÒ ÓÒØ Ò Ø Ð Ò ÙÜ Ö Ð Ø Ù ÔÓ ÒØ ÚÙ Ô Ý ÕÙ a Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð Ø ÙØ ³ Ñ ÓÒ Ù Ò Ð Ø b Ð Ò Ð³ Ñ ÓÒº ÐÓÖ ÕÙ Ò L 2 ØÖÓÙÚ Ò ÙÜ ÕÙ ÓÒØ Ñ ÔÙ ØÓÙ ÓÙÖ t µ Ø ÓÒØ Ð³ Ñ ÓÒ Ò ³ ÖÖ Ø Ñ t + º ½º º Á Ð Ø ÓÒ Ò ÙÜ ÓÒ ÖÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ Π n (t) = nπ(nt) = { n t < 2n 0 ÒÓÒ ÓÒØ Ò ÙÜ Ö Ð Ø Π n Dµ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ Ò ØÖ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ú ÒØ ÔÐÙ Ò ÔÐÙ Ð Ú nº ÍÒ Ò Ð f L 2 Ø ÓÒ ÒØ Ö ÓÑÑ Π n f = Π n (t)f(t)dt = 2n 2n ( nf(t)dt = n F( 2n ) F( ) 2n ) Ó F Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú fº Ò ÒØ Ø Ò Ö n Ú Ö Ð³ Ò Ò ÓÒ ÙÒ Ò ØÖ ÕÙ Ú ÒØ ÔÐÙ Ò ÔÐÙ Ð ÔÓÙÖ ÓÒ ÒØÖ Ö ÙÖ Ð ÔÓ ÒØ t = 0º ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ô Ò Ö ÕÙ³ Ò ÒØ Ö ÒØ Ð Ò Ð ÙÖ ÙÒ Ò ØÖ ÔÐÙ Ò ÔÐÙ ÓÙÖØ Ð Ö ÙÐØ Ø
12 ½¾ À ÈÁÌÊ ½º Ä Ë ËÁ Æ Í Ø Ò Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ù Ò Ð Ò ¼º Ò Ø lim Π n f = lim n n Π n (t)f(t)dt = lim n (F(/(2n)) F( /(2n))) n F(0 + h/2) F(0 h/2) = lim h 0 h = F (0) = f(0) ÍÒ Ý Ø Ñ Ô Ö Ø Ð Ð Ñ Ø n µ ÕÙ Ñ ÙÖ Ð Ò Ð Ð³ Ò Ø ÒØ t = 0 ÚÖ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö δ f = f(0) Ó δ Ö Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ù Ò Ð ÑÔÙÐ ÓÒÒ Ð Õ٠гÓÒ Ó Ø Ò Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÚ Ø ÒØ ÖÚ ÖØ Ö Ð Ð Ñ Ø Ø Ð³ ÒØ Ö Ð lim n + Π n (t)f(t)dt = δ(t)f(t)dt Ò ÒØ Ò Ù Ð Ð Ñ Ø Ø Ð³ ÒØ Ö Ð Ò Ô ÙÚ ÒØ Ô ØÖ ÒØ ÖÚ ÖØ Ø Ð³Ó Ø δ Ò³ Ø Ô ÙÒ ÓÒØ ÓÒ δ(t) = 0 t 0 Ø δ(0) = µº Ä³Ó Ø δ Ø Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ ÙÒ ØÖ ÙØ ÓÒ δ Ø Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ö µ Ø ÓÒ Ø ÕÙ δ Ø Ð Ð Ñ Ø Ð Π n Û lim n Π n(t) = δ(t) lim Π n (t)f(t)dt = n δ(t)f(t)dt = f(0) f L 2 t t t t ij Ò Ñ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ñ Ð Ð Ñ Ø Ð Ò ÙÜ Ö Ð Ø µ Ø ÒÓØ D (R, dt)º Ä Ô ÓÒØ ÓÒ ÙÜ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒØ ÓÒ Ò Ö Ð Ú ÔÖÓÔÖ Ø ØÖ Ò ÓÑÑ δµ ØÖ Ù Ø Ð Ø Õ٠гÓÒ ÔÖÓ ÙÒ Ð Ø ÓÒ ÙÙÒ Ý Ø Ñ Ô Ý ÕÙ Ö Ð Ò ÔÖ ÒØ ÙÒ Ò Ð ÑÔÙй ÓÒÒ Ð Ñ Ù Ñ ÙÜ ÙÒ Ò Ð Ñ ÙÖ ÙÒ Ò ØÖ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ð µº ÆÓØÓÒ ÕÙ Ð Ò ÙÜ ÓÒ Ñ ÒØ ÙÜ Õ٠гÓÒ ÓÒ Ö Ò Ð Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ f(t) = Ee ı(ωt+φ) Ò ÓÒØ Ô Ò ÙÜ Ô Ý ÕÙ ÔÙ ÕÙ f = + Ñ Ð Ø ÓÒ Ò ÙÜ Ù ØÝÔ f n (t) = Π(t/n)Ee ı(ωt+φ) ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð f n 2 = n/2 n/2 E 2 dt = ne 2 < Û lim n f n(t) = f(t) Ò ÙÜ Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ Ð Ð ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ò ÓÒØ Ô ÖÖ ÓÑÑ Ð Ò ÙÜ ØÖ Ò ÔÓÖØ ÒØ ÙÒ Ò Ö Ò Ò µ Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ ØÖ ÙØ ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ð ØÖ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ò Ô ÙÚ ÒØ Ô ØÖ Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÑÑ δ ÓÒØ ÔÔ Ð Ò ÙÐ Ö µº ÄÓÖ Õ٠гÓÒ Ú ÙØ ÙÒ ÑÔÙÐ ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ t 0 Ö ÒØ 0 ÓÒ ÙØ Ð Ð ØÖ ÙØ ÓÒ δ t0 (t) = δ(t t 0 ) δ t0 f = δ(t t 0 )f(t)dt = f(t 0 ), f L 2
13 Ô ØÖ ¾ Ù Ð Ø Ø ÑÔ ¹ Ö ÕÙ Ò Ö Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÓÑÑ ÓÒ Ð³ ÚÙ Ð Ò ÙÜ Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ô ÖÙ Ó Ø Ò Ø ÑÔ Ó Ø Ò Ö ÕÙ Ò º ÁÐ Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÙÚÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ø ÑÔ t Ò sµ Ø Ò Ö ÕÙ Ò ν Ò s ÀÞµ Ø ÔÓÙÚÓ Ö Ô Ö Ð³ÙÒ Ð³ ÙØÖ º ³ Ø Ð ÙØ Ô ØÖ º ¾º½ Ë Ö ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô Ö Ó ÕÙ ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ Ò Ð Ô Ö Ó ÕÙ Ð Ñ ÒØ Ö f(t) = Ee ı(ωt+φ) ÁÐ Ø Ð Ö ÔÙ ÕÙ Ò Ð Ò³ Ø ÓÑÔÓ ÕÙ ³ÙÒ ÙÐ Ö ÕÙ Ò ν 0 = ω 2π ÕÙ Ò Ð³ Ô Ö ÕÙ Ò Ð Ò Ð Ö Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ò³ Ò ÕÙ ÒØ ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ ν 0 ³ Ø Ö ÙÒ ØÖ ÙØ ÓÒ Ö f(t) = Ee ı(ωt+φ) ˆf(ν) = Ee ıφ δ(ν ν 0 ) Ä Ô Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ù Ò Ð Ò Ø ÑÔ f Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ˆf Ø ÔÔ Ð ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÓÒ ÒÓØ ˆf(ν) = TF[f](ν) Ø f(t) = TF [ ˆf](t)µ ÈÓÙÖ ÙÒ Ò Ð Ô Ö Ó ÕÙ ÕÙ ÐÓÒÕÙ ÓÒ ÑÓÒØÖ Ð Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØ Ì ÓÖ Ñ ½º ËÓ Ø t f(t) ÙÒ ÓÒØ ÓÒ T ¹Ô Ö Ó ÕÙ f(t + T) = f(t) tµº ÐÓÖ ÓÒ Ô ÙØ Ö Ö f ÓÙ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ Ö Ú Ø ν 0 = T f(t) = c k = T + k= T/2 T/2 c k e ı2πkν0t f(t)e ı2πkν0t dt Ò Ø ÓÒ º ËÓ Ø f ÙÒ ÓÒØ ÓÒ T ¹Ô Ö Ó Õ٠г Ò Ñ Ð Ó ÒØ c k Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ø ÔÔ Ð Ô ØÖ Ò Ö ÕÙ Ò Ù Ò Ð fº Ä ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÙÖ Ö ÓÑÔÓ Ð Ò Ð Ô Ö Ó ÕÙ Ò ÙÒ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ò ÙÜ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÒØ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ð Ö ÕÙ Ò Ô Ö Ó Ø º Ä Ô ØÖ Ö Ø {c k, k Z} Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÔÓ ÙÒ Ò ÙÜ Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒº ØØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ³ÙÒ Ò Ð Ô Ö Ó ÕÙ f(t) = + k= c k e ı2πkν0t TF ˆf(ν) = + k= c k δ(ν kν 0 ) ½
