EXERCICES AVEC SOLUTIONS (STATIQUE)

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1 EXEIES VE SLUINS (SIQUE) Eercce 1 : Détermner les tensons des câbles dns les fgures suvntes : 4 7 4N 1 Soluton : Fgure 1 : u pont nous vons : + + L projecton sur les es donne : cos 4 + cos sn 4 + sn 6Kg fgure: 1 fgure : 4 4 d où : 54 N. 88, 5 N Fgure : u pont nous vons : + + L projecton sur les es donne : sn 7 + cos1 cos 7 sn1 d où : 9 N ; 4 N 7 1 1

2 Eercce : Une brre homogène pesnt 8 N est lée pr une rtculton clndrque en son etrémté à un mur. Elle est retenue sous un ngle de 6 vec l vertcle pr un câble netensble de msse néglgeble à l utre etrémté. Le câble ft un ngle de vec l brre. Détermner l tenson dns le câble et l récton u pont. Soluton : 6 6 D Le sstème est en équlbre sttque dns le pln (o), nous vons lors : F + + (1) / + D () L cos ( L / ) cos ; D ; ; Lsn ( L / )sn cos6 sn 6 L équton (1) projetée sur les es donne : cos 6 () + sn 6 (4) L équton () s écrr : L cos cos6 ( L / )cos + Lsn sn 6 ( L / )sn L L cos s sn 6 + L cos 6 sn cos (5)

3 (5) cos 4,64N () X cos 6 17, N (4) sn 6 N d où + Y 4. 64N et l ngle que ft l récton vec l e o est donné pr : cos θ,5 θ 6 Eercce : n mntent une poutre en équlbre sttque à l de d une chrge suspendue à un câble netensble de msse néglgeble, pssnt pr une poule comme ndqué sur l fgure. L poutre une longueur de 8m et une msse de 5 Kg et ft un ngle de 45 vec l horontle et vec le câble. Détermner l tenson dns le câble ns que l grndeur de l récton en ns que s drecton pr rpport à l horontle. 5Kg G 45 5Kg 45 Soluton : outes les forces gssnt sur l poutre sont dns le pln (o). Le sstème est en équlbre sttque d où F + + (1) / + G ()

4 Nous vons, et 4 ; 4 G ; ; ; cos15 sn15 L équton (1) projetée sur les es donne : cos 15 () sn 15 (4) L équton () s écrr : 4 4 cos15 + sn15 4 sn cos15 (5) 5,55N 4 (cos15 sn15 ) () 41, 5N et (4) 591, 5N d où + Y 68N et l ngle que ft l récton vec l e o est donné pr : cos θ,577 θ 54, 76 Eercce 4 : L brre L est lée en pr une rtculton clndrque et à son etrémté, elle repose sur un ppu rouleu. Une force de N gt en son mleu sous un ngle de 45 dns le pln vertcl. L brre un pods de 5 N. Détermner les réctons u etrémtés et. G F 45 Soluton : outes les forces gssnt sur l poutre sont stuées dns le pln (o). Le sstème est en équlbre sttque, nous vons lors : 4

5 F + + F+ (1) / + G F+ G () L projecton de l équton (1) sur les es donne : F cos 45 () + F sn 45 (4) En développnt l équton () on boutt à : L L / + F cos45 L / + F sn 45 L L F L F cos 45 (5) 4 (5) 95, 71 N () 141, 4 N (4) 95, 71 N ; d où + 17, 76N Eercce 5 : Une échelle de longueur m pesnt 4 N est ppuée contre un mur prftement lsse en un pont stué à 16 m du sol. Son centre de grvté est stué à 1/ de s longueur à prtr du bs. Un homme pesnt 7 N grmpe jusqu u mleu de l échelle et s rrête. n suppose que le sol est rugueu et que le sstème reste en équlbre sttque. Détermner les réctons u ponts de contct de l échelle vec le mur et le sol. G Q 5

