PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE

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1 PROUIT SLIR NS L'SP I éfinition - Propriétés éfinition (rappel) ( voir animation ) Soient et v dex vecters d plan. On considère n point O et les points et tels qe : O = et O = v. On appelle prodit scalaire d vecter par le vecter v le nombre réel noté. v tel qe : si = 0 o v = 0,. v = 0 si 0 et v 0 Soit le projeté orthogonal de sr (O) Si O et O sont de même sens :. v = O x O Si O et O sont de sens contraire :. v = - O x O v O v O s On admet qe la définition ne dépend pas d point O choisi. On pet étendre la notion de prodit scalaire dans le plan, établie ci-desss, à dex vecters de l'espace. (Il sffit de se placer dans n plan contenant les dex vecters, ce qi est tojors possible) Les propriétés ves por le prodit scalaire dans le plan s'étendront a prodit scalaire dans l'espace. Propriétés (rappels). v = v v 2. v = v cos ( ; v ) (por et v non nls). v = xx' + yy' + zz' si dans n repère orthonormé et v ont por coordonnées (x; y ; z) et (x'; y' ; z') Le prodit scalaire de par est assi noté. = 2 Propriété (rappels) Por tos vecters, ', v, v' et por tos réels α, α', β, β', on a :. v = v. (α ). v =.(α v) = α (. v ).( v + v' ) =. v +. v' (α + β v)(α' ' + β' v' ) = αα'. ' + αβ'. v' + βα' v. ' + ββ' v. v' 2 = 2 Si a por coordonnées (x ; y ; z) dans n repère orthonormé, on a : 2 = x 2 + y 2 + z 2 et on retrove l'égalité = x 2 + y 2 + z 2 TS Prodit scalaire page 1 / 5

2 xercice 01 (voir réponses et correction) 1 ) Soient et v dex vecters. émontrer l'égalité : ( + v) 2 + ( - v) 2 = v 2 2 ) n dédire qe dans n parallélogramme la somme des carrés des qatre cotés est égale à la somme des carrés des dex diagonales. 3 ) Soit n triangle et ' le milie de []. émontrer qe = 2 ' (Théorème de la médiane) Propriétés ex vecters et v sont orthogonax si et selement si ler prodit scalaire est nl. c'est-à-dire : v. v = 0 ex droites sont orthogonales si et selement si lers vecters directers sont orthogonax. Rappel ans l'espace dex droites pevent être orthogonales sans être sécantes. Lorsqe dex droites sont à la fois orthogonales et sécantes, elles sont coplanaires et on dit alors q'elles sont perpendiclaires. xercice 02 (voir réponses et correction) Soit n triangle rectangle en. On désigne par ' le milie de [], par le pied de la hater isse de et par I et J les projetés orthogonax de sr () et (). émontrer qe. IJ = -.. émontrer qe les droites (') et (IJ) sont perpendiclaires. xercice 03 (voir réponses et correction) On considère n cbe. L'espace est rapporté a repère (;,, ). 1 ) a) onner les coordonnées des points,, et. alcler le prodit scalaire.. Les droites () et () sont-elles orthogonales? b) n remarqant qe =, retrover le résltat précédent. 2 ) a) alcler le prodit scalaire.. Les droites () et () sont-elles orthogonales? b) n remarqant qe = retrover le résltat précédent. xercice 04 (voir réponses et correction) On considère n tétraèdre réglier. On pose = = = = = = a. Soit le centre de gravité d triangle. alcler en fonction de a les prodits scalaires. ;. ;.. Jstifier qe () est orthogonale à (). Montrer qe = édire des calcls précédents le prodit scalaire. alcler.. Qe pet-on en conclre? xercice 05 (voir réponses et correction) est n cbe. L'espace est rapporté a repère (;,, ). Soit I le point de coordonnées (1- k ; 0 ; 1) avec k IR. Jstifier qe I (). éterminer les valers de k por lesqelles le triangle I est rectangle. aire n dessin. TS Prodit scalaire page 2 / 5