14 ½ À ÈÁÌÊ ¾º Í ÄÁÌ Ì ÅÈ˹ Ê ÉÍ Æ Ë ÊÁ Ì ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÇÍÊÁ Ê Ò Ø ÓÒ º ËÓ Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ T ¹Ô Ö Ó ÕÙ fº ν 0 = T Ø ÔÔ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð fº Ä ÓÒ¹ Ø ÓÒ t c k e ı2πkν0t Ú k Z ÓÒØ ÔÔ Ð ÖÑÓÒ ÕÙ fº c k 2 Ø Ð ÔÓ Ð k¹ Ñ ÖÑÓÒ ÕÙ Ò Ð Ò Ð fº Ò ÙÒ ÓÒ ³ Ø Ð ÔÖ Ò Ø Ð ÔÓ Ö Ð Ø Ö ÒØ ÖÑÓÒ ÕÙ ÕÙ ÑÓ Ð Ø Ñ Ö ÕÙ Ö Ò ÙÒ Ä ¼ ÀÞ ³ÙÒ Ù Ø Ö Ù Ñ Ñ Ä ³ÙÒ Ø µº Re f t t TF f Ν Ν È ÖØ Ö ÐÐ f(t) = + k= k! eı2πk3t Ø ˆf(ν) ¾º¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð ÕÙ ÐÓÒÕÙ ÄÓÖ ÕÙ³ÙÒ Ò Ð ÔÖ ÒØ ÙÒ Ô Ö Ó Ø ÓÒ ÚÙ Õ٠гÓÒ ÔÓÙÚ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö ÐÙ ¹ г ³ÙÒ ÓÑÑ Ö Ø ÙÖ Ð Ò ÙÜ Ð Ñ ÒØ Ö e ı2πνt ÔÓÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ν ÑÙÐØ ÔÐ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ñ Ò¹ Ø Ð º Ò Ð³ Ò Ô Ö Ó Ø Ð Ø Ð Ö ÕÙ Ð Ò Ð Ò Ú ÓÑÔÓ Ö ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð Ö Ø Ö ÕÙ Ò Ñ ÙÖ ØÓÙØ Ð ÓÒØ ÒÙÙѺ Ò ÙØ Ð ÒØ ÙÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÙÖ ØÓÙ Ð Ò ÙÜ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÒ ØÖÓÙÚ Ð Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ð Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ò Ø ÓÒ º ËÓ Ø f L 2 (R, dt) ÓÒ Ò Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ù Ò Ð f Ô Ö ½ Ú ˆf(ν) = TF[f](ν) = f(t) = TF [ ˆf](t) = f(t)e ı2πνt dt ˆf(ν)e ı2πνt dν Ò Ð Ô ØÖ Ò Ö ÕÙ Ò f Ø Ð ÓÒØ ÓÒ ν ˆf(ν)º Ì ÓÖ Ñ ¾ ÓÖÑÙÐ È Ö Ú Ð¹ÈÐ Ò Ö Ðµº ËÓ Ø f, g L 2 (R, dt) ÙÜ Ò Ùܺ ÐÓÖ ÓÒ g(t)f(t)dt = g f = ĝ ˆf ĝ(ν) ˆf(ν)dν Ð ÓÖÑÙÐ È Ö Ú Ð¹ÈÐ Ò Ö Ð ÓÒ Ø Ö Õ٠г Ò Ö ØÓØ Ð ØÖ Ò ÔÓÖØ Ô Ö ÙÒ Ò Ð Ô ÙØ ØÖ ÐÙÐ Ó Ø Ô ÖØ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÔ Ó Ø Ô ÖØ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò E f = f(t) 2 dt = ˆf(ν) 2 dν ÇÒ Ø ÕÙ t f(t) 2 Ø Ø Ð Ò Ø ³ Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ø Ø ÑÔ ØÖ Ò ÔÓÖØ Ô Ö Ð Ò Ðº Ä ÓÒØ ÓÒ ν S f (ν) = ˆf(ν) 2 Ø Ð³ Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ø Ö ÕÙ Ò ØÖ Ò ÔÓÖØ Ô Ö Ð Ò Ðº ÙØÖ Ñ ÒØ Ø S f (ν)dν = ˆf(ν) 2 dν Ø Ð³ Ò Ö ØÖ Ò ÔÓÖØ Ò Ð Ö ÕÙ Ò ν ν + dν Ô Ö Ð Ò Ðº Ò Ø ÓÒ º ÇÒ ÔÔ ÐÐ Ð ÓÒØ ÓÒ ν S f (ν) = ˆf(ν) 2 Ò Ø Ô ØÖ Ð ³ Ò Ö Ë µº ½ Ò Ø ØØ Ò Ø ÓÒ ³ ÔÔÐ ÕÙ D Ð ÓÑ Ò Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ TF Ø Ò Ù Ø Ø Ò Ù L 2 Ô Ö ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ñ Ø
15 ¾º º ÈÊÇÈÊÁ Ì Ë Ë ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ë ÇÍÊÁ Ê ½ ¾º ÈÖÓÔÖ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ä Ò Ö Ø ÌÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÓÒ α, β C, f, g L 2 TF[αf + βg](ν) = αtf[f](ν) + βtf[g](ν) αf + βg = α ˆf + βĝ f L 2 f T (t) = f( t) TF[f T ](ν) = ˆf( ν) Ò Ñ ÒØ ³ ÐÐ ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÅÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ô f L 2 TF[f](ν) = ˆf( ν) f L 2, α R TF[f(αt)] = α ˆf( ν α ) f L 2 ı2πνt0, t 0 R TF[f(t t 0 )] = e ˆf(ν) f L 2, ν 0 R TF[e ı2πν0t f(t)] = ˆf(ν ν 0 ) Ö Ú Ø ÓÒ f L 2, f L 2, n N, TF[f ](ν) = f (ν) = df (ν) = 2ıπν ˆf(ν) dt TF[f (n) ](ν) = f (n) (ν) = d n f dt n (ν) = (2ıπν)n ˆf(ν) f L 2, n N, g(t) = ( 2ıπt) n f(t) TF[g] = ˆf (n) (ν) = dn ˆf dν n (ν) ¾º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ð ÕÙ f(t) TF(f)(ν) = ˆf(ν) Π(t) sin(πν) = sinc(πν) πν δ(t) δ(ν) e ı2πν0t δ(ν ν 0 ) δ(ν ν 0 ) + δ(ν + ν 0 ) cos(2πν 0 t) 2 δ(ν ν 0 ) δ(ν + ν 0 ) sin(2πν 0 t) 2ı e πt2 e α t vp[ t ] e πν2 2α α 2 + 4π 2 ν 2 ıπsgn(ν) sgn(t) ı π vp[ ν ] H(t) 2 δ(ν) ı 2π vp[ ν ] Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø ÒØ Ò Ô Ö t < 0 sgn(t) = 0 t = 0 + t > 0
16 ½ À ÈÁÌÊ ¾º Í ÄÁÌ Ì ÅÈ˹ Ê ÉÍ Æ Ë ÊÁ Ì ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÇÍÊÁ Ê Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ ÔÖ Ò Ô Ð Ø Ò Ô Ö f L 2, vp[ t ] f = lim ǫ 0 ], ǫ[ ]+ǫ,+ [ f(t) dt t vp[ t ] = Û lim t ( Π( ǫ 0 t 2ǫ )) Ø Ð ÓÒØ ÓÒ À Ú Ø Ò Ô Ö 0 t < 0 H(t) = 2 t = 0 + t > 0
17 ¾º º ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÇÍÊÁ Ê ³ÍÆ ËÁ Æ Ä ËÈ ÌÁ Ä ½ t t sinc ΠΝ Ν t TF t Ν cos 2ΠΝ0t t e Πt t TF cos 2ΠΝ0t Ν e ΠΝ Ν e Α t 2 Α Α 2 4 Π 2 Ν t t t Ν sgn Ν Ν ¾º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô Ø Ð ÍÒ Ò Ð Ô Ø Ð (x, y) f(x, y) (x, y) Ò mµ ÓÑÑ ÙÒ Ñ ÔÓ Ù ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò Ô Ø Ð (ν x, ν y ) Ò m µº Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ø TF[f](ν x, ν y ) = ˆf(ν x, ν y ) = Ä ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒØ ÐÓÖ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ò Ð Ø ÑÔÓÖ Ðº f(x, y)e ı2π(νxx+νyy) dxdy
