ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE PLANE
|
|
- Brigitte Pépin
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE PLANE I. DROITE ET SEGMENT 1. Généralités Il existe une droite et une seule passant par deux points A et B distincts donnés, on la note (AB). On peut dire que la droite passe par A, ou que A appartient à la droite. Des points sont alignés s'il existe une droite à laquelle ils appartiennent tous. Une droite partage le plan en deux demi-plans. 2. Droites sécantes ou parallèles Deux droites sont sécantes si elles ont exactement un point en commun, dans le cas contraire elles sont parallèles (on dit aussi qu'elles ont même direction). Deux droites parallèles sont soit strictement parallèles (elles n ont aucun point en commun) soit confondues (égales). Si deux droites sont parallèles, toute droite qui coupe l'une coupe l'autre. Axiome d Euclide : Par un point donné il passe une droite et une seule parallèle à une droite donnée. Si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles. Des droites sont concourantes s'il existe un point par lequel elles passent toutes. 3. Demi-droite, segment et milieu d un segment Un point d'une droite y définit deux demi-droites. Chacune de ces demi-droites a un sens opposé de celui de l'autre. Notation: [Ax) et [Ax ). A est leur origine. Un segment de droite est une partie de droite comprise entre deux points, c est l intersection non vide de deux demi-droites de sens opposés. Notation : [AB] 4. Distance, inégalité triangulaire, milieu d un segment La distance de deux points est la longueur du segment qu'ils déterminent. Notation: AB est la longueur du segment [AB]. Inégalité triangulaire : A, B et M étant trois points du plan, on a toujours l'inégalité MA + MB AB. Si MA + MB = AB. alors M est sur le segment [AB]. Si M est sur [AB], alors MA + MB = AB. Le milieu d'un segment est 1e point du segment situé à égale distance des extrémités. Le milieu I de [AB] est le seul point de (AB) qui vérifie IA = IB. A I B II. ANGLES GÉOMÉTRIQUES 1. Généralités Deux demi-droites [Ax) et [Ay) de même origine constituent deux secteurs angulaires. Lorsqu'ils sont inégaux, le plus petit est le secteur saillant, le plus grand est le secteur rentrant. Ce secteur angulaire saillant détermine un angle géométrique. A en est le sommet, [Ax) et [Ay) en sont les cotés, on le note x! Ay. (On parle aussi d angle saillant et d angle rentrant). 2. Mesure des angles en degrés Les angles géométriques se mesurent en degré avec la convention suivante : un tour = 360. L'angle nul est celui dont les côtés sont confondus. L'angle plat (ou demi-tour) est celui dont les côtés forment une droite, il mesure 180. L'angle droit est la moitié de l'angle plat, il mesure 90. Autrement dit : deux angles droits adjacents donnent un angle plat. Deux angles égaux sont des angles ayant même mesure. On pourrait choisir aussi d'appeler angles égaux des angles superposables : cette façon de définir l'égalité des figures, qui était celle d'euclide, est passée de mode. Dans le cas des angles, il est difficile d'adopter une définition de l'égalité considérée aujourd'hui comme rigoureuse, sans tomber dans une complexité très nuisible à la pratique. 3. Somme de deux angles Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont même sommet et un côté en commun. A x y z 1/6
2 Étant donnés deux angles adjacents x! Ay et! yaz, leur somme est l'angle x! Az. Sa mesure est la somme des mesures de x! Ay et! yaz. Deux angles sont complémentaires si leur somme est un angle droit. Deux angles sont supplémentaires si leur somme est un angle plat. 4. Angle droit et perpendicularité des droites Lorsque deux droites se coupent, si l'un des quatre angles est droit, les trois autres le sont. On dit pourtant que les droites se coupent en formant «un» angle droit. Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit. En géométrie plane, «orthogonal» est synonyme de «perpendiculaire». Par un point il passe une perpendiculaire et une seule à une droite donnée. Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles. 5. Distance d un point à une droite La distance d'un point A à une droite D est la distance de ce point à son projeté orthogonal H sur la droite. C'est la plus courte distance de A à un point de D. Si deux droites dont parallèles la distance de tout point de l une à l autre est constante, cette distance est appelée distance entre les deux parallèles. 