Les corrigés des examens DPECF - DECF

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1 1 er centre de formaton comptable va Internet. Les corrgés des examens DPECF - DECF h après l examen sur L école en lgne qu en fat + pour votre réusste Préparaton aux DPECF et DECF va Internet

2 SESSION 2004 MÉTHODES QUANTITATIVES SUJET DE MATHEMATIQUES Durée : 2 heures Coeffcent : 0,5 Documents autorsés : Une calculatrce de poche à fonctonnement autonome, sans mprmante, et sans aucun moyen de transmsson, à l'excluson de tout autre élément matérel ou documentare (crculare n du 16 novembre 1999 ; BOEN n 42). Document rems au canddat : Le sujet comporte 3 pages numérotées de 1 à 3. II vous est demandé de vérfer que le sujet est complet dès sa mse à votre dsposton. Barème ndcatf : Parte A : 7 ponts Parte B : 7 ponts Parte C : 6 ponts Les tros partes portent sur le même thème mas elles peuvent être tratées ndépendamment les unes des autres. Parte A Madame et Monseur DULIN désrant ouvrr un restaurant tradtonnel à proxmté du nouveau centre d'affares ont déposé chaque mos pendant 48 mos sur un compte rémunéré à 4,91 %. 1. Quel est le taux mensuel équvalent au taux annuel de 4,91 %? On donnera la réponse à 10-4 près. tard? 2. De quel captal dsposent-ls juste après le derner versement? Et cnq mos plus 3. Ils complètent cette somme par un emprunt de au taux annuel de 6,18 % remboursable par mensualtés constantes à partr du mos suvant l'obtenton du prêt. Ne désrant pas avor des mensualtés supéreures à 1 700, quel est le nombre mnmal d'années de cet emprunt? COMPTALIA.COM - Ce corrgé est fourn à ttre ndcatf et ne saurat engager la responsablté de Comptala.com 1/9

3 Parte B Une enquête d'un servce commercal a perms de connaître l'évoluton de la demande de déjeuners en foncton du prx proposé. N de la donnée Prx proposé p en euros Nombre de demandes hebdomadares d Représenter graphquement cette dstrbuton dans un repère orthogonal. On placera les prx en abscsse et les demandes en ordonnée. Peut-on envsager un ajustement lnéare? 2. a) Détermner le pont moyen du nuage. b) Détermner l'équaton de la drote de régresson D d/p de la forme d = ap + b où les coeffcents a et b seront détermnés à l'ade d'une calculatrce. c) Tracer la drote D d/p 3. En utlsant la queston précédente détermner la recette hebdomadare, en foncton du prx proposé p. 4. Détermner le prx du repas (arrond au dem euro près) qu donne la recette maxmale. Parte C Le gérant fxe fnalement le prx du repas à Quelle est la recette hebdomadare R(n), exprmée en centanes d'euros, en foncton du nombre n de clents par semane? 2. Il prévot d'autre part que son coût de producton hebdomadare, exprmé en centanes d'euros, en foncton du nombre n de clents, est donné par la relaton : C(n) = 8 + 1,4 ln(n +1) Etuder la foncton C défne par : C(x) = 8 + 1,4 ln(x +1) sur [0 ; 150]. 3. a) Représenter graphquement la foncton C dans un repère orthogonal sur la feulle de paper mllmétré fourne. (Untés graphques : 1 cm pour 10 untés sur l axe des abscsses et 1cm pour 100 sur celu des ordonnées) b) Tracer dans le même repère la représentaton de la foncton recette. 4. Détermner, à l'ade du graphque, le nombre de repas hebdomadares à partr duquel le gérant réalse un bénéfce. COMPTALIA.COM - Ce corrgé est fourn à ttre ndcatf et ne saurat engager la responsablté de Comptala.com 2/9

4 PROPOSITION DE CORRIGE 1. Taux mensuel équvalent Parte A - Rappel du prncpe de calcul d'un taux équvalent : = Taux d'actualsaton annuel, donné par l'énoncé ' = Taux équvalent recherché => On pose l'équaton : (1 + ') = (1 + ) k Avec k = Le rapport entre la pérode donnée et la pérode équvalente recherchée. - Applcaton à la queston Taux annuel = 4,91% Pérode = Le mos => Pour trouver le taux mensuel équvalent à un taux annuel de 4,91%, on pose : (1+') = (1,0491) (1/12) => 12 car 12 mos dans l'année! Il vent : => (1+') = 1, => ' = 1, => ' = 0, => ' = 0,4002% tard? 2. De quel captal dsposent-ls juste après le derner versement? Et cnq mos plus - Captal après le derner versement Prncpe : Il sufft d'applquer la formule permettant de trouver la valeur acquse par une sute de mensualtés constantes. Rappel : Valeur acquse = a Avec : a = Mensualtés = n (1 + ) - 1 = Taux mensuel équvalent = 0,4002% n = Nombre de mensualtés constantes versées = 48 => Valeur acquse = (1,004002) - 1 0, , = * = * 52,80419 = ,19 0, Conséquence : Captal après le derner versement COMPTALIA.COM - Ce corrgé est fourn à ttre ndcatf et ne saurat engager la responsablté de Comptala.com 3/9