6 Soluton : 16 L m, 16 m, Q 7 N, 4 N, sn α, 8 α 5, 1 L échelle est en équlbre sttque. L résultnte des forces est nulle. Le moment résultnt pr rpport u pont est uss nul. F + + Q+ (1) / + G Q+ () Nous vons uss : L cosα ( L / )cosα ( L / )cosα ; G ; G ; ; Q ; Lsnα ( L / )snα ( L / )snα Q L projecton de l équton (1) sur les es donne les équtons sclres : + () Q (4) En développnt l équton (), on boutt à : L cosα Lsnα ( L / )cosα ( L / )cosα + + ( L / )snα Q ( L / )snα L L Lsn α + Q cosα + cosα (5) cosα Q (5) + sn α () 6, N 5 d où 6, 5N (4) 11N ; on dédut : 1158, 4N Eercce 6 : n pplque tros forces sur une poutre de msse néglgeble et encstrée u pont. Détermner l récton à l encstrement. 8N 4N 1,5m,5m m N 6

7 Eercce 7 : Un plque crrée de coté, de pods est fée à un mur à l de d une rtculton sphérque u pont et d une rtculton clndrque u pont. Un câble D netensble et de msse néglgeble mntent l plque en poston horontle. Une chrge Q est suspendue u pont E de l plque. Les données sont : b ; α Détermner les réctons des rtcultons en et ns que l tenson dns le câble en foncton de et D D b E b G E b b Q Q Soluton : L plque est en équlbre sttque dns le pln horontle, nous pouvons écrre : F Q+ / + + E Q+ G () rtculton sphérque en :,, (1) rtculton clndrque en et d e :,, Le trngle D est rectngle en, et l ngle (D,D) lors l ngle (,D)6 L tenson ur pour composntes : cos6cos 45 ( cos6sn 45 ( sn 6 ( ) / 4 ) / 4 ) / 7

8 8 Q ; ; ; ; ; / / / / rojetons l équton (1) sur les es du repère : 4 ) / ( + () 4 ) / ( (4) ) / ( + (5) L équton () se trdur pr : / / / ) / ( 4 ) / ( 4 ) / ( / Le développement de ce produt vectorel donner tros équtons : 4 + (6) + + (7) (8) L résoluton de ce sstème d équtons donne : (8) ; (7) 5 ; (6) (5) ; (4) ; () , et Eercce 8 : Une ensegne lumneuse rectngulre de densté unforme de dmenson 1,5,4 m pèse 1 Kg. Elle est lée u mûr pr une rtculton sphérque et deu câbles qu l mntenne en poston d équlbre sttque, comme ndqué sur l fgure. Détermner les tensons dns chque câble et l récton u pont.

9 n donne : ( ; 1, ; --,4), D( ;,9 ;,6). D 1,8 m,6 m Eercce 9 : Une porte métllque rectngulre de densté unforme de dmensons b, de pods, est mntenue en poston vertcle pr deu rtcultons, l une sphérque u pont et l utre clndrque u pont. Une force F est pplquée perpendculrement u pln de l porte u pont mleu de l longueur. fn de mntenr cette porte en poston fermée, on pplque un moment u pont. Détermner les réctons u nveu des rtculton et ns que l force F nécessre pour ouvrr l porte. n donne : m, b m, b/, 4N, 8N F b F G b Soluton : Nous vons : b ; G b / ; b / / 9

10 F Et uss : ; ; F ; ; L porte est en équlbre sttque, nous pouvons écrre : F + + F + (1) / + F+ G () rojetons l équton (1) sur les es du repère : + + F () (4) (5) + L équton () se trdur pr : b F + b / + b / + / b + (6) F (7) bf b (8) l résoluton de ce sstème d équton nous donne : (4) 8N ; (6) 66, 66N b F (7) F N ; (8) 1N (5) 66, 66N ; () F 1N on dédut : 849N ; 84, 8N 1

