Outils mathématiques. TD1 Exercices de logique

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1 TD1 Exercices de logique Exercice 1. Considérons les deux affirmations suivantes P 1 : «Les basketteurs de ce tournoi mesurent tous au moins deux mètres de haut.» P 2 : «Un au moins de ces basketteurs fait plus de 2,40 m.» 1) En notant B l ensemble des basketteurs du tournoi et T (x) la taille du basketteur x, réécrire ces deux propositions sous forme mathématique en utilisant les quantificateurs et. 2) Donner alors leurs négations. 3) Écrire la proposition P 1 à l aide d une implication. En donner une forme équivalente à l aide d une disjonction et vérifier que sa négation est bien équivalente à celle donnée en (2). Exercice 2. On désigne par P et Q deux propositions. Établir la table de vérité de la proposition (P et non Q) ou (non P et Q). Montrer qu elle est équivalente à (P ou Q) et (non P ou non Q). À quoi correspondent ces propositions? Exercice 3. Écrire les contraposées des propositions suivantes et les démontrer (n est un entier, x et y sont des réels) : 1) n est premier donc n est égal à 2 ou est impair, 2) xy 0 = x 0et y 0, 3) x y = (x + 1)(y 1) (x 1)(y + 1). Exercice 4. Utiliser un raisonnement par l absurde pour montrer que si n est un entier naturel non nul alors n n est pas le carré d un entier naturel. Exercice 5. Déterminer, pour n 1, l expression de la dérivée n-ième de la fonction définie sur ] 1, + [ par f(x) = ln(x + 1). Exercice 6. On note par x un réel différent de 1. Montrer que pour tout n N 1+x + x x n = 1 xn+1 1 x.

2 TD2 Vecteurs - Bases - Applications linéaires Exercice 1. Dans la base canonique de R 4, on donne les trois vecteurs : V 1 = (0, 1, 2, 3), 1) Former le vecteur λ 1 V1 + λ 2 V2 + λ 3 V3. V 2 =( 1, 1, 2, 2) 2) Ces trois vecteurs sont-ils linéairement indépendants? et V 3 =( 2, 1, 1, 2). Exercice 2. On rappelle que le produit vectoriel (noté ) de deux vecteurs u et v de R 3 est un vecteur de R 3 orthogonal à la fois à u et à v et dont la norme est donnée par où α est l angle formé par u et v. u v = u v sin α Si u et v sont deux vecteurs de R 3 linéairement indépendants, montrer que 1) le vecteur w = u v est non nul. 2) les trois vecteurs u, v, w forment une base de R 3. Application : montrer que u = (1, 2, 3) et v = (0, 1, 7) sont linéairement indépendants puis compléter ce système par un troisième vecteur pour former une base de R 3. Exercice 3. Soient les quatre vecteurs de R 3 dont les composantes dans la base canonique sont u 1 = 1 3 (1, 1, 1), u 2 = 1 2 (1, 1, 0), u 3 = 1 6 (1, 1, 2), V =( 2, 1, 1). 1) Vérifier que u 1, u 2, u 3 forment une base B orthonormée. 2) Calculer les composantes sur B du vecteur V. Exercice 4. Montrer qu un système de n vecteurs non nuls v 1, v 2,..., v n de R n deux à deux orthogonaux forme une base de R n.

3 Exercice 5. Les applications suivantes sont-elles linéaires? 1) f θ ( u) = u 1 cos θ + u 2 sin θ u 2 cos θ u 1 sin θ, θ R, u 3 2) g( u) = 3) h( u) = u 3u 1 u 1 u 2 u 3, où u 1, u 2 et u 3 désignent les composantes de u. À quelle transformation géométrique correspond l application f θ? Exercice 6. Trouver l application linéaire de R m dans R m qui combine les deux transformations suivantes : transformer tout vecteur u en un vecteur v de même direction mais deux fois plus long ; transformer ce vecteur v en un vecteur w obtenu en le projetant selon la direction de vecteur unitaire n donné. On écrira cette application sous forme intrinsèque avant d en expliciter les composantes en fonction de celles de u et de n sur la base canonique de R m.