5 - Captal cnq mos plus tard Prncpe : Il sufft d'applquer la formule permettant de trouver la valeur acquse par une sute de mensualtés constantes "d" pérode après le derner versement (sans aucun versement après le n ème ). Rappel : Valeur acquse = a * ( 1 + ) Avec : a = Mensualtés = n (1 + ) - 1 = Taux mensuel équvalent = 0,4002% n = Nombre de mensualtés constantes versées = 48 d = Nombre de pérodes (c le mos) après le derner versement = 5 d Remarque : Nous dsposons déjà de la réponse à la 1 ère parte de l'équaton (cf queston 1) => Il vent : Valeur acquse = * ( 1, ) 5 = * 1,02017 Conséquence : Captal 5 mos après le derner versement Nombre mnmal d'années de l'emprunt Prncpe : Il sufft d'applquer la formule permettant de trouver la valeur actuelle d'une sute de mensualtés constantes. Rappel : Valeur actuelle = a 1 - (1 + ) Avec : Valeur actuelle = a = Mensualtés constantes = = Taux mensuel équvalent = 0,50096% => (1+') = (1,0618) (1/12) => (1+') = 1, => ' = 1, => ' = 0, => ' = 0,50096% n = Nombre de mensualtés constantes versées => Ce que l'on cherche Il vent : = (1, ) 0, COMPTALIA.COM - Ce corrgé est fourn à ttre ndcatf et ne saurat engager la responsablté de Comptala.com 4/9

6 Il faut donc résoudre cette équaton => On peut écrre : (1, ) = , => 88,2353 = 1 - (1, ) 0, => 88,2353 * 0, = 1 (1, ) => (88,2353 * 0, ) - 1 = (1, ) - => - 0,56 = (1, ) - - => 0,56 = (1, ) On peut mantenant utlser les spécfctés des log népérens par exemple : => ln 0,56 = ln (1, ) => ln 0,56 = ln (1, ) => - 0,58 = * 0, => = - 0,58 0, => = - 116,07 => n = 116,07 mos Concluson : Le nombre mnmal d'années est d'envron 10 ans => 116,07/12 = 9,67 ans COMPTALIA.COM - Ce corrgé est fourn à ttre ndcatf et ne saurat engager la responsablté de Comptala.com 5/9

7 Parte B 1. Représenter graphquement la dstrbuton Evoluton de la demande de déjeuners en foncton du prx Nb demandes hebdo Prx ( ) 2. a) Détermner le pont moyen du nuage Rappel : Formules à connaître pour établr l'équaton de la drote de régresson : y = ax + b Cov (xy) a = et b = y - a x V(x) Sachant que : N = Nombre d'observatons (nombre de mos, semestres, trmestres, années ) = n 1 Moyenne de x = X = x N = 1 = n 1 Moyenne de y = y = y N = 1 Varance = Moyenne des carrés Carré de la moyenne = n 1 2 => V(x) = x N - ( X ) 2 = 1 Remarque : Compte tenu de sa défnton, une varance ne peut pas être négatve! Covarance = Moyenne des produts Produt des moyennes = n 1 => Cov (xy) = x y - ( N x y ) = 1 Remarque : Compte tenu de sa défnton, une covarance peut être négatve! COMPTALIA.COM - Ce corrgé est fourn à ttre ndcatf et ne saurat engager la responsablté de Comptala.com 6/9

8 Conséquence : l sufft de remplacer dans les défntons c-dessus "x" par "p" et "y" par "d" On peut donc construre le tableau de calcul suvant : N de la donnée Prx proposé p en euros Nombre de demandes hebdomadares d (p ) 2 p * d = 144 = = = Pont moyen du nuage Moyenne de p = = n 1 p = p N = 1 Moyenne de d = d = = n 1 d N = 1 => p = 1/6 * 144 = 24 => d = 1/6 * = b) Equaton de la drote de régresson : d = ap + b => Cov(p d ) = (1/6 * ) (24 * 267) => Cov(p d ) = ,67 => V(p ) = (1/6 * 3 736) => => V(p ) = 46,67 => a = ,67/46,67 => a = - 25 => b = 267 (- 25 * 24) => b = 867 Concluson : d = - 25p COMPTALIA.COM - Ce corrgé est fourn à ttre ndcatf et ne saurat engager la responsablté de Comptala.com 7/9

9 2c) Tracer la drote Représentaton graphque de la drote Dd/p D d/p = - 25 p Recette hebdomadare en foncton du prx p proposé Prncpe : Recette hebdomadare = Demande * Prx R(p) = p (- 25p + 867) = - 25p p 4. Prx du repas donnant la recette maxmale Prncpe : L'optmum est attent lorsque la dérvée s'annule R (p) = - 50p On pose donc : R (p) = 0 => - 50p = 0 => P = 867/50 17,50 COMPTALIA.COM - Ce corrgé est fourn à ttre ndcatf et ne saurat engager la responsablté de Comptala.com 8/9

10 Parte C 1. La recette hebdomadare peut s exprmer en foncton du nombre de clents s l on fxe le prx à 17 ou 0,17 centanes d euros. => R(n) = 0,17. n 2. Etude de la foncton : C(x) = 8 + 1,4 ln (n+1) Sot le coût de producton = C(n) = 8 + 1,4 ln (n+1) Etudons la foncton : C(x) = 8 + 1,4 ln (x+1) Sa dérvée est : C x = 1,4 > 0 sur [0 ; 150] x + 1 => Donc la foncton C est crossante sur cet ntervalle x C (x) 1,4 0,009 C(x) 8 15,02 On remarque que son taux de crossance dmnue 3. a) b) Représentaton graphque 4. Le pont d ntersecton des deux courbes se stue pour un nombre de clent n 84 COMPTALIA.COM - Ce corrgé est fourn à ttre ndcatf et ne saurat engager la responsablté de Comptala.com 9/9