Feuille de TD n o 13. Géométrie

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1 Mathématiques BCPST1 Lycée Roland Garros πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ Feuille de TD n o 13. Géométrie πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ Equations de droites et de plans Exercice 1 Droites du plan : représentation paramétrique/cartésienne Dans le plan P muni d'un repère orthonormé, donner 1. un vecteur directeur de la droite D 1 passant par A(1, 0) et B( 2, 3) 2. une représentation paramétrique de la droite D 2 d'équation 3x + 2y = un vecteur normal, une éq. cartésienne de la droite D 3 passant par A(3, 2) et B(5, 3). 4. une équation cartésienne de la droite D 4 passant par A( 1, 1) et de vecteur directeur 3 i + j. Quelle est la pente de cette droite? Exercice 2 Plans de l'espace : représentation paramétrique/cartésienne On se place dans l'espace E muni d'un repère orthonormé. Donner 1. une base ( u, v) du plan P 1 passant par les points A(3, 1, 0), B(2, 2, 2), C( 1, 5, 0). En déduire une représentation paramétrique de ce plan. 2. Une équation cartésienne du plan P 2 passant par A(0, 1, 0) et de vecteur normal u( 2, 1, 1). 3. Une équation cartésienne du plan P 3 passant par A(1, 1, 0) et admettant pour base u = (1, 1, 0) et v = (3, 0, 1). Donner un vecteur normal de P 3. Exercice 3 Droites avec un paramètre Soit λ R et D 1 et D 2 les droites dénies par les systèmes suivants : x + y + λ = 0 x + 2y + z = 0 D 1 :, D 2 : y + z + 1 = 0 3x + y + 2λ = 2 Déterminer λ pour que les droites D 1 et D 2 soient sécantes. Exercice 4 Points remarquables du triangle Soient A(2, 1), B(3, 2) et C(6, 2) trois points du plan et T le triangle ABC. 1. Donner une équation cartésienne des droites (AB), (BC) et (CA). 2. Donner une représentation paramétrique de deux médianes de T puis en déduire 1

2 les coordonnées de G, le centre de gravité de T. 3. Donner une représentation paramétrique de la hauteur issue de B, et une équation cartésienne de celle issue de A. En déduire les coordonnées de Ω, l'orthocentre de T. Exercice 5 Exercice de synthèse (I). Donner (a) une représentation paramétrique (b) une équation cartésienne du plan P contenant le point A(1, 1, 1) et la droite D : x + y + 1 = 0 y + z + 1 = 0. Exercice 6 Exercice de synthèse (II) Soient A(1, 1, 1) et B(3, 2, 1) et u = (1, 1, 1). On note D la droite passant par B et dirigée par u. Trouver une équation cartésienne du plan P contenant le point A et la droite D. Exercice 7 Exercice de synthèse (III) On donne le vecteur u(1, 1, 1) et les deux droites y = 0 D :, D x = 1 : z = 1 z = 0. Trouver la droite dirigée par u et qui coupe D et D. Exercice 8 Intersection d'une famille de droites Pour m R, on note D m la droite d'équation (3m 1)x + (1 m)y + 3 m = 0. Montrer qu'il existe un unique point qui appartienne à D m pour tout m R puis donner ses coordonnées. 2

3 Orthogonalité Exercice 9 Distance d'un point à une droite, à un plan 1. Dans le plan P on considère un point A(x A, y A ) et une droite d'équation ax + by + c = 0. (a) Rappeler la dénition de d(a, ), la distance de A à. (b) Exprimer d(a, ) à l'aide de H le projeté orthogonal de A sur. (c) Montrer que d(a, ) = ax A + by A + c a2 + b Dans l'espace E, donner par la même méthode la distance entre un point A(x A, y A, z A ) et un plan P d'équation ax + by + cz + d = 0. Exercice 10 Inégalité de Cauchy-Schwarz Soient u et v deux vecteurs du plan ou de l'espace. 1. Développer le produit scalaire (λ u + v) (λ u + v), où λ R. 2. En déduire l'inégalité de Cauchy-Schwarz : u v u. v. 3. Démontrer, à l'aide de Cauchy-Schwarz, l'inégalité triangulaire vue en cours. Exercice 11 Critère d'orthogonalité avec les pentes Soient D et D deux droites de pentes respectives p et p. Montrer que D et D sont perpendiculaires si et seulement si pp = 1. Equations de cercles Exercice 12 Centre et rayon à partir d'une équation cartésienne. Soit C l'ensemble des points M(x, y) vériant x 2 + y 2 2x 4y + 1 = Montrer que C est un cercle, puis donner son centre et son rayon. 2. Déterminer les tangentes à C qui passent par le point A( 1, 0). Exercice 13 Équation cartésienne à partir de 3 points Soit C le cercle passant par les points A(1, 2), B(4, 2) et C(1, 4). 1. Déterminer le centre et le rayon de C. 2. Donner une équation de C 3

