BISSECTRICES ET EQUIDISTANCE

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1 ours de. JULES v 2.0 lasse de Quatrième ontrat 8 Page 1 sur 12 ISSETRIES ET EQUIDISTNE «L'étude des athématiques est comme le Nil, qui commence en modestie et finit en magnificence.» olton 1 «En mathématiques, évident est le mot le plus dangereux.» Eric Temple ell 2 I. issectrice d un angle (sixième). 2 II. issectrices d un triangle. 3 III. Trois propriétés de la bissectrice. 4 IV. Reconnaître une bissectrice. 7 V. Exercices récapitulatifs. 10 VI. Pour préparer le test et le contrôle. 11 atériel usuel de géométrie : ompas, rapporteur, équerre et règle. Pré requis pour prendre un bon départ : Symétrie axiale : axe de symétrie, propriétés de conservation. alculs d angles. issectrices : définition. issectrices : construction au rapporteur ou au compas. issectrices : propriété angulaire caractéristique. Distance d un point à une droite. Equidistance. Tangente à un cercle. refaire revoir aîtrisé 1 harles aleb olton ( ) : Ecrivain anglais. 2 Eric Temple ell ( ) : athématicien écossais. NO et Prénom :.. 4 ème

2 ours de. JULES v 2.0 lasse de Quatrième ontrat 8 Page 2 sur 12 I. ISSETRIE D UN NGLE (SIXIEE).. Définition de la bissectrice : La bissectrice est l axe de symétrie d un secteur angulaire. Repasser en rouge le codage. Figure et codage Par abus de langage, on dit que : «la bissectrice d'un angle est l. de symétrie de cet angle.». onstruction au compas de la bissectrice d un angle : Soit un angle xy. On veut tracer au compas la bissectrice de cet angle. onstruction de la bissectrice en. étapes. Tracer un arc de cercle de centre. et arc coupe le côté [x) en et le côté [y) en N. Tracer 2 arcs de cercle, de même rayon qu en, l'un de centre, l'autre de centre N. es deux arcs se recoupent en un point I. Tracer (I). La droite (I) est la bissectrice de xy. onstruction au ompas. Traits de construction légers! odage! y Les 2 demi-droites [x) et [y) sont.... par rapport à la bissectrice. x Remarque : ette construction au compas de la bissectrice utilise la propriété des diagonales du losange : «Les deux diagonales du losange sont ses deux axes de symétrie». Exercice : 1. u compas, construire en vert l axe de symétrie de l angle. 2. omment s appelle cette droite verte? 3. Tracer []. La droite verte coupe [] en. La bissectrice coupe-t-elle le côté [] en son milieu? odage!

3 ours de. JULES v 2.0 lasse de Quatrième ontrat 8 Page 3 sur 12 II. ISSETRIES D UN TRINGLE.. issectrices et triangle quelconque : Puisqu un triangle possède 3 angles, alors il y a bissectrices dans un triangle. On dit aussi «bissectrice relative à un sommet» : elle passe par ce sommet du triangle. Figure : 1. Tracer en rouge les 3 bissectrices du triangle ci contre (codages!). Que remarquez-vous? ppelez I le point de concours (d intersection) de ces trois bissectrices. 2. Projeter perpendiculairement I sur l un des côtés. ppeler ce projeté orthogonal. Tracer le cercle de centre I et de rayon I. e cercle, intérieur au triangle, semble-t-il tangent aux 3 côtés du triangle?.. odages!. issectrices et triangle isocèle : Puisqu un triangle isocèle possède (au moins) un axe de symétrie, alors la bissectrice relative au sommet principal est en même temps médiatrice, médiane et hauteur. Figure : Voici un triangle isocèle. Tracez en rouge la seule bissectrice qui est en même temps hauteur etc. N oubliez pas le codage.. issectrices et triangle équilatéral : Puisque un triangle équilatéral possède.. axes de symétrie (il est isocèle partout!), alors les 3 bissectrices sont en même temps....,.., et. Figure : Voici un triangle équilatéral dont on a tracé les trois bissectrices. 1. ontrer que (F) (). 2. ontrer que le point E est le milieu du segment [].

