1 ère S Exercices sur les limites (3)

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1 ère S Exercces sur les lmtes () n donne c-dessous la courbe représentatve d une oncton déne sur l ntervalle ]0 ; + [ Dre s : - l axe des ordonnées semble asymptote à la courbe ; - la drote semble asymptote à la courbe 4 n donne c-dessous la courbe représentatve d une oncton déne sur Dre s la drote semble asymptote à la courbe 5 n donne c-dessous la courbe représentatve d une oncton déne sur Dre s les drotes et semblent asymptotes à la courbe n donne c-dessous la courbe représentatve d une oncton déne sur l ntervalle ]0 ; + [ Dre s : - l axe des abscsses semble asymptote à la courbe ; - l axe des ordonnées semble asymptote à la courbe 6 n donne c-dessous la courbe représentatve d une oncton déne sur \{} Dre s les drotes et semblent asymptotes à la courbe n donne c-contre la courbe représentatve d une oncton déne sur Dre s l axe des abscsses semble asymptote à la courbe

2 7 n donne c-dessous la courbe représentatve d une oncton déne sur Dre s la drote semble asymptote à la courbe 8 n donne c-dessous la courbe représentatve d une oncton déne sur \{ ; } Quelles drotes semblent asymptotes à la courbe? 0 n consdère une oncton déne sur l ensemble D 0 ; ; varaton c-dessous n note sa courbe représentatve dans le plan mun d un repère orthonormé admettant le tableau de,, x 0 + Varatons de Donner à l ade du tableau de varaton lm x + + x ; lm x ; lm x ; lm x En dédure les asymptotes à en rédgeant clarement Sur un graphque, tracer les asymptotes et donner, en utlsant les varatons de, l allure de n donne c-dessous la représentaton graphque dans le plan mun d un repère,, x déne sur \{ } dont on ne connaît pas l expresson n sat que admet la drote d équaton rédute y pour asymptote horzontale en + et en ; la drote d équaton rédute x pour asymptote vertcale x x0 0 d une oncton 9 n consdère une oncton sur laquelle on dspose d une normaton dans chaque cas n note sa courbe représentatve dans le plan mun d un repère,, Recoper et compléter la deuxème colonne du tableau suvant : Donnée onséquence graphque x lm La courbe admet la drote d équaton rédute y = pour asymptote x lm x x x lm x x lm 4 x Tracer les drotes et ' en couleur sur le graphque précédent (ou reare la courbe, ça entraîne à les are!) Recoper et compléter sans explcaton les égaltés suvantes : lm x ; lm x ; lm x ; lm x x x x x n donne c-dessous la représentaton graphque dans le plan mun d un repère,, déne sur \{ ; 4} dont on ne connaît pas l expresson n sat que admet la drote d équaton y pour asymptote horzontale en + et en ; les drotes ' et, '' d équatons respectves x et x 4 pour asymptotes vertcales d une oncton