18 ½ À ÈÁÌÊ ¾º Í ÄÁÌ Ì ÅÈ˹ Ê ÉÍ Æ Ë ÊÁ Ì ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÇÍÊÁ Ê
19 Ô ØÖ ÌÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÐØÖ Ø ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ò Ô ØÖ ÓÒ ³ ÒØ Ö Ù ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÙÜ Ô Ö ÙÒ Ý Ø Ñ Ò ÐÓ ÕÙ Ó٠г Ø ÕÙ³ÙÒ Ý Ø Ñ ÒØ ÖÑ Ö ÙÖ ÙÒ Ò Ð Ò Ð ³ ÒØÖ Ý Ø Ñ ØÖ Ø ÒØ Ð Ò Ð Ò Ð ÓÖØ Ü ÑÔÐ Ò Ð Ð ØÖ ÕÙ ÙØ¹Ô ÖÐ ÙÖ Ò Ð ÓÙ Ø ÕÙ Ò Ø Ü ÑÔÐ Ð Ý Ø Ñ ÖØ ÓÒÚ ÖØ Ö Ð Ò ØÙÖ Ô Ý ÕÙ Ù Ò Ðº ÍÒ Ø Ð Ý Ø Ñ ³ Ð Ø Ø Ð Ò³ Ø Ö Ø Ô Ð Ò Ð ÐÙ ¹Ñ Ñ Ñ ÙÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÙÔÔÓÖØ Ô Ý ÕÙ µ Ñ Ò Ð Ö Ð Ø Ð Ý Ø Ñ Ö Ø ØÙØ ÓÒ ÑÓ ÒØ Ð Ò Ð Ù Ð ÙÖ ÑÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ð ÙÖ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ô Ý ÕÙ º Ò Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð Ø Ò Ø ÙÒ ÐØ Ö Ø ÓÒ Ù Ò Ð Ô Ö Ð Ý Ø Ñ º Å Ò ³ ÙØÖ Ü ÑÔÐ Ð ÑÓ Ø ÓÒ Ù Ò Ð Ô Ö Ð Ý Ø Ñ Ø Ð ÙØ Ö Ö Ü ÑÔÐ ¾ ÙÒ Ù Ø Ö Ð ØÖ ÕÙ Ò Ð Ð ØÖÓ¹ ÓÙ Ø ÕÙ Ù ÓÖ Ô Ð ØÓÖ ÓÒ Ò Ð ØÓÖ Ù ÁÐ Ú ÓÒ ³ Ö ÑÓ Ð Ö Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØ Ð³ Ø ³ÙÒ Ý Ø Ñ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð Ô Ö ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÙÖ H ÓÙ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò f in (t) H f out (t) ˆf in (ν) Ĥ ˆf out (ν) º½ ÐØÖ Ø ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ Ò Ð ³ ÒØÖ ν ˆf in (ν) Ò ÙÒ Ý Ø Ñ ÕÙ Ú ÚÓ Ö ÔÓÙÖ Ø Ò ÓÒ ÖÚ Ö ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò ØÖÓÙÚ ÒØ ÒØÖ [ν 0 ν, ν 0 + ν] ³ Ø Ô Ö Ü ÑÔÐ Ð Ò Ø Ð Ô ÓÒ ÓÒ Ò ÓÒ ÖÚ ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò Ñ ÙÑ Ð Ñ ÙÜ Ô ÖÙ Ô Ö Ð³ÓÖ ÐÐ Ò Ð Ñ Ø Ö Ð ÕÙ ÒØ Ø ³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÖ Ò Ñ ØØÖ µ ÓÒ ÐÓÖ { ˆf in (ν) Ĥ ˆf ˆfin (ν) ν [ν 0 ν, ν 0 + ν] out (ν) = 0 ÒÓÒ ÍÒ Ø ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ³ ÔÔ ÐÐ ÙÒ ÐØÖ º ÇÒ ÚÓ Ø ÕÙ Ò Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÓÒ ÖÚ Ö ÕÙ ÖØ Ò Ö ÕÙ Ò Ô ÙØ ØÖ Ö Ø ÓÑÑ Ù Ø ) ˆf out (ν) = ˆf ν ν0 in (ν)π( 2 ν ijÓÔ Ö Ø ÙÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð Ò Ð ³ ÒØÖ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ ÔÓÖØ ν Π((ν ν 0 )/(2 ν))º ³ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ö Ð ÙÒ ÐØÖ Ô ÙØ Ù Ð Ù ÙÔÔÖ Ñ Ö ÖØ Ò Ö ÕÙ Ò ÓÒØ ÒØ Ö Ð ØØ ÒÙ Öº Ñ Ñ ÖØ Ò Ö ÕÙ Ò ÔÓÙÖÖ ÒØ ØÖ ÑÔÐ º Ò ÓÒ Ò Ð³ Ô Ö ÕÙ Ò ½
20 ¾¼ À ÈÁÌÊ º ÌÊ ÁÌ Å ÆÌ Í ËÁ Æ Ä ÇÆÎÇÄÍÌÁÇÆ ÁÄÌÊ Ì ÇÆ ÌÁÇÆË ÌÊ ÆË ÊÌ Ò Ø ÓÒ º ij Ø ÓÒ ³ÙÒ Ý Ø Ñ ÐØÖ ÙÖ ÙÒ Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö ÕÙ Ò Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ù Ò Ð ³ ÒØÖ Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ν Ĥ(ν) D(R, dν) Ä ÓÒØ ÓÒ Ĥ Ø ÔÔ Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò Öغ ˆf out (ν) = ˆf in (ν)ĥ(ν) ÍÒ Ü ÑÔÐ ÒØ Ö ÒØ ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ø ÐÙ Ù ÐØÖ Ô ¹ ( ) ν Ĥ(ν) = Π 2ν c ÐØÖ ÙÔÔÖ Ñ ØÓÙØ Ð Ö ÕÙ Ò Ù Ù ν c ν c Ø ÔÔ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÙÔÙÖ Ù ÐØÖ µº ÇÒ Ö Ú Ò Ö ÙÖ Ø Ü ÑÔÐ ÔÐÙ Ø Ö Ö Ð ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ý ÕÙ º º¾ ÈÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÇÒ ÚÙ ÓÑÑ ÒØ Ø ÑÓ Ð Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ³ÙÒ Ò Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò º ÇÒ ³ Ò¹ Ø Ö Ñ ÒØ Ò ÒØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÔ ³ÙÒ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ðº ÇÒ Ø ÕÙ Ð Ô ³ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÙÒ ÙØÖ Ø Ð³ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Öº ÇÒ ÑÓÒØÖ Ð Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØ Ì ÓÖ Ñ º ËÓ ÒØ ˆf, ĝ L 2 (R, dν) ÐÓÖ Ó f = TF [ ˆf] Ø g = TF [ĝ]º TF [ ˆfĝ](t) = f(ξ)g(t ξ)dξ Ò Ø ÓÒ º ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ð ÐÓ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ : L 2 L 2 L 2 Ò Ô Ö ÇÒ ÓÒ f(t) g(t) = TF[f g](ν) = ˆf(ν)ĝ(ν) ÇÒ ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð f(ξ)g(t ξ)dξ ˆf out (ν) = f in (ν)ĥ(ν) TF [ ˆfĝ](t) = f(t) g(t) f out (t) = TF [ ˆf out ](t) = TF [ ˆf in Ĥ](t) = = f in (t) H(t) f in (ξ)h(t ξ)dξ Ó H Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÒÚ Ö Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò Öغ ÇÒ ÓÒ Ò Ø ÓÒ º ij Ø ÓÒ ³ÙÒ Ý Ø Ñ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø ÑÔ Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ù Ò Ð ³ ÒØÖ Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ t H(t) D(R, dt) f out (t) = f in (t) H(t) Ä ÓÒØ ÓÒ H Ø ÔÔ Ð Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ Ù Ý Ø Ñ º ÇÒ ÔÔ ÐÐ H Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ Ö Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ö ÙÒ ÑÔÙÐ ÓÒ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ µ Ø Ð³ Ð Ñ ÒØ Ò ÙØÖ Ù ÔÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ δ(t) H(t) = δ(ξ)h(t ξ)dξ = H(t) Ò Ð Ò Ð Ò ÒØÖ Ø ÙÒ ÑÔÙÐ ÓÒ f in (t) = δ(t) Ð Ò Ð ÓÖØ Ö Ð Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ ψ out (t) = H(t)º
