Equations cartésiennes. Fiche(1)

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1 Fiche(1) Le tableau suivant indique, dans la case située ligne l et colonne c, l altitude (exprimée en centaines de mètres) au point dont l abscisse est c et l ordonnée l : par exemple, l altitude du point d abscisse 2 et d ordonnée 4 est de 700 mètres. Ordonnée Abscisse Représenter sur le graphique suivant les 16 points du tableau en adoptant une couleur différente par altitude (exemple : les points situés à 800 m d altitude seront en rouge). Caractériser les points qui ont même abscisse, ou même ordonnées, ou même côte.

2 Fiche(2) Exercice 1 A l aide de la figure ci-contre déterminer les coordonnées des points suivants : A B C D C(? ;?; -3) A(-2 ;?;?) Exercice 2 Dans l espace muni d un repère orthonormé (O ;,, ), on considère les points A(-1 ; 4 ; -3), B(2 ; -2 ; 3), C(1 ; 0 ; 1), D(1 ; -2 ; 1) et E(-1 ; 3 ; -4). 1. Les points A, B et C sont-ils alignés? 2. Montrer que les points A, D et E déterminent un plan. 3. Les points A, C, D et E sont-ils coplanaires? Qu en est-il des points A, B, C, D et E? 4. Déterminer les coordonnées du point tel que. 5. Montrer que la droite (CH) est perpendiculaire au plan (ADE). k i j B(? ;?; -4) D(3 ;?;?) Exercice 3 Dans un repère (O;,, ), on considère les points A( 3;1; 1), B( 2;0;1), C( 1; 2 ; 0) et D( 2; 1;2). 1. Les points A, B et C sont-ils alignés? 2. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires? Exercice 4 Le plan P a pour équation 1. Donner un vecteur normal à P. 2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection de P avec l axe des abscisses (Ox). 3. Déterminer les coordonnées des points B et C, intersections respectives de P avec les axes (Oy) et (Oz). 4. Dans un repère de l espace, placer les points A, B et C. Tracer les droites (AB), (AC) et (BC), traces du plan P sur les plans de coordonnées. Exercice 5 Dans un repère (O ;,, ), on considère les points A(-3 ; 4 ; 6), B(2 ; 3 ; 1), C(1 ; 3 ; 3) et D(6 ; 2 ; -2). 1. Les vecteurs et sont-ils colinéaires? 2. Justifier que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 3. On considère le plan P d équation (E) et le point F(1 ; 1 ; 1) a. Vérifier que A, B, C et D appartiennent à P. b. Déterminer les coordonnées du point S tel que A, B et S soient alignés et. c. Déterminer les coordonnées du point T de P tel que O, F et P soient alignés.

3 Fiche(3) Exercice 1 Déterminer un vecteur normal pour chacun des plans suivants : : : : : Exercice 2 On considère les points A(2 ; 1 ; 1), B(3 ; 0 ; 2) et C (0 ; 2 ; 1) On cherche à déterminer une équation du plan (ABC) de la forme, par deux méthode différentes. 1. Calculer les coordonnées des vecteurs et. Justifier que les points A, B et C définissent un plan (ABC) 2. Utilisation d un vecteur normal a. Déterminer un vecteur normal ( ) au plan (ABC). On pourra traduire le fait que est orthogonal à et à et choisir b. En déduire une équation du plan (ABC) 3. Traduction de l appartenance des trois points En écrivant que chacun des points A, B et C appartiennent au plan (ABC), déterminer une équation de ce plan. On sera amené à choisir une valeur pour l un des nombres,, ou. Exercice 3 Déterminer une équation du plan P passant par le point A et de vecteur normal a. A(2 ; -3 ; 5) et ( ) b. A(4 ; -2 ; 1) et ( ) c. A(1 ; 1 ; 0) et ( ) Exercice 4 On considère le plan d équation 1. Donner un vecteur normal au plan P 2. Déterminer une équation du plan P parallèle au plan P passant par le point B(6 ; -4 ; -4) Exercice 5 1. Lire les coordonnées des points A, B, C, D, E et F dans le repère de la figure ci-contre. 2. Déterminer les équations des plans i. P1 parallèle à (Ox) passant par B et C ; ii. P2 parallèle à (Oy) passant par A et E ; iii. P3 parallèle à (Oz) passant par B et F. 3. Déterminer les équations des plans (ABC), (ADE), (CFB) et (FED).