6. Angles déterminés par deux sécantes ou par deux parallèles et une sécante Ces propriétés découlent de la symétrie centrale. Lorsque deux droites se coupent, deux angles qui ne sont pas adjacents sont dits opposés par le sommet. Dans la configuration où D et D' sont parallèles et où d coupe les deux droites, les angles 2 et 3 sont opposés par le sommet, les angles 1 et 2 sont dits correspondants ; les angles 1 et 3 sont dits alternes-internes. Deux angles opposés par le sommet sont égaux. Les angles correspondants sont égaux. Les angles altemes-internes sont égaux. III. LE CERCLE 1. Vocabulaire Un cercle est l ensemble des points du plan situés à une distance donnée d'un point donné. Ce point en est le centre, la distance en est le rayon. Un point est à l'intérieur quand sa distance au centre est inférieure au rayon. L'ensemble des points du plan situés à l intérieur du cercle de centre O et de rayon R est le disque de centre O et de rayon R. Un arc de cercle est un ensemble de points d'un cercle compris entre deux points de ce cercle. Deux points distincts pris sur un cercle déterminent deux arcs. On note AB " le plus petit des deux. Si nécessaire, notamment au cas où A et B sont diamétralement opposés, on précise l'arc un citant un point par lequel il passe : ABC #. Des points sont cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle. Une corde est un segment joignant deux points d'un cercle. On développe l image de l'arc et de la corde jusqu à appeler «flèche»le segment qui joint le milieu de la corde à celui de l'arc qu'elle sous-tend. Un diamètre est une corde passant par le centre du cercle. On dit de ses extrémités que ce sont deux points diamétralement opposés. Tout diamètre est axe de symétrie pour le cercle. 2. Mesures du cercle Un rayon est un segment allant du centre à un point du cercle. «Rayon» désigne donc à la fois un segment et sa longueur. Il en est de même pour le mot «Diamètre» 2 La longueur du cercle est 2π R et l aire du disque est π R. 3. Intersection d un cercle et d une droite, droite tangente à un cercle L'intersection d'une droite et d un cercle comporte zéro, un ou deux points. 2/6
3 Une droite et un cercle qui ont deux points distincts en commun sont sécants ; s'ils ont un point commun ils sont tangents ; s'ils n'en n ont aucun, ils sont disjoints. Selon que la distance du centre d un cercle et une droite soit strictement inférieure, égale ou strictement supérieure au rayon, le cercle et la droite sont sécants, tangents ou disjoints. Pour qu'une droite passant par un point d'un cercle soit tangente à ce cercle il faut et il suffit qu elle soit perpendiculaire au rayon partant de ce point. 4. Intersection de deux cercles, cercles tangents L intersection de deux cercles distincts comporte zéro, un ou deux points. Deux cercles qui ont un point exactement en commun sont tangents. On distingue les cercles tangents extérieurement des cercles tangents intérieurement. Soient deux cercles, l un de centre O et de rayon R, l autre de centre C et de rayon R. Pour qu ils soient tangents extérieurement il faut et il suffit que OO = R + R ; pour qu ils soient tangents intérieurement, il faut et il suffit que OO = R R (on suppose par exemple que R > R ) Lorsque deux cercles sont tangents, leurs tangentes au point commun sont confondues, et leurs centres sont alignés avec le point de tangence. IV. SYMÉTRIE ORTHOGONALE ET SYMÉTRIE CENTRALE 1. Définition et propriétés Symétrie orthogonale d axe d d O Symétrie centrale de centre O Si A a pour image B par une symétrie orthogonale ou centrale, alors B a pour image A. Si I est le milieu de [AB] alors A et B sont symétriques par rapport à I. La symétrie orthogonale ou centrale conservent l alignement, les distances, les aires, les mesures des angles géométriques. Une figure F est symétrique par rapport à une droite d (à un point O) si le symétrique de tout point de F est aussi un point de F ; la droite d est alors un axe (centre) de symétrie de la figure F. L image d une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle. 2. Médiatrice d un segment Si d est la médiatrice de [AB], alors d est perpendiculaire à [AB] en son milieu. Si d est perpendiculaire à (AB) et passe par le milieu de [AB], alors d est la médiatrice de [AB]. Si d est la médiatrice de [AB] alors A et B sont symétriques par rapport à d. Si MA =MB, alors M est sur la médiatrice de AB]. Si MA MB, alors M n'est pas sur la médiatrice de [AB]. Si M est sur la médiatrice de [AB], alors MA =MB. Si M n'est pas sur la médiatrice de [AB], alors MB. Si d contient deux points équidistants de A et de B alors d est la médiatrice de [AB]. Si d contient un point équidistant de A et de B et si d est perpendiculaire à [AB], alors d est la médiatrice de [AB]. A M B 3/6
