STATISTIQUES Introduction Séries statistiques sous forme de tableau... 5

Transcription

1 STATISTIQUES Introduction... 1) Population et caractère.... Exemples :... ) Paramètre central... Le mode :... La médiane :... La moyenne... 3) Paramètre de dispersion... L étendue... ) Elagage d une série...3 5) Définition de la médiane :...3 Méthode de calcul de la médiane...3 6) Calculs sur la moyenne...3 Moyenne de sous groupes...3 Linéarité de la moyenne :... Application... Séries statistiques sous forme de tableau ) Tableau par modalité...5 ) Tableau par classe...5 1

2 Introduction 1) Population et caractère. Dans une population P on mesure chaque élément de cette population appelé individu statistique. Le nombre N d individus statistiques est appelé effectif de la population Le but de la statistique est de résumer par plusieurs paramètres l ensemble de ces mesures. Cet ensemble de mesures s appelle le caractère. Si pour chaque individu statistique on ne fait qu une seule mesure, on fait alors une étude statistique à une seule variable appelée x. Exemples : Etude des résultats d une classe à un examen. La population est l ensemble des élèves de la classe. Le nombre N d élèves est l effectif de la population Le caractère est la note obtenue par chaque élève. Un commerçant veut étudier le volume de ses ventes mensuelles sur une année. La population est l ensemble des mois de l année. Le nombre N de mois est l effectif de la population. N = 1 Le caractère est le volume des ventes mensuelles. ) Paramètre central On a demandé à une personne de mesurer la masse en gramme d un paquet. Voici le résultat, rangé par ordre croissant, de ses 11 mesures ; 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 103 ; 10 ; 106 ; 107 ; 108 ; 108 La population étudiée est l ensemble des mesures. Le caractère est la masse mesurée. Quelle masse attribuer au paquet? : Ce problème consiste à résumer cette série par un paramètre central Le mode : On peut dire que la masse réelle du paquet est celle qui a le plus été relevée. Ici 10 g a été relevée trois fois donc le mode vaut 10 g. La médiane : Une autre possibilité consiste à dire que la masse du paquet se trouve au milieu de la suite des mesures. La médiane vaut 103 g ( il y a mesures < 103 et aussi mesures > 103 g) La moyenne C est le paramètre le plus connu x= somme des mesures nombre des mesures = xi 3) Paramètre de dispersion N = = 10 g 11 On a demandé à deux autres personnes de faire chacune 11 mesures du poids de ce paquet. Voici les résultats de ces trois personnes mini med maxi mode médiane moyenne A B C Les personnes A et B on des paramètres de position pratiquement équivalents. Mais les mesures de A sont plus homogènes que celles de B. Quand à C ses mesures semblent assez dispersées. Mais en y regardant de plus près on voit que seule la première mesure explique cette dispersion, toutes les autres sont homogènes. La mesure de 76 g est très certainement fausse, on l appelle valeur aberrante. Le paramètre qui mesure ceci s appelle paramètre de dispersion. Plus ce paramètre est petit plus la série est homogène. L étendue C est le paramètre le plus simple : Etendue = masse maximum masse minimum Pour A l étendue est égale à = 108 = 8 g Pour B l étendue est égale à = = 11 g Pour C l étendue est égale à = = 30 g L ensemble des mesures de A est le plus homogène, et celui de C est le plus dispersé.

