Sur les traces de Blaise Pascal Fiche enseignant Collège et lycée

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1 Service éducatif Sur les traces de Blaise Pascal Fiche enseignant Collège et lycée Objectifs découvrir les travaux de Blaise Pascal en mathématiques les relier à des applications actuelles Lieu : entresol Durée : 1h Parcours : sans animateur Organisation La classe est divisée en 4 groupes. Chaque groupe est sous la responsabilité d'un adulte. En répondant aux questions de 1 à 4, les élèves découvriront les travaux de Blaise Pascal en mathématiques. Ces questions leurs permettront ensuite de répondre à la question 5 qui expliquera les applications actuelles de ses travaux. 1. La Pascaline Observez la Pascaline, manipulez la Pascaline virtuelle. Calculez Remarquez la transmission de la retenue des unités vers les centaines. Pouvez-vous calculer 123, ,44? Si oui, comment? Si non, pourquoi? Ce calcul est possible en faisant attention à la place de la virgule. Elle n'est pas gravée sur la Pascaline, il faut garder la place de cette virgule en mémoire. Pouvez-vous calculer ? Si oui, comment? Si non, pourquoi? L'objectif de cette question est de pousser les élèves à analyser leur résultat, de se poser la question de la pertinence de la solution trouvée. En effectuant cette opération sur la pascaline, la retenue devant se reporter sur les centaines de millions sera perdue et le résultat trouvé sera faux. Les mêmes enjeux se posent avec les calculatrices modernes avec par exemple, le produit de deux fractions non décimales ou des calculs sur des nombres tels que Π ou e.

2 2. Pascal et les probabilités a. Planche de Galton On place une bille sur le haut de la planche de Galton, symbolisé par la case «1» dans l'image suivante : Écrivez dans chaque case le nombre de chemins différents permettant d'arriver dans cette case. Par exemple, pour arriver dans la case grise tout à gauche, il n'y a qu'un seul chemin possible : la bille doit aller vers la gauche à chaque intersection, on a donc inscrit «1» dans cette case. Aide : pour les premières lignes, il est possible de compter le nombre de chemins arrivant sur une case donnée. A partir de la cinquième ligne, ce nombre devient trop important. Une solution est de compter le nombre de chemins arrivant dans les deux cases situés au dessus de la case en question et d'additionner ces deux nombres. Il y a 9 cases à l'arrivée. Sur laquelle la bille a-t-elle le plus de chances d'arriver? Entourez la case correspondante sur le schéma. Il est intéressant de faire remarquer aux élèves que le nombre de chemins arrivant sur une case est égale à la somme du nombre de chemins arrivant dans les deux cases immédiatement au dessus. Cela permettra de faire un lien aisé avec le triangle de Pascal dans la question suivante. Quand on calcule le nombre de chemins possibles pour chacune des cases à l'arrivée, on obtient le résultat suivant : une bille partant tout en haut de la planche de Galton a donc plus de chances d'arrivée sur la case du milieu de la ligne d'arrivée. Les billes se repartissent à l'arrivée sur les 9 arrivées possibles selon une courbe en cloche.

3 b. Triangle de Pascal Grâce à la planche de Galton, vous venez de construire un triangle de Pascal. Ci dessous, nous avons reproduit un triangle de Pascal plus grand. Coloriez les cases contenant un nombre pair dans le triangle de Pascal. Quelles formes voit-on apparaître?...

4 3. Qu'est ce qu'une conique? L'intersection d'un cône et d'un plan donne une courbe géométrique. En faisant varier l'inclinaison du plan, on obtient différentes courbes géométriques, lesquelles? Cercle, ellipse, parabole, hyperbole. 4. Hypocycloïde ou épicycloïde? A l'aide du logiciel disponible sur la borne «épicycloïde/hypocycloïde», tracez une épicycloïde telle que le rayon du disque mobile soit identique à celui du cercle fixe. Avez-vous déjà rencontré cette courbe? Comment s'appelle-t-elle? Une cardioïde : cette épicycloïde est un cas particulier du limaçon d'étienne Pascal. Sa forme évoque celle d'un cœur d'où son nom. Elle possède de nombreuses propriétés, notamment en optique : Les microphones cardioïdes enregistrent tous les sons situés à l'intérieur de cette courbe. Utilisés dans un concert, ils permettent d'enregistrer les musiciens sans capter les bruits du public. tracez une hypocycloïde telle que le rayon du disque mobile soit 4 fois plus petit que la cercle fixe. Comment s'appelle la courbe obtenue? Un astroïde : C'est une hypocycloïde avec 4 points de rebroussement. Elle a été étudiée par Jean Bernoulli ( ). Elle est en forme d'astre, d'où son nom.