4 ours de. JULES v 2.0 lasse de Quatrième ontrat 8 Page 4 sur 12 III. TROIS PROPRIETES DE L ISSETRIE.. Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice : Puisque la symétrie axiale conserve les mesures d angles, alors on peut affirmer : Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice : (. condition ou hypothèse) (3 résultats ou conclusions) Quand (P) est la bissectrice de l angle alors. = = 2 utrement dit : Lorsque une droite est la. d un angle, alors elle partage cet angle en 2 angles de même... Remarque : ette propriété est à rapprocher de la signification du mot «bissectrice» qui veut dire «bissecteur» c-à-d «qui coupe un angle en deux secteurs (de même mesure)». Utilité : ette propriété sert à prouver une égalité de.. Figure : P issectrice de P pplication : Sur la figure ci-contre, on sait que US = 56. D après le.., la droite (TU) est la.... de. T alcul des mesures des angles UT et TUS : Puisque (TU) est.. de. alors..... = =.. =.. U S Exercice : Sur la figure codée ci-contre, on sait que = 50 et = 80. Trouver la mesure de I. I

5 ours de. JULES v 2.0 lasse de Quatrième ontrat 8 Page 5 sur 12. issectrice et équidistance : Puisque la symétrie axiale conserve les longueurs, alors on peut affirmer : Propriété métrique caractéristique d équidistance de la bissectrice : (. condition ou hypothèse) (. résultat ou conclusion) Quand un point est sur la bissectrice de l angle est équidistant des 2 côtés de KOL alors KOL. c-à-d = N. utrement dit : Lorsqu un point appartient à la. d un angle, alors ce point est.. des deux côtés de cet angle. Utilité : ette propriété sert à prouver une égalité de.. Figure : L = N L K O bissectrice de KOL K N O Exercice : Soit un angle et (D) sa bissectrice (codage?). 1. Projeter perpendiculairement le point D sur le côté (). ppeler ce projeté orthogonal de D sur (). Projeter perpendiculairement le point D sur le côté (). ppeler N D ce projeté orthogonal de D sur (). 2. Justifier que D = DN. 3. Tracer le cercle de rayon D. ontrer que ce cercle est tangent au côté () puis au côté () de l angle.

6 ours de. JULES v 2.0 lasse de Quatrième ontrat 8 Page 6 sur 12. oncourance des 3 bissectrices d un triangle : ercle inscrit. Grâce à la propriété métrique d équidistance de la bissectrice (page précédente) et à sa réciproque (p.7), on peut montrer les propriétés suivantes : Les 3 bissectrices d un triangle se... (sont concourantes) en un point I. e point I est le centre d un cercle intérieur au triangle appelé cercle inscrit au triangle. e cercle inscrit est tangent aux 3 côtés du triangle. utrement dit, le centre I du cercle inscrit à un triangle est équidistant des 3 côtés de ce triangle. utrement dit, IN = I = IP. Figure : Placez tous les codages manquants. N I P 2 remarques : 2 bissectrices suffisent pour construire le cercle.. ttention : une bissectrice coupe-t-elle forcément le côté opposé en son milieu? Oh que..! pplication : 1. onstruire en rouge, à la règle et au compas, le centre K du cercle inscrit au triangle T ci-dessous. 2. Que peut-on dire des distances du point K à chacune des droites (), (T) et (T)? Justifier. 3. Projeter K perpendiculairement sur les trois côtés [T], [] et [T] du triangle respectivement en P, Q et R. Que peut-on dire des longueurs KP, KQ et KR? Justifier. 4. Tracer le cercle inscrit au triangle T. odages! T

