Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique.

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1 C39211 Ecole Normle Supérieure de Cchn 61 venue du président Wilson CACHAN Concours d dmission en 3 ème nnée Informtique Session 2009 INFORMATIQUE 1 Durée : 5 heures «Aucun document n est utorisé» «Aucun dictionnire n est utorisé» «L usge de toute clcultrice est interdit»

2 Informtique I Ce sujet se propose d étudier le prolème suivnt : étnt donné un utomte déterministe complet, trouver un lgorithme qui donne, pour tout mot d entrée, le clcul qui lui est ssocié dns l utomte. Afin de résoudre ce prolème on représente des mots pr des ensemles finis de mots inires et l on s utorise un jeu d opértions restreint pour trviller sur les mots inires. On cherche lors à construire un lgorithme qui utilise un nomre constnt de telles opértions pour résoudre le prolème : on prle lors d lgorithme inire. L première prtie donne les définitions de ses insi que quelques exemples. L deuxième prtie étudie une sous-clsse des utomtes déterministes complets tndis que l troisième prtie montre que les utomtes de cette clsse dmettent des lgorithmes inires. Enfin, l dernière prtie crctérise précisément les utomtes qui dmettent des lgorithmes inires. L nottion tiendr compte de l rigueur des risonnements et de l clrté des explictions. Chque question pourr être tritée en dmettnt les résultts des questions précédentes. Prtie 1. Préliminires On commence pr quelques définitions et nottions qui seront vlles pour l intégrlité de ce sujet. On donne ensuite quelques exemples et propriétés de se utiles dns l suite. Un lphet est un ensemle fini dont les éléments sont ppelés lettres. Un mot de longueur n sur un lphet A est une concténtion finie u = 1 2 n de n lettres de l lphet (c.-à-d. i A pour tout i = 1,...,n). On noter A l ensemle des mots sur l lphet A, et le mot vide ser noté ε. Un mot sur l lphet {0, 1} ser qulifié de mot inire. Définition. Un utomte déterministe complet est un quintuplet A = (Q, A, q i, F, δ) où Q est un ensemle fini d étts de contrôle, A est un lphet fini d entrée, q i Q est l étt initil, F Q est l ensemle des étts finux et δ : Q A Q est une fonction (totle) de trnsition. Dns ce prolème, tous les utomtes considérés seront suf mention explicite déterministes complets, et on se permettr prfois d omettre ces deux qulifictifs. Étnt donnés un utomte déterministe complet A = (Q, A, q i, F, δ) et un mot u = 1 2 n, on définit le clcul (unique) de A sur u comme le mot de longueur n + 1, sur l lphet Q, r = q 0 q 1 q 2 q n tel que q 0 = q i et q j = δ(q j 1, j ) pour tout 1 j n. Un mot u A est ccepté pr l utomte A si et seulement si le clcul de A sur u se termine pr un étt finl. L ensemle L(A) des mots cceptés pr A est ppelé lngge ccepté pr A. Un lngge régulier sur un lphet A est un ensemle de mots K A tel qu il existe un utomte déterministe complet A vec K = L(A). 1

3 On souhite résoudre le prolème suivnt. Étnt donné un utomte déterministe complet A, trouver un lgorithme qui, pour tout mot sur l lphet d entrée de l utomte, produit le clcul ssocié dns l utomte. Notez qu un tel lgorithme ne doit dépendre que de l utomte A. Comme les utomtes considérés dns ce prolème possèdent un unique étt initil, on souhiter produire le clcul duquel on tronquer le premier étt (qui est toujours l étt initil). Ainsi, pour un mot sur l lphet d entrée de l utomte, un tel lgorithme produir un mot d étts de même longueur que le mot d entrée. Considérez pr exemple l utomte A donné dns l Figure 1 (l étt initil est représenté pr une flèche entrnte, les étts finux pr des flèches sortntes, convention qui vudr pour toutes les figures dns ce texte). Pour un tel utomte, on souhiter donc voir un lgorithme qui sur le mot d entrée produit le mot Figure 1 Un exemple d utomte Question 1. Expliquez rièvement pourquoi il existe, pour tout utomte déterministe complet, un lgorithme qui produit, pour tout mot en entrée, le clcul ssocié dns l utomte, et ce en temps linéire en l tille du mot en entrée. Considérons un mot u = 1 2 n sur un lphet A. On lui ssocie A mots inires définis comme suit : pour toute lettre A, le mot p (u) est défini comme l suite p (u) = 1 2 n où i vut 1 si i vut et vut 0 sinon. Ainsi, si u =, on ur p (u) = et p (u) = De même, un clcul ser représenté pr des mots inires. Ainsi le clcul r ssocié u mot u précédent dns l utomte A de l Figure 1 ser représenté pr les mots p 1 (r) = , p 2 (r) = et p 3 (r) = Cette nouvelle représenttion, pr des mots inires, des mots d entrée et des clculs ssociés permet de trviller sur l entrée, c est-à-dire les (p (u)) A, en utilisnt des opértions d hoc pour les mots inires. Dns tout le prolème les opértions utorisées sur les mots inires seront les suivntes : Les opértions logiques lettre à lettre : (ou logique), (et logique) et (négtion logique). Pour deux mots inires de même longueur u = 1 2 n et v = 1 2 n, on définit u v = c 1 c 2 c n où, pour tout 1 i n, c i = 1 si et seulement si i = 1 ou i = 1. De même on définit u v = d 1 d 2 d n où, pour tout 1 i n, d i = 1 si et 2