3 xercice 06 (voir réponses et correction) L'espace est rapporté a repère orthonormé (O; i, j, k). x = 1 + 3k 1 ) Soit d la droite de représentation paramétriqe : y = 2k ; k IR. z = 1 - k onner n point et n vecter directer de d. 2 ) Soit d' la droite de représentation paramétriqe : x = 2 + k y = 1 ; k IR. z = 1 + 3k Montrer qe d et d' sont orthogonales. Sont-elles perpendiclaires? xercice 07 (voir réponses et correction) L'espace est rapporté a repère orthonormé (O; i, j, k). On considère les points (2 ; -1 ; -5) ; (3 ; 1 ; -4) ; (4 ; 6 ; 9) et (5 ; 7 ; 6). Montrer qe la droite () est orthogonale à la droite (). es droites sont-elles perpendiclaires? II Vecter normal à n plan éfinition On appelle vecter normal (o orthogonal) à n plan p, tot vecter n, non nl, orthogonal à tos les vecters de p. Un vecter normal à p ne pet pas être n vecter de p (sinon il serait orthogonal à li-même et donc nl). Propriétés (voir démonstration 01) Un vecter n non nl est normal à n plan p, si et selement si n est orthogonal à dex vecters non colinéaires de p. Tos les vecters normax à n plan p sont colinéaires entre ex. Une droite d de vecter directer n est perpendiclaire à n plan p si et selement si n est normal à p. Si p est n plan de vecter normal n et p n plan de vecter normal n alors : p et p sont parallèles n et n sont colinéaires Si est n point et n n vecter non nl, l'ensemble des points M tels qe M. n = 0 est le plan passant par et de vecter normal n. Une droite d est orthogonale à tote droite d'n plan p si et selement si d est orthogonale à dex droites sécantes de p. (c'est-à-dire qe d est orthogonale à n plan p si et selement si d est orthogonale à dex droites sécantes de p) n n d p xercice 08 (voir réponses et correction) On considère n cbe. Jstifier qe est n vecter normal a plan (). n dédire la valer de.. Montrer qe le vecter est normal a plan (). TS Prodit scalaire page 3 / 5

4 Propriété (voir démonstration 02) L'espace est rapporté à n repère orthonormé (O; i, j, k). Tot plan p a ne éqation cartésienne de la forme ax + by +cz + d = 0 avec (a ; b ; c) (0 ; 0 ; 0). Le vecter n(a ; b ; c) est alors n vecter normal à p. Réciproqement l'ensemble des points M(x ; y ; z) tels qe ax + by + cz + d = 0 avec (a ; b ; c) (0 ; 0 ; 0) est n plan qi a por vecter normal n(a ; b ; c). L'éqation cartésienne d'n plan n'est pas niqe. Par exemple le plan d'éqation x + y + 2z - 1 = 0 a assi por éqation 2x + 2y + 4z - 2 = 0. xercice 09 (voir réponses et correction) L'espace est rapporté a repère orthonormé (O; i, j, k). On considère les points (3 ; 1 ; 2) ; (1 ;-1 ; 1) et (5 ; 2 ; 3). éterminer ne éqation cartésienne d plan p passant par et de vecter normal. éterminer ne éqation cartésienne d plan (). xercice 10 (voir réponses et correction) L'espace est rapporté a repère orthonormé (O; i, j, k). Soient p le plan d'éqation -x + 2y + z - 15 = 0 et p' le plan d'éqation 3x - y + 2z + 18 = 0 1 ) Jstifier qe (-1 ; 7 ; 0) est n point de p. éterminer ne représentation paramétriqe de la droite d perpendiclaire à p en. 2 ) Jstifier qe (-2 ; 4 ; -4) est n point de p'. éterminer ne représentation paramétriqe de la droite d' perpendiclaire à p' en. 3 ) Les droites d et d' sont-elles orthogonales? xercice 11 (voir réponses et correction) L'espace est rapporté a repère orthonormé (O; i, j, k). On considère le plan p d'éqation x + 3y - 2z + 1 = 0 et le plan p' d'éqation 4x - 2y - z = 0. onner les coordonnées d'n vecter n normal à p et les coordonnées d'n vecter n' normal à p'. Jstifier qe n. n' = 0. n dédire qe p et p' sont des plans perpendiclaires. Soit n n vecter normal à n plan p et soit n' n vecter normal à n plan p'. p et p' sont des plans perpendiclaires si et selement si n et n' sont des vecters orthogonax. xercice 12 (voir réponses et correction) L'espace est rapporté a repère orthonormé (O; i, j, k). x = 2 + 2t Soit d la droite représentation paramétriqe : y = 1-3t avec t IR. z = 1 + t Soit p le plan d'éqation 2x + y - z - 3 = 0. Soit p' le plan d'éqation x + 2y - 2z + 5 = 0. éterminer l'intersection de d et de p et l'intersection de d et de p'. xercice 13 (voir réponses et correction) L'espace est rapporté a repère orthonormé (O; i, j, k). Soient p et p' les plans d'éqations respectives : 2x + y - z - 3 = 0 et x + 2y - 2z + 5 = 0. Montrer qe l'intersection de p et de p' est ne droite dont on donnera ne représentation paramétriqe. TS Prodit scalaire page 4 / 5