3 5 ) Recoper et compléter le tableau de valeurs : x,5 0,5 0 (x) 6 ) Sur un graphque, tracer le repère,, en prenant le centmètre pour unté de longueur Tracer les asymptotes et ' Placer les ponts correspondants au tableau de valeurs ommencer le tracé de en relant ces ponts «à la man» n prendre garde que la courbe est consttuée de deux morceaux séparés par l asymptote vertcale Achever enn le tracé de en sognant le tracé des branches nnes Vérer sur calculatrce graphque ou sur ordnateur 7 ) Démontrer que admet le pont ( ; ) pour centre de symétre Tracer les drotes, ', '' en couleur sur le graphque précédent (ou reare la courbe, ça entraîne à les are!) Recoper et compléter sans explcaton : lm x lm x lm x lm x lm x lm x x ; ; ; ; ; x x x n consdère la oncton : x et on note sa représentaton graphque dans le plan mun d un x repère,, Détermner lm x x et lm x x Que peut-on en dédure graphquement pour? Vérer sur la calculatrce graphque ou sur un ordnateur à l ade d un logcel de tracé de courbes 4 n consdère la oncton : x repère,, Détermner lm x x et lm x x x4 x4 5 et on note sa représentaton graphque dans le plan mun d un x Que peut-on en dédure graphquement pour? Vérer sur la calculatrce graphque ou sur un ordnateur à l ade d un logcel de tracé de courbes 5 n consdère la oncton : x x et on note sa courbe représentatve dans le plan mun d un x repère orthonormé,, ) Détermner le domane de dénton de ) alculer la dérvée de ) Dresser un tableau récaptulat comprenant le sgne de la dérvée et les varatons de n n oublera pas les doubles barres pour la valeur nterdte 4 ) Etuder en détallant les calculs lm x, lm x, lm x et lm x En dédure que x x x x admet deux asymptotes et que l on précsera ompléter le tableau de varaton du ) avec les lmtes de x 6 n consdère la oncton déne par ( x) et l on note sa courbe représentatve dans le plan x mun d un repère,, ) Étuder la parté de ; qu en dédut-on pour? ) Dresser le tableau de varatons de sur + ) Étuder la lmte de (x) quand x tend vers + Qu en dédut-on pour? 4 ) n note T la tangente à au pont Détermner l équaton rédute de T Étuder la poston de par rapport à T n dt que est un pont d nlexon de 5 ) Recoper et remplr le tableau de valeurs c-dessous x 0 0,5 7 x Fare un graphque en prenant centmètres pour unté graphque Placer les ponts correspondants au tableau de valeurs et leurs symétrques par rapport au pont (compte tenu de la symétre de la courbe par rapport à ) Tracer les tangentes horzontales (sous la orme d une double lèche) Tracer T ommencer le tracé de en relant les ponts «à la man» Achever enn le tracé de en sognant le tracé des branches nnes (en tenant compte de l asymptote) Vérer sur calculatrce graphque ou sur ordnateur

4 x 4x 7 n consdère la oncton déne par x et l on note sa courbe représentatve dans le x 8x 9 plan mun d un repère orthogonal,, ) Détermner l ensemble de dénton de ' x (trer tous les trats de racton à la règle) Dresser le tableau de varatons de (are le ) alculer tableau de varaton et les lèches de varatons à la règle) ) Étuder la lmte de (x) quand x tend vers + et en ; en dédure que admet une asymptote horzontale Etuder la poston de par rapport à 4 ) Recoper et compléter le tableau de valeurs x 4 0 x Précser en partculer les ponts en lesquels coupe les axes de coordonnées Tracer, l asymptote et la tangente horzontale n prendra pour untés : cm en abscsse et cm en ordonnée 5 ) Démontrer que admet la drote d équaton rédute x pour axe de symétre 8 n consdère la oncton déne par x x et l on note sa courbe représentatve dans le plan mun d un repère orthonormé,, ) Détermner l ensemble de dénton de ) Dresser le tableau de varatons de Fare le tableau et les lèche de varaton à la règle ) Étuder les lmtes de aux bornes de son ensemble de dénton ; en dédure que admet une asymptote horzontale et une asymptote vertcale ; étuder la poston de par rapport à 4 ) Détermner les abscsses des ponts d ntersecton de avec l axe des abscsses n rédgera ans : «Les abscsses des ponts d ntersecton de et de l axe (x) sont solutons de l équaton» n conclura ans x I ; J avec I ( ; ) et J ( ; ) 5 ) Recoper et compléter le tableau de valeurs c-dessous x 0 0,5,5,5,5 4 5 x Fare un graphque en prenant cm pour unté graphque Tracer les asymptotes et pus placer les ponts du tableau de valeurs pus Vérer en utlsant une calculatrce graphque ou en utlsant un logcel de tracé de courbes sur ordnateur Tracer la tangente au pont I où coupe l axe des ordonnées n prendra cm pour unté graphque 6 ) Démontrer que admet la drote pour axe de symétre

