p = A cos(kx ωt). (1.2)

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1 1 1. Séries de Fourier 1. Introduction En physique, on rencontre souvent des problèmes faisant intervenir des vibrations ou des oscillations. La vibration d un diapason est un exemple de mouvement harmonique simple. La note musicale produite est due au passage d une onde sonore à travers l air, depuis le diapason jusqu à l oreille. Quand le diapason vibre, il met les molécules d air en mouvement. Si l on mesure la pression en excès en fonction de la distance x au diapason et du temps t, on trouve qu elle est de la forme : 2π(x vt) p = A cos. (1.1) λ L onde sonore produite par le diapason est une onde sinusoïdale pure de fréquence angulaire ou pulsation ω = 2πv/λ et de vecteur d onde k = 2π/λ. On a : p = A cos(kx ωt). (1.2) Si l on émet simultanément plusieurs sons de fréquence définie, la pression dans l onde sonore résultante n est pas une fonction sinusoïdale, mais une somme de plusieurs fonctions sinusoïdales. De même, si l on joue une note de piano, on n obtient pas une onde sonore de fréquence bien définie, mais un son fondamental accompagné d autres sons (les harmoniques) de fréquences égales à 2 fois, 3 fois, 4 fois..., celle du son fondamental. Si sin ωt et cos ωt correspondent à la fréquence fondamentale, sin nωt et cos nωt (n entier) correspondent aux harmoniques. La combinaison du fondamental et des harmoniques est une fonction périodique compliquée dont la période est celle du fondamental. On peut se poser la question suivante : étant donnée une fonction périodique, comment l écrire sous la forme d une somme de termes correspondant aux différents harmoniques? En général, il est nécessaire pour cela d écrire tous les harmoniques, c est-à-dire une série infinie de termes. Cette série est appelée série de Fourier. Développer une fonction en série de Fourier revient à la décomposer en ses différents harmoniques.

2 2 Chapitre 1 : Séries de Fourier 2. Définition On appelle série trigonométrique une série de la forme : a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). (2.1) n=1 Les constantes a, a n et b n (n = 1, 2... ) sont les coefficients de la série trigonométrique. Si la série (2.1) converge, sa somme est une fonction périodique f(x) de période 2π : f(x) = f(x + 2π). (2.2) Comme indiqué dans l introduction, on se pose le problème suivant : étant une fonction périodique f(x) de période 2π, on se demande pour quelles conditions imposées à f(x) il existe une série trigonométrique convergeant vers f(x) Détermination des coefficients de la série au moyen des formules de Fourier On suppose que la fonction f(x), périodique et de période 2π, peut être représentée par une série trigonométrique convergeant vers f(x) dans l intervalle (, π), c est-à-dire que l on peut écrire : f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). (2.3) n=1 La série (2.1) (qui figure au second membre de l équation (2.3)) est appelée série de Fourier de f(x). Les coefficients a n et b n sont les coefficients de Fourier de f(x). Calcul de a On suppose que la série (2.1) (second membre de l équation (2.3)) peut être intégrée terme à terme. C est par exemple le cas si la série numérique formée avec les coefficients de la série trigonométrique converge absolument, c est-à-dire si la série numérique positive suivante converge : a 2 + a 1 + b a n + b n +. (2.4) La série (2.1) est alors majorable et peut être intégrée terme à terme. On en déduit l égalité f(x) dx = πa, (2.5)

3 Définition 3 qui fournit une expression de a : a = 1 π f(x) dx. (2.6) Calcul des autres coefficients de Fourier Pour obtenir les autres coefficients de la série, on calcule d abord les intégrales auxiliaires suivantes, dans lesquelles n et k sont des entiers strictement positifs : {, n k cos nx cos kx dx = π, n = k, cos nx sin kx dx =, sin nx sin kx dx = {, n k π, n = k. (2.7) Pour déterminer a k pour k > donné, on multiplie les deux membres de l égalité (2.3) par cos kx : f(x) cos kx = a 2 cos kx + (a n cos nx cos kx + b n sin nx cos kx). (2.8) n=1 La série du second membre est majorable et peut donc être intégrée terme à terme. On obtient ainsi l égalité qui fournit une expression de a k : a k = 1 π f(x) cos kx dx = πa k, (2.9) f(x) cos kx dx. (2.1) De même, en multipliant les deux membres de l égalité (2.3) par sin kx et en intégrant sur x, on obtient l égalité d où l on déduit une expression de b k : b k = 1 π f(x) sin kx dx = πb k, (2.11) f(x) sin kx dx. (2.12)

