P (X) = (X a) 2 T (X)

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1 Université Bordeaux I - année 00-0 MHT0 Structures Algébriques Correction du devoir maison Exercice. Soit P (X) Q[X]\Q.. Soit D(X) := pgcd(p (X), P (X)). a) Montrer que si deg D alors il existe α C tel que P (α) = D(α) = 0. En déduire que α est une racine multiple de P. b) Montrer que D(X) = si et seulement si P (X) n a que des racines simples.. Montrer que si P (X) est irréductible sur Q[X] alors P (X) n a pas de racines complexes multiples. 3. Montrer que la réciproque de la question précédente est fausse.. a) Par définition D divise P donc : P (X) Q[X] telque P (X) = D(X)P (X) Or deg D donc deg P deg P, en particulier il existe α C tel que P (α) = 0 et P (α) 0. Comme C est un corps, on a D(α) = 0. Par définition du pgcd, D divise P, donc T (X) Q[X] telque P (X) = D(X)T (X) En particulier D(α)T (α) = 0 = P (α), i.e. α est une racine multiple de P (X).. b) A la question précédente on a montré que si P n a que des racines simples alors deg D = 0, i.e. D =. Inversement, si P a une racine multiple a C alors (X a) divise P : d où P (X) = (X a) T (X) P (X) = (X a)t (X) + (X a) T (X) donc X a divise P (X) et P (X) donc X a divise D(X), en particulier deg D.. Soit D(X) := pgcd(p (X), P (X)), comme D divise P et que P est irréductible, on a soit deg D = 0, soit deg D = deg P. Supposons que deg D = deg P. Comme P est irréductible on a deg P donc P 0. Puisque D divise P on a deg D deg P = deg P, ce qui est une contradiction avec deg D = deg P. Ainsi deg D = 0 i.e. D =. D après.b) P n a que des racines simples. 3. La réciproque de la question. est : si P Q[X] n a pas de racines multiples, alors P est irréductible dans Q[X] qui est évidemment fausse car P (X) = X(X ) n a que des racines simples, mais n est évidemment pas irréductible.

2 Exercice. Soient a, b C, a 0 et P (X) := X 4 + 4aX + b.. Montrer que si z C est une racine multiple de P (X) alors z 3 = a.. Montrer que P (X) a une racine multiple α si et seulement si b 3 = 7a Calculer l ordre de multiplicité de la racine α de P (X).. On a P (X) = 4(X 3 + a). Soit z C, z est une racine multiple de P si et seulement si P (z) = 0 = P (z). En particulier si z est racine multiple z 3 = a.. Si z est racine multiple on doit avoir { z 3 = a z 4 + 4az + b = 0 Or az + 4az = b 3az = b 7a 3 z 3 = b 3 7a 4 = b 3 Inversement, si 7a 4 = b 3, soit z C une racine de X 3 + a. On a donc z 3 7a 3 = b 3 d où ( b 3za )3 = et b 3za = ou j ou j Si on est dans un des deux derniers cas, quitte à remplacer z par jz ou j z (qui sont encore des racines de X 3 + a) on peut supposer que ( b ) = i.e. 3za b = 3az = 4az + az = 4az z 4. Finalement on a trouvé z C tel que z 3 + a = 0 et z 4 + 4az + b = 0, autrement dit z est racine multiple de P (X). 3. On a P (X) = X. Or z 3 = a 0 donc z 0 et en particulier P (z) 0, c est-à-dire z est racine double de P. Exercice 3. Soit E un C-espace vectoriel. Soient F, G et H trois sous-espaces de E.. Montrer que F G est un sous-espace vectoriel de E F G ou G F.. Montrer que G F = F (G + H) = G + (F H). Si F G alors F G = G est bien un sous-espace de E. Si G F alors F G = F est bien un sous-espace de E. Inversement, si F G et G F il existe a F \G et b G\F. On a bien a F G F et b G G F pourtant a + b / G F. En effet si a + b G F alors soit a + b = g G soit a + b = f F. Par exemple si a+b = g G alors a = g b G car G est un espace vectoriel donc stable par combinaison linéaire, ce qui est en contradiction avec a F \G. Ainsi F G n est pas un sous-espace de E car a, b F G et a + b / F G.