21 º º ÈÊÇÈÊÁ Ì Ë Í ÈÊÇ ÍÁÌ ÇÆÎÇÄÍÌÁÇÆ ¾½ º ÈÖÓÔÖ Ø Ù ÔÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÙØÖ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø Ó Ø Ú Ø f L 2 f, g L 2 f(t) δ(t) = δ(t) f(t) = f(t) f(t) g(t) = g(t) f(t) f, g, h L 2 f(t) (g(t) h(t)) = (f(t) g(t)) h(t) = f(t) g(t) h(t) Ä Ò Ö Ø f, g L 2, α, β C f(t) (αg(t) + βh(t)) = αf(t) g(t) + βf(t) h(t) º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ù Ð Ø Ê ÔÖ ÒÓÒ Ð³ Ü ÑÔÐ Ù ÐØÖ Ô ¹ Ô Ö Ø ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ø ÇÒ ÓÒ ÔÓÙÖ Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ ( ) ν Ĥ(ν) = Π 2ν c H(t) = TF [Ĥ](t) = sin(2πν ct) πt ³Ó f in (t) = δ(t) f out (t) = sin(2πνct) πt º ÓÒ f out (t) 0 ÔÓÙÖ t < 0 ÓÒ Ö Ó Ø Ð Ò Ð Ú ÒØ ÕÙ ÐÙ ¹ Ò³ Ø Ø Ñ Ò Ò Ô Ú ÓÐ Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ù Ð Ø ÙÒ ÐØÖ Ø ÑÔ Ö Ð Ó Ø ÓÒ Ú Ö Ö H(t) = 0 t < 0º ÁÐ ÙØ ÓÒ Ú ÐÐ Ö ÕÙ H(t) = H 0 (t)h(t) Ó H 0 Ø ÙÒ Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ ÕÙ ÐÓÒÕÙ º ÇÒ ÐÓÖ Ĥ(ν) = 2Ĥ0(ν) ı 2π H 0(ν) vp[ ν ] = 2Ĥ0(ν) ı 2π lim H 0 (ξ) ǫ 0 ξ ν dξ R\[ ǫ,ǫ] º ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ Ð Ò Ø Ô ØÖ Ð ³ Ò Ö ³ÙÒ Ò Ð f Ø ÓÒÒ Ô Ö S f (ν) = ˆf(ν) 2 ÇÒ ³ ÒØ Ö Ð³ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ë Ò Ð³ Ô Ù Ø ÑÔ R f (t) = TF [S f ](t) = f(t) f( t) = f(ξ)f(ξ t)dξ Ò Ø ÓÒ ½¼º Ä ÓÒØ ÓÒ R f = f f T Ø ÔÔ Ð ÓÒØ ÓÒ ³ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ fº R f (0) = f(ξ) 2 dξ = E f
22 ¾¾ À ÈÁÌÊ º ÌÊ ÁÌ Å ÆÌ Í ËÁ Æ Ä ÇÆÎÇÄÍÌÁÇÆ ÁÄÌÊ Ì ÇÆ ÌÁÇÆË ÌÊ ÆË ÊÌ Ò ¼ Ð ÓÒØ ÓÒ ³ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ð³ Ò Ö ØÓØ Ð Ù Ò Ðº ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ f Ó Ø T ¹Ô Ö Ó ÕÙ ÐÓÖ R f (T) E f = E f = = E f f(ξ)f(ξ T)dξ f(ξ)f(ξ)dξ R f (T)/R f (0) = ØÖ Ù Ø Ð Ø ÕÙ f(t T) = f(t) tº Ò Ø Ð ÓÒØ ÓÒ ³ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÓÖÑ t R f (t)/r f (0) Ñ ÙÖ Ð Ö Ñ Ð Ò Ù Ò Ð ÓÖ Ò Ð Ú Ð Ò Ð ØÖ Ò Ð Ø Ò Ð Ø ÑÔ ³ÙÒ ÙÖ t Ö Ø Ö t t > 0 ÓÙ Ú Ò t t < 0µº R f (t)/r f (0) = Ð Ò Ð ØÖ Ò Ð Ø Ø Ð Ù Ò Ð ÓÖ Ò Ðº R f Ô ÖÑ Ø ÓÒ Ö Ô Ö Ö Ð Ö ÙÐ Ö Ø ³ÙÒ Ò Ð ÑÓØ Ö Ô Ø Øººº ÐÐ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÒØ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ö Ô Ö Ö Ö ÙÐ Ö Ø Ø ÑÓØ Ò ÙÒ Ò Ð ØÖ ÖÙ Ø º ÇÒ Ô ÙØ Ò Ö Ð Ö Ò Ö ÒØ ØÙ Ö Ð Ö Ñ Ð Ò ÒØÖ ÙÜ Ò ÙÜ ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ò Ø ÓÒ ½½º ËÓ ÒØ f, g L 2 ÙÜ Ò Ùܺ ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÓÒØ ÓÒ ³ ÒØ ÖÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÙÜ f Ø g Ð ÓÒØ ÓÒ R fg (t) = f(t) g( t) = f(ξ)g(ξ t)dξ Ò Ð Ò Ð g Ø Ò Ø Ð Ò Ð f Ö Ø Ö ³ÙÒ Ð Ô Ø ÑÔ T ÓÒ ÙÖ R fg (T) Rf (0)R g (0) = Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÒØ ÖÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÓÖÑ R fg (t)/ R f (0)R g (0) Ô ÖÑ Ø Ñ ÙÖ Ö Ð Ö Ñ Ð Ò ÙÜ Ò Ùܺ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö f Ø g Ö Ñ Ð ÒØ Ð ÔÐÙ ÐÓÖ ÕÙ g Ø ØÖ Ò Ð Ø Ù Ð Ô Ø ÑÔ T Ø Ð ÕÙ R fg (T)/ R f (0)R g (0) Ó Ø Ñ Ü Ñ Ðº º Ü ÑÔÐ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð º º½ ÅÓÝ ÒÒ Ð ÒØ ÁÐ ³ Ø Ð Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ H(t) = Π(αt), α R Ø ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ĥ(ν) = sin( πν α ) πν f out (t) = = = f in (t) H(t) t+ 2α t 2α f in (t)π(αt αξ)dξ f in (ξ)dξ ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÕÙ ÑÓÝ ÒÒ Ð Ò Ð ÙØÓÙÖ ÕÙ ÔÓ ÒØ t ÙÖ ÙÒ Ò ØÖ ± Ò ÙÔÔÖ Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÖÓÙÐ ÒØ ÙÖ ÙÒ ÙÖ Ò Ö ÙÖ α º º º¾ ÇÔØ ÕÙ ÓÙÖ Ö 2α Ð Ð Ò Ð ÍÒ Ý Ø Ñ ³ Ñ Ö Ô ÙØ ØÖ Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ĥ(ν x, ν y )º Ò ÙÒ Ñ ØÖ Ú Ö ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÔØ ÕÙ Ú Ö I out (x, y) = I in (x, y) H(x, y)
23 º º ÅÈÄ Ë ÌÊ ÁÌ Å ÆÌ Í ËÁ Æ Ä ¾ Îout(ν x, ν y ) = Îin(ν x, ν y )Ĥ(ν x, ν y ) ÇÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ³ Ò Ð Ö Ó Ö ÒØ Ð³ ÑÔÐ ØÙ Ð Ø Ö Ø ÓÒ Ø Ð Ì ÒÚ Ö Ð ÔÙÔ ÐÐ º ÈÓÙÖ ÙÒ Ó Ø ÔÓÒØÙ Ð Ò ÔÓ Ø ÓÒ (x 0, y 0 ) ÚÙ ØÖ Ú Ö ÙÒ Ð ÒØ ÐÐ ÓÒ I in (x, y) = δ(x x 0 )δ(y y 0 ) νx 2 Ĥ(ν x, ν y ) = circ + ν2 y ν c Ó circ(r) = { r 0 ÒÓÒ ν c = sin(θ max) γλ θ max Ø ÒØ Ð³ Ò Ð ÕÙ Ø Ð Ö ÝÓÒ Ù Ð³Ó Ø Ô Ö ÐРРг Ü ÓÔØ ÕÙ Ú Ð Ö ÝÓÒ Ð ÔÐÙ ÒÐ Ò Ù Ð³Ó Ø Ø Ô ÒØ ØÖ Ú Ö Ð Ð ÒØ ÐÐ λ Ø Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ³ÓÒ Ù Ö ÝÓÒ ÐÙÑ Ò ÙÜ Ù Ð³Ó Ø γ Ø Ð Ö Ò Ñ ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÐ º H(x, y) = TF [Ĥ](x, y) = J (2π x 2 + y 2 ν c ) x2 + y 2 ν c Ó J (z) Ø Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒØ ÓÒ Ðº ³Ó I out (x, y) = (δ(x x 0 )δ(y y 0 )) H(x, y) = J (2π (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ν c ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ν c Ì Ö Ø ÓÒ Ø ³ ÖÝ J r r r -0.