7 ours de. JULES v 2.0 lasse de Quatrième ontrat 8 Page 7 sur 12 IV. REONNITRE UNE ISSETRIE.. En utilisant une égalité d angles : La réciproque de la propriété angulaire de la bissectrice existe : Réciproque de la propriété angulaire caractéristique de la bissectrice : (. condition ou hypothèse) (.. résultat ou conclusion) Quand P = P ( ou P = /2 ) alors (P) est la de l angle. utrement dit : Lorsque 2 angles adjacents sont de...., la droite portée par le côté commun aux 2 angles est la de l angle formé par ces 2 angles adjacents. Utilité : ette réciproque sert à prouver qu une droite est la d un.. Figure : P P issectrice de onséquence : Puisque la propriété angulaire directe et sa réciproque sont vraies, on dit que cette propriété angulaire caractérise la bissectrice. En gros, dés que vous avez une bissectrice, il faut penser à une égalité d angles et inversement.. En utilisant l équidistance d un point par rapport à deux droites : La réciproque de la propriété métrique d équidistance de la bissectrice existe : Réciproque de la propriété métrique caractéristique d équidistance de la bissectrice : (. condition ou hypothèse) (. résultat ou conclusion) Quand un point est équidistant des 2 côtés de KOL. c-à-d = N alors est sur la bissectrice de l angle KOL utrement dit : Lorsqu un point est... des deux côtés d un angle, alors ce point appartient à la. de cet angle. Utilité : ette propriété sert à montrer qu un point est sur une.. Figure : = N L L K N O K N O bissectrice de KOL onséquence : Puisque la propriété métrique directe d équidistance et sa réciproque sont vraies, on dit que cette propriété métrique caractérise la bissectrice. En gros, dés que vous avez une bissectrice, il faut penser à équidistance avec les côtés de l angle et inversement.

8 ours de. JULES v 2.0 lasse de Quatrième ontrat 8 Page 8 sur 12 On a un corollaire (une conséquence) important de cette réciproque de la propriété d équidistance : la propriété qui suit permettra, en utilisant l équidistance d un point par rapport aux deux côtés d un angle, de montrer qu une droite est une bissectrice. ontrer qu une droite est la bissectrice en utilisant l équidistance : (. conditions ou hypothèses) (. résultat ou conclusion) Quand une droite passe : par un point équidistant des 2 côtés de KOL et par le sommet O de l angle KOL alors cette droite (O) est la de l angle KOL. utrement dit : Lorsqu une droite passe par un point..... des deux. d un angle et aussi par le de l angle, alors cette droite est la. de cet angle. Utilité : ette propriété sert à montrer qu une droite est une.. Figure : = N L (O) bissectrice de KOL L K N O K N O Plus généralement : «Lorsqu une droite passe par deux points..... des deux côtés d un angle, alors cette droite est la. de cet angle.» Exercice : Preuve de la concourance des 3 bissectrices d un triangle. Le but de cet exercice est de prouver que les 3 bissectrices d un triangle se coupent en un même point. Soient donc un triangle et deux de ses trois bissectrices. La bissectrice de et la bissectrice de se coupent en le point I. odages! On va montrer que la troisième bissectrice (de ) passe aussi par ce point I. I 1. ontrer que le point I est équidistant des côtés [] et []. 2. ontrer que la droite (I) est une bissectrice puis conclure.

9 ours de. JULES v 2.0 lasse de Quatrième ontrat 8 Page 9 sur 12. En utilisant le centre du cercle inscrit à un triangle : La preuve page précédente permet d énoncer la propriété suivante : Soit un triangle et I le centre de son cercle inscrit. Reconnaître une bissectrice d un triangle grâce au centre de son cercle inscrit : Quand (. conditions ou hypothèses) une droite passe : par le sommet du triangle et par le centre I de son cercle inscrit alors (.. résultat ou conclusion) (I) est la de l angle. utrement dit : Lorsqu une droite passe par un... d un triangle et par le centre du cercle. à ce triangle, alors cette droite est la bissectrice relative à ce sommet du triangle. Utilité : ette réciproque sert à prouver qu une droite est la.... d un.. Figure : I I centre du cercle inscrit issectrice de (rajouter le codage) Exercice fondamental sur les bissectrices d un triangle : 1. Tracez en rouge (I). (I) coupe-t-elle [] en son milieu?.. 2. ontrez que I est le centre d un cercle tangent aux 3 côtés du triangle puis tracez ce cercle. 3. ontrez que I = / 2. I

