VALORISATION DES PRODUITS DE CHANGE :

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1 VALORISATION DES PRODUITS DE CHANGE : TERMES, SWAPS & OPTIONS

2 LIVRE BLANC I 2 Table des Matières Introduction... 3 Les produits non optionnels... 3 La méthode des flux projetés... 3 Les options de change vanilles... 4 Le modèle Garman-Kohlhagen... 4 Le modèle Cox Ross... 5 Le modèle Monte-Carlo... 7 Les options de change à barrières... 8 Le modèle Garman-Kohlhagen... 8 Le modèle Cox Ross Le modèle Monte Carlo Les options de change digitales européennes Valorisation Les options de change digitales one touch / no touch / double touch / double no touch13 Options de change digitales One Touch et No Touch Options de change digitales Double Touch et Double No Touch Les options de change asiatiques Généralités Le Modèle Milevski Posner Le modèle Monte-Carlo Les accumulateurs de change Bien choisir son outil de gestion du change... 19

3 LIVRE BLANC I 3 Introduction Quels sont les formules de calcul pour valoriser un change à terme, un swap ou une option? Ce document présente les principes de valorisation des produits de change afin de mieux comprendre les variations de prix. Il distingue les produits non optionnels, tels que les termes et les swaps, aux produits optionnels vanilles et exotiques. Les produits non optionnels sont valorisés par la méthode des flux projetés, en utilisant la courbe zérocoupon de la devise concernée. Les produits non optionnels Pour les achats/ventes à terme de devise et les swaps de change, chacun des flux est valorisé par la méthode des flux projetés en utilisant la courbe Zéro-coupon de la devise concernée. La méthode des flux projetés La méthode des flux projetés consiste à estimer les flux futurs, puis à les actualiser avec la courbe Zéro coupon. où: > = Discount Factor correspondant au taux zéro-coupon calculé à la date de fin de l échéance concernée. et avec, où : > = montant de base servant au calcul des intérêts sur la période, > = nombre de jours sur la période servant au calcul des intérêts ; > = base de l opération valorisée. > = taux utilisé pour le calcul des intérêts sur la période i ; dans le cas d un produit à taux fixe, ce taux est connu, et dans le cas d un produit à taux variable, on le détermine par le calcul des taux forwards.

4 LIVRE BLANC I 4 3 modèles sont disponibles pour valoriser les options de change vanilles : Garman- Kohlhagen, Cox Ross et Monte Carlo. Les options de change vanilles Trois modèles sont disponibles pour la valorisation des options de change vanilles : > Garman Kohlhagen > Cox Ross > Monte Carlo Garman-Kohlhagen permet de calculer la valeur d un call et d un put européen sur une position de change. Le modèle Garman-Kohlhagen Le modèle de Garman-Kohlhagen est une variante du modèle généralisé de Black&Scholes. Les formules suivantes permettent de calculer, à la date zéro, la valeur d un call européen ou d un put européen sur une position de change. Formules avec, Notation > désigne la fonction de répartition d une loi normale centrée-réduite, > est la valeur du taux de change en (Valeur d une unité de la devise étrangère mesurée en devise domestique), > est la volatilité du taux de change, > est le prix d exercice, > est le taux d intérêt sans risque étranger, > temps restant à courir jusqu à l échéance de l option, > valeur d un call européen sur un taux de change, > valeur d un put européen sur un taux de change.

5 LIVRE BLANC I 5 Le modèle Cox Ross s appuie sur le modèle de calcul utilisant les arbres binomiaux. Le sous-jacent de l option évolue selon cet arbre. Le modèle Cox Ross L algorithme de calcul utilisé est le modèle de calcul utilisant les arbres binomiaux, modèle proposé par Cox, Ross et Rubinstein (J.C. Cox, S.A. Ross et M. Rubinstein, «Option Pricing : A Simplified Approach», Journal ok Financial Economics, (1979)). Cet algorithme de calcul permet également de valoriser les options à barrière unique ainsi que les options sans barrière. Dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein pour valoriser les options, on considère que le sous-jacent évolue selon un arbre binomial. Paramètres > La durée de vie de l option est découpée en un grand nombre d intervalles de temps de longueur, > La valeur initiale du sous-jacent est, > La volatilité du sous-jacent est, > A chaque étape, le prix du sous-jacent peut prendre deux valeur possibles : (mouvement up) et (mouvement down), avec une probabilité respective et. Ces différents paramètres sont choisis de manière à retrouver de manière exacte les valeurs de la moyenne et de la variance de la rentabilité du sous-jacent. Dans le cas des options de change (rentabilité = taux sans risque de la devise d engagement moins le taux sans risque de la devise de contrepartie), ces paramètres ont les valeurs suivantes :

