TD 1 VOCABULAIRE DE BASE DE LA STATISTIQUE - TABLEAUX - VARIABLES - GRAPHIQUES

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1 TD VOCABULAIRE DE BASE DE LA STATISTIQUE - TABLEAUX - VARIABLES - GRAPHIQUES Le terme statstque a un double sens en franças : l désgne la totalté des données numérques (par exemple : la consommaton des ménages franças) ou non numérques ( la stuaton matrmonale) d'un ensemble. l désgne également un ensemble cohérent de méthodes scentfques (par exemple : le calcul de la consommaton moyenne des ménages franças) qu permettent de résumer l'ensemble des données numérques ou non numérques. L'ESSENTIEL DU COURS. VOCABULAIRE.. LA STATISTIQUE La statstque est un ensemble de méthodes scentfques basées sur le recuel, l'organsaton, la présentaton de données, ans que sur la modélsaton et la constructon de résumés numérques et la modélsaton. On parle de statstque descrptve lorsque l'on décrt et analyse un ensemble sans trer de concluson, de statstque nductve lorsque l'on tre des conclusons sur une parte d'un ensemble et que l'on tente d'étendre ces conclusons sur tout l'ensemble... POPULATION - ECHANTILLON - INDIVIDU Nous réalsons une enquête sur les consommateurs de la régon de Nantes. Nous consdérons que l'ensemble des consommateurs de la régon nantase est la populaton concernée par l'enquête. Un ensemble d'éléments, d'objets ou d'ndvdus, regroupés dans une catégore ben défne est appelé populaton ou unvers. Mas prendre l'ensemble des consommateurs (populaton) pour étuder leur comportement vs à vs de leur consommaton serat trop onéreux. Ans, lorsque la populaton devent trop grande pour être étudée et analysée dans sa totalté, on consdère une parte de cette populaton (échantllon). Ben sûr cette parte dot contenr les proprétés fondamentales de la populaton ou unvers. Un échantllon est un sous-ensemble de l'ensemble populaton, l dot posséder les proprétés fondamentales de l'ensemble dont l est ssu. Le consommateur de la régon de Nantes consttue un élément de la populaton et à ce ttre, s'l est désgné pour répondre à un questonnare, l peut être défn comme l'unté ou l'élément ou le consommateur de référence. Nous analyserons alors son comportement et sa façon d'exercer sa consommaton dans la régon. Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU

2 Un ndvdu, ou unté statstque, est un élément qu appartent à une populaton ou à un échantllon. Un ndvdu est un élément consttutf d'une populaton ou d'un échantllon qu permet de donner des nformatons sur les données statstques recherchées. Pour recuellr les données statstques (nformatons numérques ou non numérques) sur une populaton, on utlse sot les enquêtes exhaustves, sot les enquêtes partelles. Une enquête est dte exhaustve lorsque l'on s'ntéresse à l'ensemble des ndvdus qu composent la populaton étudée. Une enquête est dte partelle lorsque l'on s'ntéresse à une parte représentatve des ndvdus qu composent la populaton étudée. Une enquête exhaustve est appelée recensement. Toute enquête qu n'est pas exhaustve est partelle. Une enquête partelle est appelée enquête par sondage ou plus smplement sondage; dans ce cas la représentatvté joue un rôle détermnant dans la consttuton de l'échantllon..3. CARACTERES - MODALITES Nous avons réalsé une enquête sur 960 consommateurs de la régon nantase et nous étudons la répartton selon la catégore socoprofessonnelle et l'âge du répondant. Nous obtenons le tableau c-dessous Tableau -Répartton entre AGE et CSP dans la régon nantase en 999 Age CSP Agrculteur explotant Artsan, commerçant Cadre supéreur Professon ntermédare Employé Ouvrer Retraté Etudant Demandeur d'emplo Autre Total non réponse 0 à 39 ans à 59 ans à 7 ans plus de 75 ans non réponse Ans, l'age est une des multples questons que nous avons posées aux dfférents consommateurs retenus pour l'étude. L' AGE correspond à un caractère. Parm les 960 personnes nterrogées 36 ont répondu avor un âge comprs entre 0 et 39 ans, cela correspond à une modalté de réponse au caractère AGE. Un caractère est une des multples facettes selon laquelle on peut étuder un ndvdu d'une populaton ou d'un échantllon. Un ndvdu extrat d'une populaton ou d'un échantllon peut être étudé selon pluseurs caractères. Les modaltés sont les dfférentes stuatons possbles d'un caractère. Une modalté est donc une des réponses possbles à une queston... TABLEAUX INDIVIDUS CARACTERES Une base de données est un document sur lequel on nscrt l'ensemble des nformatons utles à l'étude d'un phénomène. Dans notre exemple sur les consommateurs nantas, nous pouvons dresser une table ou base de données qu comporte 960 lgnes et autant de colonnes qu'l exste de caractères utles à l'enquête. Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU

3 Tableau - Extrat d'une base de données ou tableau ndvdus-caractères Numéro Sexe Age Type d'occupaton Nombre d'actfs Nombre de votures Homme 5 Locatare 3 0 Homme 35 Proprétare 3 Femme 6 Locatare 3 Homme 38 Proprétare 5 Femme 3 Locatare 3 6 Homme 33 Locatare 3 7 Homme Proprétare 3 8 Homme 6 Locatare Homme 5 Proprétare 0 Femme 39 Proprétare 3 Homme 3 Proprétare 3 Femme 7 Locatare 3 Femme 3 Proprétare Homme 38 Proprétare 5 Femme 6 Proprétare 6 Homme 66 Locatare 7 Femme 7 Proprétare 8 Homme 70 Proprétare 9 Femme 76 Locatare 0 0 Femme 5 Proprétare 3 0 Un tableau ndvdus-caractères est un recuel de données statstques. C'est un document où l'on nscrt pour chaque ndvdu d'une populaton ou d'un échantllon les modaltés de réponses à un ensemble de caractères retenus pour l'étude..5. CARACTERES QUALITATIFS ET QUANTITATIFS. Dans le tableau, nous avons le caractère "Nombre d'actfs" dans le ménage, qu correspond à un caractère quanttatf et le caractère "Type d'occupaton" qu correspond à un caractère qualtatf, être proprétare ou locatare. Lorsque les modaltés d'un caractère ne sont pas mesurables alors le caractère est dt qualtatf. Lorsque les modaltés d'un caractère sont mesurables, alors le caractère est dt quanttatf.. OPERATEURS SOMME ET PRODUIT Afn de rendre plus compactes les écrtures des résumés numérques nous utlsons des opérateurs mathématques. L'opérateur sgma sert à contracter l'écrture d'une somme de nombres. Il se note et prend la forme : n x x x = x n Il faut lre de bas en haut - "somme de égale, à égale n, de x " Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 3

4 Afn de rendre plus compactes les écrtures des produts nous utlsons également un opérateur mathématque. L'opérateur p sert à contracter l'écrture d' un produt de nombres. Il se note et prend la forme : x... x... x n = x Une varable statstque est dte quanttatve s ses modaltés sont quantfables, elle est dte qualtatve s ses modaltés sont non quantfables. Les varables quanttatves peuvent être dscrètes ou contnues: lorsque les modaltés numérques d'une varable prennent des valeurs dans l'ensemble N des enters naturels (resp. des valeurs dans l'ensemble R des réels) la varable est dte dscrète (resp. la varable est dte contnue). Les varables qualtatves peuvent être ordnales ou nomnales : lorsque les modaltés d'une varable possèdent une relaton d'ordre (resp. ne possèdent pas une relaton d'ordre) la varable est dte ordnale (resp. la varable est dte nomnale). Le regroupement en classes est effectué sur des varables statstques quanttatves chaque fos que le nombre de valeurs num érques pr ses par la varable est trop élevé ; cela permet un calcul asé et rapde. On dt que la varable statstque est groupée en classes. n Il faut lre de bas en haut - "produt de égale, à égale n, de x " 3. VARIABLES STATISTIQUES QUANTITATIVES ET QUALITATIVES Dans le tableau, nous avons, par exemple, le caractère "Nombre d'actfs" qu défnt la varable statstque X. et correspond à un caractère quanttatf ; le caractère "Type d'occupaton" défnt la varable statstque Y et correspond à un caractère qualtatf. Les ndvdus d'une populaton sont observés sous l'angle d'un caractère. Une varable statstque permet d'assocer à chaque ndvdu de la populaton une modalté de ce caractère. Une varable peut être de nature quanttatve, on parle de varable quanttatve, ou de nature qualtatve, on parle de varable qualtatve. Fgure - catactère et varable statstque Caractère X Varable Statstque Varable quanttatve Varable qualtatve Varable contnue Varable dscrète Varable ordnale Varable nomnale Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU

5 . SERIES STATISTIQUES - DISTRIBUTIONS STATISTIQUES - EFFECTIFS - EFFECTIF TOTAL Dans le tableau, le caractère "Nombre d'actfs" défnt la varable statstque X. La lste des 0 ndvdus (talle de l'échantllon) qu ont répondu à ce caractère donne la lste ou sére statstque du caractère. Dans le tableau, le caractère "Age" permet de défnr une varable statstque Y ordonnée et groupée en classes, on parle alors de dstrbuton statstque de la varable Y dont le caractère est "Age". Fgure - Varable - modaltés - effectfs - Dstrbuton statstque. Caractère X Varable Statstque modalté x modalté x modalté x r effectf n effectf n effectf n r couple ( x,n ) ou dstrbuton de la varable X L'effectf n d'une modalté correspond au nombre d'ndvdus qu possèdent cette modalté. L'effectf d'une modalté est également appelé fréquence absolue. L'effectf total N est égal à la somme des effectf n r N = n + n n +...n = n r Ans, le couple ( x,n ) représente la dstrbuton de la varable X où n est l'effectf, et x la modalté (ou réponse) du caractère assocé à la varable statstque X. L'ndce représente le nombre de réponses (modaltés) que l'on peut fare sur le caractère étudé. La lste des N observatons fates pour un caractère d'une populaton P de talle N est appelée sére statstque. Une sére statstque ordonnée p orte le nom de dstrbuton statstque. Une dstrbuton statstque est l'ensemble des couples ( x,n ). 5. SERIES CHRONOLOGIQUES Une varable statstque quanttatve contnue ou dscrète X est dte temporelle lorsque les modaltés x font référence au temps t. Les prses de mesure x sur la varable se font à ntervalles régulers et ben sur une seule fos au cours du temps t. Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 5

6 6. EFFECTIFS CUMULES - FREQUENCES - FREQUENCES CUMULEES 6.. EFFECTIFS CUMULES La dstrbuton en effectfs cumulés modalté donnée : (x, N ), présente la somme des effectfs ayant au plus une Fgure 3 - Dstrbuton de fréquences relatves cumulées- X Varable Statstque modalté x modalté x modalté x r effectf cumulé N effectf cumulé N effectf cumulé N r N = n = n + n k= k= k n couple (x,n ) ou dstrbuton des effectfs cumulés de la varable X 6.. FREQUENCES La fréquence f assocée à une modalté est égale au rapport de l'effectf n par l'effectf total n N : f = N La fréquence est également appelée fréquence relatve. S l'on multple par 00 les fréquences, nous obtenons des fréquences en pourcentage notées f % Fgure - Dstrbuton en fréquences - X Varable Statstque modalté x modalté x modalté x r fréquence relatve f fréquence f fréquence relatve f r f n N r = avec N = n couple (x, f ) ou dstrbuton de fréquence de la varable X Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 6