4 3. Bissectrice d un angle géométrique La bissectrice (intérieure) d'un angle est la droite passant par le sommet qui détermine avec les deux côtés de l'angle des angles égaux. La bissectrice (intérieure) est l'axe de symétrie de l'angle. On prend parfois comme définition de la bissectrice : demi-droite qui partage l'angle en deux angles égaux (située dans le secteur saillant). Dans ce cas: un point du plan est équidistant des côtés de l angle si et seulement s'il appartient à la bissectrice. V. LES TRIANGLES 1. Généralités Le triangle est la figure formée par trois points et les trois segments qui les joignent. Les points sont les sommets du triangle et les segments sont les côtés. Quand les trois points sont alignés on parle de triangle aplati. Sauf indication contraire, on ne prend pas ce cas en considération. De chaque sommet partent deux côtés, constituant ainsi un des trois angles du triangle. Le côté opposé à un sommet (ou à l'angle qui lui correspond) est celui qui joint les deux autres sommets. La somme des trois angles d'un triangle est égale à un angle plat. 2. Médiatrices d un triangle Les trois médiatrices (des trois côtés) d un triangle sont concourantes. Pour tout triangle il existe un cercle et un seul qui passe par les trois sommets. On l appelle le cercle circonscrit au triangle. Son centre est le point de concours des trois médiatrices 3. Bissectrices d un triangle Une bissectrice d un triangle est la bissectrice intérieure d un de ses angles. Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes Pour tout triangle il existe un cercle et un seul, tangent aux trois côtés. On l appelle, le cercle inscrit au triangle. Son centre est le point de concours des trois bissectrices. 4. Médianes d un triangle Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Chaque médiane partage le triangle en deux triangles d aires égales. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de rencontre est le centre de gravité du triangle. Il est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. 5. Hauteurs d un triangle Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé, le point d intersection avec ce côté (appelé base) s appelle le pied de la hauteur. La hauteur relative à une base est aussi la distance du sommet au pied, c est la distance du sommet à la base. L aire d un triangle est égal au demi-produit de la base par la hauteur relative à cette base, quelle que soit la base choisie. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est l'orthocentre du triangle. VI. TRIANGLES PARTICULIERS 1. Triangle rectangle Un triangle rectangle est un triangle dont un des angles est droit. Un triangle rectangle n a qu un angle droit, les deux autres sont des angles aigus complémentaires. Le côté opposé à l angle droit s appelle l hypoténuse. L hypoténuse est le plus long des trois côtés d un triangle rectangle. Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés perpendiculaires. Réciproque : si, dans un triangle, un côté est le plus long des trois et que le carré de ce côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle et le plus long côté est son hypoténuse. 4/6
5 L orthocentre d un triangle rectangle est le sommet de l angle droit. L aire d un triangle rectangle est égale au demi-produit des côtés perpendiculaires Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse et pour centre le milieu de son hypoténuse. La médiane issue de l angle droit est un rayon du cercle. Si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre l un des côtés alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse. 2. Triangle isocèle Un triangle est isocèle si deux de ses côtés, au moins, sont de même longueur. Ces côtés égaux se rejoignent au sommet principal ; la base est le côté qui lui est opposé. Dans un triangle isocèle, la médiane, la hauteur et 1a bissectrice passant par le sommet principal sont confondues. Cette droite est la médiatrice de la base. C est un axe de symétrie du triangle. Dans un triangle isocèle, les angles à la base (les angles autres que celui que forment les côtés égaux) sont égaux. Réciproquement : si deux angles au moins d'un triangle sont égaux, ce triangle est isocèle. 