6 LIVRE BLANC I 6 Parcours de l arbre dans le cas d une option européenne S 0.u 4 S 0.u 3 S 0.u S 0.u 2 S 0.u S 0.u 2 S 0 S 0.d S 0 S 0.d 2 S 0.d S 0.d 3 > On calcule tout d abord les valeurs f de l option aux différents points de l arbre à la date d échéance (à la fin de l arbre), > A chaque étape, on calcule la valeur de l option au Rpoint A à partir des valeurs aux points B et C selon la formule suivante : Cas d une option américaine Dans le cas d une option américaine, on regarde à chaque étape s il est optimal d exercer l option de manière anticipée en comparant la valeur de Rl option calculée précédemment avec la valeur intrinsèque, et on modifie la valeur de l option en conséquence. Au point A, la valeur intrinsèque vaut, étant le strike de l option. La valeur de l option américaine au point A est donc modifiée de la manière suivante : > si f A < valeur intrinsèque, alors f A = valeur intrinsèque. A S 0 S 0.d 2 B C MS 0.d E 4 T T E T I T E I C I E N M A J U

7 LIVRE BLANC I 7 Le moteur Monte-Carlo crée des itérations à partir d un processus aléatoire, régi par une loi log-normale. Le modèle Monte-Carlo Moteur Monte-Carlo Pour les options de change, il est possible d utiliser une procédure de Monte-Carlo créant un certain nombre d itérations d un processus aléatoire régi par une loi log-normale : où : > est la valeur du taux de change à la date, > est le taux d intérêt sans risque étranger, > est un mouvement brownien standard, > est la volatilité. Chaque itération consiste à générer aléatoirement (par un générateur de Sobol) un chemin pour le taux de change. Ce chemin est obtenu de proche en proche grâce à la formule suivante : où (loi normale centrée d écart type t) Chaque itération i donne en sortie les valeurs de chaque taux de change correspondant aux dates de fixing paramétrées (celles-ci sont les dates permettant de déterminer ensuite le payoff de l option pour le scénario i). Une fois les scénarios simulés, on valorise l option en supposant que chacune des itérations est équiprobable ; la valorisation est alors l actualisation de la moyenne des payoffs. où : > est la maturité de l option, > est le payoff correspondant à la i ème simulation (en devise domestique), > est le nombre de simulations.

8 LIVRE BLANC I 8 Utilisation du moteur Monte-Carlo pour les options de change européennes Dans le cas d une option de change européenne, seule la valeur du taux de change à maturité de l option impacte le payoff de l option. Par conséquent, on utilise un moteur de Monte Carlo avec une seule date de fixing : l échéance T de l option. Le payoffs des calls et puts de change européens pour le scénario «i» sont : où: > est la maturité de l option, > est le taux de change à maturité pour le scénario «i», > est le strike. On en déduit ensuite la valorisation du call ou du put selon la méthode décrite plus haut. 3 modèles sont disponibles pour valoriser les options de change à barrières : Garman-Kohlhagen, Cox Ross et Monte Carlo. Les options de change à barrières Trois modèles sont disponibles pour la valorisation des options de change à barrières : > Garman Kohlhagen > Cox Ross > Monte Carlo Le modèle Garman-Kohlhagen Avant de voir les formules de calculs de la valorisation des Options à barrières, il est utile de rappeler les formules de valorisation des options vanilles. En effet, ces calculs sont indispensables pour déterminer les prix des options à barrières car ceux-ci sont déterminés à partir des prix des options vanilles. Les formules sont : où > valeur d un call européen sur un taux de change. > valeur d un put européen sur un taux de change. > désigne la fonction de répartition d une loi normale centrée-réduite et :

9 LIVRE BLANC I 9 Définition Les formules suivantes sont une variante du modèle généralisé de Black & Scholes et permettent de calculer, à la date zéro, la valeur d une option de change à barrière. Ci-dessous, les différents types d option à barrière : >, Prix du Call Down And Out. >, Prix du Call Down And In. >, Prix du Call Up And Out. >, Prix du Call Up And In. >, Prix du Put Down And Out. >, Prix du Put Down And In. Cela induit que : > > > > Formules Chaque valorisation va dépendre du niveau de la barrière par rapport au strike. Si la Barrière est inférieure ou égale au Strike,, on a :

10 LIVRE BLANC I 10 Si la Barrière est supérieure ou égale au Strike,, on a : avec : Notations > est le Strike, > désigne le Spot, > désigne le Niveau Barrière, > désigne la fonction de répartition d une loi normale centrée-réduite, > est la volatilité du taux de change, > est le taux d intérêt sans risque étranger, > temps restant à courir jusqu à l échéance de l option, > valeur d un call européen sur un taux de change, > valeur d un put européen sur un taux de change.