24 ¾ À ÈÁÌÊ º ÌÊ ÁÌ Å ÆÌ Í ËÁ Æ Ä ÇÆÎÇÄÍÌÁÇÆ ÁÄÌÊ Ì ÇÆ ÌÁÇÆË ÌÊ ÆË ÊÌ
25 Ô ØÖ ÒØ ÐÐÓÒÒ º½ ÈÖ Ò Ô Ð³ ÒØ ÐÐÓÒÒ ÓÒ ÖÓÒ f L 2 (R, dt) ÙÒ Ò Ðº ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ ÓÙ ÔÖ ÕÙ Ô ÖØÓÙØ ÓÒØ ÒÙ µ Ù Ø ÑÔ Õ٠гÓÒ Ò Ô ÙØ Ô Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø ÐÐ ÕÙ ÐÐ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ÕÙ Ó Ø ÔÓÙÖ Ò Ö Ö Ð Ò Ð Ô Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ÓÙ ÔÓÙÖ ÕÙ Ö Ö ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ ÙÒ Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ µº ÁÐ Ú ÓÒ ÐÐÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö ÙÒ Ù Ø ÒÓÑ Ö µ Ð Ò Ð ³ Ø Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ ÙÒ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ º ÇÒ Ò Ú ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ö Ð Ò Ð ÕÙ³ Ò Ø ÒØ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÙ ÔÓ Ø ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ³ Ø ÙÒ Ò Ð Ô Ø Ðµ {..., t 2, t, t 0, t, t 2,...}º ØØ Ù Ø ÔÓ ÒØ Ø ÔÔ Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ º ÈÓÙÖ ÑÔÐ Ö ÓÒ Ú ÙÔÔÓ Ö Õ٠г ÒØ ÐÐÓÒÒ Ø Ô Ö Ó ÕÙ Ø ÒØÖÓ Ù Ö T e Ð Ô Ö Ó ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ t k = kt e k Z ÓÒ ÔÓ ÔÐÙ Ð Ö Ö Ò t 0 = 0µº Ä Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ Ø ÓÒ Ð Ù Ø (f(kt e ), k Z) Õ٠гÓÒ Ô ÙØ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ô Ö Ð ØÖ ÙØ ÓÒ f e (t) = + k= Ó Ø Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ô Ò Ö f(t)δ(t kt e ) = ( ) t f(t) T e T e (t) = + k= δ(t k) º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ³ÙÒ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ ËÓ Ø f L 2 ÙÒ Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ f e ÓÒ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ø T e Ð Ô Ö Ó ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ º Ä Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò Ù Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ Ø ÓÒÒ Ô Ö ½ ˆf e (ν) = TF[f e ](ν) = T TF[f e (./T e )](ν) = ˆf(ν) (T e ν) = + k= = T e + k= ˆf(ν) δ(t e ν k) ˆf(ν) δ(ν k T e ) Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ³ÙÒ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ Ò Ø ÑÔ Ø ÙÒ Ô ØÖ Ô Ö Ó ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ô ØÖ Ð Ø ÒØ ν e = T e º ½ TF[ ] = ¾
26 ¾ À ÈÁÌÊ º À ÆÌÁÄÄÇÆÆ Ì ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ Ë ÒÒÓÒµº ËÓ Ø f ÙÒ Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ ÓÒØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ˆf Ø ÙÔÔÓÖØ ÓÖÒ º ÈÓÙÖ ÓÒÚ ÖØ Ö Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ Ò ÙÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò Ô ÖØ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ ν e = T e Ó Ø Ù Ñ Ò ÑÙÑ ÓÙ Ð Ð Ö ÕÙ Ò ÓÙÔÙÖ ν c ˆfº Ä Ö ÕÙ Ò ÓÙÔÙÖ Ø ÒØ Ò ÓÑÑ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ö Ð ÔÓ Ø ν c Ø Ð ÕÙ ˆf(ν) = 0 ν > ν c Ø ν < ν c º ÓÙÐ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ³ÙÒ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ ˆf e (ν) = ν e + k= ˆf(ν) δ(ν kν e ) Ò Ð ÑÓØ ˆf(ν) ÕÙ Ø Ø ÐÐ 2ν c µ Ø Ö ÔÖÓ Ù Ø Ô Ö Ó ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ν e ÙÖ Ð³ Ü Ö ÕÙ Ò º ν e > 2ν c Ð Ý ÙÒ Ú ÒØÖ Ð Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÑÓØ ÓÒ ÙÒ ÙÖ¹ ÒØ ÐÐÓÒÒ º ν e = 2ν c Ð ÑÓØ ³ Ò Ò ÒØ Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÙÒ ÔÖ Ð ÙØÖ ÓÒ ÙÒ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ö Ø ÕÙ º ν e < 2ν c Ð ÑÓØ ÚÓÒØ ÙÔ ÖÔÓ Ö Ð ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÑÓØ ÙÖ Ð ÞÓÒ Ö ÓÙÚÖ Ñ ÒØ Ð Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú ÔÖÓ Ù Ö ÒØ Ö Ö Ò Ô ØÖ Ð ˆf Ò Ö ÔÐÙ ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ ÜØÖ Ø Ð ˆfe ÓÒ ÓÒ Ô Ö Ù Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÇÒ ÙÒ ÓÙ ¹ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ô ØÖ Ð ÒÓÖ ÔÔ Ð Ö ÓÙÚÖ Ñ ÒØ Ô ØÖ Ðµº Ò Ð ÔÖ Ø ÕÙ ÓÒ Ò Ô ÙØ Ô ÒØ ÐÐÓÒÒ ÙÒ Ò Ð Ú ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ò ³ ÒØ ÐÐÓÒ º ËÓ Ø N N Ð ÒÓÑ Ö ³ ÒØ ÐÐÓÒ Ø Ú Ñ ÒØ ÙØ Ð º ÇÒ ÐÓÖ ( ) νe t f e (t) = f(t) (ν e t)π N ³Ó ˆf e (ν) = ˆf(ν) (T e ν) sin(πnt eν) πν ÍÒ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ò ÔÖÓÚÓÕÙ ÓÒ ÙÒ ØØ ÒÙ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÙÜ ÓÖ ÑÓØ ˆf ÓÒ ÙÔÔÓ ØÓÙ ÓÙÖ ÕÙ ÐÐ ¹ Ø ÓÖÒ µ ØØ ÒÙ Ø ÓÒ ÕÙ Ô ÙØ ÔÓÖØ Ö ÙÖ ØÖ Ö Ò Ô ÖØ Ù ÑÓØ Ð ÒÓÑ Ö ³ ÒØ ÐÐÓÒ Ø Ð º º ÒØ ÐÐÓÒÒ Ö Ð Ø ÒØ ÐÐÓÒÒ ÙÖ¹ ÒØ Ö Ø ÙÖ ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ f ÔÓÖØ Ô Ö ÙÒ ÙÔÔÓÖØ Ô Ý ÕÙ ÓÒ ÓÙ Ø ÕÙ ÓÒ Ð ¹ ØÖ ÕÙ ºººµ Õ٠гÓÒ Ö ÒÙÑ Ö Öº ÇÒ Ó Ø ÓÒ ÔÓ Ö ³ÙÒ Ý Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ò Ðº È Ý ¹ ÕÙ Ñ ÒØ Ð Ø ÑÔÓ Ð Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ø Ð Ý Ø Ñ ÕÙ Ó Ø Ô Ð Ñ ÙÖ Ö Ò Ø ÒØ Ò Ñ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ Ù Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð Ø ÑÔÓ Ð ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ý Ø Ñ Ô Ý ÕÙ ÓÒØ Ð Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ Ó Ø δ Ñ ÙÐ Ñ ÒØ Ý Ø Ñ ÕÙ ÒØ Ö ÒØ Ð Ò Ð ÙÖ ÙÒ Ò ØÖ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ú Ð ÔÓÒ Ö Ø ÓÒ ³ÙÒ Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒ ÐÐ Hº Ä Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ Ø ÐÓÖ f e (t) = ν e (f(t) H(t)) (ν e t) ÇÒ ÓÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ð ˆf e (ν) = (T e ν) ( ˆf(ν)Ĥ(ν)) ³ Ø ÓÒ Ð ÑÓØ ˆf ÑÓ ÙÐ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ù Ý Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ô Ø º Ü ÑÔÐ Ð Ý Ø Ñ ÒØ Ö Ð Ò Ð ÙÖ ÙÒ Ò ØÖ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ τ ÓÒ H(t) = ( ) t τ Π τ Ø ÓÒ Ä Ö ÕÙ Ò ÙÜ ÓÖ ÑÓØ ˆf ÓÒØ ØØ ÒÙ º Ĥ(ν) = sin(πντ) πντ