5 orrgé ': x 0 Pour les exercces à 8, on peut repasser les drotes en couleur et entourer les zones concernées par les asymptotes Les exercces à 8 sont auss ntéressants du pont de vue de la rédacton : rédacton pour une asymptote vertcale, rédacton pour une asymptote horzontale ertanes courbes sont en pluseurs partes ; c est ntéressant à sgnaler L axe des ordonnées semble asymptote à (asymptote vertcale) La drote semble asymptote à L axe des abscsses ne semble pas asymptote à L axe des ordonnées semble asymptote à (asymptote vertcale) L axe des abscsses semble asymptote à (asymptote horzontale en + et ) : y 0 4 La drote semble asymptote à (asymptote horzontale en + et ) 5 Les drotes et semblent asymptotes à 6 La drote semble asymptote à mas c est beaucoup mons évdent pour 7 La drote semble asymptote à la courbe 8 La courbe est en pluseurs partes Les drotes et ans que l axe des abscsses semblent asymptotes à la courbe ( et sont des asymptotes vertcales ; l axe des abscsses est une asymptote horzontale en + et ) 9 Il s agt d un exercce de rédacton Tableau à compléter : Donnée x onséquence graphque lm La courbe admet la drote d équaton rédute y pour AH en + x lm x x x lm x x La courbe admet la drote d équaton rédute x pour AV La courbe admet la drote d équaton rédute x = pour AV lm 4 La courbe admet la drote d équaton rédute y 4 pour AH en x 0 La courbe admet la drote d équaton rédute y = 0 (c est-à-dre l axe des abscsses) pour AH en + La courbe admet les drotes et d équatons rédutes respectves x = 0 et x = pour AV n remarquera que la e et la e lmtes donnent la même déducton graphque Allure de lm x ; x x «plonge») lm ; lm x x x lm x ; lm x ; lm x x x x x x ; lm x ; lm x lm x donc par lmte d'une somme lm x x lm 0 x x lm x donc par lmte d'une somme lm x x lm 0 x x x et x lm x x x (uste avant, la courbe x4 ; lm x ; lm x4 x lm donc la courbe admet la drote d équaton y = pour asymptote x horzontale en + et en (une même asymptote en deux endrots séparés) n vére le résultat sur calculatrce ou sur ordnateur Attenton : D \ 0 '' : x e n est pas pour autant que l on peut dre que la courbe admet la drote d équaton x = 0 pour asymptote vertcale : pour le démontrer, l aut détermner la lmte de en 0

6 Vsualsaton sur calculatrce : la courbe et l asymptote horzontale ne sont pas conondues mas elles sont «hyper-proches» Fare la courbe ) est une oncton ratonnelle (c est même une oncton homographque car c est le quotent de deux onctons anes) donc est dérvable sur \ { } x \ ' x x u u ' v uv' (ormule ' v ) v ) Tableau récaptulat 4 5 : x x Détermnons les lmtes de en + et en Fare le tableau de sgne de x x lm 5 5 x lm 0 donc par lmte d'un quotent lm x x x lm 5 5 x lm x 0 x x donc par lmte d'un quotent lm x lm x et lm x vertcale 5 Étude d une oncton homographque x x donc la courbe admet la drote d équaton x pour asymptote x : x x NB : Attenton au vocabulare : Ne pas dre qu «une oncton homographque est une oncton nverse» mas qu «une oncton homographque "est assocée" à la oncton nverse» 4 ) x x x + SGN de + + SGN de x SGN de Varatons de + ' x + + x x + lm x lm 0 donc par lmte d'un quotent lm x x x lm x donc par lmte d'un quotent lm x lm x 0 x est une oncton ratonnelle non nulle donc on peut applquer la règle des monômes de plus haut degré pour trouver les lmtes en + et en x lm x lm lm x x x x x lm x lm lm x x x x x, x lm x lm, lm x x et x lm x x x, lm x x lm donc la courbe admet la drote d équaton y pour asymptote x horzontale en + et en lm x et lm x x asymptote vertcale x 0 déno donc la courbe admet la drote d équaton rédute x pour + ) D \

7 5 ) Tableau de valeurs x,5 0,5 0 (x),5 4 0,5 6 ) Tracé de La courbe est consttuée de deux branches symétrques par rapport à h h h h h h h h h h h h h h 4h h h 4 h h h n en dédut que admet le pont ( ; ) pour centre de symétre La courbe est une hyperbole x x 6 x ) Étudons la parté de D = donc D est centré en 0 x x x ( x) x x ( x) Donc la oncton est mpare n en dédut que admet l orgne du repère pour centre de symétre ) Dressons le tableau de varatons de sur + 7 ) Démontrons que admet le pont ( ; ) pour centre de symétre n calcule h h pour h 0 est une oncton ratonnelle donc est dérvable sur x ' x x x x x x 4x x x x x x x D est centré en Sot h un réel non nul

