POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

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1 POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr 55

2 1. Introduction : qu est-ce qu une équation différentielle? Les seules équations étudiées jusqu à présent s appellent des équations algébriques ; exemple : ² + 30=0 les solutions des équations algébriques sont des nombres réels ( 6 5 ) ; la variable des nombres réels est notée x Nous allons rencontrer à présent un nouveau type d équations : les équations différentielles ; exemple d équation différentielle : +3² = 5 les solutions sont des fonctions ; la variable des fonctions est notée y. Une équation différentielle est donc une équation dans laquelle se trouvent la fonction y et sa(ou ses) dérivée(s) y, y, y, etc En physique, on rencontre beaucoup de phénomènes modélisés par des équations différentielles (ex de la chute d une bille dans un fluide : l application de la 2 nde Loi de Newton aboutit à : dv = k v + g qui est une équation différentielle) il faut faire appel dt m aux mathématiques pour pouvoir résoudre cette équation différentielle et déterminer la fonction solution du phénomène (ici : v(t) = (1 e ) dont on peut tracer la courbe) Il existe une infinité d équations différentielles, nous n étudierons ici uniquement l équation différentielle du type : = +, et ses différentes applications 2. Equation différentielle = +, R : Théorème : les solutions de l équation différentielle = +, R sont les fonctions : () =, R Remarque : l équation différentielle = R est un cas particulier du théorème cidessus correspondant à b = 0 ; on obtient alors les solutions de la forme () = R Une équation différentielle admet une infinité de solutions sur un intervalle I, ces solutions étant toutes définies à la constante k près. Toutes les solutions d une équation différentielle sont donc distinctes, leurs courbes représentatives n ont aucun point d intersection les unes avec les autres. Il faut et il suffit d une condition (généralement initiale) pour fixer k et obtenir UNE (et une seule) solution f de l équation différentielle. 56

3 Exemple : soit l équation différentielle (E) : = a) Résoudre (E) b) Quelle est la solution de (E) telle que (0) = a) Par Théorème, les solutions de (E) sont de la forme : () = () = + b) On a par hypothèse : (0) = Or, d après la formule, on a aussi, en 0 : (0) = + = + Hypothèse et formule doivent coïncider, d où : (0) = 4 3 (0) = = = 2 3 Conclusion : la solution de (E) telle que (0) = est () = + = ( + ) 3. Résolution d une équation différentielle modélisant un cas concret (physique, biologie, etc ) : Méthode : On résout l équation différentielle On utilise la condition initiale (à aller chercher dans l énoncé), pour déterminer LA solution de l équation différentielle modélisant précisément le phénomène étudié On utilise cette solution pour résoudre des questions concrètes : recherche d une durée, d un nombre de noyaux radioactifs restants, d une vitesse, d une proportion d habitants contaminés Exemple-type : A l instant t = 0h, on place un corps à 100 C (casserole d eau bouillante par exemple) dans une pièce à 20 C. On désigne par q(t) la température du corps à l instant t. La loi de refroidissement de Newton est telle que la vitesse de refroidissement du corps q (t) est proportionnelle à la différence de température entre le corps et la pièce, soit : q (t) = -k [q(t) 20] (avec k : coefficient de refroidissement égal à 2,08 h -1 ) 57

4 a) Déterminer LA solution de cette équation différentielle vérifiant la condition initiale b) Quelle est la température du corps après 30 minutes? c) Après combien de temps la température tombera-t-elle à 30 C? a) () = 2,08[() 20] = 2,08() + 41,6 Par Théorème, les solutions de cette équation différentielle sont de la forme : () =, 41,6 2,08 =, + 20 Or, par hypothèse, ( =0)= 100 D après la formule obtenue, on a aussi : ( =0)= +20=+ 20 Hypothèse et formule doivent coïncider, d où : (0) = = + 20 = 80 (0) = + 20 Conclusion : la solution de (E) telle que (0) = 100 est () =, + b) Attention t est en heure, donc 30 minutes correspondent à 0,5 h ( = 0,5) = 80,, + 20 = 48,3 Au bout de 30 minutes, la température est de 48,3 C c) On cherche t tel que () = 30 Or () = 80, + 20, soit à résoudre : 80, + 20 = 30 80, = 10, = 1 8 [, ]= [ 1 8 ] 2,08 = 8 = 8 2,08 =1 Au bout d 1h, la température atteint 30 C 58