11 LIVRE BLANC I 11 Le modèle Cox Ross s appuie sur les points de l arbre binomial : il est parcouru de 2 façons selon que les barrières soient Knock-Out ou Knock-In. Le modèle Cox Ross On détermine tout d abord les points de l arbre binomial. Ensuite, on parcourt l arbre de la façon suivante, que l option comporte une ou deux barrières, celles-ci pouvant être activantes (knock-in) comme désactivantes (knock-out). Barrière Knock-Out Soit la valeur de la barrière. Dans le cas d une barrière Knock-Out, la valeur de l option au point A est nulle si on est dans la zone où l option est désactivée. Autrement dit : > si, alors dans le cas d une barrière up-and-out > si, alors dans le cas d une barrière down-and-out Barrière Knock-In Dans le cas des barrières Knock-In, on calcule les valeurs suivantes : > = valeur de l option en A si la barrière n existait pas > = valeur de l option en A si la barrière était une barrière Knock-Out > La valeur de l option en A vaut alors : Le moteur Monte-Carlo crée des itérations à partir d un processus aléatoire, régi par une loi log-normale. Le modèle Monte Carlo Le moteur Monte-Carlo utilisé est le même que celui utilisé pour les options de change vanilles. Chaque simulation constitue un chemin pour le taux de change à une fréquence quotidienne. On calcule alors le payoff pour chaque scénario en prenant en compte le chemin emprunté par le taux de change qui détermine l activation ou la désactivation de l option. Par exemple, dans le cas d une barrière Knock-Out, si, pour un scénario donné, la barrière est atteinte, alors le payoff correspondant à ce scénario est nul. Une fois le payoff calculé pour chacun des N scénarios, la valorisation de l option à barrière est donnée par : où : > est la maturité de l option, > est le payoff correspondant à la i ème simulation (en devise domestique), > est le nombre de simulations.

12 LIVRE BLANC I 12 Les options de change digitales européennes sont valorisées selon des formules variantes du modèle généralisé de Black & Scholes. Les options de change digitales européennes L option digitale européenne permet de rapporter à l acheteur un montant cash prédéfini lorsque celle-ci est «dans la monnaie» à échéance. Valorisation Les formules suivantes sont une variante du modèle généralisé de Black & Scholes et permettent de calculer, à la date zéro, la valeur d un call digital européen ou d un put digital européen sur une position de change. Formules avec, Notation > désigne la fonction de répartition d une loi normale centrée-réduite, > est la valeur du taux de change en (Valeur d une unité de la devise étrangère mesurée en devise domestique), > est la volatilité du taux de change, > est le prix d exercice, > est le taux d intérêt sans risque étranger, > temps restant à courir jusqu à l échéance de l option, > est le montant de cash fixé à l avance, > valeur d un call digital européen sur un taux de change, > valeur d un put digital européen sur un taux de change.

13 LIVRE BLANC I 13 Les options de change digitales One Touch et No Touch sont valorisées selon les formules basées sur le modèle de Reiner- Rubinstein. Les options de change digitales one touch / no touch / double touch / double no touch Options de change digitales One Touch et No Touch Une option digitale one touch est une option exotique qui donne le droit à l acheteur, moyennant le paiement d une prime, de percevoir un montant, défini à l avance, si le spot du sous-jacent atteint une barrière, elle aussi définie à l avance. Une option digitale no touch est similaire à l exception que l acheteur ne perçoit le montant que si le spot n atteint jamais la barrière. Les formules suivantes sont basées sur le modèle de Reiner-Rubinstein et permettent de calculer, à la date zéro, la valeur d une option de change digitale one touch et no touch. Formules Si Option One Touch et Barrière > Strike initial : Si Option One Touch et Barrière < Strike initial : Si Option No Touch et Barrière > Strike initial : Si Option One Touch et Barrière < Strike initial : avec : > > >