3. Triangle équilatéral Un triangle est équilatéral si ses trois côtés sont de même longueur. Un triangle équilatéral est isocèle. Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie : les médiatrices des trois côtés. Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux ; ils mesurent 60. Réciproquement : si les trois angles d'un triangle sont égaux, ce triangle est équilatéral. Dans un triangle équilatéral, le centre de gravité, l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit sont confondus. Dans un triangle équilatéral de côté c, la hauteur est h = c VII. QUADRILATÈRES Un quadrilatère est la figure constituée de quatre points du plan, les sommets, et des six segments qui les relient. Pour écarter, a priori, le cas du quadrilatère aplati, on suppose que l'on ne peut trouver trois points alignés parmi les quatre. Parmi les six segments, deux exactement se coupent ailleurs qu'en Lin sommet. On les appelle les diagonales du quadrilatère ; les quatre autres segments sont ses côtés. Il s'agit là d'un quadrilatère convexe, le seul dont il sera question par la suite. On peut envisager, avec les mêmes points, un quadrilatère croisé, dans lequel les deux segments évoqués sont des côtés, et où les diagonales sont deux des quatre autres segments (elles ne se rencontrent pas) ; il n'en sera pas question dans la suite. Il est d'usage de désigner les sommets tels qu'ils se suivent sur le pourtour : ABCD est un quadrilatère dans lequel [AB], [BC], [CD] et [DA] sont les côtés, [AC] et [BD] sont les diagonales. La somme des angles d un quadrilatère est égale 360. VIII. QUADRILATÈRES PARTICULIERS 1. Trapèze Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés au moins sont parallèles. On appelle ces côtés les bases du trapèze, la hauteur est la distance qui sépare les deux bases. L aire d un trapèze est égale au produit de la hauteur par la demi-somme des bases. 2. Parallélogramme Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. L aire d un parallélogramme est égale au produit de la hauteur et de la base, quelle que soit la base choisie. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés deux à deux ont la même longueur. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés sont égaux deux à deux /6
6 Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles consécutifs sont deux à deux supplémentaires. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses deux diagonales ont le même milieu. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors l'intersection de ses diagonales est centre de symétrie. Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles deux à deux, alors ce quadrilatère est un Si les côtés opposés d'un quadrilatère convexe sont deux à deux de même longueur, alors c'est un Si les angles opposés d'un quadrilatère convexe sont deux à deux de même mesure, alors c'est un Si les angles consécutifs d'un quadrilatère convexe sont deux à deux supplémentaires, alors c'est un Si les deux diagonales d'un quadrilatère convexe ont le même milieu, alors c'est un Si un quadrilatère convexe a pour centre de symétrie l'intersection de ses deux diagonales, alors c'est un Si un quadrilatère convexe a deux côtés à la fois parallèles et de même longueur alors c'est un 3. Rectangle Le rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits. Si les côtés consécutifs d un rectangle sont de longueurs différentes, le plus long s appellent la longueur et l autre est la largeur. L aire d un rectangle est égale au produit de deux côtés consécutifs. Le rectangle est un Il en a toutes les propriétés. Le rectangle a ses diagonales de même longueur. Le rectangle a deux axes de symétrie, qui sont les médiatrices des côtés opposés. Le rectangle est inscriptible dans un cercle dont le centre est l'intersection des diagonales. Si un quadrilatère a quatre angles droits, alors ce quadrilatère est un rectangle. Si un parallélogramme a un angle droit, alors ce quadrilatère est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors ce quadrilatère est un rectangle. 