7 La somme des fréquences est égale à : r r r n f = = n = N N N N 6.3. FREQUENCES CUMULEES Les dstrbutons en fréquences cumulées (x, F ), présentent la somme des fréquences ayant au plus une modalté donnée : S l'on multple par 00 les fréquences cumulées, nous obtenons des fréquences cumulées en pourcentage notées F % Fgure 5 - Dstrbuton de fréquences cumulées- X Varable Statstque = modalté x modalté x modalté x r effectf cumulé F effectf cumulé F effectf cumulé F r F k= = nk = f + f f N k= couple (x,f ) ou dstrbuton de fréquences cumulées de la varable X 7. PRINCIPAUX GRAPHIQUES DES VARIABLES STATISTIQUES. Pour résumer l'nformaton statstque contenue dans une dstrbuton statstque (quanttatve ou qualtatve) on utlse en premer leu des résumés graphques. Chaque type de varable possède une ou pluseurs représentatons graphques. 7.. REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DES VARIABLES QUALITATIVES 7... Dagramme "tuyaux d'orgue" Dans ce type de représentaton, les rectangles (tuyaux) ont pour base une modalté et comme hauteur l'effectf (ou la fréquence). La base de chacun des rectangles (base sur l'axe des abscsses) ne possède aucune sgnfcaton numérque (varable qualtatve) Dagramme en "secteurs". Dans ce type de représentaton, nous utlsons un dsque (plus communément appelé camembert) ; chacune des modaltés est représentée par un secteur qu est proportonnel à l'effectf (ou à la fréquence). 7.. REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DES VARIABLES QUANTITATIVES 7... Le dagramme bâtons Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 7

8 Le dagramme bâtons est la représentaton d'une dstrbuton statstque dscrète (x, n ) ou (x, f ) ou (x, f %) où chaque bâton a une hauteur qu est proportonnelle à l'effectf n de la modalté x L'hstogramme L'hstogramme est la représentaton graphque d'une dstrbuton statstque (x, n ) ou (x, f ) ou (x, f %) groupée en classes, où chaque classe est représentée par un rectangle de base proportonnelle à l'ampltude et de surface proportonnelle à l'effectf. Les dstrbutons statstques de varables quanttatves groupées en classes peuvent avor des ampltudes toutes dfférentes. Dans ce cas, c'est à partr de dstrbutons statstques corrgées que l'on construt un hstogramme Le dagramme cumulatf crossant Le dagramme cumulatf crossant est la représentaton graphque de la dstrbuton des fréquences cumulées (x,f ) (ou des effectfs cumulés (x,n ) ou des fréquences relatves en pourcentage (x,f %)). Le dagramme cumulatf crossant d'une varable quanttatve dscrète est une foncton dte en "escaler". Cette foncton est par hypothèse contnue à gauche. La courbe du dagramme cumulatf d'une varable groupée en classes passe par les lmtes supéreures des classes Le polygone des fréquences Le polygone des fréquences d'une varable dscrète est la courbe qu jont les sommets des bâtons d'un dagramme bâtons. Le polygone des fréquences d'une varable contnue groupée en classes est la courbe qu jont les mleux des côtés supéreurs des rectangles d'un hstogramme SERIES CHRONOLOGIQUES Pour représenter une sére chronologque, nous devrons utlser un dagramme en bâtons, mas la lsblté est mons bonne que lorsque l'on utlse une courbe qu jont les ponts dont les coordonnées sont, en abscsse, le temps et, en ordonnée, la valeur de la varable. Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 8

9 POUVEZ-VOUS REPONDRE? En 0 questons testez vos acqus. - La statstque descrptve décrt et analyse. - Une varable statstque dscrète ne peut pas être groupée en classes. 3 - Une varable statstque contnue possède des valeurs dans l'ensemble des naturels - Un hstogramme est la représentaton graphque d'une varable statstque contnue groupée en classes. 5 - L'are d'un rectangle composant un hstogramme est proportonnelle à l'effectf de la classe. 6 - On ne peut pas calculer des fréquences cumulées crossantes sur une varable statstque qualtatve ordnale. 7 - La représentaton d'une varable statstque dscrète est le dagramme en bâtons. 8 - Le polygone des fréquences ou des effectfs permet de représenter une varable qualtatve ordnale. 9 - L'opérateur sgma sert à contracter l'opératon multplcaton. 0 - Une varable statstque est toujours assocée à un caractère. VRAI FAUX QUESTIONS DE REFLEXION - Peut on regrouper en classe une varable statstque dscrète? - Quelle est la dfférence entre la noton de sére statstque et dstrbuton statstque? Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 9