14 LIVRE BLANC I 14 Notations > désigne la fonction de répartition d une loi normale centrée-réduite, > est la valeur spot du taux de change (Valeur d une unité de la devise étrangère mesurée en devise domestique), > est la volatilité du taux de change, > est la barrière activante (one touch) ou désactivante (no touch), > est le taux d intérêt sans risque étranger, > temps restant à courir jusqu à l échéance de l option, > est le montant de cash fixé à l avance. Les options de change digitales Double Touch / Double No Touch sont valorisées selon les formules basées sur le modèle de Reiner- Rubinstein amélioré. Options de change digitales Double Touch et Double No Touch Une option digitale double touch est une option exotique qui donne le droit à l acheteur, moyennant le paiement d une prime, de percevoir un montant, défini à l avance, si le spot du sous-jacent atteint une des deux barrières (supérieure et inférieure au Spot), elles aussi définies à l avance. Une option digitale double no touch est similaire à l exception que l acheteur ne perçoit le montant que si le spot n atteint jamais l une des barrières. Les formules suivantes sont basées sur le modèle de Reiner-Rubinstein amélioré (CHO H. HUI, «One-touch double barrier binary option values», Applied Financial Economics, 1996) et permettent de calculer, à la date zéro, la valeur d une option de change digitale one touch et no touch. Formules Si Option DoubleNo Touch : Si Option Double Touch : avec :

15 LIVRE BLANC I 15 Notations > est la valeur spot du taux de change (Valeur d une unité de la devise étrangère mesurée en devise domestique), > est la volatilité du taux de change, > est la barrière supérieure, activante (double touch) ou désactivante (double no touch), > est la barrière inférieure, activante (double touch) ou désactivante (double no touch), > est le taux d intérêt sans risque étranger, > temps restant à courir jusqu à l échéance de l option, > est le montant de cash fixé à l avance. On calcule un nombre fini d itérations de la somme pour optimiser la durée des calculs par rapport à la précision du résultat attendu. Il est estimé selon la formule suivante : Les options de change asiatiques sont valorisées selon 2 méthodes de valorisation : le modèle de Milevski-Posner, qui est une approximation de la loi de la somme, et une méthode Monte-Carlo. Les options de change asiatiques Deux modèles sont disponibles pour la valorisation des options de change asiatiques : > Milevski-Posner > Monte Carlo Généralités Une option asiatique est une option sur la moyenne des cours. Son payoff dépend de la moyenne historique Smoyen des cours du sous-jacent. Par exemple pour un call, le payoff d une option asiatique est (alors qu il est égal à pour une option européenne). Dans d autres situations, c est le strike qui dépend de la moyenne (option asiatique à strike moyen) et le payoff devient alors pour un call. Calcul des moyennes Le calcul de la moyenne peut varier suivant les produits. En règle générale, la moyenne est arithmétique : D où un payoff final égal à :

16 LIVRE BLANC I 16 Exemple: Si la moyenne est arithmétique, mensuelle à départ dans un mois et jusqu à maturité, égale à 3 mois, alors le payoff est égal à : Mais la moyenne peut aussi être géométrique : Exemple: Si la moyenne est géométrique, mensuelle à départ dans un mois et jusqu à maturité, égale à 3 mois, alors Sans mentions contraires, on peut considérer que les moyennes sont toujours arithmétiques. En effet, la majeure partie du marché des options asiatiques est à moyenne arithmétique. Pour le calcul d une moyenne, on a besoin de la liste des dates de fixing. Les autres paramètres qui sont à prendre en compte sont exactement les mêmes que pour ceux d une option vanille à savoir: > Spot du sous-jacent à l origine, > Strike, > Maturité, > Taux de la devise domestique, > Taux de la devise étrangère, > volatilité du sous-jacent. Pricing Deux méthodes de valorisation sont implémentées : > le modèle de Milevski-Posner (approximation de la loi de la somme), > une méthode Monte-Carlo. Le modèle Milevski Posner consiste à approximer la loi d une somme arithmétique par une loi gamma inverse. Le Modèle Milevski Posner Cette méthode s appuie sur l article Asian Options, The Sum of Lognormals and the Reciprocal Gamma Distribution Milevsky Posner, Journal of Quantitative finance. Les deux premiers moments M1 et M2 d une somme de n variables log normales sont donnés par

17 LIVRE BLANC I 17 En effet, le premier se retrouve assez facilement, et le deuxième suit de la série d équations : où les Fi représentent les taux forwards. La méthode consiste à approximer la loi d une somme arithmétique par une loi gamma inverse. Pour ce faire, il faut au moins que les deux premiers moments de la loi de la somme soient égaux aux deux premiers moments de la loi gamma inverse. L usage de cette loi est justifié par le fait que si la maturité tend vers +1, alors la somme suit réellement une loi gamma inverse. On cherche donc à ajuster les paramètres de la loi de Gamma inverse sur les moments de la loi de la somme. Les paramètres α et β ainsi obtenus sont : Le prix d un call est alors donné par : où est la fonction de répartition de la loi gamma de paramètre et pour une option dont le premier fixing est au temps 0.