4. Losange Le losange a ses quatre côtés de même longueur. Le losange est un parallélogramme, il en a toutes les propriétés. Les diagonales du losange sont perpendiculaires. L aire d un losange est égale au demi-produit des deux diagonales. Le losange a deux axes de symétrie, qui sont ses diagonales. Si un quadrilatère convexe a ses côtés de même longueur, alors c'est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux, alors c'est un losange. Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange. 5. Carré Le carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange IX. POLYGONES RÉGULIERS Un polygone régulier est un polygone inscriptible dans un cercle et dont les côtés ont tous même longueur. Le triangle équilatéral, le carré sont des polygones réguliers respectivement à trois et quatre côtés. Les rayons qui joignent le centre aux sommets découpent le polygone régulier en triangles isocèles isométriques. L'étude de ces triangles donne les propriétés du polygone. L'hexagone régulier comporte six triangles équilatéraux. 6/6
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailLa géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Plus en détail5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailLes droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites
I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux
Plus en détailDémontrer qu'un point est le milieu d'un segment
émntrer qu'un pint est le milieu d'un segment P 1 Si un pint est sur un segment et à égale distance de ses etrémités alrs ce pint est le milieu du segment. P 2 Si un quadrilatère est un alrs ses diagnales
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détailParis et New-York sont-ils les sommets d'un carré?
page 95 Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? par othi Mok (3 ), Michel Vongsavanh (3 ), Eric hin (3 ), iek-hor Lim ( ), Eric kbaraly ( ), élèves et anciens élèves du ollège Victor Hugo (2
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailComment démontrer que deux droites sont perpendiculaires?
omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? Utilisons On sait que (hypothèses) or...(propriété, définition) donc...(conclusion) Réciproque de Pythagore,5 1,5 = + Si dans un triangle le carré
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailGéométrie dans l espace
Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailExercice numéro 1 - L'escalier
Exercice numéro 1 - L'escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1. De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche?
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailCONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailMAT2027 Activités sur Geogebra
MAT2027 Activités sur Geogebra NOTE: Il n est pas interdit d utiliser du papier et un crayon!! En particulier, quand vous demandez des informations sur les différentes mesures dans une construction, il
Plus en détailLa médiatrice d un segment
EXTRT DE CURS DE THS DE 4E 1 La médiatrice d un segment, la bissectrice d un angle La médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d un segment est l ae de smétrie de ce segment ; c'est-à-dire que
Plus en détailLe contexte. Le questionnement du P.E.R. :
Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailDeux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailSéquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailSi un quadrilatère a. Si un quadrilatère a. Si un quadrilatère a. Si un quadrilatère a. ses côtés opposés. ses côtés opposés de. deux côtés opposés
P1 P2 P3 P4 a a a a ses côtés opposés ses côtés opposés de deux côtés opposés ses diagonales qui se parallèles, alors c est même longueur alors parallèles et de même coupent en leur un c est un longueur
Plus en détailDevoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :
LM323 Envoi 2 2009-2010 Contenu de cet envoi Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigé du devoir 1. Un exercice de révision sur le chapître 1. Exercices sur l inversion. Corrigés
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailEté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES
Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une
Plus en détailExercices de géométrie
Exercices de géométrie Stage olympique de Bois-le-Roi, avril 2006 Igor Kortchemski Exercices vus en cours Exercice 1. (IMO 2000) Soient Ω 1 et Ω 2 deux cercles qui se coupent en M et en N. Soit la tangente
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailProblèmes de dénombrement.
