Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009

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1 Université Joseph Fourier Premier semestre 9/ Licence première année - MATa - Groupe CHB- Contrôle Continu, le 9//9 Le contrôle dure heure. Questions de cours. ) Soit f :]a, b[ ]c, d[ unefonctionbijectiveetdérivabletelleque,pourtoutx ]a, b[, f (x).onnoteg :]c, d[ ]a, b[ lafonctionréciproquedef. Onadmetqueg est dérivable sur ]c, d[. Montrer que la dérivée de g s écrit : g (x) = f (g(x)) ) Utiliser cette formule pour montrer que la dérivée de arctan : R ] π ; π [est: arctan (x) = +x Exercice. Montrer par récurrence l identité suivante : n N\{} +3+ +(n ) = n Exercice. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : ) f(x) =ln(+e x ) ) g(x) = (sin(x)) 3) h(x) = x +4x+ +x 4) k(x) =x e x sin(x) Exercice 3. Soit f : R R une fonction. Pour chacune des propositions suivantes, écrire sa négation : ) x R y R f(x) f(y) ) x R f(x) > OUf(x) = 3) x R y R x y f(x) f(y) 4) x R f(x) = Dire laquelle des propositions précédentes signifie que : a) f est une fonction croissante. b) f admet un maximum en x. c) L équation f(x) = a au moins une solution dans R. d) f est une fonction positive.

2 Exercice 4. Le gardien du phare P doit rejoindre la ville V.Ilvoyageenbarquedu phare au point M àunevitessede4km.h,puisrejointlavilleàpiedàunevitessede 5 km.h.onnotex la distance OM en km. (Voirfigure.) Terre 5 km O x M V 3 km Mer P ) Montrer que le temps mis par le gardien pour se rendre du phare à la ville est donné par la formule : x +9 T (x) = + 5 x 4 5 ) Résoudre dans R + l inéquation : 5x 4 x +9> 3) Établir le tableau de variation de la fonction x T (x) surl intervalle[, 5]. 4) Où le gardien doit-il accoster pour que son voyage dure le moins longtemps possible?

3 Université Joseph Fourier Premier semestre 9/ Licence première année - MATa - Groupe CHB- Contrôle Continu, le //9 Le contrôle dure heure. Questions de cours. ) Donner les définitions de valeur propre d une matrice et vecteur propre d une matrice. ) Soit P œm n,n (R) une matrice inversible et A œm n,n (R). Montrer par récurrence que (P AP ) n = PA n P. Exercice. Soit la matrice M : Q R 5 c d M = a4 5 b 6 7 ) Soit les matrices : Q R Q R 5 c d c d U = a 3b L = a b œ R 3 Pour quelles valeurs de a-t-on M = L U? ) Calculer le déterminant de M. 3) Soit Y œ R 3 un vecteur quelconque fixé. Combien de solutions a le système linéaire MX = Y où l inconnue X est un vecteur de R 3? (On ne demande pas de calculer ces solutions.) Exercice. Soit le système linéaire : Y _] x y + z = (S) y z = _[ x + y z = ) Écrire le système sous la forme AX = B ou A est une matrice et X et B sont des vecteurs. ) Montrer que A est inversible et calculer son inverse. 3) En déduire les solutions de (S).

4 Exercice 3. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices suivantes : A B A B , Exercice 4. Soit la fonction f : R æ R définie par : f(x, y) = sin(x)cos(y). On rappelle que le laplacien d une fonction de deux variables est défini par f = ˆf + ˆf. ˆx ˆy Montrer que la fonction f considérée vérifie f = f.

5 Université Joseph Fourier Premier semestre 9/ Licence première année - MATa - Groupe CHB- Contrôle Continu 3, le //9 Le contrôle dure heure. Attention : Les intégrales I 3 et J 3 sont un peu plus dures et hors-barème. Questions de cours. ) En utilisant les formules d Euler ou les formules usuelles de trigonométrie, linéariser cos (t), en déduire que π/ cos (t)dt = π. 4 ) Soit α un réel positif, donner une primitive de. x +α Exercice. Calculer les intégrales suivantes avec une intégration par parties (ou plusieurs) : I = te t dt I = t cos(t)dt I 3 = π/ e t cos(t)dt Exercice. En utilisant le changement de variable indiqué, calculer : J = J = J 3 = dx e x + e t = x ex x dx x =sin(t) x dx t = e x +e x Exercice 3. Soit la fonction f : R\{} R définie par : f(x) = 5x x + x(x +) ) Trouver trois réels A, B et C tels que, pour tout x R : ) Donner une primitive de f. f(x) = A x + Bx + C x + 3) À l aide d un changement de variable, calculer : ln() 5e t e t + dt e t +

6 Université Joseph Fourier Premier semestre / Licence première année - MATa - Groupe GSC- Contrôle Continu, le 5// Le contrôle dure heure 3. Questions de cours.. Soient f et g deux fonctions de R dans R, quelleestla formule donnant la dérivée de la fonction composée f g?. Quelle est la dérivée de la fonction arctan? Exercice. On considère les quatre propostions suivantes :. 8a R 8b R 8c R (a <bet b<c) ) a<c. 8a R9x R x a 3. 8a R8b R a b ) a b Pour chacune d entre elles, en donner le sens en français, dire si elle est vraie ou fausse et écrire sa négation. Exercice. Lors d une réunion, chaque participant qui arrive serre la main de tout les participants déjà arrivés. On note u n le nombre total de poignées de mains échangées quand n personnes sont arrivées.. Calculer u,u,u 3 et u 4.. Parmi les propositions suivantes, dire lesquelles sont plausibles : u n = n u n = n(n+) u u = n(n ) 3. On suppose que n personnes sont déjà arrivées, une (n + )-ième personne arrive, combien de mains serre-t-elle? En déduire que u n+ = u n + n. 4. Montrer par récurrence que l expression de u n choisie à la deuxième question est correcte. Exercice 3. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :. f(x) =ln(+x). g(x) = sin(x) 3. h(x) = x +4x+ +x 4. k(x) =x e x sin(x)