11 Eercce 1 : Une brre de msse néglgeble supporte à son etrémté une chrge de 9 N, comme ndqué sur l fgure c-dessous. Elle est mntenue en pr une rtculton sphérque et en pr deu câbles ttchés u ponts et D. Détermner l récton u pont et l tenson dns chque câble. Données : 1,,5 ; ; ; 1 1,5 Soluton : D Le sstème est en équlbre sttque. L résultnte des fores est nulle et le moment résultnt de D toutes les forces pr rpport u pont est nul. Nous vons lors : Q 1, 5 D D Q F Q D (1) / + + D () Nou vons une rtculton sphérque en :,, Détermnons les composntes des tensons dns les câbles et D : Les vecteurs untres suvnt les es et D sont donnés pr : + j+ 1,5 k u,66 +,66 j+, k + + (1,5) D + j1,5 k u D,66 +,66 j, k D + + (1,5) 11

12 Les tensons dns les deu câbles s écrront sous l forme : u,66 +,66 j+, k D D u D,66D +,66D j, D k L projecton de l équton (1) sur les es donne les tros équtons sclres :,66,66 () D +,66 +,66D Q (4),, (5) + D L équton () s écrr :,66,66D 1,5 Q + 1,5,66 + 1,5,66D 1 1, 1, D En développnt ce produt vectorel, nous obtenons les tros équtons suvntes : Q + ( 1,5,) +,66 (1,5,) +,66 (6) (,) +,66 + (,) +,66 (7) D Q + (,66) + (1,5,66) + (,66) + (1,5,66) (8) D D D D D prtr de l équton (7) on dédut que : 5 D En remplçnt dns l équton (6) on obtent : Q D 16, 4N 5,61 D où : 8, 15N (),66( + ) 65, N D (4) Q,66( + ) 64, N D 7 (5),( ) 156, N D D , 85N 1

13 Eercce 11 : Une plque trngulre homogène de pods est lé à un support fe pr l ntermédre d une rtculton sphérque u pont et clndrque u pont. n donne. L plque est mntenue en poston nclnée d un ngle de α pr rpport u pln horontl (o) pr un câble netensble D, ccroché u pont D à un mur vertcl. L corde ft un ngle de β 6 vec l vertcle. Une chrge de pods Q est suspendue u pont (o). Le centre de grvté G de l plque est stué 1/ de à prtr de. 1. Ecrre les équtons d équlbre sttque ;. Détermner les réctons des lsons u ponts et ns que l tenson du câble. D β o D β o G β α α Soluton : Nous vons ; Q G ; Q ; α, β 6 Le pont ( o) ; ; ; cos β ; Q ; sn β ; ; snα ; G ( / )snα ; snα ; cosα ( / )cosα cosα G ( / )snα ( / )cosα 1

14 Le sstème est en équlbre sttque, nous vons lors : F Q+ (1) / + + Q+ G () L projecton de l équton (1) sur les es donne tros équtons sclres : () + + cos β (4) + sn β (5) En développnt l équton vectorelle (), nous obtenons tros utres équtons sclres : + snα cos β + snα + ( / )snα cosα sn β cosα ( / )cosα sn α sn β cosα cos β + cosα + cosα (6) + sn β (7) + cos β (8) Les s équtons permettent de trouver toutes les nconnues : () (6), ; (7) (8), 9 ; (5) ; (4), 9 d où : + + 1, 58 ; + + 1, 58 14

15 Eercce 1 : Un sstème mécnque composé d une brre coudée DE de msse néglgeble et d un dsque de ron, de msse néglgeble, soudé à celle-c u pont comme ndqué sur l fgure c-dessous. L brre est supportée pr deu lsons clndrques en et. n rele le dsque à une poule fe pr un câble netensble, de msse néglgeble, uquel est suspendue un pods. u pont E, dns un pln prllèle u pln (), est pplquée une force F nclnée pr rpport à l vertcle d un ngle β. Un moment est pplqué à l brre fn de mntenr le sstème en poston d équlbre sttque dns le pln horontl (). n donne F, et α Ecrre les équtons sclres d équlbre sttque ;. En dédure les réctons u ponts et ns que l vleur du moment pour mntenr le sstème en poston d équlbre sttque dns le pln horontl (), H α F β E D Soluton : Nous vons D DE ; F ; α 6 ; β 6 L poule de ron r est uss en équlbre sttque lors : r r d où : cosα ; ; H ; E ; snα 15