4 4 Chapitre 1 : Séries de Fourier 2.2. Conditions suffisantes pour qu une fonction soit développable en série de Fourier Quelles sont les propriétés que doit posséder la fonction f(x) pour que sa série de Fourier converge et que sa somme soit égale aux valeurs de la fonction aux points considérés? Nous allons énoncer un théorème donnant des conditions suffisantes pour que la fonction f(x) soit représentable par une série de Fourier. Les fonctions considérées sont monotones par morceaux et bornées sur l intervalle considéré, donc ne possèdent que des points de discontinuité de première espèce, c est-àdire avec une limite à droite et une limite à gauche. On a le théorème : Si la fonction périodique f(x) de période 2π est monotone par morceaux et bornée sur le segment (, π), sa série de Fourier converge en tous les points. La somme de la série obtenue s(x) est égale à la valeur de la fonction f(x) aux points de continuité. Aux points de discontinuité de f(x), la somme de la série est égale à la moyenne arithmétique des limites de la fonction à gauche et à droite, c est-à-dire que, si c est un point de discontinuité de f(x), on a : s(x) x=c = f(c ) + f(c + ). (2.13) 2 Ce théorème montre que la classe des fonctions représentables par des séries de Fourier est assez large. 3. Exemples de développements de fonctions en séries de Fourier Donnons des exemples de développements de fonctions en séries de Fourier Exemple 1 On se donne une fonction périodique f(x) de période 2π définie comme suit : f(x) = x, < x π. (3.1) Cette fonction est monotone par morceaux et bornée (Figure 1).

5 Exemples de développements de fonctions en séries de Fourier 5 f(x) -3π -2π -π π 2π 3π x Figure 1 Elle admet donc un développement en série de Fourier. On trouve en appliquant les formules (2.6), (2.1) et (2.12) : b k = 1 π a = 1 π a k = 1 π x dx =, (3.2) x cos kx dx =, (3.3) x sin kx dx = ( 1) k+1 2 k. (3.4) On obtient ainsi le développement de f(x) en série de Fourier : [ ] sin x sin 2x k+1 sin kx f(x) = ( 1) +. (3.5) 1 2 k L égalité a lieu partout sauf aux points de discontinuité. En de tels points, la somme de la série est égale à la moyenne arithmétique des limites de la fonction à gauche et à droite, c est-à-dire à zéro Exemple 2 On se donne une fonction périodique de période 2π définie comme suit f(x) = x, x, f(x) = x, < x π, (3.6)

6 6 Chapitre 1 : Séries de Fourier (c est-à-dire f(x) = x dans l intervalle (, π)). Cette fonction est monotone par morceaux et bornée (Figure 2). f(x) -3! -2! -!! 2! 3! x Figure 2 Elle admet donc un développement en série de Fourier. Déterminons ses coefficients de Fourier. On obtient soit et : a = 1 [ ( x) dx + π a k = 1 [ ( x) cos kx dx + π ] x cos kx dx {, k pair, a k = 4/πk 2, k impair, b k = 1 [ ( x) sin kx dx + π On a donc le développement en série de Fourier : f(x) = π 2 4 π ] x dx = π, (3.7) = 2 (cos kπ 1), (3.8) πk2 (3.9) ] x sin kx dx =. (3.1) [ ] cos x cos 3x cos(2p + 1)x (2p + 1) 2 +. (3.11) La série (3.11) converge partout et sa somme est égale à la fonction considérée.

7 Exemples de développements de fonctions en séries de Fourier Exemple 3 On considère la fonction périodique de période 2π définie comme suit : f(x) = 1, < x <, f(x) = 1, x π. (3.12) Cette fonction est monotone par morceaux et bornée (Figure 3). Calculons ses coefficients de Fourier. On obtient : et soit : a = 1 [ ( 1) dx + π a k = 1 [ ( 1) cos kx dx + π b k = 1 [ ( 1) sin kx dx + π ] dx =, (3.13) ] cos kx dx =, (3.14) ] sin kx dx = 2 (1 cos kπ), (3.15) πk {, k pair, b k = 4/πk, k impair. (3.16) f(x) 1-3! -2!! 2! 3! x -1 Figure 3 La série de Fourier de la fonction considérée s écrit donc : f(x) = 4 [ ] sin x sin 3x sin(2p + 1)x (3.17) π 1 3 2p + 1