3 ) Elagage d une série On élague une série lorsque l on décide de ne pas tenir compte d une valeur qui nous parait aberrante. Reprenons la série des mesures de C C Médiane 103 g moyenne 101 g étendue 30 g Si on décide de ne pas tenir compte de la première mesure on a les 10 mesures suivantes : C La médiane n est plus une des mesures de C, elle se trouve entre la 5 ème et la 6 ème mesure. Par convention on choisira comme valeur de la médiane, la moyenne entre ces deux mesures On a donc une médiane égale à = 103,5 g Moyenne = = 103,5 g 10 Etendue = = 5 g Donc si on ne tient pas compte de la première mesure on voit que : La médiane est peu modifiée, elle augmente de 0,5 g La moyenne est modifiée et passe de 101 à 103,5 g L étendue passe de 30 à 5 g La médiane est dite peu sensible aux valeurs extrêmes contrairement à la moyenne 5) Définition de la médiane : Dans le cas général, il n est pas toujours possible de diviser la série en deux sous groupes d effectifs égaux tels que les mesures de l un des sous groupes sont inférieures à la médiane et les mesures de l autre supérieures à la médiane : Soit par exemple : 9 ;10 ; 11 ; 13 ; 13 ;13 ; 15 Si on choisi la valeur 13 comme médiane alors trois mesures (9, 10 et 11) sont inférieures à 13 mais une seule (15) lui est supérieure. On est amené à une définition différente de la médiane : La médiane est la valeur du caractère telle que au moins la moitié de la population a une mesure inférieure ou égale à la médiane et au moins la moitié de la population a une mesure supérieure ou égale à la médiane. Dans l exemple, la médiane est mesures sur 7 (85,7 %) qui sont inférieures ou égales à 13 mesures sur 7 (57,1 %) qui sont supérieures ou égales à 13 Méthode de calcul de la médiane La série doit être ordonnée (les différentes modalités du caractère sont rangées en ordre croissant) Le calcul se fait en deux temps : 1. calcul du rang : Il faut tenir compte de la parité de l effectif N de la population. lecture du paramètre. Si N est impair, le rang est N = p (arrondi par excès). La médiane est la pième valeur du caractère Si N est pair, il n y a plus de rang de la médiane. On a 6) Calculs sur la moyenne N = p et la médiane est la moyenne entre la pième et la suivante du caractère. Moyenne de sous groupes Dans une classe de 3 élèves, les 10 filles ont eu une moyenne de 1 à un devoir et les garçons une moyenne de 11. Quelle est la moyenne de la classe? La moyenne de la classe est la moyenne des 3 devoirs. Il faut donc retrouver la somme des notes des 3 devoirs : 10 filles ont eu une moyenne de 1, la somme de leurs notes est : 10 1 = 10 garçons ont eu une moyenne de 11, la somme de leurs notes est : 11 = Donc la somme des notes des 3 élèves de la classe est 10 + = 36 La moyenne de la classe est 36 3 = 11,31 Appelons x la moyenne des notes des filles et y la moyenne des notes des garçons La moyenne de la classe est : 10 x + y

4 Théorème 1: On divise une population en deux sous groupes tels que : L effectif du premier est N 1 et sa moyenne x 1 L effectif du deuxième est N et sa moyenne x la moyenne de la population est : x = N 1 x 1 + N x N 1 + N Linéarité de la moyenne : La moyenne des notes d une classe de 31 élèves est de 11. Le professeur augmente tous les devoirs de 3 points. Quelle est la nouvelle moyenne? La somme des notes des 30 élèves est égale à = 31 points Le professeur ajoute 3 points à chaque élèves, il ajoute donc au total 31 3 = 93 points La nouvelle moyenne est donc = 1 31 La moyenne a été augmentée de 3 points Théorème : Soit une série statistique de moyenne x Si on ajoute à chaque valeur du caractère le même réel a, la nouvelle moyenne est : x ' = x + a La moyenne des notes d un devoir coefficient est de sur 0. Quelle est sa moyenne sur 0? Il faut diviser toutes les notes par. Donc la somme des notes est elle aussi divisée par L effectif n ayant pas changé la moyenne est donc divisée par La nouvelle moyenne est donc = 1 sur 0 Théorème 3 : Soit une série statistique de moyenne x Si on multiplie chaque valeur du caractère par le même nombre k, la nouvelle moyenne est : x ' = k x Application Calculons la moyenne des nombres suivants : 1501 ; 1601 ; 1701 ; 1801 En posant x i = x i 1501 on obtient la série : 0 ;, 00 ; 300 Mais on peut encore simplifier les calculs en divisant les nombres par On pose x i = x i = x i 1501 Et dans ce cas on a pour le calcul de la moyenne : x = x 1501 On a alors la série : 0 ; 1 ; ; 3 Sa moyenne est x i = On a donc x 1501 = 1, 5 x 1501 = 150 Soit finalement x = = 1651 = 1,5 Remarque : cette méthode de calcul perd de son intérêt avec l utilisation des calculatrices