Problèmes de dénombrement. 1. On se déplace dans le tableau suivant, pour aller de la case D (départ) à la case (arrivée). Les déplacements utilisés sont exclusivement les suivants : ller d une case vers
Plus en détailLe seul ami de Batman
Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailCh.G3 : Distances et tangentes
4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 1 sur 14 1 DISTC D U PIT À U DRIT Ch.G3 : Distances et tangentes 1.1 Définition ex 1 DÉFIITI 1 : Soit une droite et un point n'appartenant pas
Plus en détailSommaire de la séquence 10
Sommaire de la séquence 10 Séance 1........................................................................................................ J étudie un problème concret................................................................................
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailChapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
Plus en détailTriangles isométriques Triangles semblables
Triangles isométriques Triangles semblables Les transformations du plan ont permis de dégager des propriétés de figures superposables. Le théorème de Thalès a permis de s initier aux notions de réduction
Plus en détailChapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879-
Chapitre 9 REVOIR > les notions de points, droites, segments ; > le milieu d un segment ; > l utilisation du compas. DÉCOUVRIR > la notion de demi-droite ; > de nouvelles notations ; > le codage d une
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détail«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.
«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.» Léonard de Vinci MATHEMATIQUES Les mathématiques revêtaient un caractère particulier
Plus en détailChapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide
Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide I Rappels : Référentiel : Le mouvement d un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailPriorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Plus en détailIntroduction au maillage pour le calcul scientifique
Introduction au maillage pour le calcul scientifique CEA DAM Île-de-France, Bruyères-le-Châtel franck.ledoux@cea.fr Présentation adaptée du tutorial de Steve Owen, Sandia National Laboratories, Albuquerque,
Plus en détailEXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2
EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailSeconde MESURER LA TERRE Page 1 MESURER LA TERRE
Seconde MESURER LA TERRE Page 1 TRAVAUX DIRIGES MESURER LA TERRE -580-570 -335-230 +400 IX - XI siècles 1670 1669/1716 1736/1743 THALES (-à Milet) considère la terre comme une grande galette, dans une
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailChapitre 14. La diagonale du carré
Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailConstructions au compas seul, complément
Constructions au compas seul, complément Jean-Pierre Escofier et Jean-Michel Le Laouénan Nous ajoutons une ramification au chapitre V du livre Théorie de Galois, Jean-Pierre Escofier, Dunod, 2004 : quelques
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailDiviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000
Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000. 23 1 et 2 Pauline collectionne les cartes «Tokéron» depuis plusieurs mois. Elle en possède 364 et veut les
Plus en détailTrois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur
29=30 Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur leur amène une addition de 30 francs. Les trois personnes décident de partager la facture en trois, soit 10 francs chacun. Le serveur rapporte
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailLivret de liaison Seconde - Première S
Livret de liaison Seconde - Première S I.R.E.M. de Clermont-Ferrand Groupe Aurillac - Lycée Juin 2014 Ont collaboré à cet ouvrage : Emmanuelle BOYER, Lycée Émile Duclaux, Aurillac. Patrick DE GIOVANNI,
Plus en détailExercice 6 Associer chaque expression de gauche à sa forme réduite (à droite) :
Eercice a Développer les epressions suivantes : A-(-) - + B-0(3 ²+3-0) -0 3²+-0 3+00 B -30²-30+00 C-3(-) -3 + 3-3²+6 D-(-) + ² Eerciceb Parmi les epressions suivantes, lesquelles sont sous forme réduite?
Plus en détailLes Angles. I) Angles complémentaires, angles supplémentaires. 1) Angles complémentaires. 2 Angles supplémentaires. a) Définition.