4 TD3 Trigonométrie Exercice 1. Démontrer que pour tout réel x, cos 2x = 2 cos 2 x 1. Exercice 2. Connaissant les valeurs de cos π 4 et cos π 3, déterminer une valeur exacte de cos π 12 puis de cos π 24. Exercice 3. Résoudre les équations suivantes a) tan 3x = 1, b) cos(3x + π/4) = cos(x + π/3), c) sin 3 x + cos 3 x = 3 4 (sin x + cos x), d) sin 3x sin x cos 2x + 1 = 0, e) 3 cos x + sin x + 2 = 0. Exercice 4. Montrer que pour tout réel x on a a) sin x = sin( π 3 + x) sin( π 3 x), b) cos x + cos( 2π 3 + x) + cos( 4π 3 + x) = 0, c) sin x + sin( 2π 3 + x) + sin( 4π 3 + x) = 0. Exercice 5. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 4x 3 +3x 1/2. a) Dresser le tableau de variation de f et tracer sa courbe représentative. b) Trouver les solutions dans [0; 2π[ de l équation, d inconnue a, sin 3a = 1/2. c) Montrer que pour tout nombre réel a, sin 3a = 3 sin a 4 sin 3 a. d) Déduire de la question b) les solutions de l équation f(x) = 0.

5 Exercice 6. On considère les trois carrés représentés sur la figure ci-dessous. Montrer que γ = α + β. Exercice 7. En mesurant les angles α et β ainsi que la distance l, on peut déterminer la hauteur h de la montagne. Comment? Application : l = 500 m, α = 26, β = 30. Exercice 8. Les latitudes λ et longitudes L de Londres (A), New York (B) et Buenos Aires (C) sont λ A = λ B = λ C = L A = 0 10 L B = L C = Déterminer les distances entre ces trois villes.

6 TD4 Fonctions de plusieurs variables Calcul de dérivées Gradient Exercice 1. Calculer les dérivées partielles premières des fonctions suivantes : 1. f(x, y) = y x, 2. g(x, y) =xy, 3. h(x, y, z) = x + y x + z, 4. k(x, y, z) = sin(xz)+yex z 2. Calculer les dérivées partielles deuxièmes de f. Exercice 2. Soit f une fonction définie sur un intervalle I R, dérivable en x 0 et C son graphe : C = {(x, y) R 2 ; x I, y= f(x)}. 1. Donner l équation de la droite tangente à C en x Déterminer les composantes d un vecteur normal à C en x 0. Application On donne f(x) =x 2 et x 0 = 1 2. Exercice 3. Soit f une fonction définie sur un domaine D R 2, dérivable en (x 0,y 0 ) et S son graphe : S = {(x, y, z) R 3 ;(x, y) D, z= f(x, y)}. 1. Donner l équation du plan tangent à S en (x 0,y 0 ). 2. Déterminer les composantes d un vecteur normal à S en (x 0,y 0 ). Application On donne f(x, y) =x 2 + y 2 et (x 0,y 0 ) = ( 1 2, 1 2 ). Représentation graphique Lignes et surfaces de niveau Exercice 4. Représenter la surface P = {(x, y, z) R 3 ; z = x y}. Donner les composantes d un vecteur normal à cette surface. Tracer les lignes de niveau z = 0, z = 1, z = 2 et z = 3. Exercice 5. Représenter le graphe de la fonction f(x, y) =x 2 + y 2. Tracer les lignes de niveau z = 1, z = 2, z = 3 et z = 4. Montrer que le gradient de f peut s écrire ( ) cos θ gradf(x, y) = 2r, sin θ avec r = x 2 + y 2 et θ [0, 2π[.