5 4. Equations différentielles avec changement de variable : On peut être amené au cours des exercices devant des équations différentielles à première vue insolubles par le seul Théorème de ce cours ; exemple : = 0,022(20 ) La méthode (toujours guidée par l exercice) repose alors sur : un changement de variable, grâce auquel l équation différentielle insoluble est ramenée à une équation différentielle du type : = +. on résout cette équation différentielle, puis on revient à la variable initiale. Exemple-type : On note f(t) le nombre de ménages vivant en France équipés d un ordinateur (t exprimé en années et f(t) en millions de ménages) On pose t = 0 en 1980, il y avait alors ménages équipés d un ordinateur. Le modèle de Verhulst stipule que sur la période , f est solution de l équation différentielle (): = 0,022(20 ) a) on pose = ; démontrer que f est solution de () si et seulement si u est solution de l équation différentielle (): = 0,44 + 0,022 b) résoudre () puis en déduire l ensemble des solutions de () c) démontrer alors que la fonction f est définie sur [0; + [par : 1 () = 99,95, + 0,05 d) calculer la limite de f lorsque t tend vers + a) f est solution de () = 0,022(20 ) or = = ; = ² d où : f est solution de () ² = 0,022 1 (20 1 ) soit : f est solution de () ² = 0, = 0, ² 1 2 = donc : f est solution de () = 0,44 0,022 c est-à-dire : f est solution de () = 0,44 + 0,022 on a donc : f est solution de () () 59

6 b) Par théorème, les solutions de () sont de la forme : () =,,, () =, +, Or, comme =, on a : () =,, De plus, par hypothèse on sait que : (0) = 0,01 Or, d après la formule obtenue, ( =0)=, =, Hypothèse et formule doivent coïncider, d où : (0) = 0, ,01 = (0) = + 0,05 + 0,05 +0,05= 1 0,01 = 100 ù = 100 0,05 = 99,95 ù, () =,, +, c) lim, = 0, ù: lim 99,95, + 0,05 = 0,05 Ainsi, lim () =, = 20 Au bout d un temps très long, le nombre de ménages équipés d un ordinateur stagnera à 20 millions 60

7 Exercices d application sur les équations différentielles exercice 1 : Résoudre les équations différentielles suivantes : a) 2y + 3y = -2 et f(0) = 2 b) y = (5/2) y 9 et f(-1) = e c) 3y + 4y = 1 et f(1) = 3 exercice 2 : A l instant t = 0h, on injecte dans le sang 2 mg d une substance médicamenteuse, qui sera supposée passer dans le sang instantanément, et s éliminer progressivement. La quantité de substance Q(t) encore présente dans le sang à l instant t suit une loi différentielle de type : dq/dt = - l.q(t) (avec t en h et Q en ml) a) sachant que 25% de la substance est éliminée au cours de la 1 ère heure, calculer l en précisant son unité ; en déduire la résolution de l équation différentielle correspondante b) au bout de combien de temps la quantité de substance dans le sang aura-t-elle diminué de 40% c) quelle est la quantité de substance éliminée en 3 heures? exercice 3 : sans calculatrice A t = 0, on injecte dans le sang d un patient une certaine quantité d une solution médicamenteuse. Après 5 heures (h) il ne reste que 37% du médicament dans le sang. Le processus d élimination de ce médicament suit une loi différentielle de type : dq/dt = - l.q(t). On cherche le temps T nécessaire pour qu il ne reste plus que 10% du médicament dans le sang. (On pourra utiliser : 1/e = 0,37 ; avec e, exponentielle et ln 10 = 2,3) Quelle est (ou quelles sont) la (les) réponse(s) exacte(s)? 1. l = 0,2 h 2. l = 0,12 h l = 0,2 min l = 0,5 h 5. T = 12,2 h 6. T = 11,5 h 7. T = 19,2 h 61

8 exercice 4 : 62