4 Exercice 14 Intersections d'un cercle avec une droite Déterminer les points d'intersection du cercle C de centre A(2, 1) et de rayon 2, avec la droite d'équation y x + 1 = 0. Exercice 15 Lieu du milieu d'un segment glissant contre un angle On déplace une règle le long d'un coin de mur, chaque extrémité de la règle glissant sur l'un des murs. Décrire l'ensemble des positions décrites par le milieu de la règle. Exercice 16 Soit A(2, 0) et B( 2, 0). 1. Déterminer l'ensemble des points M vériant MA MB = 3 2. Donner l'équation des cercles passant par A et B de rayon 5/2. Barycentres Exercice 17 A poids proportionnels, barycentres égaux. Soient des points A i et des coecients α i tels que α i tout λ R on a 0. Montrer que pour bar ( (A 1, λα 1 ),..., (A n, λα n ) ) = bar ( (A 1, α 1 ),..., (A n, α n ) ). Exercice 18 Isobarycentre et médianes Soient A, B, C trois points. Montrer que l'intersection des trois médianes du triangle ABC est l'isobarycentre du système (A, B, C). Exercice 19 Associativité du barycentre Soient deux barycentres G = bar ( (A 1, α 1 ),..., (A n, α n ) ), G = bar ( (B 1, β 1 ),..., (B m, β m ) ). Exprimer à partir de G et G le barycentre du système réuni : Exercice 20 G = bar ( (A 1, α 1 ),..., (A n, α n ), (B 1, β 1 ),..., (B m, β m ) ). barycentres dans un segment Soit B le milieu d'un segment [AC]. Montrer que le barycentre de ( (A, 1), (C, 5) ) est confondu avec le barycentre de ( (B, 1), (C, 2) ). 4

5 Exercice 21 La droite d'euler et le cercle d'euler On se place dans le plan P muni d'un repère orthonormé (O, ı, j). Dans ce plan on considère un triangle ABC, où les points A, B et C ont pour coordonnées respectives (0; a), (b; 0) et (c; 0). Les réels a, b et c sont tels que a 0 et b c. 1. La droite d'euler (a) Soit m R. Vérier que la courbe C m d'équation (x b)(x c) + y 2 2my = 0 est un cercle passant par B et C. On précisera les coordonnées de son centre en fonction de m. (b) En déduire une équation cartésienne du cercle C circonscrit au triangle ABC 1. Donner les coordonnées de son centre Ω. (c) Déterminer les coordonnées de l'isobarycentre G du triangle ABC. (d) Déterminer les coordonnées de l'orthocentre H du triangle ABC 2. (e) Montrer que les vecteurs HΩ et GΩ sont colinéaires. (f) Qu'est ce que cela implique pour les points Ω, G et H? La droite contenant Ω, G et H s'appelle la droite d'euler du triangle ABC. 2. Le cercle d'euler Désormais A, B et C désignent respectivement les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB]. On suppose que A O. (a) Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [OA ], et de celle du segment [OB ]. (b) Soit E le cercle passant par O, A et B. Déterminer le centre I et le rayon R de E. (c) Donner une équation cartésienne de E. (d) Vérier que E contient C. Le cercle E est appelé cercle d'euler du triangle ABC. (e) Calculer le vecteur GI. (f) En déduire que I appartient à la droite d'euler du triangle ABC. 1. On rappelle que le cercle circonscrit à un triangle est l'unique cercle passant par ses trois sommets. C'est aussi le point d'intersection des trois médiatrices. 2. On rappelle que l'orthocentre d'un triangle est le point d'intersection de ses trois hauteurs. 5