5 xercice 14 (voir réponses et correction) L'espace est rapporté a repère orthonormé (O; i, j, k). x = 1 + 2λ On considère la droite δ de représentation paramétriqe y = -4- λ avec λ IR ; z = 1 + 3λ le plan p d'éqation 2x - y - 4z + 12 = 0 et le plan p' d'éqation 5x + y - 3z + 2 = 0. 1 ) éterminer l'intersection de δ et de p. 2 ) éterminer l'intersection de δ et de p'. 3 ) éterminer l'intersection de p et de p'. xercice 15 (voir réponses et correction) L'espace est rapporté a repère orthonormé (O; i, j, k). éterminer l'intersection des trois plans d'éqations respectives : x + y - 2z - 5 = 0 ; 2x + 3y + z = 0 ; x - y + z + 1 = 0 xercice 16 (voir réponses et correction) L'espace est rapporté a repère orthonormé (O; i, j, k). Soit p le plan d'éqation cartésienne : 2x - 2y + z - 3 = 0 et le point de coordonnées (1 ; 1 ; 2). onner ne représentation paramétriqe de la droite d passant par et perpendiclaire à p. éterminer les coordonnées d point, point d'intersection de d et de p. est le projeté orthogonal de sr p. alcler la distance. ette distance est appelée distance d point a plan p. xercice 17 (voir réponses et correction) L'espace est rapporté a repère orthonormé (O; i, j, k). x = 1-2t Soit d la droite de représentation paramétriqe : y = 3 - t avec t IR ; z = 2t et soit le point de coordonnées (-3 ;-1 ; 3). Jstifier qe n'appartient pas à d. éterminer ne éqation cartésienne d plan p passant par et perpendiclaire à d. éterminer les coordonnées d point, point d'intersection de d et de p. est le projeté orthogonal de sr d. alcler la distance. ette distance est appelée distance d point à la droite d. xercice 18 (voir réponses et correction) On considère n cbe. L'espace est rapporté a repère orthonormé (;,, ). K onner sans jstification les coordonnées des sommets d cbe. éterminer les coordonnées de I, J et K centres respectifs des faces ; et. éterminer les coordonnées des vecters IJ ; IK ; JK. n dédire les valers de IJ ; IK et JK. Qelle est la natre d triangle IJK? Jstifier qe est orthogonal à IJ et IK. n dédire qe la droite () est perpendiclaire a plan (IJK). onner ne éqation cartésienne d plan (IJK). J I TS Prodit scalaire page 5 / 5