8 x + Sgne de Sgne de + x Sgne de x Sgne de x Sgne de '( x ) Varatons de 0 0 Tableau de sgne de x x : Sgne de x 0 + x + 0 Sgne de x + + Sgne de x x + 0 ) Étudons la lmte de (x) quand x tend vers + x lm x lm lm 0 x x x x x est une oncton ratonnelle non nulle donc Qu en dédusons-nous pour? n en dédut que admet la drote d équaton y 0 c est-à-dre l axe des abscsses pour asymptote horzontale en + et en 4 ) T : tangente à au pont Détermnons l équaton rédute de T T a pour équaton sot y = x + 0 sot y = x y '(0)( x 0) 0 Le sgne de * x est contrare de celu de x x x x 0 donc est au-dessous de T sur l ntervalle ]0 ; +[ * x x x 0 donc est au-dessus de T sur l ntervalle ] ; 0[ et T sont sécantes au pont d abscsse 0 n dt que est un pont d nlexon de n peut auss are l étude dans un tableau SGN de x 0 + x + 0 SGN de x + + SGN de (x) x + 0 L équaton rédute de T s écrt y x Étudons la poston de par rapport à T Poston de par rapport à T est au-dessus de T est au-dessous de T et T sont sécantes au pont d absc 0 Pour étuder la poston de par rapport à T, on étude le sgne de la dérence x x x x x x x x x x x x 5 ) x 0 0,5 7 (x) 0 0,8 0,8 0,6 0,8

9 La courbe admet l axe (x) pour asymptote horzontale en + et en Elle se rapproche de l axe (x) en + et en x 4x 7 : x x 8x 9 et exercce reprend beaucoup de notons étudées cette année ) x exste s et seulement s x 8x 9 0 onsdérons le polynôme x 8x 9 Son dscrmnant est égal : donc le polynôme admet aucune racne dans Donc D = Tracé de T L équaton rédute de T s écrt y x Pour tracer T, l y a essentellement deux méthodes : n sat déà que T passe par le pont (l équaton rédute de la drote T est de la orme y ax, autre rason : T est la tangente au pont donc elle passe par ) - sot on prend un autre pont de la drote T par exemple le pont A( ; ) - sot on utlse le coecent drecteur de T qu est égal à (donc en avançant d une unté vers la drote on dot monter d une unté vers le haut) n peut auss dre que le vecteur u ; Fare le tracé de la courbe sous la orme d un rébus T est un vecteur drecteur de T) Pour pouvor respecter l échelle donnée dans l énoncé pour le tracé de la courbe, on peut prendre le caher dans l autre sens ) est une oncton ratonnelle donc est dérvable sur u u ' v uv' n calcule la dérvée en utlsant la ormule ' v v x ' x x 4x 8x 9 4x 8x 4x x 8x 9 Méthode astuceuse : on actorse le numérateur ' x ' x ' x x 4x 8x 9 x 4x 4x x 8x 9 x 4 x 8x 9 x 4x x 8x 9 6 x x 8x 9 Méthode basque : on développe tout sans réléchr ' x 4x ' x ' x 4x 6x 8x 8x x 6 4x 8x 6x x x 4 x 8x 9 4x 6x x 8x 9 50x 6 4x x 8x 9 4x 44x 4 Le calcul de la dérvée est un peu complqué mas, heureusement, le résultat se smple Dans ce cas, l utlsaton d un logcel de calcul ormel est tout à at ndquée

10 x + Sgne de x 0 + Sgne de Sgne de x 8x Varatons de ' x 0 + n place le pont correspondant au mnmum de sur n trace des pontllés à la règle et l on marque les coordonnées du pont sur les axes n utlse la représentaton conventonnelle d une tangente sous la orme d une double lèche ) est une oncton ratonnelle donc en applquant la règle du quotent des monômes de plus haut degré : x lm x lm lm x x x x x lm x lm lm x x x x n en dédut que admet la drote d équaton y pour asymptote horzontale en + et en x x x x x x x 4x x 8x 9 x 8x 9 x 8x 9 a c ad bc (Pour la mse au même dénomnateur, on utlse la ormule ) b d bd Le polynôme x 8x 9 a un dscrmnant strctement négat donc l est touours du sgne post x x 0 donc la courbe est touours stuée en dessous de e étape : n trace la tangente horzontale au pont correspondant au mnmum global de sur (en eet, dans le tableau de varaton, sur la lgne du sgne de man levée) ' x, on vot que ' 0 ) n eectue ce tracé à la règle (et non à 4 ) x 4 0 (x) 0 0 onstructon de la courbe (présentaton sous la orme d un rébus) n utlse un crayon à paper ou meux un crtérum Avant de tracer la courbe, on dot mettre en place tous les éléments mportants du tracé ère étape : n trace le repère orthogonal en respectant l échelle donnée dans l énoncé ( centmètre en abscsse et centmètres en ordonnée) e étape :