27 º º ÉÍ ÆÌÁ Á ÌÁÇÆ ³ÍÆ ËÁ Æ Ä ¾ º ÉÙ ÒØ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ò Ð ÍÒ ÙØÖ ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ ÙÒ Ò Ð Ø ³ ÔÔÖÓ Ö Ð ÓÒØ ÓÒ t f(t) Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ò Ð Ö ³ Ø Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒº ËÓ Ø q 0 Ð Ô ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ú Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ f Ø f q (t) Ø ÐÐ ÕÙ f q (t) = nq (n /2)q f(t) < (n + /2)qº º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø Ò ³ Ò ÐÝ Ö ÙÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ ÓÒ Ó Ò ÔÓÙÚÓ Ö Ö Ð Ö ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Öº ËÓ Ø f D(R, dt) ÙÒ Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ ÙÔÔÓÖØ ÓÖÒ º È Ö Ò Ø ÓÒ ÓÒ f e (t) = + k= f(kt e )δ(t kt e ) ÇÖ ÓÑÑ Ð ÙÔÔÓÖØ Ù Ò Ð Ø ÓÖÒ Ð Ü Ø T c Ø Ð ÕÙ t > T c Ø t < T c f(t) = 0º ÓÒ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ ÔÖ ÒØ Ö Ù Ø f e (t) = +N/2 k= N/2 f(kt e )δ(t kt e ) Ó N Ø Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ò Ð ÙÔÔÓÖØ f 2Tc N = ÇÒ ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò T e ˆf e (ν) = = +N/2 k= N/2 +N/2 k= N/2 f(kt e ) f(kt e )e ı2πkνte δ(t kt e )e ı2πνt dt ÈÓÙÖ ÕÙ Ð Ò Ø ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø ³ÙÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ ÓÒÓÖ Ú Ð³ Ò¹ Ø ÐÐÓÒÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ ÓÒ ÔÓ Ò Ø ÓÒ ½¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø µº ËÓ Ø f(t) = +N/2 k= N/2 f kδ(t kt e ) ÙÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ º Ä ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø Ò Ð Ø ˆf(ν) = ˆf m = +N/2 m= N/2 +N/2 k= N/2 ˆf m δ(ν mν e ) f k e ı2πmk/n Ä Ô Ö Ó Ð³ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÕÙ Ø Ó Ø p = νe N Ò Ô Ô Ö Ö ³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ò Ð Ø ÑÔÓÖ Ðº Ë ˆf Ø ÙÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò Ö ÕÙ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø ÒÚ Ö Ø ÕÙ ÙÖ f(t) = +N/2 n= N/2 f n δ(t nt e ) f n = N N/2 k= N/2 ˆf k e ı2πnk/n
28 ¾ À ÈÁÌÊ º À ÆÌÁÄÄÇÆÆ Ä³ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ù Ô ØÖ Ò Ù ÒØ ÙÒ Ô Ö Ó Ø Ù Ò Ð Ö Ø Ö ÔÖÓÕÙ Ù Ø Õ٠г Ò¹ Ø ÐÐÓÒÒ Ù Ò Ð Ò Ù Ø ÙÒ Ô Ö Ó Ø Ò Ð Ô ØÖ µ ÓÒ Ô ÙØ ØÖ Ò Ð Ø Ö Ð ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø ˆf m = f n = N +N k=0 f k e ı2πmk/n N ˆf k e ı2πnk/n k=0 Ð ÙØ Ù Ø ÐÓÖ Ö ØØ ÒØ ÓÒ ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò ³ Ò ÙÔ Ö ÙÖ N/2 ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ Ö ¹ ÕÙ Ò Ò Ø Ú ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÐØÖ µº Ò Ð ÔÖ Ø ÕÙ Ð ÐÙÐ ³ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø Ò³ Ø Ô Ù Ð ÓÑÑ ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ ÕÙ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö ÙÓÙÔ Ø ÑÔ º ÈÓÙÖ Ö ÓÙ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÙØ Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ê Ô Ìµº
Ê ÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ö Ø ØÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ï ÙØ Ð Ø ÙÐØ ÆÓØÖ ¹ Ñ Ä È Ü Æ ÑÙÖ Ð ÕÙ Û ÙØ Ð Ò Óº ÙÒ Ôº º Ê ÙÑ º ij ÑÔÓÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ò³ Ø ÔÐÙ ÑÓÒØÖ Öº Ò Ø Ð Ó Ü ³ÙÒ ØÝÔ
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÙÐØ Ë Ò ÓÒÓÑ ÕÙ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ÅÈÁÊÁÉÍ Ë Å ÆÁËÅ Ë ÌÊ ÆËÅÁËËÁÇÆ Ë ÀÇ Ë ÇÆ Å ÆÌ Í Ì ÆÇÆ ÇÆ Å ÆÌ Í Î ÊË Ä Ë Å Ê À Ë ÇÍÊËÁ ÊË Ì ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ø ØÖ ÓØ ÙÖ Ä³ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÈÖ ÒØ
Plus en détailÎ ÐÙ Ø Ê Ñ ÙÖ Ô Ø Ð ÓÒÓÑ ÕÙ µ Ð Ê ÓÙÐ Ø ² Ì ÖÖÝ ÊÓÒ ÐÐ ÖÓÙÔ Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ö Ø ÄÝÓÒÒ Ñ Ð ÐºÖ ÓÙÐ ØÖ ØÐÝÓÒÒ º Ö Ø ÖÖݺÖÓÒ ÐÐ Ö ØÐÝÓÒÒ º Ö ÈÐ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÒØ ÓÒ ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø Î ÐÙ ¹ Ø¹Ê Ä Ü
Plus en détailÊ ÔÔÓÖØ Ø Ù ÐÐ ÙÑ Î Ð ÓÒ ¾ Ù Ò ¾¼¼¼ Ì Ð Ñ Ø Ö Á ÓÖ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ½ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ¾ Ä ÓÑ Ò ³ Ø Ú Ø ¾º½ Ñ Ò ØÖ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ö Ø ØÙÖ Ö ÙÜ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º
Plus en détailÏ Í Å Ò Ò ÁÒØ Ö¹Ë Ø Ò ÐÝ Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÍØ Ð Ø ÙÖ ÁÑÔ Ø ÁÑÑ Ø ÁÒØ Ö Ø Ï Í Å Ò Ò Í Ö Ú ÓÙÖ Ò ÐÝ Û Ø ÁÑÑ Ø ÁÑÔ Ø º Å Ð ½ ¾µ ź Ì Ö ½µ Ⱥ ÈÓÒ Ð Ø ½µ ½µ ÄÁÊÅÅ ÍÅÊ ÆÊË ¼ ½ ½ ÊÙ ¾ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü Ö Ò ¾µ Ä ÓÖ ØÓ
Plus en détailÓÐ ÓØÓÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ Ð³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Í Ê ÁÅ ÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÓÒÒ Ò ÓÙÑ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ò ÓÒ ÔØÙ ÐРг ³ÓÒØÓÐÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö ÔØ ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ù ÓÚ Ù Ð ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ð Å Ö ¾¼¼ ÔÓÙÖ
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø ÅÓÒØÖ Ð ÍÒ ÑÓ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ñ Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ Ñ ÑÓ Ö ³ ÒØÖ ÔÖ Ô Ö ÇÐ Ú Ö Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÙÐØ ÖØ Ø Ò Ì ÔÖ ÒØ Ð ÙÐØ ØÙ ÙÔ Ö ÙÖ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö È
Plus en détailÌ ÖÖÝ ÅÓÝ ÙÜ ÖÓÙÔ Å Ë ÂÙ ÐÐ Ø ¾¼¼¾ Ì Ò ÕÙ ÑÙÐØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÙØ ÓÒ Ð³ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ò ÙÒ Ò ÐÓ Ø ÕÙ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ù ØÖ ÓÖ Ø Ö Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º Ö Ñ ¹ Ö Ó¹ Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º ËÓÔ ³ ÑÓÙÖ ÈÖÓ º ÖÒ Ö Ô Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓØÓÖ
Plus en détailVérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition
Université defranche-comté École doctorale Sciences Pour l Ingénieur et Microtechniques U.F.R. des Sciences et Techniques Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition THÈSE présentée
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø Ö ÒÓ Ê Ð ÌÓÙÖ ÓÐ ÓØÓÖ Ð Ë ÒØ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ ÒÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ö ¾¼¼¾¹¾¼¼ BLOIS CHINON ÌÀ Ë ÈÇÍÊ Ç Ì ÆÁÊ Ä Ê Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÌÇÍÊË ÔÐ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö Æ ÓÐ Ä ÊÇ À Ð Ñ Ö
Plus en détailP etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux http://www.lab ri.fr/ b ousquet
Ô Ø ÛÓÖ È Ø Ø ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú Å Ö ÐÐ ÓÙ Õ٠عŠÐÓÙ ÆÊË Ä ÊÁ ÓÖ ÙÜ ØØÔ»»ÛÛÛºÐ Ö º Ö» ÓÙ ÕÙ Ø Ä ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú ººº ³ ØÕÙÓ ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÑ ÒØ ÇÅÈÌ Ê κ ij ÖØ ÓÑÔØ Ö Ô Ðغ Ø Ð ÖÐ ÒÓÑ Ö Ö Ö ÒÓÑ Ö Ö ÒÓÑ
Plus en détail¹ËÁÊ ¹ Ê ÔÔÓÖØ Ø ÈÖÓ Ø Ä Ò Ø Ê Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ó Ò Æ Ó Ò Ö Ñ ÒØ ÀÙ ÖØ Æ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼¾ ¾ Ì Ð Å Ø Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ Ø Ø Ð³ ÖØ ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Plus en détailÇÆ ÈÌÁÇÆ Ì Ê ÄÁË ÌÁÇÆ ³ÍÆ ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ËÌÁÇÆ Ê Ë Í Ë ÇÅÈÇË ÆÌË Ê È ÊÌÁË Ô Ö ÅÓ Ñ Ö Þ Ñ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö Ñ ØÖ Ò ÅºËºµ ÍÄÌ Ë Ë Á Æ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ËÀ Ê ÊÇÇÃ
Plus en détailÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ò Â Ú Ü Ò Ö Å ½ ÔØ Ñ Ö ¾¼½ Ì Ñ Ø Ö ½ ÆÓØ ÓÙÖ ¾ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º½º½ À Ó ÏÓÖ º º º
Plus en détailÄ Ù Ù ÊÇÇÌ Ö ÔÓÙÖ Ä ÒÙÜ Ö ÙÑ Ö º ÙÑ Ä ÒÙܺ ͺÇÖ Ö º ÙÑ Ö Ò ÜºÓÖ Î Ö ÓÒ ¾º ¾½ Ë ÔØ Ñ Ö ½ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÈÖ Ñ ÙÐ ½ ½º½ À ØÓ Ö Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Plus en détailz x h ÙÖ ½ ÓÑØÖ Ù ÔÖÓÐѺ ½º ÁØÖÓÙØÓ ÁÐ Ø ÓÙ ÕÙ Ù ÓÙ Ó ÔÖÓÖ ÓØ Ý ØÑ Æ ÔÓÙÖ ÔÖ Ð³Ö ÚÙ Ð Ó ÂÖÐ ÂÖÐ ½½µ ÓØ ÐÖÑØ ÙØÐ ÔÓÙÖ ÑÓÖØÖ Ð ÐÔÓØ Ð ÔÓÖØ Ù ÔÖÓÖ ÓØ Ú ÓÑÑ Ý ØÑ ÔÖÓØØÓ ÓØÖ ÚÓÖ ÔÖ ÜÑÔÐ ÖÑ ² ÇÙÑÖ ½ ÓÙ ÐÙ ²
Plus en détailÄ ÇÊ ÌÇÁÊ ÈÀ ËÁÉÍ ÌÀ ÇÊÁÉÍ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÈÁ ÊÊ ÌÅ ÊÁ ÍÊÁ ij ÇÄ ÆÇÊÅ Ä ËÍÈ ÊÁ ÍÊ ÌÀ Ë Ç ÌÇÊ Ì Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁË ËÔ Ð Ø ÈÀ ËÁÉÍ ÌÀ ÇÊÁÉÍ Ë Ö ÄÇÊ ÆË ÔÖ ÒØ Ô Ö Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁË ÔÓÙÖÓ Ø Ò ÖÐ Ö ÇÀ Ê Æ ÌÄÇ
Plus en détailSTATUTS DE L ASSOCIATION. Association régie par par la Loi du 1 er juillet 1901
STATUTS DE L ASSOCIATION Association régie par par la Loi du 1 er juillet 1901 Statuts adoptés par l Assemblée Générale Extraordinaire du dimanche 1 er avril 2007 ËØ ØÙØ Ð³ Ó Ø ÓÒ ÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö¹ ÒÓÑ Ò Ø
Plus en détail2 20 e Journées Bases de Données Avancées (BDA 2004). 1. Introduction
arxiv:0704.3501v1 [cs.db] 26 Apr 2007 Conception d un banc d essais décisionnel : ÖÓÑ º ÖÑÓÒØÙÒ Ú¹ÐÝÓÒ¾º Ö Jérôme Darmont Fadila Bentayeb Omar Boussaïd ERIC Université Lumière Lyon 2 5 avenue Pierre Mendès-France
Plus en détailDELIBERATION N CP 13-639
CONSEIL REGIONAL D ILE DE FRANCE 1 CP 13-639 DELIBERATION N CP 13-639 DU 17 OCTOBRE 2013 La politique sociale régionale La politique régionale pour les personnes en situation de handicap Cinquième affectation
Plus en détailCondition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½
Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Patrick Ciarlet et Vivette Girault ciarlet@ensta.fr & girault@ann.jussieu.fr ENSTA & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6 Condition
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailCommande Prédictive. J. P. Corriou. LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy. e-mail : corriou@ensic.inpl-nancy.fr
Commande Prédictive J P Corriou LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy e-mail : corriou@ensicinpl-nancyfr Ý Consigne Trajectoire de référence Ý Ö Réponse Ý Horizon de prédiction À Ô ¹ Ù ¹ Temps Entrée Ù Horizon de commande
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailDécomposition spectrale pour le son musical. Unité d ouverture Science et Musique. Laurent Mazliak. Université Paris VI - L2-2010/2011
Décomposition spectrale pour le son musical Unité d ouverture Science et Musique Université Paris VI - L - 1/11 Laurent Mazliak 15 février 11 Chapitre 1 Théorie de Fourier élémentaire Un des outils fondamentaux
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailIntroduction. aux équations différentielles. et aux dérivées partielles
Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailASR1 TD7 : Un microprocesseur RISC 16 bits
{Â Ö Ñ º ØÖ Ý,È ØÖ ºÄÓ Ù,Æ ÓÐ ºÎ ÝÖ Ø¹ ÖÚ ÐÐÓÒ} Ò ¹ÐÝÓÒº Ö ØØÔ»»Ô Ö Óº Ò ¹ÐÝÓÒº Ö» Ö Ñ º ØÖ Ý»¼ Ö½» ASR1 TD7 : Un microprocesseur RISC 16 bits 13, 20 et 27 novembre 2006 Présentation générale On choisit
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailUniversité de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version 2.0. 4 mars 2014
Université de Caen LMNO Relativité générale C. LONGUEMARE Applications version.0 4 mars 014 Plan 1. Rappels de dynamique classique La force de Coulomb Le principe de moindre action : lagrangien, hamiltonien
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.