4 L espace est muni d un repère orthonormé (O ;,, ). On considère le solide OCBADFE dont les sommets ont pour coordonnées : A(6; 0; 0), B(3; 0; 2), C(0; 0; 2), D(3; 3; 0), E(0; 3; 2), F(0; 3; 0). Le point M est dans le plan (BCE) et le point N dans le plan (DFE). La figure sera complétée au fur et à mesure des questions : Fiche(4) 1. Lecture graphique a. déterminer graphiquement les coordonnées des points M et N. b. Tracer la droite (MN). c. Représenter le point P de coordonnées (4; 2; 5). d. Soit L l intersection de (AB) et (OC). Lire les coordonnées de L. e. Soit K l intersection de (AD) et (OF). Lire les coordonnées de K. 2. Etude du triangle LAK a. Calculer les coordonnées de K, en écrivant que O, F et K sont alignés puis que A,D et K sont alignés. b. Calculer les coordonnées de L, en écrivant que O,C et L sont alignés puis que A,B et L sont alignés. c. Démontrer que E est le milieu de [LK]. d. Quelle est la nature du triangle LAK? 3. Etude de la droite (MN) a. Montrer que (CM) et (BE) sont perpendiculaires. Que représente (CM) pour le triangle BCE? b. Les vecteurs et sont-ils colinéaires? c. Montrer que les points A, D, M et N sont coplanaires. d. Déduire des deux questions précédentes que (AD) et (MN) se coupent en un point I. e. Les droites (AB) et (MN) se coupent-elles? Justifier. 4. Etude de la section BDFC a. Démontrer que BDFC est un rectangle. b. Les points B, C, F et E sont-ils coplanaires? c. Les vecteurs, et sont-ils coplanaires? d. Que peut-on dire de la droite (LK) par rapport au plan (BCF)?

5 Corrigé L espace est muni d un repère orthonormé (O ;,, ). On considère le solide OCBADFE dont les sommets ont pour coordonnées : A(6; 0; 0), B(3; 0; 2), C(0; 0; 2), D(3; 3; 0), E(0; 3; 2), F(0; 3; 0). Le point M est dans le plan (BCE) et le point N dans le plan (DFE). La figure sera complétée au fur et à mesure des questions : Fiche(4) 1. Lecture graphique a. déterminer graphiquement les coordonnées des points M et N. b. Tracer la droite (MN). c. Représenter le point P de coordonnées (4; 2; 5). d. Soit L l intersection de (AB) et (OC). Lire les coordonnées de L. e. Soit K l intersection de (AD) et (OF). Lire les coordonnées de K. M(1 ; 1 ; 2) et N(1 ; 3 ; 1) L(0 ; 0 ; 4) K(0 ; 6 ; 0) 2. Etude du triangle LAK a. Calculer les coordonnées de K, en écrivant que O, F et K sont alignés puis que A, D et K sont alignés. O, F et K sont alignés équivaut à et sont colinéaires On en déduit qu il existe un réel tel que Autrement dit { et { d où { A, D et K sont alignés équivaut à et sont colinéaires On en déduit qu il existe un réel tel que Autrement dit { et { d où { On obtient donc que K(0 ; 6 ; 0) b. Calculer les coordonnées de L, en écrivant que O, C et L sont alignés puis que A, B et L sont alignés. O, C et L sont alignés équivaut à et sont colinéaires On en déduit qu il existe un réel tel que Autrement dit { et { d où { A, B et L sont alignés équivaut à et sont colinéaires On en déduit qu il existe un réel tel que Autrement dit { et { d où { On obtient donc que K(0 ; 0 ; 4) c. Démontrer que E est le milieu de [LK]. Le milieu de [LK] a pour coordonnées : ; et Ce sont les coordonnées de E donc E est le milieu de [LK] d. Quelle est la nature du triangle LAK? On calcule les longueurs : LA² = ( KA² = ( Et LK² = ( On en déduit que le triangle LAK est équilatéral. 3. Etude de la droite (MN) a. Montrer que (CM) et (BE) sont perpendiculaires. Que représente (CM) pour le triangle BCE? On a ( )et ( ) donc. On en déduit que (CM) et (BE) sont orthogonale. Comme ces deux droites sont dans le même plan (BCE), elles sont perpendiculaires et (CM) est la hauteur issue de C dans le triangle BCE.