11 4 e étape : n trace la drote d équaton y qu est asymptote horzontale à la courbe en + et en : y : y n dot sogner l arrvée au nveau de la tangente horzontale (ben plate) 5 e étape : n place les ponts correspondant au tableau de valeurs en tenant compte du tableau de varaton qu a été établ n vére le tracé à l ade de la calculatrce ou d un logcel de tracé de courbes : x : y : y 6 e étape : Tout est ms en place pour eectuer le tracé de la courbe n rele les ponts à la man, touours au crayon ou au crtérum, en sognant partculèrement l allure au vosnage de + et de (car la courbe admet la drote pour asymptote horzontale en + et en ) 5 ) n utlse la règle du cours pour démontrer qu une drote est axe de symétre h h n vére que pour tout réel h, on a Sot h un réel h h h 4 h h h 8 9 h Méthode : on développe tout sans se poser de queston en utlsant les denttés remarquables pour développer les carrés Pour ce genre de calcul assez technque, un logcel de calcul ormel serat tout à at ndqué h h h 4 h h h 8 9 h

12 (on reat le calcul ou méthode de anéant, mas néanmons astuceuse : on remplace h par h dans le calcul de h ) De plus x lm, donc par lmte d une somme lm x x h h h n en dédut que admet la drote d équaton rédute x pour axe de symétre 8 x x ) D \ (évdent, nutle de détaller la recherche ; ne pas moder l expresson de pour trouver son ensemble de dénton) ) est dérvable sur \ comme oncton ratonnelle ; lm x lm x lm x x x x n en dédut que admet la drote d équaton y pour asymptote horzontale en + et en et la drote d équaton x pour asymptote vertcale x \ x (n peut éventuellement procéder par dérence, strctement négatve) x x et l on vot alors que cette dérence est x \ ' x 6 0 x x nu' Formule : ' n n u u (trats de ractons à la règle) Donc la courbe est touours stuée au-dessous de la drote 4 ) Les abscsses des ponts d ntersecton de la courbe et de l axe (x) sont solutons de l équaton x 0 n résout cette équaton dans \ {} ette équaton est successvement équvalente à : ) x + Sgne de x 0 déno + Sgne de Varatons de ' x + 0 x x x (surtout ne pas développer le carré, snon on est oblgé de consdérer un polynôme du nd degré, de calculer etc ce qu condut évdemment aux mêmes solutons mas de manère plus complquée) x ou x x ou x lm x donc par lmte d'une somme lm x x lm 0 x x De même, on a : x lm x lm x donc par lmte d'un quotent lm x lm x 0 x x oncluson : x I ; J 5 ) avec I ( ; 0) et J ( ; 0) x 0 0,5,5,5,5 4 5 x 0 4 4

13 L équaton de la tangente au pont I d abscsse 0 s écrt y x 4 4 Tracé de la courbe e étape : n place les ponts correspondants au tableau de valeurs n trace les pontllés à la règle et l on met les valeurs sur les axes Il n y a pas de ponts en lesquels la tangente sot horzontale car la dérvée ne s annule amas La mse en place consste essentellement à tracer les asymptotes et à placer les ponts correspondants au tableau de valeurs précédents n commence par mettre en place le repère en respectant les untés ( cm en abscsse et en ordonnée) ère étape : n trace les asymptotes à la courbe : x 4 : x 4 5 : y : y e étape : n trace la courbe en sognant l allure au vosnage de, + et : x : y A B 4 5 n trace la tangente au pont d abscsse 0

14 T n observe que la tangente T à au pont d abscsse 0 recoupe au pont d abscsse 6 ) Démontrons que admet la drote pour axe de symétre n utlse la règle du cours pour démontrer qu une drote est axe de symétre h h n vére que pour tout réel h non nul, on a Sot h un réel tel que + h D et h D + h D h h 0 h D h h 0 Donc nalement, on obtent h 0 h h h h h h * h h h n en dédut que admet la drote d équaton rédute x pour axe de symétre