3 . On va montrer la double inclusion. Soit t F (G + H), il existe f F, g G et h H tels que t = f = g + h Comme g G F on a h = f g F car F est un espace vectoriel donc stable par combinaison linéaire. Ainsi h F H et t = g + h G + (F H). Soit t G + (F H), il existe g G et u F H tels que t = g + u Or g G F et u F H F donc t = g + u F. Comme u F H H on a bien t = g + u G + H. Finalement t F (G + H). Exercice 4.. Factoriser le polynôme X 6 + en produit des facteurs irréductibles dans R[X], puis dans C[X].. Décomposer la fraction rationnelle en éléments simples à coefficients X 6 + dans R, puis dans C. ) On a X 6 + = (X ) 3 + = (X + )(X 4 X + ), puis X 4 X + = (X 4 + X + ) 3X = (X + ) ( 3X) = (X + 3X + )(X 3X + ). Donc X 6 + = (X + )(X + 3X + )(X 3X + ). Il est clair que X + n a pas de racine réelle. Pour P = X + 3X +, on a = ( 3) 4 = < 0, donc P n a pas de racines réelles. Idem pour P = X 3X +. On a donc obtenu une factorisation de X 6 + en facteurs irréductibles dans R[X]. X + a deux racines complexes X = ±ı, les racines complexes de P sont 3 ± ı, 3 ± ı et celles de P sont. D où 3 ı 3 + ı 3 ı 3 + ı X 6 + = (X ı)(x + ı)(x + )(X + )(X )(X ). ) On a d où X 6 + = ax + b X + + cx + d X + 3X + + ex + f X 3X +, 3

4 = (ax + b)(x 4 X + ) + (cx + d)(x + )(X 3X + ) +(ex + f)(x + )(X + 3X + ) = (a + c + e)x 5 + (b + d + f 3c + 3e)X 4 + ( a + c + e 3d + 3f)X 3 +( b + d + f 3c + 3e)X + (a + c + e 3d + 3f)X + (b + d + f). On en déduit a + c + e = 0 () b + d + f + 3(e c) = 0 () a + c + e + 3(f d) = 0 (3) b + d + f + 3(e c) = 0 (4) a + c + e + 3(f d) = 0 (5) b + d + f = (6) () et (5) impliquent Combinant avec (3), on a f d = 0 (7) (8) et () impliquent a = 0 et () et (6) impliquent a + c + e = 0 (8) c + e = 0 (9) 3(e c) = (0) On déduit de (9) et (0) que c = 3, et e =. En utilisant (4), on obtient 3 b + d + f = () () et (6) implique 3(d + f) =, et avec (7), on obtient d = f = 3, et donc b = 3. Il vient puis On a X 6 + = 3(X + ) + X X + 3X + + X X 3X +. X + = ı X + ı ı X ı, 3 X + 3 X + 3X + = 3 X + 3 (X + 3 ı )(X + 3+ı ) = 4 4 ı 3 X + 3 ı ı 3 X + 3+ı

5 et Donc X X 3X + = X (X 3 ı)(x 3+ı) = ı X 3 ı ı X 3+ı X 6 + = ı 6 X + ı ı 6 X ı ı X + 3 ı ı 3 X + 3+ı ı X 3 ı + 4 ı 3 X 3+ı. Exercice 5. Soit P (X) := X n 0, où n est un entier.. Trouver toutes les racines de P, et factoriser P dans C[X] (Indication : on pourra commencer par chercher les racines du polynôme X n ).. Montrer que l on a l égalité suivante P (X) = n k= a k X z k, où a k C, et z,..., z n sont les racines de P. 3. Montrer que a k = z k, pour tout k =,..., n. 0n ) Soit ρ = n 0 R. En posant X = ρy, on a X n 0 = ρ n Y n 0 = 0(Y n ). On en déduit que l ensemble des racines de P est {ρη, ρη,..., ρη n }, où les η k sont les racines du polynômes P n (Y ) = Y n. On sait que l ensemble des racines de P n est {e πık πık n, k =,..., n}, donc l ensemble des racines de P est {ρe n, k =,..., n}. On pose z k = ρe πık n, k =,..., n. Comme P est unitaire, on a P (X) = (X z )(X z )... (X z n ). ) D après un théorème du cours, on a P (X) = n (X z )... (X z n ) = a k (*) X z k où a k sont des constantes. 3) Pour calculer a i, on multiplie l égalité (*) par (X z i ), puis évalue les deux côtés en X = z i, on obtient alors k= (z i z )... (z i z i )(z i z i+ )... (z i z n ) = a i. 5

6 Montrons que (z i z )... (z i z i )(z i z i+ )... (z i z n ) = P (z i ). On a P (X) = Appliquant la règle de Leibniz, on a n (X z k ) k= P (X) = (X z k ) + (X z k ) + + z k ), k k k n(x donc P (X) = (X z i )Q i (X) + k i(x z k ), avec Q i C[X]. Il vient alors P (z i ) = k i(z i z k ) = (z i z )... (z i z i )(z i z i+ )... (z i z n ). Comme P (X) = X n 0, on a P (X) = nx n, donc P (z i ) = nz n i. Rappelons que z i est une racine de P, donc zi n 0 = 0, autrement-dit zi n = 0. Il s ensuit P (z i ) = nz n i = nzn i z i = 0n z i, et donc a i = P (z i ) = z i 0n. 6