4 seulement si i = 1 et i = 1. Enfin, on définit u = e 1 e 2 e n où, pour tout 1 i n, e i = 1 si et seulement si i = 0. Ainsi, on ur pr exemple = , = et = Le déclge vers l droite u vec = 0 ou 1 prend un mot inire u supprime s dernière lettre et joute l lettre en tête du mot. Formellement, pour = 0 ou 1, e 1 e 2 e n = e 1 e 2 e n 1. Notez que les mots u et u ont même longueur. On ur pr exemple = et = L ddition inire de mots inires de même longueur : elle consiste en une ddition clssique de l guche vers l droite, suf que l on ne grde ps le it de poids mximl si l longueur du résultt excède celle des mots de déprts (insi, le résultt n est ps forcément exct ici). Pr exemple = Ainsi, toutes les opértions précédentes prennent en entrée un ou deux mots inires (de même longueur) et retourne un mot inire de même longueur que l entrée. Définition. Étnt donné un utomte déterministe complet (d lphet d entrée A, d étts Q), un lgorithme inire est un lgorithme qui, pour tout mot u A, clcule les mots inires (p q (r)) q Q à prtir des mots inires (p (u)) A en ppliqunt un nomre fini d opértions indépendnt du mot u, où r Q est le clcul ssocié à u dns l utomte, clcul duquel on tronqué le premier étt. Lorsqu un tel lgorithme existe on dir que l utomte dmet un lgorithme inire et on prler de l lgorithme inire ssocié à l utomte. Supposons que l on possède un modèle de clcul permettnt de réliser les opértions sur les mots inires en temps constnt : un lgorithme inire peut lors être vu comme un lgorithme fonctionnnt en temps constnt. Question 2. Expliquez pourquoi l lgorithme inire suivnt est ssocié à l utomte de l Figure 1. p 1 (r) = p (u) p 2 (r) = p (u) 1 p (u) p 3 (r) = p (u) 0 p (u) Question 3. Soit un lphet A et soit un mot u A de longueur n. Expliquez comment définir les constntes (de longueur n)¼=00 } {{ 0} et½=11 } {{ 1} à l ide des opértions n n précédentes ppliquées ux mots inires {p (u) A}. En déduire que tout utomte déterministe complet à un seul étt dmet un lgorithme inire. Considérez l utomte B donné dns l l Figure 2. Le clcul ssocié à un mot u est uniquement déterminé pr l première lettre de u. Il est clir que l on ne v ps pouvoir ssocier à un tel utomte un lgorithme inire qui n utilise que les opértions logiques lettre à lettre et le déclge vers l droite. C est pour de tels utomtes que l ddition v se révéler précieuse. 3

5 =¼ Question 4. Expliquez pourquoi l lgorithme inire suivnt est ssocié à l utomte B de l Figure 2 (les mots¼et½sont ceux introduits dns l Question 3). p 0 (r) p 1 (r) = [½+( 1¼ p (u))] p 2 (r) = [½+( 1¼ p (u))] 0 1 2,, Figure 2 L utomte B Prtie 2. Automtes reset-décomposles On définit une sous-fmille d utomtes déterministes complets les utomtes reset-décomposles et on prouve plusieurs propriétés de ces utomtes. Définition. Soit un utomte déterministe complet A = (Q, A, q i, F, δ). Un étt s Q est reset-décomposle si et seulement si : A, [ p s tel que δ(p, ) = s] [ q Q, δ(q, ) = s] Dns l utomte de l figure 3, l étt 1 est reset-décomposle. 4

6 c 1 3 2, c Figure 3 Un exemple d utomte reset-décomposle : A r. Question 5. Tout utomte déterministe complet à u moins deux étts possède-t-il un étt reset-décomposle? Soit un utomte A = (Q, A, q i, F, δ) et soit un étt s Q reset-decomposle. On définit, informellement, l utomte A \ {s} à prtir de A comme suit : on supprime l étt s; on supprime les trnsitions qui prtent de s et celles qui y rrivent; on supprime de l lphet d entrée les lettres qui ne sont plus utilisées. Notez que l utomte A \ {s} peut ne ps voir d étt initil. Pr exemple si l on ppelle A r l utomte de l figure 3, l utomte A r \ {1} est celui donné dns l figure 4 : outre l sence de l étt 1 vous remrquerez que l lettre ne fit ps prtie de l lphet d entrée de l utomte A r \ {1}. c 3 2, c Figure 4 L utomte A r \ {1} 5