10 . ENTRAINEMENT.. EXERCICE - CONSTRUCTION DES TABLEAUX STATISTIQUES Le tableau de la page est un extrat de la base de données sur le comportement des consommateurs de la régon de Nantes, enquête réalsée en jun 999. Après avor prs connassance de ce tableau Indvdus-caractères répondre à la queston suvante : Pour chacun des caractères "AGE", "NOMBRE DE VOITURES", "TYPE D'OCCUPATION" du logement, défnr sa nature et construre sa dstrbuton statstque sous forme de tableaux. Analyse de l'énoncé et consels. Cet exercce vous permettra de prendre conscence que les tableaux de la statstque sont ssus d'hypothèses et de défntons. Compter, regrouper, en foncton des défnton sur les varables statstques sont les buts recherchés... EXERCICE - VARIABLE QUALITATIVE NOMINALE Une enquête sur la stuaton matrmonale des employés d'une entreprse permet d'établr le tableau suvant : Tableau 3 - Répartton de la stuaton matrmonale des employés d'une entreprse Modaltés Effectfs Célbatare 7 Maré 70 Veuf 9 Dvorcé 39 - Quelle est la nature de ce caractère? Défnr la varable statstque assocée à ce caractère. - Calculer l'effectf total et les fréquences de cette dstrbuton. 3 - Donner pluseurs représentatons graphques de cette varable. Analyse de l'énoncé et consels. Le caractère est qualtatf nomnal, son tratement statstque est "lmté" à l'étude des fréquences. Il est a noter qu'un tel caractère possède pluseurs représentaton graphques..3. EXERCICE 3 - VARIABLE QUALITATIVE ORDINALE La dstrbuton des mentons d'une promoton d'étudants de premère année de DEUG Scences Economques, lors de l'examen de fn d'année, est la suvante : Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 0

11 Tableau - Répartton des Mentons en DEUG Scences Economques Modaltés Effectfs Très ben Ben Assez Ben 5 Passable 0 - Quelle est la nature de ce caractère? Défnr la varable statstque assocée à ce caractère. - Calculer l'effectf total et les fréquences de cette dstrbuton. 3 - Donner pluseurs représentatons graphques de cette varable. Analyse de l'énoncé et consels. Les varables statstques ordonnées ont des représentaton graphques dfférentes. Les calculs sur ce type de varable ne portent que sur les effectfs ou les fréquences (smples et cumulées) de chacune des modaltés... EXERCICE - L'OPERATEUR (Σ) ET L'OPERATEUR (Π) - Soent deux séres de quatre nombres : ( 7 9) et (8 0 ) - Calculer les expressons suvantes : = x = y = 3 - Calculer les expressons suvantes : ( + ) x y x + y = x = = x x. y x. y - Développer pus calculer l expresson suvante : = 5.( x + 3) =. x =. x x y = = = = Analyse de l'énoncé et consels. Cet exercce est très mportant dans la mesure ou l vous permettra de fare un tour d'horzon sur des opérateurs mathématques que l'on dot connaître pour comprendre les formule et les démonstratons fates en statstque descrptves. Il permet également de vérfer quelques proprétés de ces opérateurs.5. EXERCICE 5 - VARIABLE QUANTITATIVE DISCRETE - La répartton de 838 ménages dans une commune en foncton du nombre de personnes vvant dans le foyer est donnée dans le tableau c-dessous. Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU

12 Tableau 5 - Dstrbuton selon la talle du ménage dans une commune. Nombre de personnes dans le ménage Nombre de ménages personnes et plus 6 Total Donner la nature du caractère "talle du ménage" et défnr la varable statstque assocée. - Calculer les effectfs, les fréquences, les fréquences cumulées. 3 - Tracer le graphque correspondant à la varable statstque étudée. Représenter le polygone des fréquences. Analyse de l'énoncé et consels. L'exercce vous permettra de vor qu'l est dffcle de fare d'autres représentatons graphques que les dagrammes bâtons pour représenter une varable statstque dscrète. Le fat de connaître la dénomnaton de la varable dot entraîner oblgatorement un seul type de graphque..6. EXERCICE 6 - VARIABLE QUANTITATIVE CONTINUE - Les déclaratons annuelles de données socales (DADS) pour l'année 993 permettent de donner la dstrbuton par tranches de salare net annuel des employés du secteur d'actvtés artstques dans le département de l'hérault. Tableau 6 - Répartton des salares des employés Tranches de salare net annuel Nombre d employés (en francs) mons de de à mons de de à mons de de à mons de de à mons de de à mons de de à mons de de à mons de et plus 36 - Calculer les fréquences et donner la représentaton graphque. Tracer le polygone des fréquences. - Détermner les fréquences cumulées crossantes et décrossantes et les représenter graphquement. Analyse de l'énoncé et consels. Les varables statstques quanttatves contnues peuvent prendre toutes les valeurs sur l'ensemble des réels. La prncpale dffculté de cet exercce résde dans la non constance des ampltudes de classes. Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU

13 SOLUTIONS SOLUTION AUX TESTS - VRAI, - FAUX, 3 - FAUX, - VRAI, 5 - VRAI, 6 - FAUX, 7 - VRAI, 8 - FAUX, 9 - FAUX, 0 - VRAI SOLUTION AUX QUESTIONS DE REFLEXION - Il est possble de regrouper une varable statstque dscrète. Par exemple l'étude du nombre de salarés des entreprses d'un régon de France. - Une sére statstque est non ordonnée, alors qu'une dstrbuton statstque est ordonnée. Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 3