7 Exercice 4. Le rectagle ABCD représente un mur. En B et C sont positionnées des arrivées d eaux pluviales (par des gouttières). L évacuation de ces eaux se trouve en I au milieu de [AD]. On doit relier B et C à I. On reli d abord I à M par un tuyau vertical de longueur x puis on M à B et C par deux tuyaux obliques. (voir figure). En fonction de la hauteur x à laquelle se trouve le point M calculer la longueur totale de tuyau nécessaire. On notera cette fonction L(x).. À quel intervalle intervalle est il raisonnable de restreindre la variable x si on tient compte de l origine pratique du problème? 3. Dresser le tableau de variation de L(x) sur l intervalle choisi à la question précédente. 4. En quel position faut il placer M pour utiliser le moins de tuyau possible. B C M x 6 A I D

8 Université Joseph Fourier Premier semestre / Licence première année - MATa - Groupe GSC- Contrôle Continu, le 7// Le contrôle dure heure. Questions de cours. ) On pose : A B M = V = A B Montrer que MV =. Sans e ectuer de calcul supplémentaire, dire si les a rmations suivantes sont vraies ou fausses, (justifier grâce à un résultat du cours) : (i) M est inversible. (ii) est valeur propre de M. (iii) Le système linéaire M ( x y )=( ) a une unique solution. (iv) V est un vecteur propre de M. ) Soit A œm n n (R) une matrice inversible. En utilisant la définition de l inverse et les propriétés du déterminant, montrer que det(a )= det(a). Exercice. Soit la matrice M : Q R 5 c d M = a4 5 b 6 7 ) Soit les matrices : Q R Q R 5 c d c d U = a 3b L = a b œ R 3 Pour quelles valeurs de a-t-on M = L U? ) Calculer les déterminants de L et de U (pour le trouvé à la question précédente). 3) Calculer le déterminant de M (bonus si vous arrivez à le faire avec une seule multiplication). 4) Soit Y œ R 3 un vecteur quelconque fixé. Combien de solutions a le système linéaire MX = Y où l inconnue X est un vecteur de R 3? (On ne demande pas de calculer ces solutions.)

9 Exercice. Soit le système linéaire : Y _] x y + z = (S) y z = _[ x + y z = ) Écrire le système sous la forme AX = B ou A est une matrice et X et B sont des vecteurs. ) Montrer que A est inversible et calculer son inverse. 3) En déduire les solutions de (S). Exercice 3. On considère les trois matrices suivantes : Q R A B A B c d A = B = C = a 3 b ) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A, B et C. ) Bonus : Calculer A.

10 Université Joseph Fourier Premier semestre / Licence première année - MATa - Groupe GSC- Contrôle Continu 3, le 3// Le contrôle dure heure 5. Questions de cours. ) Énoncer la formule d intégration par partie et s en servir pour calculer s tet dt. ) Donner une primitive de f(t) = +t 3) Parmi les équations di érentielles suivantes, lesquelles sont linéaires? Pour les équations linéaires, donner l équation homogène associée. (E ) u Õ = sin(t)u (E ) u Õ =/t (E 3 ) u Õ = sin(u) (E 4 ) u Õ +u = (E 5 ) u =(u Õ ) Exercice. ) Calculer les intégrales suivantes à l aide d une intégration par partie : I = e ln(t)dt I = Astuce : pour I 3, monter que I 3 =(fi/) I 3. t cos(fit) I 3 = ) Utiliser le changement de variable indiqué pour calculer : fi/ cos (t)dt Exercice. On pose : I 4 = I 6 = I 5 = 4 cos(fi Ô t) Ô t dt u = Ô t e t dt +et u = et Ô x dx x = sin(t) f(t) = t t 3 + t

11 ) Trouver trois réels abet c tels que : ) En déduire une primitive de f. f(t) = a t + bt + c t + 3) On considère l équation di érentielle homogène : Donner toutes les solutions de (EH). (EH) u Õ + t u = 4) En utilisant la méthode de varition de la constante, trouver une solution particulière de : (E) u Õ + t u = t t + On pourra s aider de la deuxième question. 5) Donner toutes les solutions de (E). Exercice 3. Dans cette exercie, on se propose d étudier l équation di érentielle non linéaire : (E) v Õ =v 4v qui modélise l évolution dans le temps d une population v(t) dans un milieu aux ressources limitées. ) On pose u(t) =/v(t). Montrer que v est solution de (E) si et seulement si u est solution de : (E Õ ) u Õ = u +4 ) Écrire l équation homogène associée à (E Õ ) et déterminer ses solutions. 3) Trouver une solution particulière de (E Õ ) sous la forme u (t) = où est une constante à déterminer. 4) En déduire toutes les solutions de (E Õ ). 5) En déduire toutes les solutions de (E). 6) Déterminer la solution v(t) de (E) telle que u() =.