16 snα sn β ; ; ; F ; cosα cos β Le sstème est en équlbre sttque, nous vons lors : F F (1) / + + H + E F () rojetons l équton (1) sur les es : + sn β snα () (4) + cos β + cosα (5) En développnt l équton vectorelle (), nous obtenons tros utres équtons sclres : + cosα snα sn β + + snα cosα cos β + cosα 6cos β (6) cos α sn α + c osβ (7) + snα + 6sn β (8) Le sstème d équton permet de trouver toutes les nconnues. (7) c osβ ( ) (1,7 ) (8) sn β + snα (6 + 4 ) 1, 9 (6) cos β cosα (6 4 1), 48 16

17 (5) cos β cosα ( + 1) 1, (4) () sn β + snα ( ), 67 4 Eercce 1 : Sot le sstème, consttué de deu msses ponctuelles, lées entre elles pr une tge homogène de longueur L et de msse néglgeble. Le sstème est soums à deu lsons sns frottement en et. on donne m m m. 1. rouver l ngle θ qu détermne l poston d équlbre en foncton de m, d, L. ;. En dédure les modules des réctons u ponts et ;. lculer θ, les réctons et pour L cm, m,1 Kg et d 5 cm θ θ θ d d Soluton : d d tgθ Lcosθ snθ ; Lsnθ ; ; cosθ ; ; 17

18 1) le sstème est en équlbre sttque : F (1) / + () L projecton de l équton (1) sur les es donne : snθ () cosθ (4) L équton () s écrr : d snθ L cosθ d tgθ cosθ + Lsnθ sn θ d cosθ + d L cosθ (5) cosθ L équton (5) donne : d (cos θ + sn θ ) L cos θ L mgl d où cos θ cos θ d d En remplçnt l équton (4) dns l équton (5) on obtent : 4d cos θ L ) D près l équton (4) : 4d θ r cos L 1 + 4mg cosθ cosθ D près l équton () : 4mg tgθ ).N : pour g 1m/s nous urons : θ 46, 1, 5, 8N, 4, N Eercce 14 : Un dsque de fble épsseur, de ron cm et de pods 5 Kg dot psser u dessus d un obstcle en forme d escler de huteur h 15 cm sous l cton d une force F 18

19 horontle pplquée u pont D stué à l même huteur que le centre du dsque. Quelle est l vleur mnmle de l force F mn pour fre démrrer de dsque? n consdère que les frottements sons néglgebles, et on prendr g 1m/s. F h Eercce 15 : Un rbre homogène horontl de msse néglgeble est mntenu à ses etrémtés pr une lson sphérque en et clndrque en. u pont est emmnchée une roue de ron et de msse néglgeble. Un fl netensble est enroulé utour de l roue et porte une chrge Q. Une tge DE, de msse néglgeble, est soudée à l rbre u pont D. Elle supporte à son etrémté E une chrge de telle sorte qu elle fsse un ngle de à l équlbre vec l vertcle, dns le pln (D). n donne : 15 N ;,5 m ; L 1 m ;, m. Détermner les réctons u ppus et ns que l chrge Q à l équlbre sttque. 4 D H E L Q 19

20 Soluton : 15 N ;,5 m ; DEL1m ;,m ; D ; D4 Lsn Nous vons: 8 ; H ; E 6 ; ; ; Q ; L cos Q 1) le sstème est en équlbre sttque : F + + Q+ (1) / + H Q+ E () L projecton de l équton (1) sur les es donne : () (4) + Q (5) L équton vectorelle () se trdut pr : 8 Lsn Q L cos En développnt cette epresson on boutt à tros équtons sclres : 8 Q 6 (6) Q L sn (7) 8 (8) n dédut fclement des s équtons sclres l récton en et ns que l chrge Q. (8) ; (7) L Q sn 5N Q + 6 (6) 775N ; (5) Q N 8 (4) ; () 1915N ; 775N

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