Les Angles I) Angles complémentaires, angles supplémentaires 1) Angles complémentaires Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90 41 et 49 41 49 90 donc Les angles
Plus en détailProposition de programmes de calculs en mise en train
Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailPRATIQUE DU COMPAS ou
PRTQU U OMPS ou Traité élémentaire de tous les traits servant aux rts et Métiers et à la construction des âtiments ZR, éomètre ii Reproduction de l édition de 1833, VNN, imprimerie TMON Père et ils, par
Plus en détailSéquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Plus en détailUTILISATION DE CABRI-GEOMETRE POUR LES PROGRAMMES DE CONSTRUCTION EN CLASSE DE SIXIEME
I.U.F.M Académie de Montpellier Site de Montpellier BUFFET Charles UTILISATION DE CABRI-GEOMETRE POUR LES PROGRAMMES DE CONSTRUCTION EN CLASSE DE SIXIEME Contexte du mémoire Discipline : Mathématiques
Plus en détailI. RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF : La racine carrée d un nombre positif a est le nombre positif noté a dont le carré est a.
OURS 3 EME RINES RREES PGE 1/1 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES alculs élémentaires sur les radicaux Racine carrée d un nombre positif Savoir que si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif
Plus en détailUN TOURNOI A GAGNER ENSEMBLE
UN TOURNOI A GAGNER ENSEMBLE Ce tournoi réunit 3 classes de CM1, CM2 et 6, chaque équipe essaye de réussir le plus grand nombre possible des 82 exercices proposés. Objectifs généraux : Pour les 6, accueillir
Plus en détailpoint On obtient ainsi le ou les points d inter- entre deux objets».
Déplacer un objet Cliquer sur le bouton «Déplacer». On peut ainsi rendre la figure dynamique. Attraper l objet à déplacer avec la souris. Ici, on veut déplacer le point A du triangle point ABC. A du triangle
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailCHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques
CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques VIII. 1 Ce chapitre porte sur les courants et les différences de potentiel dans les circuits. VIII.1 : Les résistances en série et en parallèle On
Plus en détailPARTIE NUMERIQUE (18 points)
4 ème DEVOIR COMMUN N 1 DE MATHÉMATIQUES 14/12/09 L'échange de matériel entre élèves et l'usage de la calculatrice sont interdits. Il sera tenu compte du soin et de la présentation ( 4 points ). Le barème
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailCours de tracés de Charpente, Le TRAIT
Page 1/5 Cours de tracés de Charpente, Le TRAIT Recherches de vraies grandeurs, angles de coupes, surfaces. Les Méthodes : Le tracé et les calculs Chaque chapitre ou fichier comportent une explication
Plus en détail"#$%&!'#$'$&%(%$)&!*$++,)(-,&!.,!/0! 123456768!'$9#!/,&!&9:,(&!;!.,!/<-'#,9=,!.,!+0(>-+0(%?9,&!.9!1536!&,&&%$)!@;AB!
!!! "#$%&!'#$'$&%(%$)&!*$++,)(-,&!.,!/0! 123456768!'$9#!/,&!&9:,(&!;!.,!/
Plus en détailQuels polygones sont formés par les milieux des côtés d un autre polygone?
La recherche à l'école page 13 Quels polygones sont formés par les milieux des côtés d un autre polygone? par d es co llèg es n dré o ucet de Nanterre et Victor ugo de Noisy-le-rand enseignants : Martine
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailEcrire Savoir rédiger une réponse claire à une question
Champ Compétence Ecrire Savoir rédiger une réponse claire à une question Séance 1 : prise de conscience de la notion de réponse claire Etape 1 Proposer un document comportant des réponses "brutes", sans
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailStatistiques Descriptives à une dimension
I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des
Plus en détailProblèmes sur le chapitre 5
Problèmes sur le chapitre 5 (Version du 13 janvier 2015 (10h38)) 501 Le calcul des réactions d appui dans les problèmes schématisés ci-dessous est-il possible par les équations de la statique Si oui, écrire
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailCorrigés Exercices Page 1
Corrigés Exercices Page 1 Premiers algorithmes Questions rapides 1 1) V ; ) F ; 3) V ; 4) F. 1) a ; ) b ; 3) a et b ; 4) b. 3 L'algorithme répond à la question : "le nombre entré estil positif?". 4 a (remarque
Plus en détailDu Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détail