14 . SOLUTIONS.. EXERCICE - CONSTRUCTION DES TABLEAUX STATISTIQUES - Eléments de réponse à la queston : Le caractère "AGE" dot être assocé à une varable statstque quanttatve contnue. Afn de smplfer la constructon du tableau statstque sur l'âge des 0 ndvdus, nous regrouperons en classes la varable en prenant compte les dfférents éléments de constructon : Le nombre d'ndvdus de la populaton ou de l'échantllon, ans que le nombre de classes que l'on désre créer (le nombre de classes dépend de pluseurs paramètres, nous supposerons c qu'l est fxé de façon arbtrare pour smplfer la démarche). Le nombre de classes est fxé à. On dt alors que les 0 ndvdus de l'échantllon sont regroupés en classes. Les bornes des classes : ce sont les lmtes nféreures et supéreures de classe, seule une des deux bornes est comprse (problème de contnuté), - premère classe - de 0 ans à mons 0 ans écrture sous forme d'ntervalles [0 ; 0 [ borne nféreure - 0 ans borne comprse borne supéreure - 0 ans borne non comprse - seconde classe - de 0 ans à mons de 60 ans écrture sous forme d'ntervalles [0 ; 60 [ borne nféreure - 0 ans borne comprse borne supéreure - 60 ans borne non comprse - trosème classe - de 60 ans à mons de 75 ans écrture sous forme d'ntervalles [60 ; 75 [ borne nféreure -60 ans borne comprse borne supéreure -75 ans borne non comprse - quatrème classe - 75 ans et plus écrture sous forme d'ntervalles [75 ; Plus de 75 ans [ borne nféreure - 75 ans borne comprse borne supéreure -ouverte. Dans ce cas l est nécessare de borner la classe lorsque l'on désre effectuer des calculs (vor exercces suvants). Les ampltudes des classes : ce sont les longueurs de chaque classe, ou les dfférences entre les bornes supéreures et nféreures, - premère classe - [0 ; 0 [ l'ampltude est de a = 0-0 = 0 - seconde classe - [0 ; 60 [ l'ampltude est de a = 60-0 = 0 - trosème classe - [60 ; 75 [ l'ampltude est de a 3 = = 5 - quatrème classe - [75 ; plus de 75 ans [ pas d'ampltude. Elle est dans ce cas nfne. La borne supéreure de classe est ouverte, l est nécessare de Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU

15 fxer une valeur, prenons par exemple la valeur 00 ans. Dans ce cas l'ampltude de classes devent : A = = 5 Le regroupement en classes que l'on vent de réalser est un regroupement à classe d'ampltudes négales. Les centres des classes : ce sont les mleux de chaque classe, ls résument toutes les valeurs contenues dans la classe. On fat l'hypothèse que les ndvdus d'une même classe ont même valeur, la valeur centrale, (on dt que la dstrbuton est unforme à l'ntéreure de chacune des classes). premère classe - [0 ; 0 [ le centre de la classe est de (0 + 0 ) / = 30 seconde classe - [0 ; 60 [ le centre de la classe est de ( ) / = 50 trosème classe - [60 ; 75 [ le centre de la classe est de ( ) / = 67,5 quatrème classe - [75 ; 00 [ le centre de la classe est de ( ) / = 87,5 L' effectf de chaque classe ou fréquence absolue correspond au nombre d'ndvdus regroupés dans une même classe. Nous obtenons le tableau de la dstrbuton du caractère "AGE" assocée à la varable statstque quanttatve contnue groupée en classes, suvant : Tableau 7 - Dstrbuton par tranches d'âge - Classes d'âge Effectfs 0 à mons de 0 ans 9 0 à mons de 60 ans 5 60 à mons de 75 ans 75 ans et plus Total 0 Commentares : Le regroupement en classe ntrodut une perte d'nformatons. Lorsque la premère et la dernère classe d'une dstrbuton groupée en classes possèdent des classes ouvertes, l est alors ndspensable de fxer arbtrarement la borne nféreure de la premère classe et la borne supéreure de la dernère classe afn de pouvor fare des calculs. Le caractère "NOMBRE DE VOITURES", dot être assocé à une varable statstque quanttatve dscrète. Comme le nombre de modaltés de ce caractère est fable, nous rechercherons pour chacune d'entre elles leur effectf. Chacune des personnes de l'échantllon peut avor à pror, 0 voture, voture, votures, etc. Nous obtenons pour notre base de données : Tableau 8 - Dstrbuton du nombre de votures Nombre de votures Effectfs Total 0 Le caractère "TYPE D'OCCUPATION" du logement, dot être assocé à une varable statstque qualtatve nomnale. En effet, les modaltés de ce caractère ne sont pas ordonnées. Nous obtenons à partr de la base de données le tableau suvant : Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 5

16 Tableau 9 - Répartton selon le type d'occupaton Type d'occupaton Effectfs Locatare 8 Proprétare Total 0 Commentares : Ces tros tableaux sont également appelés "tr à plat". Ans, un tr à plat est la correspondance en terme de tableau d'un caractère qu lu même est assocé à une varable statstque... EXERCICE - VARIABLE QUALITATIVE NOMINALE - Eléments de réponse à la queston : On est en présence d'un caractère nomnale assocé à une varable statstque qualtatve nomnale. Les modaltés du caractère "stuaton matrmonale" sont des rubrques. Une varable qualtatve nomnale n'est pas ordonnée, le classement des modaltés dans le tableau est "arbtrare. Eléments de réponse à la queston : L'effectf total (N) est obtenu en fasant la somme des effectfs (n ). Les fréquences relatves (f ) sont obtenues en dvsant chaque effectf (n ) par l'effectf total (N). Les fréquences relatves peuvent auss être présentées sous forme de pourcentages f (en%). Tableau 0 - Répartton des ménages selo n la stuaton matrmonale Stuaton matrmonale Effectfs n Fréquences f Fréquences en % f % Célbatare 7 0,3 3,0% Maré 70 0,50 5,00% Veuf 9 0,038 3,80% Dvorcé 39 0,078 7,80% 500,000 00,00% Eléments de réponse à la queston 3 : On peut ndfféremment représenter les effectfs absolus ou les effectfs relatfs. Premer exemple de graphque : le dagramme en bâtons. On porte en abscsse les stuatons matrmonales et en ordonnée les effectfs ou les fréquences relatves. Chaque bâton a une hauteur proportonnelle à son effectf ou à sa fréquence relatve. Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 6