8 8 Chapitre 1 : Séries de Fourier L égalité (3.17) est exacte partout sauf aux points de discontinuité. En ces points, la somme de la série est égale à la moyenne arithmétique des limites de la fonction à gauche et à droite, c est-à-dire à zéro Remarque sur le calcul des coefficients de Fourier L intégrale d une fonction périodique f(x) sur un intervalle arbitraire de longueur égale à la période a toujours la même valeur. On peut donc par exemple, dans le calcul des coefficients de Fourier d une fonction périodique de période 2π, remplacer l intervalle d intégration (, π) par l intervalle (λ, λ + 2π), où λ est un réel quelconque. Cette propriété peut, dans certains cas, simplifier le calcul. 4. Séries de Fourier des fonctions paires ou impaires On considère une fonction f(x) définie sur l intervalle (, π). Cette fonction est paire si : f(x) = f( x). (4.1) Elle est impaire si : f(x) = f( x). (4.2) Toute fonction peut être écrite comme la somme d une fonction paire et d une fonction impaire. Les intégrales sur des intervalles symétriques de fonctions de parité définie peuvent être simplifiées. On a en effet, si f est paire, f(x) dx = 2 f(x) dx, (4.3) et, si f est impaire : f(x) dx =. (4.4) a : 4.1. Fonction paire : série de Fourier cosinus Si f(x) est paire, f(x) sin kx est impaire et f(x) cos kx est paire. Par suite, on a = 2 π a k = 2 π b k = 1 π f(x) dx, (4.5) f(x) cos kx dx, (4.6) f(x) sin kx dx =. (4.7)

9 Séries de Fourier des fonctions de période quelconque 9 Le développement en série de Fourier d une fonction paire ne contient que des cosinus (c est le cas de la fonction de l exemple 2). On dit alors que l on a une série de Fourier cosinus Fonction impaire : série de Fourier sinus Si f(x) est impaire, f(x) sin kx est paire et f(x) cos kx est impaire. Par suite, on a : a = 1 π a k = 1 π f(x) dx =, (4.8) f(x) cos kx dx =, (4.9) b k = 1 f(x) sin kx dx = 2 f(x) sin kx dx, (4.1) π π Le développement en série de Fourier d une fonction impaire ne contient que des sinus (c est le cas des fonctions des exemples 1 et 3). C est une série de Fourier sinus. 5. Séries de Fourier des fonctions de période quelconque Soit f(x) une fonction périodique de période 2l (éventuellement différente de 2π). On cherche à la développer en série de Fourier. ( ) Pour cela, on effectue le changement de variable x = (l/π)u. La fonction f l π u est une fonction périodique de u de période 2π que l on peut développer en série de Fourier : n=1 ( l ) f π u = a 2 + (a n cos nu + b n sin nu). (5.1) Les coefficients de la série sont donnés par les formules : a = 1 ( ) l f π π u du = 1 l f(x) dx, (5.2) l l a n = 1 ( ) l f π π u cos nu du = 1 l f(x) cos nπx dx, (5.3) l l l b n = 1 ( ) l f π π u sin nu du = 1 l f(x) sin nπx dx. (5.4) l l Les formules (5.2) (5.4) permettent d obtenir les coefficients de Fourier d une fonction périodique de période 2l. Les remarques sur la possibilité de calculer les coefficients de Fourier en intégrant sur un segment arbitraire de longueur égale à la période (paragraphe 3.4), et de simplifier le calcul des coefficients lorsque la fonction est paire ou impaire (paragraphe 5), restent valables pour une fonction de période quelconque. l