5 Med 1) Tableau par modalité Séries statistiques sous forme de tableau Voici les salaires mensuels en euros de 17 employés d une petite entreprise : ; 1 ; 1 ; 1 ; ; 1 ; 1 00 ; 1 00 ; 1 00 ; 1 00 ; ; ; ; 100 ; 1 00 ; 1 00 ; Calculons la médiane : Rang : 17 = 8,5 arrondi par excès à 9 La médiane est le 9 ème salaire soit 1 00 euros Pour calculer la moyenne, on peut additionner les 17 salaires mais il est plus rapide de remarquer que certains salaires se répètent : x = = =1 300 euros Les 17 salaires se regroupent entre 6 modalités : ; 1 ; 1 00 ; ; 1 00 ; Effectif y 5 On peut représenter cette série par le tableau suivant : Salaires modalité x i effectif par modalités n i produits x i n i effectifs cumulés croissants ECC Remarque : Si on utilise sa calculatrice en mode statistique, la colonne des produits x i n i est alors inutile. Représentation graphique des effectifs par modalité Calcul du mode : Le mode est la modalité de plus grand effectif. Le salaire modal est donc ici, 1 euros (le plus grand effectif est 5) Calcul de la médiane : On utilise la colonne des ECC. Le rang de la médiane est le 9 ème salaire. Dans la colonne des ECC, le premier effectif 9 est 10 La médiane est 1 00 euros Calcul de la moyenne 6 x i n i x = 1 = N euros On représente graphiquement une série statistique par modalité, par un diagramme en bâton. La hauteur des bâtons est proportionnelle aux effectifs par modalité. 3 Le mode est bien visible. C est le salaire correspondant au bâton de plus grande hauteur x ) Tableau par classe On utilise les classes si le caractère est continu ou si le nombre de modalités du caractère discret est trop important Exemple Un institut de sondage a demandé à 16 fumeurs à quel âge ils ont commencés à fumer. Le résultat de ce sondage est donné dans le tableau suivant : classe d âge nombre de fumeurs [ 10 ; 1 [ 5 [ 1 ; 1 [ 18 [ 1 ; 16 [ 33 [ 16 ; 18 [ [ 18 ; 0 [ 19 [ 0 ; [ [ ; [ [ ; 6 ] 1 On ne peut pas savoir à quel age exactement, une personne a commencé à fumer On sait uniquement dans quel intervalle il se trouve. En conséquence, les paramètres que l on va calculer sont des valeurs probables. On lit, par exemple qu il y a 5 personnes qui ont commencé à fumer entre 1 et 1 ans Un intervalle s appelle une classe : On compte 8 classes toutes d égale amplitude ( ans) 5

6 Tableau utilisé pour le calcul des paramètres : valeur effectif ECC classe d âge centrale par classe xi ni [ 10 ; 1 [ [ 1 ; 1 [ [ 1 ; 16 [ [ 16 ; 18 [ 17 [ 18 ; 0 [ [ 0 ; [ 1 13 [ ; [ 3 15 [ ; 6 [ On appelle centre de la classe [a ; b [, le nombre a + b C est la moyenne probable de l âge auquel a commencé à fumer une personne de la classe [a ; b [ Pour la 1 ère classe [10 ; 1 [ on a x 1 = = 11 On suppose, qu en moyenne, les 5 personnes de la 1 ère classe ont commencé à fumer vers 11 ans. Calcul de la moyenne La colonne des x i n i n a pas été représentée, il est en effet plus rapide de calculer la moyenne en utilisant sa calculatrice. On aura : x 16,5 ans Remarque Importante : les centres de classes ne servent qu à calculer la moyenne et le mode Classe modale et mode : La classe modale est la classe de plus grand effectif : Elle est donc la classe [16 ; 18[ Le mode est la valeur centrale de la classe modale : 17 ans. Mais, contrairement au cas du tableau par modalité, rien ne prouve que l âge le plus fréquent pour commencer à fumer soit 17 ans. Classe médiane et médiane : La classe médiane est la classe dans laquelle se trouve la médiane. La classe médiane se lit dans la colonne des ECC Pour le calcul de la médiane, on ne distingue plus les cas de l effectif total pair ou impair. On divise l effectif par, arrondi par excès si l effectif est impair. La médiane se lit sur le polygone des effectifs cumulés croissants 8 y Med x Construction du polygone des ECC On reporte en abscisse les bornes des classes. Et en ordonnée les ECC On fait débuter l axe des abscisses par la 1 ère borne, ici 10 ans On commence par placer les 9 points suivants Pour x = 10 l effectif cumulé croissant est égal à 0 (personne n a commencé à fumer à moins de 10 ans) soit le point (10 ; 5) Donc pour x = 1, l effectif cumulé croissant est égal à 5 soit le point (1 ;5) Et pour x = 1, l effectif cumulé croissant est égal à 3 soit le point (1 ;3) Et on finit pour x = 6, l effectif cumulé croissant est égal à N = 16 soit le point (6 ; 16) Ensuite on relie les points par des segments de droites. Lecture de la médiane : Le rang de la médiane est N = 16 = 63 le 63 ème âge est dans la ème classe La classe médiane est donc [16 ; 18[ Pour lire la médiane on regarde sur le polygone des ECC à quel age correspond le 63 ème L âge médian à partir duquel la population étudiée a commencé à fumer est environs 16, ans Représentation graphique des effectifs par classe y La représentation graphique des effectifs par classe s appelle un histogramme. Comme pour le polygone des ECC on reporte en abscisse les bornes des classes Si les classes sont toutes de même amplitude on trace des rectangles dont la base est égale à l amplitude de chaque classe ( ici ans) et dont la hauteur est proportionnelle à l effectif par classe x 6