18 LIVRE BLANC I 18 Les options asiatiques peuvent également être pricées avec la méthode Monte-Carlo. On calcule le taux de change moyen pour chaque simulation, puis le payoff, à partir des taux de change simulés à chaque date de fixing. On déduit ensuite la valorisation issue de la méthode Monte-Carlo. Le modèle Monte-Carlo Les options asiatiques peuvent également être pricées à partir de la méthode Monte-Carlo. Contrairement aux options européennes, les options asiatiques ont un payoff dépendant du taux de change à différentes dates de fixing. Pour chaque simulation i, on obtient le taux de change moyen puis le payoff à partir des taux de change simulés à chacune des dates de fixing. Ainsi, pour le scénario i, le payoff d un call ou d un put de change asiatique de taux d exercice K est : Puis on en déduit la valorisation issue de la méthode Monte-Carlo : où : > est la maturité de l option, > est le payoff correspondant à la ième simulation (en devise domestique), > est le nombre de simulations. Les accumulateurs de change sont valorisés avec le moteur Monte-Carlo. Les accumulateurs de change La valorisation des accumulateurs simples, à barrière suspensive, à barrière désactivante ou à barrière double se fait avec le moteur Monte-Carlo. Ainsi, de la même manière que pour les options de change asiatiques, chaque simulation donne un scénario de taux de change pour les dates de fixing pertinentes pour l accumulateur de change. Le payoff correspondant à chaque scénario en est alors déduit, puis la valorisation de l accumulateur : où : > est la maturité de l option, > est le payoff correspondant à la ième simulation (en devise domestique), > est le nombre de simulations.

19 LIVRE BLANC I 19 Bien choisir son outil de gestion du change Le système monétaire international est un système de changes flottants : les cours des monnaies varient en permanence sur le marché des changes. Dès lors qu'une entreprise ou un établissement financier réalise une opération en devise, il est confronté au risque de change. Pour couvrir ce risque, les acteurs de la finance disposent d un ensemble d instruments de couverture. Pour le maîtriser, ils doivent opter pour le système d information adéquat. Les modules Change, Accumulateur, Option de change et Pricing Valorisation de la solution Arpson N4 est la solution de gestion de change HTML connectée aux données des marchés financiers qui permet de consolider sa position globale, d évaluer son exposition au risque et de piloter toute sa stratégie de couverture via ses écrans d analyse et son jeu de reportings dédiés : > Disposer d un référentiel de change complet et prêt à l emploi : devises, structures de change, modes de cotation, historiques de cours > Intégrer tout type d opérations de change et de couverture : comptant, terme, swaps, options, accumulateurs > Consolider et suivre ses positions selon plusieurs critères > Analyser l exposition selon plusieurs axes et mettre en œuvre une stratégie de couverture > Réaliser des simulations et stress-testings des positions de changes et couvertures > Matérialiser les différents flux via les traitements back-office et les exporter dans son site central. A propos de l offre Arpson N4 Spécialiste des marchés de capitaux, Arpson propose aux professionnels de la finance des solutions intégrées et modulaires pour gérer le cycle de vie complet des opérations de marché, de trésorerie et d actifs. Disponible en Mode Licence, Hébergée ou SaaS, son offre Arpson N4 est une application HTML personnalisable fonctionnant sur les principaux navigateurs du marché. Le client compose sa propre solution en choisissant parmi les modules «Périmètre», «Analyse» et «Processing». L information contenue dans ce document est transmise telle quelle et l utilisation de ces informations ou la mise en œuvre des recommandations fonctionnelles, organisationnelles et techniques de ce document est la responsabilité du client ou du partenaire et dépend de sa capacité à l évaluer et à l intégrer à son propre cas de figures. Arpson, 171bis avenue Charles de Gaulle, Neuilly-sur-Seine tél +33 (0) fax +33 (0) Arpson.com 2015 Ce livre blanc est la propriété de Arpson. Il ne peut être reproduit et utilisé en dehors d un cadre contractuel.