7 Question 6. Montrez que si A est un utomte déterministe complet dns lequel s est un étt reset-décomposle, lors A\{s} est églement déterministe et complet (on ne demnde pr contre ps ici que A \ {s} possède un étt initil). L définition qui suit ne requiert ps que les utomtes possèdent un étt initil : c est plus une propriété du grphe étiqueté sous-jcent à l utomte qu une propriété de l utomte en tnt que mchine lisnt des mots depuis un étt initil. Définition. Un utomte A = (Q, A, q i, F, δ) déterministe complet est reset-décomposle s il vérifie l une des deux conditions suivntes : Q est un singleton. A possède un étt reset-décomposle s Q et l utomte A\{s} est reset-décomposle. Question 7. L utomte A r de l figure 3 est-il reset-décomposle? Question 8. Proposez un lgorithme qui prend en entrée un utomte déterministe complet et décide, en temps polynomil en l tille de l utomte, si celui-ci est ou non resetdécomposle. Expliquez comment vous représentez votre utomte et donnez précisément l complexité de votre lgorithme. On rppelle que l on peut ssocier à tout utomte déterministe complet A un utomte déterministe complet (unique à un renommge près des étts) A min qui reconnît le même lngge que A c est-à-dire que L(A) = L(A min ) et qui possède un nomre miniml d étts c est-à-dire qu il n existe ps d utomte possèdnt strictement moins d étts que A min et reconnissnt L(A). Rppelons églement comment construire l utomte A min ssocié à un utomte déterministe complet A = (Q, A, q i, F, δ) (il s git d un résultt clssique que vous pouvez dmettre en tnt que tel si vous ne le connissez ps). Pour cel, on définit dns un premier temps, pour tout étt q Q et tout mot u A, δ (q, u) = q si u est le mot vide et δ (q, u) = δ (δ(q, ), v) si u = v où A est une lettre et v A. On définit ensuite une reltion d équivlence sur les étts de Q en posnt : q q si et seulement si l on δ (q, u) F δ (q, u) F pour tout u A. Pour tout q Q, on note [q] = {q q q }. On prouve fcilement que q q si et seulement si l on δ (q, u) F δ (q, u) F pour tout mot u A de longueur inférieure ou égle à Q. On lors A min = (Q /, A, [q i ], F /, δ ) où : Les étts Q / = {[q] q Q} de A min sont les clsses d équivlence de Q pour l reltion. L étt initil [q i ] de A min est l clsse d équivlence de q i pour l reltion. Les étts finux F / = {[q f ] q f F } de A min sont les clsses d équivlence des étts finux F pour l reltion. L reltion de trnsition δ de A min est donnée pr δ ([q], ) = [δ(q, )] pour tout q Q et tout A. Notez que δ est ien définie. Question 9. Donnez l utomte miniml ssocié à l utomte déterministe complet de l Figure 5. 6

8 Figure 5 Automte à minimiser Question 10. Montrez que si un utomte est reset-décomposle il en est de même pour son utomte miniml. On pourr considérer l définition précédente de l utomte miniml. Un lngge régulier est reset-decomposle si et seulement s il existe un utomte qui le reconnît et qui est reset-décomposle. Question 11. Peut-on décider si un lngge est reset-décomposle? Question 12. L clsse des lngges reset-décomposles est-elle fermée pr complémentire? Question 13. En considérnt les lngges L 1 = A et L 2 = A sur l lphet A = {, }, montrez que l clsse des lngges reset-décomposles n est ps fermée pr union. Question 14. L clsse des lngges reset-décomposle est-elle fermée pr intersection? Prtie 3. Les utomtes reset-décomposles dmettent des lgorithmes inires Dns cette prtie on montre que tout utomte reset-décomposle dmet un lgorithme inire et qu un tel lgorithme peut être construit de fçon simple à prtir de l utomte. 7