5 5. Et aujourd'hui? Les travaux de Pascal en mathématiques ont donné lieu à de nombreuses applications utilisées aujourd'hui. Les microprocesseurs sont aujourd'hui présents dans de nombreux objets de notre quotidien. Plusieurs découvertes ont permis d'arriver à cette technologie. Quelle est la contribution de Blaise Pascal? Pascal a inventé la première machine à calculer mécanique. Les mouvements des astres suivent des courbes bien particulières, lesquelles? Les coniques et plus particulièrement les ellipses. En mécanique, des engrenages de type épicycloïdal sont utilisés. Quelles sont les courbes à l'origine de ce type d'engrenages? Les épicycloïdes. Combien de chance a-t-on de gagner au loto? En lançant un pièce, quelle est la probabilité de tomber sur pile? Ces questions font appel au calcul des probabilités. Blaise Pascal a résolu le problème des partis (jeu de hasard pratiqué au XVII e siècle) grâce à un objet mathématique présenté ici, lequel? Le triangle de Pascal. 6. Pour aller plus loin D'autres découvertes mathématiques de Blaise Pascal sont proposées dans la salle «histoire des sciences» du musée.

6 La cycloïde Cette courbe appelée roulette par Blaise Pascal est le lieu d'un point situé sur une roue roulant sans glisser sur un plan. Le calcul de l'aire sous une arche de cycloïde par la méthode des indivisibles de Roberval est proposé dans une animation sur une borne de l'espace «histoire des sciences». L'hexagramme mystique En 1640, Pascal publie son ``Essay pour les Coniques''. Dans ce texte d'une page, il inscrit un hexagone dans un cercle et souligne l'alignement des trois points d'intersection des trois couples de côtés opposés de cet hexagone, puis énonce la généralisation à n'importe quelle conique. Blaise Pascal appelait cet configuration l'hexagramme mystique. On peut proposer aux élèves de construire cette figure géométrique. Le triangle de Pascal Il possède de nombreuses propriétés présentées dans le film diffusé dans la salle. Pour en savoir plus sur le triangle de Pascal et ses nombreuses propriétés : Conception et réalisation de la fiche pédagogique : Claire Bernard.

7 Sur les traces de Blaise Pascal Collège - Lycée Service éducatif Les questions de 1 à 4 permettent de découvrir les travaux de Blaise Pascal en mathématiques. Ces questions te permettront ensuite de répondre à la question 5 qui expliquera les applications actuelles de ses travaux. 1. La Pascaline Observez la Pascaline, manipulez la Pascaline virtuelle. Calculez Remarquez la transmission de la retenue des unités vers les centaines. Pouvez-vous calculer 123, ,44? Si oui, comment? Si non, pourquoi? Pouvez-vous calculer ? Si oui, comment? Si non, pourquoi? 2. Pascal et les probabilités a. La planche de Galton On place une bille sur le haut de la planche de Galton, symbolisé par la case grisée au sommet de la pyramide dans l'image suivante :

8 Écrivez dans chaque case le nombre de chemins différents permettant d'arriver dans cette case. Par exemple, pour arriver dans la case grise tout à gauche, il n'y a qu'un seul chemin possible : la bille doit aller vers la gauche à chaque intersection, on a donc inscrit «1» dans cette case. Aide : pour les premières lignes, il est possible de compter le nombre de chemins arrivant sur une case donnée. A partir de la cinquième ligne, ce nombre devient trop important. Une solution est de compter le nombre de chemins arrivant dans les deux cases situés au dessus de la case en question et d'additionner ces deux nombres. Il y a 9 cases à l'arrivée. Sur laquelle la bille a-t-elle le plus de chances d'arriver? Entourez la case correspondante sur le schéma. b. Le triangle de Pascal Grâce à la planche de Galton, vous venez de construire un triangle de Pascal. Ci dessous, nous avons reproduit un triangle de Pascal plus grand. Coloriez les cases contenant un nombre pair dans le triangle de Pascal. Quelles formes voit-on apparaître?... Ces formes sont disposées selon une structure particulière se rapprochant du triangle fractal de Sierpinski. 3. Qu'est ce qu'une conique? Regardez l'animation «Les coniques» sur la borne correspondante, puis dessine un cône de révolution dans le cadre ci-contre.

9 L'intersection d'un cône et d'un plan donne une courbe géométrique. En faisant varier l'inclinaison du plan, on obtient différentes courbes géométriques, lesquelles?...,...,...,..., 4. Hypocycloïde ou épicycloïde? A l'aide du logiciel disponible sur la borne «épicycloïde/hypocycloïde», tracez une épicycloïde telle que le rayon du disque mobile soit identique à celui du cercle fixe. Comment s'appelle-t-elle? (1)... tracez une hypocycloïde telle que le rayon du disque mobile soit 4 fois plus petit que le cercle fixe. Comment s'appelle la courbe obtenue? (2)... Tracez ces deux courbes à main levée : 5. Et aujourd'hui? Les travaux de Pascal en mathématiques ont donné lieu à de nombreuses applications utilisées aujourd'hui. Les microprocesseurs sont aujourd'hui présents dans de nombreux objets de notre quotidien. Plusieurs découvertes ont permis d'arriver à cette technologie. Quelle est la contribution de Blaise Pascal?... Les mouvements des astres suivent des courbes bien particulières, lesquelles? En mécanique, des engrenages de type épicycloïdal sont utilisés. Quelles sont les courbes à l'origine de ce type d'engrenages? Combien de chance a-t-on de gagner au loto? En lançant un pièce, quelle est la probabilité de tomber sur pile? Ces questions font appel au calcul des probabilités. Blaise Pascal a résolu le problème des partis (jeu de hasard pratiqué au XVII e siècle) grâce à un objet mathématique présenté ici, lequel?...