L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailSharp interface limit of an Allen-Cahn equation with conservation of the mass
Sharp interface limit of an Allen-Cahn equation with conservation of the mass Matthieu Alfaro and Pierre Alifrangis, I3M, Université de Montpellier 2, CC051, Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailCorrection de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (
Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et changements de variables
Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année http://wwwisimafr/leborgne Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailRaisonnement distribué dans un environnement de type Pair-à-Pair
Actes JNPC 04 Raisonnement distribué dans un environnement de type Pair-à-Pair P. Adjiman P. Chatalic F. Goasdoué M.-C. Rousset L. Simon adjiman,chatalic,fg,mcr,simon @lri.fr Résumé Dans un système d inférence
Plus en détailTD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires
TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver
Plus en détailTraitement numérique du signal. Première partie : Bases mathématiques
1 Traitement numérique du signal. Première partie : Bases mathématiques J.Idier H. Piet-Lahanier G. Le Besnerais F. Champagnat Première version du document : 1993 Date de la dernière remise à jour : mars
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailANNALES SCIENTIFIQUES DE L É.N.S.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L É.N.S. Y. KATZNELSON Sur les algèbres dont les éléments non négatifs admettent des racines carrées Annales scientifiques de l É.N.S. 3 e série, tome 77, n o 2 (1960), p. 167-174.
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailLicence de Mathématiques 3
Faculté des sciences et techniques Département de mathématiques 2004-2005 Licence de Mathématiques 3 M62 : Fonctions réelles de plusieurs variables Laurent Guillopé www.math.sciences.univ-nantes.fr/~guillope/m62/
Plus en détailThéorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles
Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable
Plus en détailMATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA
MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option
Plus en détailCe document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.
Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté,
Plus en détailCours d automatique, Approche fréquentielle Licence de Physique et Applications. Luc Jaulin
Cours d automatique, Approche fréquentielle Licence de Physique et Applications Luc Jaulin 29 janvier 2010 2 Table des matières 1 Introduction 7 1.1 Quelquesdéfinitionsabstraites.........................
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailUNIVERSITE DE TECHNOLOGIE DE COMPIEGNE. Le Traitement du Signal aléatoire
UNIVERSITE DE TECHNOLOGIE DE COMPIEGNE Le Traitement du Signal aléatoire SY06 partie II - Printemps 2009 P.Simard 12 mai 2009 2 Table des matières 1 Besoins de modèles aléatoires pour les signaux 5 2 Principaux
Plus en détailMéthodes Mathématiques Master 1 Mécanique-Physique & Ingénierie Aix-Marseille Université, 2014-2015. Uwe Ehrenstein
Méthodes Mathématiques Master Mécanique-Physique & Ingénierie Aix-Marseille Université, 204-205 Uwe Ehrenstein 25 novembre 204 Table des matières Fonctions d une variable complexe 3. Fonction analytique
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailData first, ou comment piloter l analyse par les données
CNRS & Patrick Flandrin École Normale Supérieure de Lyon Data first, ou comment piloter l analyse par les données M2 de Physique Cours 2012-2013 1 Table des matières 1 Introduction 4 2 Rappel sur les analyses
Plus en détailLICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER
LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détail%$&$#' "!# $! ## BD0>@6,;2106>+1:+B2.6;;/>0.2106>9*27+2.1/+BB+:/@6>.106>>+;+>1:+>6;*,+/EA,6.+77/7A,6@+7706>>+B79 561,+76.08189:+;61,+8.6>6;0+976>1:+?+>/+7@6,1+;+>1:8A+>:2>1+7:+B21+.C>6B630+:+ 1+.C>6B630=/+FGD+7A06>>23+8.6>6;0=/++1A6B010=/+:2>7B+.)*+,+7A2.+;+1+>:2>3+,B+A61+>10+B
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détail1348 Louvain-la-Neuve TVA BE0428.750.985 RPM Nivelles
I I I S S C C 1348 Louvain-la-Neuve TVA BE0428.750.985 RPM Nivelles Louvain-la-Neuve, le 13 avril 2015 Cher Actionnaire, Concerne: Assemblée Générale Ordinaire et Spéciale du 13 mai 2015 à 10h00 Nous avons
Plus en détailSystèmes de communications numériques 2
Systèmes de Communications Numériques Philippe Ciuciu, Christophe Vignat Laboratoire des Signaux et Systèmes cnrs supélec ups supélec, Plateau de Moulon, 9119 Gif-sur-Yvette ciuciu@lss.supelec.fr Université
Plus en détailFonctions Analytiques
5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,
Plus en détailLe Processus Unifié de Rational
Le Processus Unifié de Rational Laurent Henocque http://laurent.henocque.free.fr/ Enseignant Chercheur ESIL/INFO France http://laurent.henocque.perso.esil.univmed.fr/ mis à jour en Novembre 2006 Licence
Plus en détailALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE. SMI AlgoII
ALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE 1 2 Comment choisir entre différents algorithmes pour résoudre un même problème? Plusieurs critères de choix : Exactitude Simplicité Efficacité (but de ce chapitre)
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailDécomposition de Föllmer-Schweizer. explicite d un passif d assurance vie. au moyen du calcul de Malliavin
Décomposition de Föllmer-Schweizer explicite d un passif d assurance vie au moyen du calcul de Malliavin Mémoire présenté par Sébastien de Valeriola en vue de l obtention du master en sciences actuarielles
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailProduits d espaces mesurés
Chapitre 7 Produits d espaces mesurés 7.1 Motivation Au chapitre 2, on a introduit la mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens de R (notée B(R)), ce qui nous a permis d exprimer la notion de longueur
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble
Plus en détailCHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons
Plus en détailFonctions holomorphes
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions holomorphes Christine Laurent-Thiébaut Ceci est le second volet de l étude des fonctions d une variable complexe, faisant suite au chapitre
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailTHÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION.
THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THIERRY GALLAY Transcrit par Tancrède LEPOINT 29 UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER, GRENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire...........................................
Plus en détailMécanique du Point Matériel
LYCEE FAIDHERBE LILLE ANNEE SCOLAIRE 2010-2011 SUP PCSI2 JFA. Bange Mécanique du Point Matériel Plan A. Formulaire 1. Cinématique du point matériel 2. Dynamique du point matériel 3. Travail, énergie 4.
Plus en détailIntégrale et primitives
Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition
Plus en détailCHAPITRE. Le mouvement en deux dimensions CORRIGÉ DES EXERCICES
CHAPITRE Le mouvement en deux dimensions CORRIGÉ DES EXERCICES Exercices. Les vecteurs du mouvement SECTION. 5. Une montgolfière, initialement au repos, se déplace à vitesse constante. En 5 min, elle
Plus en détailCHAPITRE XIII : Les circuits à courant alternatif : déphasage, représentation de Fresnel, phaseurs et réactance.
XIII. 1 CHAPITRE XIII : Les circuits à courant alternatif : déphasage, représentation de Fresnel, phaseurs et réactance. Dans les chapitres précédents nous avons examiné des circuits qui comportaient différentes
Plus en détailErratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2
Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page
Plus en détailC1 : Fonctions de plusieurs variables
1er semestre 2012/13 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l adresse http://www.iecn.u-nancy.fr/~bertram/, contiennent les définitions
Plus en détailIntégration sur des espaces produits
Chapitre 5 Intégration sur des espaces produits 5.1 Produit de deux mesures Étant donnés deux espaces mesurés (Ω 1, F 1, µ 1 ) et (Ω 2, F 1, µ 2 ), le but de cette section est de construire une mesure
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détail