10 1 Chapitre 1 : Séries de Fourier 6. Développement en série de Fourier d une fonction définie sur un intervalle fini Soit une fonction monotone par morceaux f(x), donnée sur le segment (a, b). Cette fonction peut être représentée aux points de continuité par une série de Fourier. Pour le montrer, il suffit de considérer une fonction périodique monotone par morceaux f 1 (x) de période supérieure ou égale à b a et coïncidant avec la fonction f(x) sur le segment (a, b). La fonction f 1 (x) est un prolongement périodique de f(x). Cette fonction, étant périodique, peut être développée en série de Fourier. La somme de la série coïncide partout sur le segment (a, b) (sauf aux points de discontinuité) avec la fonction donnée f(x). La fonction f(x) a ainsi été développée en série de Fourier sur le segment (a, b). Le prolongement périodique d une fonction n est pas unique. En particulier, une fonction définie sur l intervalle (, l) peut être prolongée de plusieurs manières sur le segment ( l, ). On peut par exemple la prolonger de sorte que f(x) = f( x) (prolongement pair). La série de Fourier correspondante est une série de Fourier cosinus. On peut aussi prolonger la fonction de sorte que f(x) = f( x) (prolongement impair). La série de Fourier correspondante est une série de Fourier sinus. En reprenant l exemple 1 et l exemple 2 du paragraphe 3, on voit que la fonction f(x) = x sur le segment (, π) peut être prolongée, soit de façon paire avec le développement en série de Fourier cosinus x = π 2 4 ( cos x + π 1 cos 3x ), (6.1) soit de façon impaire avec le développement en série de Fourier sinus : ( ) sin x sin 2x sin 3x x = 2 +. (6.2) Les égalités (6.1) et (6.2) sont valables, l une comme l autre, sur le segment (, π). 7. Séries de Fourier complexes 7.1. Définition Soit la série de Fourier d une fonction périodique f(x) de période 2π : f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). (7.1) n=1 En exprimant cos nx et sin nx au moyen des exponentielles imaginaires, c est-à-dire en écrivant cos nx = einx + e inx, 2 sin nx = einx e inx, 2i (7.2)

11 Séries de Fourier complexes 11 et en reportant ces expressions dans la série de Fourier (7.1), on obtient une série de termes de la forme e inx et e inx. C est la forme complexe de la série de Fourier de f(x) : On a les relations : f(x) = n= c n e inx. (7.3) c = a 2, c n = a n ib n 2, c n = a n + ib n 2 = a n ib n 2 (n 1). (7.4) 7.2. Formules de Fourier Comme les coefficients a n et b n, les coefficients c n s expriment par des intégrales. En remplaçant dans les formules (7.4) les coefficients a, a n et b n par leurs expressions (2.6), (2.1) et (2.12), on obtient : c n = 1 f(x)e inx dx, n =, ±1, ±2.... (7.5) 2π 7.3. Cas d une fonction de période quelconque Si la fonction f(x) est périodique de période 2l, sa série de Fourier s écrit : f(x) = a 2 + ( a n cos nπx + b n sin nπx ). (7.6) l l n=1 Dans ce cas, la forme complexe de la série est donnée par la formule ( f(x) = c n exp i nπx ), (7.7) l avec : c n = 1 2l l l n= ( f(x) exp i nπx ) dx, n =, ±1, ±2.... (7.8) l 7.4. Propriétés des coefficients c n Si f est paire, alors c n c n = c n. = c n. De façon analogue, si f est impaire, alors Si f est une fonction réelle, alors 1 c n = c n. Si f est imaginaire pure, alors c n = c n. 1 Le symbole désigne l opération de conjugaison complexe.

12 12 Chapitre 1 : Séries de Fourier 7.5. Un peu de physique Considérons le cas où x représente une longueur. Les nombres k n = nπ/l sont alors les nombres d onde de la fonction périodique f(x) = n= c n exp(ik n x). (7.9) L ensemble des k n constitue le spectre des nombres d onde de f(x). Si l on porte ces nombres sur un axe, on obtient un ensemble de points distincts. Le spectre correspondant est dit discret. Considérons le cas où x représente le temps. En changeant de notation de manière à appeler la variable t, la série de Fourier complexe d une fonction du temps f(t) de période T = 2π/ω s écrit f(t) = n= c n exp(iω n t), (7.1) où les nombres ω n = nω sont les fréquences angulaires des différents harmoniques. L ensemble des ω n constitue le spectre de fréquences de f(t). La fonction considérée étant périodique, son spectre de fréquences est discret. Dans un cas comme dans l autre, les coefficients c n du développement en série de Fourier portent le nom d amplitudes complexes. 8. Approximation d une fonction par les sommes partielles de Fourier En pratique, la somme partielle s N (x) obtenue lorsque l on se limite au N ème terme de la représentation d une fonction f(x) en série de Fourier constitue une expression approchée de la fonction que l on développe. On peut démontrer que c est la meilleure expression approchée, au sens où elle minimise la déviation quadratique δ 2 N définie par2 : δn 2 = 1 [ f(x) sn (x) ] 2 dx. (8.1) 2π 2 Nous supposons ici f(x) réelle. Si f(x) peut prendre des valeurs complexes, la définition (8.1) de δn 2 doit être remplacée par : δn 2 = 1 f(x) s N (x) 2 dx. 2π