10 ours de. JULES v 2.0 lasse de Quatrième ontrat 8 Page 10 sur 12 3 remarques à propos de cet exercice fondamental sur les bissectrices d un triangle : La question 2 peut être posée d une autre manière : «ontrez que I est équidistant des côtés [] et [].» ou «ontrez que I est à égale distance des 3 côtés du triangle.». ette question est souvent supprimée mais reste sous entendue. La question 3 peut être posée d une autre manière : «ontrez que = 2 I.» et exercice de base exploite la situation classique suivante : On part plus ou moins directement de 2 bissectrices, puis on exploite la troisième (question 3). V. EXERIES REPITULTIFS.. issectrices et Equidistance. Exercice 1 : Dans chacun des cas, tracer en rouge tous les points situés à la même distance : des deux côtés de cet angle. de ces deux droites. de ces deux droites. Exercice 2 : Laissez visible les traits de construction. Placer l aéroport V de telle sorte : Où placer la décharge D qui doit être : o qu il soit équidistant des routes o équidistante des routes [) et [) et [). [). o et en même temps équidistant des o située à plus de 500 m de la route villes et. [). o et à plus de 750 m de la ville E. Repassez en violet la zone possible. (échelle 2 cm pour 1 km) Où placer l éolienne O qui doit être : o équidistante des lignes électriques () et (E). o équidistante des villes et. o et à moins de 1 km du transformateur T. (échelle 1 cm pour 1 km). E E T

11 ours de. JULES v 2.0 lasse de Quatrième ontrat 8 Page 11 sur 12 Exercice 3 : Dans chacun des cas, hachurer en rouge la zone pavillonnaire : qui est plus proche de la route [) que de la route [). qui est en même temps plus proche des rues [] et [] que de la rue []. Exercices pages suivantes «cahiers athenpoche 4 ème». VI. POUR PREPRER LE TEST ET LE ONTROLE.. Je dois savoir : Remplissez ce tableau : refaire revoir aîtrisé Définition de la bissectrice d un secteur angulaire. onstruction de la bissectrice au rapporteur ou au compas. Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice. Propriété caractéristique d équidistance de la bissectrice. oncourance des bissectrices. ercle inscrit : définition, construction. Equidistance du centre du cercle inscrit aux trois côtés du triangle. Exploiter la concourance des bissectrices pour en déduire des mesures d angles. Triangle isocèle et bissectrices. Triangle équilatéral et bissectrices. imer les bissectrices. Pour préparer le test et le contrôle : Livre (Diabolo aths 4 ème Hachette 2006) p.237 et onseils : onstructions : o Laissez les traits de construction, légers et nets. o OULEURS + ODGES induits par l énoncé.

12 ours de. JULES v 2.0 lasse de Quatrième ontrat 8 Page 12 sur 12 alculs d angles : o Quand on fait des calculs d angles dans un triangle, on écrit dans quel triangle on se place. o Penser aux propriétés angulaires des triangles isocèles, équilatéraux. o Penser à la propriété angulaire de la bissectrice. Preuves : o Ne pas essayer de répondre en une fois aux questions mais en plusieurs étapes. o Etre précis : isocèle où, rectangle où, bissectrice de quel angle, hauteur issue de quel sommet etc. o Une affirmation non justifiée soit par un raisonnement soit par une donnée de l énoncé ne vaut RIEN! o Revoyez les exos fondamentaux : deux droites remarquables sont données plus ou moins directement, puis on exploite la 3 ème.. Erreurs fréquentes : Un point n est pas une droite ; attention aux notations! onfusion bissectrice-médiane : une bissectrice coupe ultra rarement le côté opposé en son milieu ; et réciproquement, une médiane partage ultra rarement l angle en deux (sauf dans les cas des triangles isocèles ou équilatéraux). Inventer des hypothèses ou du codage qui nous arrangent. Inventer des théorèmes. D. Fiche de révision à faire : Quel est l intitulé du prochain contrat?.