17 Graphque - Dagramme bâtons Fréquences relatves 0,6 0,5 0, 0,3 0, 0, Dagramme en bâtons (fréquences relatves) 0,0 Célbatare Maré Veuf Dvorcé Stuaton matrmonale Deuxème exemple de graphque : le dagramme en secteurs La même dstrbuton peut être représentée en utlsant un dsque (plus communément appelé camembert) ; chacune des modaltés est représentée par un secteur ; sous la modalté apparaît la fréquence en % correspondante. Chaque secteur est proportonnel à la fréquence : Graphque - Dagramme en secteurs Dagramme en secteurs : stuatons matrmonales Veuf Dvorcé Maré Célbatare Trosème exemple de graphque : le dagramme en barres. Il se présente comme un dagramme bâtons où les effectfs (ou fréquences) sont placés sur l'axe des abscsses. Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 7

18 Graphque 3 - Dagramme en barres Dagramme en barres Stuaton matrmonale Dvorcé Veuf Maré Célbatare Effectfs.3. EXERCICE 3 - VARIABLE QUALITATIVE ORDINALE - Eléments de réponse à la queston : On est en présence d'un caractère nomnal assocé à une varable statstque qualtatve ordonnée. Les modaltés du caractère "Menton obtenue" correspondent à un ordre et dans notre cas à une échelle de mesure qu sont les ponts obtenus lors de l'examen ; la varable est qualtatve ordnale, le classement des modaltés n'est pas "arbtrare". Eléments de réponse à la queston : La varable est qualtatve ordonnée on peut calculer les effectfs, les effectfs cumulés crossants, fréquences et les fréquences cumulées crossantes. On obtent les résultats : Tableau - Répartton des mentons en DEUG ère Année Réparton des Effectfs Fréquences Mentons en DEUG Scences Economques cumulés cumulées Mentons Effectfs crossants Fréquences crossantes Très ben Ben Assez Ben Passable Total Eléments de réponse à la queston 3 : La représentaton graphque de cette varable statstque est la suvante : Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 8

19 Graphque - Représentaton d'une varable qualtatve ordonnée Répartton des Mentons en DEUG ère année Fréquences Très ben Ben Assez Ben Passable On peut également donner une autre représentaton de cette varable en utlsant le dagramme en secteurs : Graphque 5 - Représentaton en secteurs d'une varable qualtatve ordonnée Répartton des Mentons en DEUG ère année 66% % 6% 6% Très ben Ben Assez Ben Passable.. EXERCICE - L'OPERATEUR ( Σ) ET L'OPERATEUR ( Π) Eléments de réponse à la queston : On désgne par la lettre X la premère sére et par Y la deux ème. La notaton ndcelle x et y permet de présenter ce s deux séres d e la façon suvante : x = x = x 3 = 7 x = 9 y = 8 y = 0 y 3 = y = L'expresson x 3 = 7, par exemple, sgnfe que la trosème valeur de la sére X est 7. Il est auss possble de présenter ces deux séres dans le tableau suvant, où est l'ndce: Tableau - Seres sur les opérateurs x y On fat la somme des valeurs x : = x = x + x + x3 + x = = Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 9

20 = On fat la somme des valeurs y : On effectue tout d'abord les sommes (x + y ) pus on en fat la somme : On effectue la somme des valeurs x d'une part et des valeurs y d'autre part, pus on fat la somme de ces deux quanttés : On vérfe sur ce derner exemple l'égalté suvante : On multple par la constante () la somme des x :. =. x =.() = On multple par toutes les valeurs x et on en fat la somme : = On vérfe sur ce derner exemple l'égalté suvante : a. x = a.. x On élève tous les x au carré et on effectue leur somme (c'est une somme de carrés) : = x On effectue la somme des x et on l'élève au carré (c'est le carré d'une somme) : x = ()² = 8 Attenton, la somme des carrés n'est pas égale au carré de la somme : x x on effectue pour chaque valeur de le produt des x par les y, pus on en fat la somme (c'est une somme de produts) : =. x = y = y + y + y3 + y = = 3 ( x + y ) = x + y ) + ( x + y + ( x + y ) + ( x + y ) = ( + 8) + ( 0) + (7 + ) + (9 + ) = 65 ( x + x. y y = ( x = (.) + (.) + (.7) + (.9) = = = ()² + ()² + (7)² + (9)² = = 50 = (.8) + (.0) + (7.) + (9.) = = 968 On effectue le produt de la somme des x par la somme des y (c'est un produt de sommes) : ) x + x x 3 + x. y + x ) + ( y y = + y ( x + y = () (3) = 96 + y ) 3 + y ) = () + (3) = 65 Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 0