13 Approximation d une fonction par les sommes partielles de Fourier Inégalité de Bessel Considérons les sommes partielles s N (x) = a N 2 + (a k cos kx + b k sin kx), (8.2) k=1 où a, a 1,..., a N, b 1,..., b N sont les coefficients de Fourier de f(x) d indice inférieur ou égal à N. On a : δn 2 = 1 f 2 (x) dx a2 2π N (a 2 k + b 2 k). (8.3) k=1 Comme δ 2 N, on a, quel que soit N, l inégalité :, 1 π f 2 (x) dx a2 2π N (a 2 k + b 2 k). (8.4) Il s ensuit que la série du second membre converge lorsque N. On en déduit l inégalité de Bessel : k=1 1 π f 2 (x) dx a2 2π (a 2 k + b 2 k). (8.5) k= Égalité de Parseval On peut démontrer que, pour toute fonction f(x) bornée monotone par morceaux, la déviation quadratique δn 2 obtenue lorsque l on remplace cette fonction par la somme partielle de Fourier s N (x) tend vers zéro lorsque N tend vers l infini. Il résulte alors de la formule (8.3) l égalité 1 π f 2 (x) dx = a2 2π (a 2 k + b 2 k), (8.6) k=1 dite égalité de Parseval. En utilisant la forme complexe des séries de Fourier, on montre que l égalité de Parseval s écrit aussi : 1 π f 2 (x) dx = 2π k= c k 2. (8.7)

14 14 Chapitre 1 : Séries de Fourier Pour une fonction à valeurs complexes, les formules (8.6) et (8.7) doivent être remplacées par : 1 π f(x) 2 dx = a 2 2π ( a k 2 + b k 2 ) (8.8) k=1 et : 1 π f(x) 2 dx = 2π k= c k 2. (8.9) 8.3. Encore un peu de physique Donnons une idée du sens de l égalité de Parseval en physique. Considérons par exemple la pression en excès p(t) de l air en fonction du temps au voisinage d une source sonore. L intensité du son est proportionnelle à la moyenne du carré de la pression en excès. Lorsque la pression a une variation purement sinusoïdale A cos ωt, l intensité est proportionnelle à A 2. Dans la série de Fourier de p(t), les intensités des différents harmoniques sont proportionnelles aux carrés des coefficients de Fourier correspondants. L égalité de Parseval correspond donc dans cet exemple au fait que l énergie sonore totale est égale à la somme des énergies associées aux différents harmoniques. 9. Propriété des coefficients de Fourier On considère les fonctions continues par morceaux sur le segment (, π), c est-à-dire les fonctions dont les points de discontinuité de première espèce sont en nombre fini sur ce segment (ou qui y sont partout continues). On peut démontrer le théorème : Si la fonction f(x) est continue par morceaux sur le segment (, π), ses coefficients de Fourier tendent vers zéro lorsque n : lim a n =, n lim b n =. (9.1) n En effet, si la fonction f(x) est continue par morceaux sur le segment (, π), il en est de même de f 2 (x). Donc l intégrale f 2 (x) dx existe et est un nombre fini. Il résulte alors de l inégalité de Bessel (8.6) que la série n=1 (a2 n + b 2 n) converge, ce qui entraîne que son terme général tend vers zéro : lim n (a 2 n + b 2 n) =. On démontre ainsi pour une fonction bornée continue par morceaux les égalités (9.1), qui s écrivent, compte tenu des formules de Fourier (2.1) et (2.11) : lim n lim n f(x) cos nx dx =, f(x) sin nx dx =. (9.2)

15 Propriété des coefficients de Fourier 15 Les propriétés (9.1) et (9.2) s étendent à la forme complexe de la série de Fourier. On a lim c n =, (9.3) n soit, compte tenu de la formule de Fourier (7.5) : lim f(x)e inx dx =. (9.4) n