6 b. Les vecteurs et sont-ils colinéaires? On a ( )et ( ), on cherche donc à résoudre le système {. Ce système n a pas de solution donc les vecteurs et ne sont pas colinéaires. c. Montrer que les points A, D, M et N sont coplanaires. On a ( ) ; ( )et ( ). On cherche deux réels a et b tels que. Autrement dit, { En résolvant le système { on obtient { On vérifie dans,. On a donc, les vecteurs ; et sont coplanaires donc les points A, D, M et N sont coplanaires. d. Déduire des deux questions précédentes que (AD) et (MN) se coupent en un point I. A, D, M et N sont coplanaires donc les droites (AD) et (MN) sont parallèles ou sécantes. Comme les vecteurs et ne sont pas colinéaires, les droites (AD) et (MN) ne sont pas parallèles ; elles sont donc sécantes. e. Les droites (AB) et (MN) se coupent-elles? Justifier. On a ( ) ; ( )et ( ). On cherche deux réels a et b tels que. Autrement dit, { En résolvant le système { on obtient { On vérifie dans,. n est pas vérifiée donc le système n a pas de solution et les vecteurs ; et ne sont pas coplanaires. On en déduit donc les droites (AB) et (MN) ne sont pas coplanaires, elles ne peuvent donc pas être sécantes. 4. Etude de la section BDFC a. Démontrer que BDFC est un rectangle. On a ( ) ; ( ) donc et BDFC est un parallélogramme. De plus, ( ) donc donc (BD) et (BC) sont perpendiculaires ; on en déduit que BDFC est un rectangle. b. Les points B, C, F et E sont-ils coplanaires? Les droites (BD) et (CF) sont parallèles donc elles sont coplanaires et les points B, C, F et E sont coplanaires. c. Les vecteurs, et sont-ils coplanaires? On a ( ) ; ( )et ( ). On cherche deux réels et tels que. Autrement dit, { Après résolution du système, on a donc les vecteurs, et sont coplanaires. d. Que peut-on dire de la droite (LK) par rapport au plan (BCF)? On en déduit que la droite (LK) appartient au plan (BCF).

7 Exercice 1 On donne P et P deux plans d équations respectives 2x +3y 4z +5 = 0 et x + y z +2 = Montrer que P et P ne sont pas parallèles. 2. En déduire quel est l ensemble des points M P P. Fiche(5) Exercice 2 L espace est muni d un repère (O ;,, ) orthonormé. A et B sont les deux points de coordonnées A(0; 0; 2) et B (0; 3; 2). 1. Montrer que A et B appartiennent au plan (yoz). 2. Montrer que A et B appartiennent à un plan parallèle à (xoy). 3. En déduire un système d équations cartésiennes de la droite (AB). Exercice 3 L espace est muni d un repère (O ;,, ) orthonormé. 1. P et Q sont les deux plans d équation respectives et. a. Le système { définit il une droite D? b. construire la trace de P et Q sur les plans de coordonnées. c. En déduire la représentation de D. 2. Mêmes questions avec les systèmes suivants : a. { b. { c. {

8 Métropole septembre 2009 Fiche(6) L espace est muni d un repère orthonormal (O ;,, ). Sur le dessin joint en annexe, on a placé les points A(0 ; 2 ; 0), B(0 ; 0 ; 6), C(4 ; 0 ; 0), D(0 ; 4 ; 0) et E(0 ; 0 ; 4). Soit (P) le plan d équation. Il est représenté par ses traces sur le plan de base sur le dessin joint en annexe. 1. a. Démontrer que les points C, D et E déterminent un plan que l on notera (CDE). b. Vérifier que le plan (CDE) a pour équation. 2. a. Justifier que les plans (P) et (CDE) sont sécants. On note Δ leur intersection. b. Sans justifier, représenter Δ en couleur (ou à défaut en traits pointillés) sur la figure en annexe. 3. On considère les points F(2 ; 0 ; 0) et G(0 ; 3 ; 0). On note (Q) le plan parallèle à l axe (O ; ) et contenant les points F et G. a. Placer sur la figure en annexe les points F et G. Sans justifier, représenter le plan (Q) par ses traces sur les plans de base, d une autre couleur (ou à défaut en larges pointillés), sur la figure en annexe. b. Déterminer les réels a et b tels que soit une équation du plan (Q). 4. L intersection des plans (CDE) et (Q) est la droite Δ. Sans justifier, représenter la droite Δ, d une troisième couleur (ou à défaut en très larges pointillés), sur la figure en annexe. 5. On considère le système de trois équations à trois inconnues suivant : a. Résoudre ce système. b. Que peut-on alors en déduire pour les droites Δ et Δ? {