9 Question 15. Prouvez le lemme suivnt. Lemme d ddition. L utomte C donné dns l Figure 6 dmet l lgorithme inire suivnt : { p 0 (r) = p (u) {p c (u) [ p (u) + (p (u) p c (u))]} p 1 (r) = p (u) {p c (u) [p (u) + (p (u) p c (u))]}, c 0 1, c Figure 6 L utomte C On définit l fonction suivnte, où s est un étt d un utomte, x et y sont des mots inires : { x [y ( x + (x y))] si s est initil Ind(s, x, y) = x [y (x + (x y))] sinon Question 16. Soient A = (Q, A, q i, F, δ) un utomte déterministe complet et s Q un étt reset-décomposle. On note E s l ensemle des lettres qui envoient tous les étts sur s : E s ssi q Q, δ(q, ) = s. On note B s l ensemle des lettres qui ouclent sur s et qui ne sont ps dns E s : B s ssi / E s et δ(s, ) = s. Montrez qu on lors : p s (r) = Ind(s, p Es (u), p Bs (u)) où l on pose, pour tout B A, p B (u) = B p (u). Question 17. Prouvez le résultt suivnt. Théorème. Soit A un utomte reset-décomposle. L utomte A dmet un lgorithme inire. De plus l tille de l lgorithme inire (c.-à-d. son nomre d opértions) peut être choisie linéire en l tille de A. 8

10 Prtie 4. Une crctéristion des utomtes dmettnt un lgorithme inire Dns cette dernière prtie, on donne une crctéristion structurelle des utomtes dmettnt des lgorithmes inires. Définition. Soit A = (Q, A, q i, F, δ) un utomte déterministe complet. Pour un mot u = 1 n A et deux étts p, q Q, on note p u q le fit que l lecture du mot u depuis l étt p termine en q, c est à dire que q = δ(...δ(δ(p, 0 ), 1 ),..., n ). Un mot u A non vide est qulifié de compteur pour l utomte A s il existe un entier k 2 et k étts u u u u deux à deux distincts q 1,, q k tels que q 1 q 2... q k q 1. Un utomte est sns compteur s il n existe ps de compteur pour cet utomte. Définition. Un mot u = n est périodique de période l à prtir du rng r si pour tout i, j 0 tels que r + (i + 1)l + j n, r+il+j = r+(i+1)l+j. Question 18. Montrez que les opértions sur les mots inires (,,, 0, 1, +) ppliquées à des mots inires périodiques à prtir d un rng r et de même période l donnent des mots inires périodiques de période l à prtir du rng r, où r ne dépend que de r et de l opértion ppliquée. Question 19. En déduire qu étnt donné un lgorithme inire, si ce dernier est ppliqué à des mots inires périodiques à prtir d un rng r, de même période l, le résultt est périodique de période l à prtir d un rng r qui ne dépend que de r et de l lgorithme. Question 20. Prouvez que tout utomte qui dmet un lgorithme inire est sns compteur. Définition. Soient A = (Q, A, q i, F, δ) un utomte déterministe complet et A une lettre. On dir que est un reset si l fonction x δ(x, ) est constnte ou égle à l identité. L utomte A est un utomte reset, si pour tout A, est un reset. Question 21. Montrez que tout utomte reset dmet un lgorithme inire. Définition. Soient B 1 = (Q 1, A, q i,1, δ 1 ) et B 2 = (Q 2, Q 1 A, q i,2, δ 2 ) deux utomtes déterministes complets dont on ignore ici les étts finux. Leur produit en cscde B 1 B 2 = (Q, A, q i, δ) est l utomte déterministe complet défini de l fçon suivnte : Q = Q 1 Q 2 9

11 q i = (q i,1, q i,2 ) δ((q 1, q 2 ), ) = (δ 1 (q 1, ), δ 2 (q 2, (q 1, ))) Le produit en cscde de k utomtes se définit récursivement pr : B 1 B 2 B k = (...((B 1 B 2 ) B 3 )...) B k. Question 22. Soient B 1 et B 2 deux utomtes dmettnt chcun un lgorithme inire. Montrez qu il en est de même pour leur produit en cscde B 1 B 2. Un homomorphisme surjectif d un utomte déterministe complet (dont on ignore les étts finux) A 1 = (Q 1, A, q i,1, δ 1 ) vers un utomte déterministe complet (dont on ignore les étts finux) A 2 = (Q 2, A, q i,2, δ 2 ) est une fonction totle surjective ϕ : Q 1 Q 2 telle que ϕ(q i,1 ) = q i,2 et δ 1 (q, ) = q δ 2 (ϕ(q), ) = ϕ(q ). Question 23. Soient A 1 et A 2 deux utomtes déterministes complets et soit ϕ un homomorphisme surjectif de A 1 vers A 2. Montrez que si A 1 dmet un lgorithme inire, il en est de même pour A 2. Définition. Soit A un utomte déterministe complet. Une décomposition en cscde de A est l donnée de k 1 utomtes reset B 1,, B k et d un homomorphisme surjectif prtiel ϕ de B 1 B 2 B k vers A. On dmettr le théorème suivnt : Théorème (Krohn-Rhodes) Tout utomte sns compteur dmet une décomposition en cscde. Question 24. Conclure des questions précédentes qu un utomte dmet un lgorithme inire si et seulement s il est sns compteur. 10