21 Attenton, le produt d'une somme n'est pas égale à la somme des produts : x. y y. x Eléments de réponse à la queston : On développe le carré, pus on applque les proprétés de l'opérateur somme : = 5.( x 5x + 3) + = 30x = Eléments de réponse à la queston 3 : On effectue le produt des valeurs x : 5.( x x 5 = ) = ( 5x + 30x + 5) ( 5 50) + ( 30 ) + ( 5) = = 590 = x On effectue le produt des valeurs y : = y =..7.9 = 50 x = = EXERCICE 5 - VARIABLE QUANTITATIVE DISCRETE - Eléments de réponse à la queston : Le caractère «Nombre de personnes du ménage» dot être assocé à une varable qualtatve dscrète pusque ses modaltés de réponse sont des valeurs entères. Dans le tableau c-dessous nous noterons : les effectfs (n ), les effectfs cumulés crossants (N ), les fréquences (f ) et les fréquences cumulées crossantes (F ). Tableau 3 - Répartton du nombre de personnes dans le ménage. Nombre de personnes dans le ménage Effectfs n Effectfs cumulés N x + Fréquences f 5 Fréquences cumulées ,75 0, ,38 0, ,59 0, ,8 0, ,056 0,959 6 ou ,00,000 Total 838,000 Eléments de réponse à la queston : La varable quanttatve est dscrète, les effectfs cumulés crossants N (ou les fréquences cumulées crossantes F ) dovent être représentés au moyen d une courbe en escaler. A chaque paler correspond une valeur N. Les palers correspondent à des ntervalles fermés à gauche (valeurs de la varable correspondant aux dfférentes valeurs de N ) et ouverts à drote. Les palers correspondent à des ntervalles fermés à gauche (valeurs de la varable correspondant aux dfférentes valeurs de F ) et ouverts à drote. Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU F

22 Graphque 6 - Représentaton de la courbe cumulatve crossante en % Fréquences cumulées 00% 90% 80% 70% 60% 50% 0% 30% 0% 0% 0% Nombre de personnes dans le ménage Commentares : Il est asé de lre par exemple que 60% des ménages se composent au plus de personnes, ce qu consttue une nformaton plus clare que l nformaton équvalente lée aux (N ) à savor : 686 ménages sur 838 se composent au plus de personnes. Eléments de réponse à la queston 3 : La varable statstque est quanttatve dscrète, les fréquences relatves (f ) dovent être représentées par un dagramme en bâtons. La hauteur de chacun des bâtons sera égale à la valeur (f ). Le polygone des fréquences (relatves ou absolues) correspond à la courbe qu jont les dfférents bâtons. Graphque 7 - Représentaton d'une varable dscrète et son polygone des fréquences Fréquences relatves en % Commentares : 35% 30% 5% 0% 5% 0% 5% 0% Polygone des fréquences ou + Nombre de personnes Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU

23 Cette représentaton permet de vsualser la dstrbuton des valeurs (f ) correspondant aux dfférentes modaltés du caractères étudée. Elle faclte la lecture des données en mettant en évdence notamment la valeur la plus fréquente : c, la valeur..6. EXERCICE 6 - VARIABLE QUANTITATIVE CONTINUE - Eléments de réponse à la queston : La varable statstque X contnue groupée en classes est assocée au caractère «Salare net annuel». Les classes sont d ampltude varables, l faut représenter non pas les fréquences mas les fréquences «corrgées». En effet, chacun des rectangles représentant une des classes de l'hstogramme dot avor une surface proportonnelle aux effectfs de cette classe. Ne connassant pas la valeur mnmale et la valeur maxmale effectvement prses par la varable étudée, nous devrons fare appel à notre «bon sens». Pour la premère classe de la dstrbuton statstque, on fxe la borne nféreure à 0 francs et pour la dernère classe, on fxe de façon "arbtrare" la borne supéreure à francs. Nous constatons que la varable X peut être dvsée par (changement d'échelle) pour smplfer les calculs. Il nous faut à présent trouver le coeffcent correcteur de la sére des ampltudes. On chost en général le plus pett commun multple, dans notre cas le seul nombre commun et enter à la sére des ampltudes est la valeur. Nous aurons pu prendre l'ampltude la plus souvent répétée, dans notre cas l'ampltude, mas dans ce cas nous aurons eu des facteurs de correcton non enter (ce qu pose problème lorsque l'on désre utlser un tableur). Grâce à ces hypothèses, nous pouvons alors construre un premer tableau de calcul pour la détermnaton des fréquences moyennes par unté d ampltude : Tranches de salare net annuel X Tableau - Répartton par tranches de salares net annuel Effectfs n Fréquences f Ampltudes de classes b Changement d'échelle a = b / 0000 Coeffcents correcteur c =( a / base) Fréquences corrgées f / c base = [ [ 35 0, [ [ 3 0, [ [ 77 0, [ [ 8 0, [ [ 56 0, [ [ 9 0, [ [ 85 0, [ [ 0, [ [ 36 0, Total 5,000 Les fréquences «corrgés» s obtennent en calculant pour chacune des classes le rapport (f / c ). Nous procéderons de la même manère pour les effectfs (n ). Nous pouvons mantenant à partr des fréquences (ou des effectfs) construre l hstogramme : Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 3

24 Graphque 8 - Hstogramme ou représentaton d'un varable groupée en classes 0.09 Fréquences Polygone des fréquences Numéro des Classes L'hstogramme et le polygone des fréquences permettent de vsualser l'allure générale de la dstrbutons des salares des employés du secteur d'actvté artstque dans le département de l'hérault. Eléments de réponse à la queston : Le calcul des fréquences crossantes et décrossantes est effectué dans le tableau suvant : Tableau 5 - Tranches de salare net annuel - Tranches de salare net annuel Fréquences relatves Fréquences cumulées F crossantes f [ [ 0, 0,,000 [ [ 0,59 0,03 0,756 [ [ 0, 0,55 0,597 [ [ 0,056 0,58 0,75 [ [ 0,039 0,60 0,9 [ [ 0,08 0,70 0,380 [ [ 0,7 0,89 0,98 [ [ 0,077 0,906 0,7 [ [ 0,09,000 0,09 Total,000 Fréquences cumulées F décrossantes Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU

25 On peut représenter respectvement les fréquences cumulées crossantes et décrossantes par les courbes cumulatves c-dessous : Graphque 9 - Les courbes cumulatves crossante et décrossante Fréquences Fréquences cumulées crossantes et décrossantes Fréquences cumulées crossantes fréquences cumulées décrossantes Classes Les fréquences cumulées crossantes passent par les bornes supéreures de classes, les fréquences cumulées décrossantes passent par les bornes nféreures de classes. Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 5

26 TABLE DES MATIERES - TD VOCABULAIRE DE BASE DE LA STATISTIQUE - TABLEAUX - VARIABLES - GRAPHIQUES.... VOCABULAIRE..... LA STATISTIQUE..... POPULATION - ECHANTILLON - INDIVIDU CARACTERES - MODALITES..... TABLEAUX INDIVIDUS CARACTERES CARACTERES QUALITATIFS ET QUANTITATIFS OPERATEURS SOMME ET PRODUIT VARIABLES STATISTIQUES QUANTITATIVES ET QUALITATIVES.... SERIES STATISTIQUES - DISTRIBUTIONS STATISTIQUES - EFFECTIFS - EFFECTIF TOTAL SERIES CHRONOLOGIQUES EFFECTIFS CUMULES - FREQUENCES - FREQUENCES CUMULEES EFFECTIFS CUMULES FREQUENCES FREQUENCES CUMULEES PRINCIPAUX GRAPHIQUES DES VARIABLES STATISTIQUES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DES VARIABLES QUALITATIVES Dagramme "tuyaux d'orgue" Dagramme en "secteurs" REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DES VARIABLES QUANTITATIVES Le dagramme bâtons L'hstogramme Le dagramme cumulatf crossant Le polygone des fréquences SERIES CHRONOLOGIQUES... 8 POUVEZ-VOUS REPONDRE?... 9 QUESTIONS DE REFLEXION ENTRAINEMENT EXERCICE - CONSTRUCTION DES TABLEAUX STATISTIQUES EXERCICE - VARIABLE QUALITATIVE NOMINALE EXERCICE 3 - VARIABLE QUALITATIVE ORDINALE EXERCICE - L'OPERATEUR (Σ) ET L'OPERATEUR (Π) EXERCICE 5 - VARIABLE QUANTITATIVE DISCRETE EXERCICE 6 - VARIABLE QUANTITATIVE CONTINUE -... SOLUTIONS... 3 SOLUTION AUX TESTS... 3 SOLUTION AUX QUESTIONS DE REFLEXION... 3 Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 6

27 . SOLUTIONS..... EXERCICE - CONSTRUCTION DES TABLEAUX STATISTIQUES EXERCICE - VARIABLE QUALITATIVE NOMINALE EXERCICE 3 - VARIABLE QUALITATIVE ORDINALE EXERCICE - L'OPERATEUR (Σ) ET L'OPERATEUR (Π) EXERCICE 5 - VARIABLE QUANTITATIVE DISCRETE EXERCICE 6 - VARIABLE QUANTITATIVE CONTINUE TABLE DES TABLEAUX - TD TABLEAU -REPARTITION ENTRE AGE ET CSP DANS LA REGION NANTAISE EN TABLEAU - EXTRAIT D'UNE BASE DE DONNEES OU TABLEAU INDIVIDUS-CARACTERES... 3 TABLEAU 3 - REPARTITION DE LA SITUATION MATRIMONIALE DES EMPLOYES D'UNE ENTREPRISE... 0 TABLEAU - REPARTITION DES MENTIONS EN DEUG SCIENCES ECONOMIQUES... TABLEAU 5 - DISTRIBUTION SELON LA TAILLE DU MENAGE DANS UNE COMMUNE.... TABLEAU 6 - REPARTITION DES SALAIRES DES EMPLOYES... TABLEAU 7 - DISTRIBUTION PAR TRANCHES D'AGE TABLEAU 8 - DISTRIBUTION DU NOMBRE DE VOITURES... 5 TABLEAU 9 - REPARTITION SELON LE TYPE D'OCCUPATION... 6 TABLEAU 0 - REPARTITION DES MENAGES SELON LA SITUATION MATRIMONIALE... 6 TABLEAU - REPARTITION DES MENTIONS EN DEUG ERE ANNEE... 8 TABLEAU - SERIES SUR LES OPERATEURS... 9 TABLEAU 3 - REPARTITION DU NOMBRE DE PERSONNES DANS LE MENAGE.... TABLEAU - REPARTITION PAR TRANCHES DE SALAIRES NET ANNUEL... 3 TABLEAU 5 - TRANCHES DE SALAIRE NET ANNUEL -... TABLE DES GRAPHIQUES - TD GRAPHIQUE - DIAGRAMME BATONS... 7 GRAPHIQUE - DIAGRAMME EN SECTEURS... 7 GRAPHIQUE 3 - DIAGRAMME EN BARRES... 8 GRAPHIQUE - REPRESENTATION D'UNE VARIABLE QUALITATIVE ORDONNEE... 9 GRAPHIQUE 5 - REPRESENTATION EN SECTEURS D'UNE VARIABLE QUALITATIVE ORDONNEE... 9 GRAPHIQUE 6 - REPRESENTATION DE LA COURBE CUMULATIVE CROISSANTE EN %... GRAPHIQUE 7 - REPRESENTATION D'UNE VARIABLE DISCRETE ET SON POLYGONE DES FREQUENCES... GRAPHIQUE 8 - HISTOGRAMME OU REPRESENTATION D'UN VARIABLE GROUPEE EN CLASSES... GRAPHIQUE 9 - LES COURBES CUMULATIVES CROISSANTE ET DECROISSANTE... 5 Jean-Lous MONINO - Jean-Mchel KOSIANSKI - Franços LE CORNU 7