7 Que vaut le module du gradient de f sur les lignes de niveau précédentes? Représenter ce vecteur en quelques points de ces lignes. Donner l expression de la différentielle de f. À l aide de cette expression, déterminer une valeur approchée de la variation de f lorsque l on passe du point de coordonnées (1 ; 0) au point de coordonnées (1,01 ; -0.01). Comparer avec la valeur exacte. Exercice 6. On considère la fonction f : R 3 R définie par f(x, y, z) =z 2 x 2 y 2. On note S 0 la surface de niveau 0 et S 1 la surface de niveau 1 : S 0 = {(x, y, z) R 3 ; f(x, y, z) = 0}, S 1 = {(x, y, z) R 3 ; f(x, y, z) = 1}. Calculer les composantes du gradient de f. Esquisser les surfaces S 0 et S 1. Calculer et représenter le vecteur normal à S 0 au point A(1, 0, 1). Donner une équation du plan tangent à S 0 au point A. Exercice 7. Une mouche se promène sur la surface définie par f(x, y) = 2xy x 3 y 2 1. À quelle hauteur z = f(x, y) se trouve-t-elle au point P(1, 3)? Quelle direction doit-elle prendre à partir de ce point P pour s élever le plus? descendre le plus? rester à la même hauteur? On donnera dans chaque cas le taux de variation local correspondant. Exercice 8. Quel est le domaine de définition de la fonction f :(x, y) R 2 log(x + y)? Représenter quelques unes de ses lignes de niveau (par exemple, les lignes de niveau -2, -1, 0, 1, 2). Calcul d extremums Exercice 9. Calculer les extremums des fonctions f(x) =x 4 + x 3 et g(x) =x 5 + x 4. Préciser dans les deux cas la nature du point d abscisse x = 0. Exercice 10. Déterminer les extremums locaux et les points de selle des fonctions : 1. f 1 (x, y) =x 2 +2x + y 2 5, 2. f 2 (x, y) = (x y) 2 x 4 y 4 + 2, 3. f 3 (x, y) = 9x 2 +3x 2 y +2y 2, 4. f 4 (x, y) = sin x sin y dans ] π, π[ ] π, π[. Exercice 11. On veut construire un récipient sans couvercle en forme de parallélépipède à partir d une tôle d aluminium de surface S =3k 2 (k > 0) et d épaisseur négligeable. On cherche les dimensions x, y et z du récipient de telle sorte que son volume V soit maximum. 1. Donner l expression de V en fonction de x, y et k. 2. Quelles valeurs doivent avoir x, y et z pour que V soit maximum?

8 TD5 Nombres complexes Exercice 1. Représenter les images des quatre nombres complexes ci-dessous puis les mettre sous forme trigonométrique. Z 1 = 2 + 2i, Z 2 = 1 i 3, Z 3 = 5 2, Z 4 = 3 i. Exercice 2. Mettre sous forme algébrique les nombres suivants : e iπ, e iπ/2, 5e iπ/4, e 7iπ, e 7iπ/2. Exercice 3. On désigne par k un réel quelconque et l on considère le nombre complexe Calculer Re(z) et Im(z). z = 1+ik 2k + i(k 2 1). Exercice 4. Résoudre dans C les équations suivantes : a) z 2 +(i + 2)z +3+i =0, b) z 2 (11 5i)z i =0, c) z 3 +3z 2i =0. Exercice 5. Exprimer cos(3x) et sin(3x) en fonction de cos(x) et sin(x). Exercice 6. Montrer que les racines cubiques de l unité sont 1, j et j 2 où j est un nombre complexe que l on déterminera. Vérifier alors la relation 1 + j + j 2 =0. Exercice 7. Déterminer les nombres complexes z tels que z + 5 et z i aient même module. Exercice 8. Montrer que l équation cos(x) + 2 sin(x) = 3 n a pas de solutions.